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科 学 家 的 智 慧——关于合数的分解

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    [LV.7]常住居民III

    发表于 2012-9-22 20:04 |显示全部楼层
    |招呼Ta 关注Ta
    + U7 {' E' W& o! p" i- z
    科 学 家 的 智 慧
    * x$ f) T2 R9 y' m7 f+ `" F$ d——关于合数的分解
    & c  e% y( m/ l; a% \# ?海南省乐东县保显学校  陈泽辉
            % @5 d7 v& s. n' k, _0 ]
    在正整数范围, P、T为两个相邻自然数,若有奇数A满足:P^2<A<T^2且T^2-A=D,存在且必存在m=(n^2-D)/2(T-n) ,那么A=(T+2m+n)×(T-n)。(T+2m+n与T-n分别为数A的大小两个因数)如11^2<133<12^2、12^2-133=11(这里T=12 、D=11),代入关系式 m=(n^2-D)/2(T-n) 即有m=(n^2-11)/2(12-n) ,通过实验法(代入法),在正整数范围内很快地得出n与 m的两组解:分别为最小值(5,1)与最大值(11,55),此时数A=133=(12+2×1+5)×(12-5)=19×7。' Q: G# \) b& I, n7 E/ z( U9 A
    在P^2<A<T^2区间里,若有T^2-A=D为一个完全平方数时,称合数A为特殊合数。因为此时n最小值为√D,m最小值为0。如A=5767,75^2<5767<76^2,则D=9是一个完全平方数,m=(n^2-D)/2(T-n) , n与 m的最小值为(3,0),因此A=5767=(76+2×0+3)×(76-3)=79×73。也就是说,当D(D必小于T)是一个完全平方数时,我们能够快捷地去分解出一些足够大特殊合数的因数。" n) t6 R9 [1 Z1 v
    以上合数分解通式是一个用于分解合数的比较简捷而有效的公式,也是目前通过用式子来分解合数的惟一表达式,这个式子在合数分解过程中的重要作用应给予充分肯定。如果合数A不是上面所指“特殊合数”时,那么此刻分解合数A的过程就需能够找出相对应数n与 m的值,然当n与 m的值仍是比较大时,就是用通式编制出程序进行合数A的分解,也是件很困难的事(就算它比起试除法要快捷得多)。就像《科学智慧火花栏目》组收到稿件三个月后所回复的那样:经专家审阅,认为本文所述方法繁琐,对于大奇数的分解没有实用价值。诚然,通过试算出n与 m的值来作到分解合数A,确实还具有一定的困难,但这并不是说就没有了更好的办法。笔者初步窥见分解合数A的端倪,下面(再次)相机介绍形如6N+1合数集合中的一类合数的快捷分解方法:! @5 u" e  ~  @) B8 b/ q8 V$ _
    若有P^2<A<T^2、T^2-A=D,且A为6N+1形的合数,若此合数存在2D=3T时,那么数A=(T/2)×(2T-3)。比如数A=783667,885^2<783667<886^2,T=886、D= T^2-A=1329,此时有2D=3T即2×1329=3×886,那么数A的分解算式为:783667=(886÷2)×(2×886-3)=443×1769。如果你有兴趣,请用上此法来分解此类型之更大的合数。
    / d3 C% x5 e6 j5 [% T! P' g( \现在我们许多人都比较看好能够适用于更为有实用价值的东西,这固然很好。但在二百多年前,如果欧拉先生没能准确地看出《哥德巴赫猜想》的真谛,那么素数——这一数学上的明珠了,也许直到今天也很难闪耀出它那夺目的光芒。6 E7 @$ v! B5 `3 E$ E; B
    2 E0 b% [; B9 q  @0 }+ w/ A

    " t  F& e1 @' X# K; x( }6 @+ [5 K
    : A0 B0 W% M0 A7 H4 P# n- e. ~# s
    . a7 u% U$ B+ O; B( Y
    ( m% e9 n8 G: \7 ~( |
    二○一二年九月二十二日
    3 {9 ~% O7 |# z. G: }
    zan

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    本帖最后由 素数516466 于 2012-10-1 07:29 编辑
    6 [! X# o- J1 e* K. y. t/ _
    * H: {4 c- [  p5 `0 H诚然可用此一性质找到更大的素数哟!
    % [& s& D+ s6 g+ J0 M$ ]# {请分解A=(10+4n)^2-D,这里的 D=(10+4n)÷2×3,n=1、2、3、4、5、6……。
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    51384389101=(10+4×56668)^2-(10+4×56668)÷2×3,因此51384389101=[(10+4×56668)÷2]×[2×(10+4×56668)-3]=113341×453361
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    在这里笔者暂把有关于分解数A的几个关系数统称如下:T^2称为临点完全平方数,T称为数A的临点平方根数,简称为根数;D称为分解数A的黄金数;n称为子数n,m称为子数m;若有A=2N+1,称N为判别数。诚然,通过试算(举列)出子数n与 m的值来作到分解合数A,确实还具有一定的困难,或者说是这样子对于合数A的分解不会起到直接的作用。(原因是子数n与 m的值往往会很大)通过大量的例证,笔者发现数A两个因数的差的大小与子数n与 m的值有关联:子数n与 m的值随两个因数之差增大而增大,增大最明显的是子数m的值。但是话又说回来,当数A比较大的数如是一个100位数的合数时,而它两个因数之差特别小时,如是孪生数,那么m的值可以是0。因此不是每一个大数的分解是多么的难,关键还要看这样的大数本身的两个因数之差是否很大,差越小,利用上述通式能更快的分解合数A=(T-n)(T+n+2m).
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    而事实上,关于合数的分解就是关于数A的根数T与黄金数D的分解过程:所有数A=T^2-D存在两种要素,1、要么根数T与黄金数D互质;2、要么根数T与黄金数D存在公因数,这时它们的公因数就是数A的分解因数。如A=8928061=2988^2-83,T=2988,D=83,T与D公因数是83,则8928061的一个因数也是83:8928061=83*107567。
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    为何形如n^2=81的方程我们可以不通过代入法便能解得n=9呢?那是因为我们已掌握了平方数的开根之法。而式子m=(n^2-D)/2(T-n)是合数A的分解通式,因为我们暂没有该式的通解之法,并且该式又包含两个待解子数n和m,所以如用举例法来解答该式诚然不是个好办法。
    # m+ E. t7 f, H8 b! n! ?0 A若想通过通式m=(n^2-D)/2(T-n)来分解数A还必然要找出子数n或m的准确数值来。笔者通过大量举证、验算,近来得出一种较为快捷求解数A的列举法。可以说一个较大且复杂(子数n和m都较大)的数A有望在短时间内得到有效地分解,就是说大数的分解基本是可以解决的。. ?- `7 `; O7 T9 Q6 E3 {
    该法通俗的设想是这样子的:1、通过计算能得出子数子数n的取值范围(如n是一个六十位至一百位以内的数)2、可以得到一个关系式(这个关系式的解是六十位至一百位数链以内某一数段上的连续数链。比如说从七十位到九十位上的数链满足该式)3、怎样确定该数链的取值范围呢?方法是:在六十位至一百位数段之间先确定一个基点数,比如取八十位上某一个数作为基点数代入关系式,得解;再取从六十位到该基点数范围以内的中间一个数作为第二个基点数,得解;如此类推下去(比如说有一个关系式,它的解是1至100以内某一数段的连续自然数,有可能是10至80或50至70等等,我的做法是先取某一个数如60作为第一个基点数试解,如得解,再取1至60的中间数作为第二个基点数试解,如此类推来找出该式最小的整数解比方是10(或50),则10(或50)便是我们所能要找的数A的子数n的准确值,从而解决数A的分解过程。
    ' X9 [6 J- B! {: @1 P  X( z所以说一个子数n很大的合数A(n往往远比m小),我们通过用通式m=(n^2-D)/2(T-n)来待分解数A具有不确定的困难,但是用上述子数n分割法相信一定给数A的分解带来很大的方便,通式m=(n^2-D)/2(T-n)不是分割法,但是通过该通式可以得到一个适用于分割子数n的关系式,这个思路近方寻得,不知可行否。由于个人水平问题,上面所描述如有不恰当处请谅解。3 H+ ~6 T4 u7 d  Q3 O8 A6 u
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    比如在正整数范围内,有数A=13167951871=114752^2-69633,此时T=114752,D=69633。运用通式m=(n^2-D)/2(T-n)来分解数A,过程复杂,这时n=114721,m=212271584,所以数A分解式为A=13167951871=(T-n)×(T+n+2m)=(114752-114721)×(114752+114721+2×212271584)=31×424772641。+ s9 X" s4 f# h% b) C! U% u5 K
    试用分割子数n的方法对数A进行分解:1、子数n的取值范围:264≦n≦114749,因为D=69633是个奇数,那么子数n也是一个奇数。2、分割子数n的关系式: 4y^2+4y+1-n^2=0(虽然n=3有整数解,但它不是子数n的取值范围)3、采用分割法确定子数n的最小值:把264≦n≦114749分割成三份,取第三份38250≦n≦114749的第一个数值n =38251作为第一个基点数代入上面关系式4y^2+4y+1-n^2=0,即4y^2+4y+1-38251^2=0没有整数解;再把38250≦n≦114749分割二份,取中间数n =76501作为第二个基点数代入关系式4y^2+4y+1-n^2=0,即4y^2+4y+1-76501^2=0没有整数解;……依此推当取到114721≦n≦114749时,即n=114721(最小)时4y^2+4y+1-114721^2=0 有解(y=57360)。从而找到子数n=114721,所以数A的一个分解因数就是T-n=114752-114721=31。' H3 _: _- d# g' J2 A  B' y# g+ U
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    8楼以下观点有误:2、分割子数n的关系式: 4y^2+4y+1-n^2=0(虽然n=3有整数解,但它不是子数n的取值范围)3、采用分割法确定子数n的最小值:把264≦n≦114749分割成三份,取第三份38250≦n≦114749的第一个数值n =38251作为第一个基点数代入上面关系式4y^2+4y+1-n^2=0,即4y^2+4y+1-38251^2=0没有整数解;再把38250≦n≦114749分割二份,取中间数n =76501作为第二个基点数代入关系式4y^2+4y+1-n^2=0,即4y^2+4y+1-76501^2=0没有整数解;……依此推当取到114721≦n≦114749时,即n=114721(最小)时4y^2+4y+1-114721^2=0 有解(y=57360)。从而找到子数n=114721,所以数A的一个分解因数就是T-n=114752-114721=31。
    ( K3 }% I; ^8 \8 a1 s) G. H1 r' ]. w# @
    敬请谅解!!
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    最有价值的因子数链6 _0 a7 L+ s  z, g; A0 O6 P2 l
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    " b) N/ ]. {' c4 e# h# t- A  n' N  [4 b4 E. k1 |0 B2 S  p, G% u
    我们知道,在整数范围内,偶数可以用式子2x表示;奇数可以用2x-1表示。我们还知道所有的偶数都有公因数2,但是想要对一个奇数进行分解往往不是一件很容易的事。* s/ C) _% [- }* J9 A
    笔者在探究奇数分解的过程中,发现两条有趣的“孪生”奇合数数链。第一条“孪生”奇合数数链表达式为:A=16c^2+6c-1(A为第一条“孪生”数链上所有奇数,c为整数,此时数A的一个较小因子就是2 c+1)如奇合数链数A为15、75、161、279……时, 有15=16c^2+6c-1、75=16c^2+6c-1、161=16c^2+6c-1、279=16c^2+6c-1、……这时c的整数解分别为1、2、3、4……那么数A其中一个较小的因子是2 c+1,即数链A的因子依次是3、5、7、9……。. O/ T; S: i* ^: p# U
    也就是说,用因子是3、5、7、9、……(2 c+1)的特殊奇合数,可以组合成两条奇合数数链(上面是第一条数链),其中一条奇合数数链表达式为:A=16c^2+6c-1。
      ]) D2 G. _( Y$ b* A8 t- W8 l( m1 B可以肯定的是,这给某些较大的奇合数的分解带来了极大的方便。但是我们也要知道,这两条奇合数链上的数是极其少的,因此它不是所有奇合数的分解表达式。笔者通过许多检验,发现奇合数的分解亦主要以这两条数链为中心展开。
    ; W9 f. q+ M# b# {9 h
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    在正整数范围,奇合数A满足: A= T^2-D,设PQ是数A的两个分解因子,且P<Q;把T^2称为临点完全平方数,T称为数A的临点平方根数,简称为根数;D称为分解数A的黄金数。在所有奇合数中,必存在较大因子等于其根数两倍与3的差(即Q=2T-3)的奇合数链,我们把符合这个结论的奇合数链统称为“孪生”奇合数链,其中一条“孪生”数链表达式为A=16c^2+6c-1;
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