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[代码资源] 模拟退火算法

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    [LV.2]偶尔看看I

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    发表于 2012-1-13 19:16 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    刚下载的。觉得没有必要做附件,直接贴出来共享。不过还是感谢之前的分享着。4 |* u" Y! R7 y8 ?+ {2 u" I

    ! a. i8 o5 x# u% w模拟退火算法, s) Z5 b% z" ^; }3 a, ~) E" j
      模拟退火算法来源于固体退火原理,将固体加温至充分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为最小。根据Metropolis准则,粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT),其中E为温度T时的内能,ΔE为其改变量,k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题,将内能E模拟为目标函数值f,温度T演化成控制参数t,即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初始解i和控制参数初值t开始,对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代,并逐步衰减t值,算法终止时的当前解即为所得近似最优解,这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制,包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。 2 D: ]1 u6 W' w1 E, g
    3.5.1 模拟退火算法的模型
    * D6 r) P7 O$ j$ W' G  模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
    ( g- P+ W. |/ Z) n: C8 | 模拟退火的基本思想:
    + b7 E5 Z' i  O8 _7 ~% u* H5 s  (1) 初始化:初始温度T(充分大),初始解状态S(是算法迭代的起点), 每个T值的迭代次数L! q9 d/ g2 ]( m3 f' w( k
      (2) 对k=1,……,L做第(3)至第6步:+ @' U+ {6 d* o
      (3) 产生新解S′
    7 ~' @0 R6 {, M* e0 q  (4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S),其中C(S)为评价函数
    + _+ l; N" Z: }% `1 h  (5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
    , f5 o, ~- @/ F+ b  u6 @0 p6 J; s: J) K, y  (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结束程序。
    , }9 t5 n0 l# @. T" Z% l" ?终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。: x- v6 v7 w8 t/ w# N0 [
      (7) T逐渐减少,且T->0,然后转第2步。% @8 \1 g: c/ j! Z
    算法对应动态演示图:
    ' q# y2 D9 z6 q- j8 X3 v0 e模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤:
    % k/ t& N; v! @' G  第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解;为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,因而对冷却进度表的选取有一定的影响。0 q; T$ ?9 `* }# h8 b  V6 t. a8 |: w, ?
      第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生,所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标函数差的最快方法。' v, u" E9 {. A0 {3 E
      第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则,最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
    7 e9 ?2 W8 s% E! J# M1 K! T  第四步是当新解被确定接受时,用新解代替当前解,这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现,同时修正目标函数值即可。此时,当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时,则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
    9 l8 @$ [/ N6 D  D1 l" Y  模拟退火算法与初始值无关,算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关;模拟退火算法具有渐近收敛性,已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法;模拟退火算法具有并行性。
    + H. E0 L- b# i" l  c* c5 J; P# z
    * F" v" x" L* _: ~; ~; P1 O
    模拟退火算法的简单应用# J9 m8 g- L* x4 C" d/ s0 i  n
      作为模拟退火算法应用,讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem,简记为TSP):设有n个城市,用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i,j) i, j=1,…,n.TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路,且其路径总长度为最短.。
    " H* j8 `( `8 I& R3 O  求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下:$ M/ ]& L2 t4 t4 t0 b" Z6 `+ a# ~
      解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路,是{1,……,n}的所有循环排列的集合,S中的成员记为(w1,w2 ,……,wn),并记wn+1= w1。初始解可选为(1,……,n)
    0 k: I% |1 ]2 E$ q( ]5 S0 a  目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数: 1 {4 |  Z/ _4 g+ G/ l, f* k; ?2 |+ L
    $ E/ I4 B0 `- ]" I
      我们要求此代价函数的最小值。4 |4 o- B' O/ O; `
      新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m,若k<m,则将
    % z: i; k- R3 I5 V! D  (w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)& G# h2 ^5 k3 P- y) E- T* d
      变为:
    - {6 O' y4 }* e/ |  (w1, w2 ,…,wm , wm-1 ,…,wk+1 , wk ,…,wn).9 S1 Z: {6 M" v/ d5 H1 p' t
      如果是k>m,则将4 R2 ^3 m0 z+ v3 l% L7 s
      (w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)! b4 `9 W+ |* q9 x  P3 c& P% }! m
      变为:% W5 ^+ Q" V; Q+ z
      (wm, wm-1 ,…,w1 , wm+1 ,…,wk-1 ,wn , wn-1 ,…,wk).
    2 r0 ~6 t" A+ H8 l& L; a- d1 F  上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。
    + \% V# f( [5 Y  也可以采用其他的变换方法,有些变换有独特的优越性,有时也将它们交替使用,得到一种更好方法。
    ! m# Y" H1 X8 Q) h# P  代价函数差 设将(w1, w2 ,……,wn)变换为(u1, u2 ,……,un), 则代价函数差为: 7 l3 p: B8 T3 G
    8 V4 l; T+ @: A  ^- o8 d& T4 k
    根据上述分析,可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序:: T" V6 n2 N5 c: g7 A- ]
    Procedure TSPSA:
    & a; f2 |; c! A; |+ x begin
    - i2 a- t2 o0 k) |+ T  init-of-T; { T为初始温度}
    3 U" N& P/ v0 O- F( `; T  S={1,……,n}; {S为初始值}
    # D- c! d  n4 a1 f+ m2 ^  termination=false;& [: p0 J$ r3 X
      while termination=false& m7 j- K0 S% l5 H% K" h
       begin % }3 U: |+ @0 [( I2 J8 y. n& O. R  `
        for i=1 to L do
    ' f: y1 k! N9 S- U% I/ j      begin1 p( X1 C% H, q
            generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}* R2 S! ^" }' O3 h
            Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}3 v1 P8 v; [. h9 Y+ L
            IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])$ y1 B, L' k# N% ^
            S=S′;
    3 x( c6 B! C( v& m5 U        IF the-halt-condition-is-TRUE THEN . q4 z4 c; f6 ]6 d' U( m) D$ N. h
            termination=true;' `! k& N( F! v' B6 ~
          End;
    ( z6 Z7 {& U) S0 {. }6 Q: v" m. v    T_lower;
    ' n. O5 {" U. z: v   End;
    3 D- r! T2 |$ E* D, }3 V! | End; g' \9 t. W5 {$ s* W1 P: U2 X
      模拟退火算法的应用很广泛,可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。: u" t+ U1 A/ W/ G4 S3 N

    ) E- S# W( D! G# T' D" @
    7 R9 @( a- c4 D: t9 |模拟退火算法的参数控制问题
    5 m2 m$ F2 g  u! ^  模拟退火算法的应用很广泛,可以求解NP完全问题,但其参数难以控制,其主要问题有以下三点:
    : B4 ]! v3 L/ G2 k" u% O9 Q, T* r  (1) 温度T的初始值设置问题。0 \4 p( H# ^9 j( ?/ _3 c4 ~( a. L1 l
      温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高,则搜索到全局最优解的可能性大,但因此要花费大量的计算时间;反之,则可节约计算时间,但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中,初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。1 U1 L  N+ `6 G" d+ C1 w3 Y
      (2) 退火速度问题。* M: o' c; T& S. b+ Y& f7 v
      模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说,同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的,但这需要计算时间。实际应用中,要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
    1 T% G+ U# g* j: a) I  (3) 温度管理问题。
      k7 n8 W4 d. j4 j4 `; i$ o  温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中,由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题,常采用如下所示的降温方式:
    5 G1 `; [0 _, [& Y% |6 V" ]" d2 v0 e/ r- Y# y
    T(t+1)=k×T(t); D+ [3 o& ^3 I& I' I, G
    式中k为正的略小于1.00的常数,t为降温的次数。
    zan
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