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[代码资源] 模拟退火算法

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    [LV.2]偶尔看看I

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    发表于 2012-1-13 19:16 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    刚下载的。觉得没有必要做附件,直接贴出来共享。不过还是感谢之前的分享着。) e0 ~* I5 T' X: c( o

    " `' H. R5 Z; c! o模拟退火算法
    9 `) U) t% J, W* S2 v  模拟退火算法来源于固体退火原理,将固体加温至充分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为最小。根据Metropolis准则,粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT),其中E为温度T时的内能,ΔE为其改变量,k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题,将内能E模拟为目标函数值f,温度T演化成控制参数t,即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初始解i和控制参数初值t开始,对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代,并逐步衰减t值,算法终止时的当前解即为所得近似最优解,这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制,包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
    * E! ~/ y% Y. i& W, g8 w/ T3.5.1 模拟退火算法的模型% Q' J  S( Y* s5 G1 o# F& N
      模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
    % t$ G0 J1 ~( P: u 模拟退火的基本思想:8 q0 z  y6 W" L; x7 ~% B
      (1) 初始化:初始温度T(充分大),初始解状态S(是算法迭代的起点), 每个T值的迭代次数L
    , V2 E3 \% y! n. d7 Z1 J6 W. `. s  (2) 对k=1,……,L做第(3)至第6步:
    ; @; ?# u4 Z- M6 N  (3) 产生新解S′1 t4 h3 A3 V  V' q/ d# U6 B' @
      (4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S),其中C(S)为评价函数4 |) g3 o; J; |) z' f
      (5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
    7 {/ D+ H# l3 x  (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结束程序。- e) B- m* _; Z5 @
    终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。) i( k- t5 |2 i+ P" Q
      (7) T逐渐减少,且T->0,然后转第2步。$ m  E! C$ ~' v" D0 O( @
    算法对应动态演示图:
    2 a$ ]' P# s$ y8 j  R9 h* c模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤:" t- L6 D, }7 I- t/ v, o5 N
      第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解;为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
    5 v1 j* Q" Y# l& _3 B- h& v  第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生,所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标函数差的最快方法。- a( d: |8 c' V& t
      第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则,最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。  t/ v6 u8 C' C# T: K
      第四步是当新解被确定接受时,用新解代替当前解,这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现,同时修正目标函数值即可。此时,当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时,则在原当前解的基础上继续下一轮试验。: C) B  X" u# Z4 T' |+ p
      模拟退火算法与初始值无关,算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关;模拟退火算法具有渐近收敛性,已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法;模拟退火算法具有并行性。
    : f- c! R2 s3 X- C4 e( J, i7 U7 I6 b$ R1 n, Y/ V4 z

    # S# Z+ X- o1 U+ [模拟退火算法的简单应用7 z/ l& `; F9 L5 H7 A( B# f8 e  j
      作为模拟退火算法应用,讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem,简记为TSP):设有n个城市,用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i,j) i, j=1,…,n.TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路,且其路径总长度为最短.。/ f1 v% X5 R! x) m
      求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下:
    6 H) b+ q8 P5 {/ D5 ]  解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路,是{1,……,n}的所有循环排列的集合,S中的成员记为(w1,w2 ,……,wn),并记wn+1= w1。初始解可选为(1,……,n)
    / |# N' Z4 W  b/ \+ v  目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数: 9 l( C) C* y* p7 H$ A0 A

    : v! n0 a5 l- Q6 v  @* w, K  我们要求此代价函数的最小值。
    / i8 T' o1 @2 {$ K! ~  w6 M0 \0 W0 q  新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m,若k<m,则将8 ]# ]% z" T& d& f  _
      (w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn); m. G  A: W9 Q. H3 d3 |
      变为:' P$ Q) l$ C2 L
      (w1, w2 ,…,wm , wm-1 ,…,wk+1 , wk ,…,wn).
    4 _& J0 U4 k' v* _& E9 Q  如果是k>m,则将
    + q/ t9 Z. |$ M8 h! d% j  (w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)+ s; k( R  t9 j8 ^! b. h
      变为:* H" l' g2 f% M/ L$ p( M! G- }5 h
      (wm, wm-1 ,…,w1 , wm+1 ,…,wk-1 ,wn , wn-1 ,…,wk).) |6 M" O! }5 H( f# @# w( z6 v
      上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。
    # W0 c% I: Q+ @! V" e0 i  k$ _  也可以采用其他的变换方法,有些变换有独特的优越性,有时也将它们交替使用,得到一种更好方法。
    ' p. i$ c8 I2 X# `+ c8 _2 y  代价函数差 设将(w1, w2 ,……,wn)变换为(u1, u2 ,……,un), 则代价函数差为:
    : j  `6 l5 c. B: e4 w! K+ a9 U% w' d) ?9 w: a
    根据上述分析,可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序:
    # E* j$ m+ ^. C! {( ?+ yProcedure TSPSA:
    0 @5 E. e$ f$ a1 J- M' G3 q begin + w7 E0 b; k" a7 t+ H! P
      init-of-T; { T为初始温度}
    9 ^1 m- j! z+ i1 _6 Z0 u  S={1,……,n}; {S为初始值}/ I/ Z" G4 u: y
      termination=false;
    + y, I/ j* M5 j1 |% z2 v" r. J  while termination=false
    " R. N1 o; Y$ U  F  J   begin , d; W; Q; b, m1 U1 T# O8 r! ]
        for i=1 to L do
    7 w: h+ P& x4 v$ R- a* b4 R" K      begin
    , f0 G2 P$ V% ^# W5 K' y+ ]        generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
    % s) R0 @- I! ^' L, x        Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}/ U7 K% [5 ~: J  ?' p
            IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])& `% z  e) p+ K! ?9 e
            S=S′;
      D% _) i# ?2 \' C        IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
    $ {* q- o1 |- r, x( Y        termination=true;
    * D! j; X- o. h, b# \      End;
    5 j2 N' o3 j- A    T_lower;
    9 [) \( c6 |1 Q- g- S8 G3 u   End;
    8 X2 D6 A# T! F# z# _, w$ G6 v% p End
    ( P8 s. w: H/ K  模拟退火算法的应用很广泛,可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。
    6 w+ d; {4 S/ p$ b! r- M( L$ ~9 D- T. @  J

    + l6 Q5 |- [, a& v# c模拟退火算法的参数控制问题' Z6 y5 A. k- {7 _; P' S+ W
      模拟退火算法的应用很广泛,可以求解NP完全问题,但其参数难以控制,其主要问题有以下三点:! Y3 c5 {- r$ ~4 t1 f8 w; k+ [- l
      (1) 温度T的初始值设置问题。1 s. e! q3 J& g, L) N; ^9 L
      温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高,则搜索到全局最优解的可能性大,但因此要花费大量的计算时间;反之,则可节约计算时间,但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中,初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。8 w* ?% W. l# V/ D1 z
      (2) 退火速度问题。4 v- c9 e: h! h' K- N' H
      模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说,同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的,但这需要计算时间。实际应用中,要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
    6 Y" ?$ }2 M' s9 _3 a# D  (3) 温度管理问题。; o( T( B- n: [6 s5 p% ^9 M
      温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中,由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题,常采用如下所示的降温方式:
    ! c; a1 ]# Y7 t; @" l% d
    , [) n. ]7 g+ e; g( KT(t+1)=k×T(t)  m9 _6 [+ r1 _  u* P. Z
    式中k为正的略小于1.00的常数,t为降温的次数。
    zan
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