科 学 家 的 智 慧——关于合数的分解

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科 学 家 的 智 慧
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海南省乐东县保显学校  陈泽辉

       
9 I& [1 S8 o) [' c8 F8 a在正整数范围， P、T为两个相邻自然数，若有奇数A满足：P^2＜A＜T^2且T^2－A=D，存在且必存在m=(n^2-D)/2(T-n) ，那么A=（T+2m+n）×（T－n）。（T+2m+n与T－n分别为数A的大小两个因数）如11^2＜133＜12^2、12^2－133=11（这里T=12 、D=11），代入关系式 m=(n^2-D)/2(T-n) 即有m=(n^2-11)/2(12-n) ，通过实验法（代入法），在正整数范围内很快地得出n与 m的两组解：分别为最小值（5，1）与最大值（11，55），此时数A=133=（12+2×1+5）×（12-5）=19×7。
在P^2＜A＜T^2区间里，若有T^2－A=D为一个完全平方数时，称合数A为特殊合数。因为此时n最小值为√D，m最小值为0。如A=5767，75^2＜5767＜76^2，则D=9是一个完全平方数，m=(n^2-D)/2(T-n) , n与 m的最小值为（3，0），因此A=5767=（76+2×0+3）×（76-3）=79×73。也就是说，当D（D必小于T）是一个完全平方数时，我们能够快捷地去分解出一些足够大特殊合数的因数。
以上合数分解通式是一个用于分解合数的比较简捷而有效的公式，也是目前通过用式子来分解合数的惟一表达式，这个式子在合数分解过程中的重要作用应给予充分肯定。如果合数A不是上面所指“特殊合数”时，那么此刻分解合数A的过程就需能够找出相对应数n与 m的值，然当n与 m的值仍是比较大时，就是用通式编制出程序进行合数A的分解，也是件很困难的事（就算它比起试除法要快捷得多）。就像《科学智慧火花栏目》组收到稿件三个月后所回复的那样：经专家审阅，认为本文所述方法繁琐，对于大奇数的分解没有实用价值。诚然，通过试算出n与 m的值来作到分解合数A，确实还具有一定的困难，但这并不是说就没有了更好的办法。笔者初步窥见分解合数A的端倪，下面（再次）相机介绍形如6N+1合数集合中的一类合数的快捷分解方法：
+ O5 s0 A6 b! q4 \" J若有P^2＜A＜T^2、T^2－A=D，且A为6N+1形的合数，若此合数存在2D=3T时，那么数A=（T/2）×（2T-3）。比如数A=783667，885^2＜783667＜886^2，T=886、D= T^2－A=1329，此时有2D=3T即2×1329=3×886，那么数A的分解算式为：783667=（886÷2）×（2×886-3）=443×1769。如果你有兴趣，请用上此法来分解此类型之更大的合数。
3 o& Q( A8 F7 g( V3 D. v0 }现在我们许多人都比较看好能够适用于更为有实用价值的东西，这固然很好。但在二百多年前，如果欧拉先生没能准确地看出《哥德巴赫猜想》的真谛，那么素数——这一数学上的明珠了，也许直到今天也很难闪耀出它那夺目的光芒。
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8 D0 I* E$ p" }# F- ^6 w二○一二年九月二十二日

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- ~: i7 r4 u6 B% |8 w诚然可用此一性质找到更大的素数哟！
1 r1 [! K: d3 C' t0 n请分解A=（10+4n）^2-D，这里的 D=（10+4n）÷2×3，n=1、2、3、4、5、6……。

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51384389101=（10+4×56668）^2-(10+4×56668)÷2×3，因此51384389101=[（10+4×56668）÷2]×[2×（10+4×56668）-3]=113341×453361

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在这里笔者暂把有关于分解数A的几个关系数统称如下：T^2称为临点完全平方数，T称为数A的临点平方根数，简称为根数；D称为分解数A的黄金数；n称为子数n，m称为子数m；若有A=2N+1，称N为判别数。诚然，通过试算（举列）出子数n与 m的值来作到分解合数A，确实还具有一定的困难，或者说是这样子对于合数A的分解不会起到直接的作用。（原因是子数n与 m的值往往会很大）通过大量的例证，笔者发现数A两个因数的差的大小与子数n与 m的值有关联：子数n与 m的值随两个因数之差增大而增大，增大最明显的是子数m的值。但是话又说回来，当数A比较大的数如是一个100位数的合数时，而它两个因数之差特别小时，如是孪生数，那么m的值可以是0。因此不是每一个大数的分解是多么的难，关键还要看这样的大数本身的两个因数之差是否很大，差越小，利用上述通式能更快的分解合数A=（T-n)(T+n+2m).

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而事实上，关于合数的分解就是关于数A的根数T与黄金数D的分解过程：所有数A=T^2-D存在两种要素,1、要么根数T与黄金数D互质；2、要么根数T与黄金数D存在公因数，这时它们的公因数就是数A的分解因数。如A=8928061=2988^2-83，T=2988,D=83，T与D公因数是83，则8928061的一个因数也是83：8928061=83*107567。

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为何形如n^2=81的方程我们可以不通过代入法便能解得n=9呢？那是因为我们已掌握了平方数的开根之法。而式子m=(n^2-D)/2(T-n)是合数A的分解通式，因为我们暂没有该式的通解之法，并且该式又包含两个待解子数n和m，所以如用举例法来解答该式诚然不是个好办法。
若想通过通式m=(n^2-D)/2(T-n)来分解数A还必然要找出子数n或m的准确数值来。笔者通过大量举证、验算，近来得出一种较为快捷求解数A的列举法。可以说一个较大且复杂（子数n和m都较大）的数A有望在短时间内得到有效地分解，就是说大数的分解基本是可以解决的。
/ h0 ?0 f1 n$ }1 @$ z该法通俗的设想是这样子的：1、通过计算能得出子数子数n的取值范围（如n是一个六十位至一百位以内的数）2、可以得到一个关系式（这个关系式的解是六十位至一百位数链以内某一数段上的连续数链。比如说从七十位到九十位上的数链满足该式）3、怎样确定该数链的取值范围呢？方法是：在六十位至一百位数段之间先确定一个基点数，比如取八十位上某一个数作为基点数代入关系式，得解；再取从六十位到该基点数范围以内的中间一个数作为第二个基点数，得解；如此类推下去（比如说有一个关系式，它的解是1至100以内某一数段的连续自然数，有可能是10至80或50至70等等，我的做法是先取某一个数如60作为第一个基点数试解，如得解，再取1至60的中间数作为第二个基点数试解，如此类推来找出该式最小的整数解比方是10（或50），则10（或50）便是我们所能要找的数A的子数n的准确值，从而解决数A的分解过程。
" K  e; U5 d; ~1 a4 s$ m6 N, D# `所以说一个子数n很大的合数A（n往往远比m小），我们通过用通式m=(n^2-D)/2(T-n)来待分解数A具有不确定的困难，但是用上述子数n分割法相信一定给数A的分解带来很大的方便，通式m=(n^2-D)/2(T-n)不是分割法，但是通过该通式可以得到一个适用于分割子数n的关系式，这个思路近方寻得，不知可行否。由于个人水平问题，上面所描述如有不恰当处请谅解。

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比如在正整数范围内，有数A=13167951871=114752^2-69633，此时T=114752,D=69633。运用通式m=(n^2-D)/2(T-n)来分解数A，过程复杂，这时n=114721，m=212271584，所以数A分解式为A=13167951871=（T－n）×（T+n+2m）=（114752-114721）×（114752+114721+2×212271584）=31×424772641。
. \* b; H$ B4 |) L试用分割子数n的方法对数A进行分解：1、子数n的取值范围：264≦n≦114749，因为D=69633是个奇数，那么子数n也是一个奇数。2、分割子数n的关系式： 4y^2+4y+1-n^2=0（虽然n=3有整数解，但它不是子数n的取值范围）3、采用分割法确定子数n的最小值：把264≦n≦114749分割成三份，取第三份38250≦n≦114749的第一个数值n =38251作为第一个基点数代入上面关系式4y^2+4y+1-n^2=0，即4y^2+4y+1-38251^2=0没有整数解；再把38250≦n≦114749分割二份，取中间数n =76501作为第二个基点数代入关系式4y^2+4y+1-n^2=0，即4y^2+4y+1-76501^2=0没有整数解；……依此推当取到114721≦n≦114749时，即n=114721（最小）时4y^2+4y+1-114721^2=0 有解（y=57360）。从而找到子数n=114721，所以数A的一个分解因数就是T-n=114752-114721=31。

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8楼以下观点有误：2、分割子数n的关系式： 4y^2+4y+1-n^2=0（虽然n=3有整数解，但它不是子数n的取值范围）3、采用分割法确定子数n的最小值：把264≦n≦114749分割成三份，取第三份38250≦n≦114749的第一个数值n =38251作为第一个基点数代入上面关系式4y^2+4y+1-n^2=0，即4y^2+4y+1-38251^2=0没有整数解；再把38250≦n≦114749分割二份，取中间数n =76501作为第二个基点数代入关系式4y^2+4y+1-n^2=0，即4y^2+4y+1-76501^2=0没有整数解；……依此推当取到114721≦n≦114749时，即n=114721（最小）时4y^2+4y+1-114721^2=0 有解（y=57360）。从而找到子数n=114721，所以数A的一个分解因数就是T-n=114752-114721=31。

敬请谅解！！

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最有价值的因子数链
+ P$ _6 p5 P3 e  F海南省乐东保显学校  陈泽辉

- a. L/ d" D4 E4 U5 f2 F" D' o! z我们知道，在整数范围内，偶数可以用式子2x表示；奇数可以用2x-1表示。我们还知道所有的偶数都有公因数2，但是想要对一个奇数进行分解往往不是一件很容易的事。
笔者在探究奇数分解的过程中，发现两条有趣的“孪生”奇合数数链。第一条“孪生”奇合数数链表达式为：A=16c^2+6c-1（A为第一条“孪生”数链上所有奇数，c为整数，此时数A的一个较小因子就是2 c+1）如奇合数链数A为15、75、161、279……时， 有15=16c^2+6c-1、75=16c^2+6c-1、161=16c^2+6c-1、279=16c^2+6c-1、……这时c的整数解分别为1、2、3、4……那么数A其中一个较小的因子是2 c+1，即数链A的因子依次是3、5、7、9……。
6 C& a8 Y$ D2 j) H( }- X也就是说，用因子是3、5、7、9、……（2 c+1）的特殊奇合数，可以组合成两条奇合数数链（上面是第一条数链），其中一条奇合数数链表达式为：A=16c^2+6c-1。
可以肯定的是，这给某些较大的奇合数的分解带来了极大的方便。但是我们也要知道，这两条奇合数链上的数是极其少的，因此它不是所有奇合数的分解表达式。笔者通过许多检验，发现奇合数的分解亦主要以这两条数链为中心展开。