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升级   37.89% TA的每日心情 | 郁闷 2012-2-15 14:23 |
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签到天数: 4 天 [LV.2]偶尔看看I
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刚下载的。觉得没有必要做附件,直接贴出来共享。不过还是感谢之前的分享着。
7 b+ m: `) z1 ^% N; l) r, z- h6 G7 k9 N; } X6 g' P" X
模拟退火算法
0 [6 N' [; ?/ j& q y 模拟退火算法来源于固体退火原理,将固体加温至充分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为最小。根据Metropolis准则,粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT),其中E为温度T时的内能,ΔE为其改变量,k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题,将内能E模拟为目标函数值f,温度T演化成控制参数t,即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初始解i和控制参数初值t开始,对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代,并逐步衰减t值,算法终止时的当前解即为所得近似最优解,这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制,包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。 5 F h, b, Y4 P( r# U7 [% I) {: Q
3.5.1 模拟退火算法的模型
4 B- n+ s0 N1 }0 S 模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。) u5 p& Y0 U6 p+ T! i* I
模拟退火的基本思想:; m i2 V+ A( V4 M: O5 z
(1) 初始化:初始温度T(充分大),初始解状态S(是算法迭代的起点), 每个T值的迭代次数L
7 |5 x: Y2 m L4 r4 W: w" a) Q% { (2) 对k=1,……,L做第(3)至第6步:# t' }( w- _3 n: G/ m
(3) 产生新解S′' K# C6 ^( J& G+ U, F) m9 ]
(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S),其中C(S)为评价函数2 X4 t8 S1 @ U9 _2 H. X
(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.0 n- Q# w/ w @- ^
(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结束程序。! W, B* @; F$ S: y. l
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。& k% x- ~0 B# J5 m# n: U3 r
(7) T逐渐减少,且T->0,然后转第2步。
" ]! E/ `- ?' O* {( J6 ?4 c" m算法对应动态演示图:& ?, |8 p: v7 g% V3 R' J
模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤:
% ^% J# r' z8 ` X" x$ b( e 第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解;为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,因而对冷却进度表的选取有一定的影响。/ [' `2 [* }; e3 [& C" K
第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生,所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标函数差的最快方法。1 S8 x$ @! [3 {2 y# S7 ^7 V
第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则,最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。6 Z! ^: t$ p+ K
第四步是当新解被确定接受时,用新解代替当前解,这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现,同时修正目标函数值即可。此时,当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时,则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
! u V* A* c1 m# n- J/ r& l: }% F( m 模拟退火算法与初始值无关,算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关;模拟退火算法具有渐近收敛性,已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法;模拟退火算法具有并行性。8 u: |0 s' b' {* J% Z; m1 Q% H
( Z/ e6 @( N! @
, ~! _1 S0 H4 G: z" L1 Y4 i" @模拟退火算法的简单应用9 {6 x9 \4 ]% {; p% a, Z
作为模拟退火算法应用,讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem,简记为TSP):设有n个城市,用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i,j) i, j=1,…,n.TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路,且其路径总长度为最短.。9 k x5 Q- p4 G; I5 E2 ~* ^; R& x
求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下:
3 |1 z% @+ L- @2 a- P 解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路,是{1,……,n}的所有循环排列的集合,S中的成员记为(w1,w2 ,……,wn),并记wn+1= w1。初始解可选为(1,……,n)
: i* n, k0 x8 u) s, L( z1 [( p8 a 目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数: 1 |+ v# C9 c; M/ l+ y
7 _. Z+ l4 P. Z6 \: n! R0 I" n
我们要求此代价函数的最小值。: a3 X* S$ V( b0 n1 }6 j* v* P
新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m,若k<m,则将- i0 E: L5 p( }; _1 T
(w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)
/ u$ t3 r" F9 z: A# ^& d 变为:
?& Y" F' f8 w0 X; {4 r v( m0 u5 t y (w1, w2 ,…,wm , wm-1 ,…,wk+1 , wk ,…,wn).- y* A+ j' \4 m7 [
如果是k>m,则将
0 s0 F' \1 H$ ?. ~0 }+ R g6 U (w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)! f; N7 X @* H d& r
变为:. b0 W% ^ k0 K3 I
(wm, wm-1 ,…,w1 , wm+1 ,…,wk-1 ,wn , wn-1 ,…,wk).( _" F4 }4 d- s. |8 p
上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。7 G/ C, x7 C) Q$ B0 T
也可以采用其他的变换方法,有些变换有独特的优越性,有时也将它们交替使用,得到一种更好方法。 ! C3 h8 z* T; H; @/ C
代价函数差 设将(w1, w2 ,……,wn)变换为(u1, u2 ,……,un), 则代价函数差为:
- W+ o6 o# C! O8 s$ z/ W
P8 B- ^& }: S/ C! ^8 }4 j5 T ]根据上述分析,可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序:
% y, }( X: H9 M- \, yProcedure TSPSA:
' o$ o. \% }% o1 n( d* o, a& c begin
. h& Z7 v( ~. b7 t1 u; }5 I3 ]: C init-of-T; { T为初始温度}8 I9 ]/ q- T! p4 j, w' X0 l6 J
S={1,……,n}; {S为初始值}
4 O2 O- _; Y& d* T" h% Q termination=false;
) X& Q ~; p; u U while termination=false% s- F, Y6 O* M2 b7 W
begin % R; s0 z# {( B: Q/ k; [
for i=1 to L do# U) p$ `$ H8 K" i) C
begin
# s, P+ m4 M& U$ s7 Y generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
6 M! F* f2 O) L9 S Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
' \0 M$ C5 z1 J8 s0 Z9 g; | IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
. s: F0 B9 x% W. f5 k% Q S=S′;0 {4 d4 }+ z# i5 h$ `! L
IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
+ M5 z0 [+ Z* r( b3 W- O termination=true;2 N1 }8 A7 P, i; Q
End;
8 c2 x- U% Q3 G2 n5 Y: C T_lower;" U7 |' q0 U* p, _+ Y" }- H+ ~
End;# a/ \" G, f# ^& b
End1 R+ [8 k5 i9 F8 l* C% ?
模拟退火算法的应用很广泛,可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。$ i0 C) }# L, K) Y% x$ z, Q/ N
) T' z8 h, }5 u8 ~! T5 ~7 F. H# u% U2 x- z2 l8 R4 T
模拟退火算法的参数控制问题* H1 v$ F- U/ N$ g& K9 ~- K1 A
模拟退火算法的应用很广泛,可以求解NP完全问题,但其参数难以控制,其主要问题有以下三点:. _- ]+ m' K$ \( q2 P; |9 O2 z
(1) 温度T的初始值设置问题。; ^- N( i, T4 E. Y
温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高,则搜索到全局最优解的可能性大,但因此要花费大量的计算时间;反之,则可节约计算时间,但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中,初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。' F6 U; B5 E" ^( r& k! r1 Q7 L& w) F
(2) 退火速度问题。
' Y& L2 W' r) A% s" r$ Z X. e Z: U 模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说,同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的,但这需要计算时间。实际应用中,要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。) w7 z1 X" P* n; ^4 b7 K O6 N
(3) 温度管理问题。
, y$ p/ \5 [! h: F7 {: v 温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中,由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题,常采用如下所示的降温方式:
; E6 X& d5 E. I0 I" M& k [# Q" J& I* t/ A! {( r0 V* o
T(t+1)=k×T(t)5 N8 R1 g. K ?1 H
式中k为正的略小于1.00的常数,t为降温的次数。 |
zan
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