数学分析

LJX2013

数学分析部分： 从数学分析的课本讲起吧.复旦自己的课本应该可以从 六十年代上海科技出的算起 (指正式出版),那本书在香港 等地翻印后反应据说非常好,
似乎丘成桐先生做学生的时候
也曾收益与此.
# m) I( U4 L& f2 w( w到90年代市面上还能看到的课本
里面,有一套陈传璋先生等编的,
可能就是上面的书的新版,交大的
. c" M4 o) \9 T) c& ?: V试点班有几年就拿该书做教材.
另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生
& r& r1 s% x( H2 w的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的
. C/ l! b3 O- i& s2 p% O8 S) `课本,好象后来数学系不用了,
: [/ x' V! V3 G; v" V( z计算机系倒还在用.那本书里面
据说积分的第二中值定理的陈述
6 w; ~9 H& D$ m5 P9 L有点小错.
; X" V- w0 h5 O5 A3 ^0 B# M1 p总的说来,这些书里面都可以看到
/ Z. N( ?* u  o/ X, E! }6 |一本书的影子,就是
- Z: B8 w. u' S1 n7 w6 i( c菲赫今哥尔茨的"数学分析原理",
. z5 Q; z' K0 C* |4 i# S1 L; n其原因,按照秦老师的说法,是最初
在搞教材建设的时候,北大选的"模本"
是辛钦的"数学分析简明教程",
而复旦则选了"数学分析原理".
后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的
那本数学分析.我不否认那是一种尝试,
' t! Y& v" m5 R! g" g% k& @, y但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点
来看数学分析这样经典的内容在国际上
的确是一种潮流,但是从这个意义上说
该书做得并不是非常好.而且从整体的
6 Y& w: B1 w9 A; g2 ]  s课程体系上说,在后面有实变函数这样
( Q. M8 b* B& O: c  w一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue
积分值得商榷.
  
下面开始讲一些课本,或者说参考书:
) K% X5 B* f/ T4 T1.菲赫今哥尔茨
2 o& C( J% K- Q"微积分学教程","数学分析原理".
7 L7 ?9 V. u- O  Q& @) q前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;
6 X* E6 l4 W/ Z% }& w后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.
此书堪称经典.
"微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者
列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括
后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch)
都承认不太合适作为教材,为此他才给出了
4 r! z' a+ ]/ E& @* f8 a能够做教材的后一套书,可以说是一个
精简的版本(有所补充的是在最后给出了
一个后续课程的简介).
- x- ^% W" ?9 y  c: x: R相信直到今天,很多老师在开课的时候
1 k1 N' P7 M/ N# p) F; W& I还是会去找"微积分学教程",因为里面
的各种各样的例题实在太多了.如果想
比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的
0 s" k% b# t1 `3 d例题当做有答案的习题来做,当然不是每道
6 H. @3 U- y3 V) v! h$ o, e8 H题都可以这么办的.如果你全部做完了
# \1 |# N% b! C& Y那里的题目然后考试的时候碰到你做过的
可别怪我.
& g: J  \+ Z  q$ I& c毫无疑问,这套书代表了以古典的方式
处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)
, \( v8 Q- x3 f: N( P- _的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万
计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了.
这两套书在理图里面都有.
  G4 w& Z5 n0 D1 g( E& [2.Apostol
"Mathematical Analysis"
在西方(西欧和美国),这应该算得上是
一本相当完整的课本了,在总书库里面
6 ?7 A; f1 @% `# Q) D5 ~有.
3.W.Rudin
1 Y& l0 f  ]6 V/ H9 K"Principles of Mathematical Analysis"
(有中译本:卢丁"数学分析原理",理图里有)
这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到,
/ `/ k2 v* |9 M7 J这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,
- e  _; z. d, V$ p(指一些符号,术语的运用)也是很好的.
$ Q, U0 `8 ^) R! \这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是
后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的"高等数学",
( B( z* Q* f' c- `1 y& q5 Y" k虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里
想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的
$ R; W1 y0 m  F' _0 G1 I, Yddmm有所帮助:就是学完"高等数学"以后,可以
* E. |" Y& o' F( B找一本西方advanced calculus水平的书来看,
基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师
曾特别指出Rudin的书.
说到Advaced Calculus,在这个标题下面有一本书也是
% t& g4 e3 y9 J  a3 y2 R" e+ m可以一看的,就是
L.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus,
其第一版在总书库里面有不少,第二版在理图
2 h5 M9 w, i" S  f4 O4 B4 t外国教材中心有一本,系资料室是不是有不清楚.
7 A5 A2 V% f* C% f这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的
课本.
  
4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等
"数学分析习题集","数学分析习题课教材".
北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西
还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇
并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题
8 H5 k& k! p3 F" A" m5 H8 p(一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的
习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,
原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数
: X/ |4 C' j& a( B! e收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就
要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也
9 Q9 g/ d$ P, l4 k是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答,
9 J! q; ^) @% c, Z96年那会理图里面有一本,现在不知道怎么样了.
5.克莱鲍尔"数学分析"
记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.
理图里有.
# d. f2 {& x" v6 M! Y3 m# ^6.张筑生"数学分析新讲"(共三册)
我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,
张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多
% F' D$ ]* p/ q; E五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的
; W- k" ^6 j, {. t$ r) D是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了"都
云作者痴,谁解其中味".在这套书里,对于许多材料的
, v  u# L/ @6 Q处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的
! v, w6 V+ B" ]6 H遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根
3 P& p- ?+ ?, _& `2 p9 n本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看.
理图里有.
  
下面的一些书可能是比较"新颖"的.
7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)"
理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于
80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,
人家是苏联科学院院士.
7b."数学分析"
; A2 M1 H* T7 R; g4 a8 \" e- M忘了是谁写的了, 也是苏联的,莫斯科大学的教材.
理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限
的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉
' D1 G" {# G2 `& |6 o/ k到观点非常的"高".
5 W. W/ b9 T. q, J8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)"
  {; X, u* U# H9 T, D% R那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,
2 B( g, b' ?) l9 h8 [用的术语相当"高深",可能等以后学了实变,泛函再
回过头来看感觉会更好一些.
9.说两句关于非数学专业的高等数学.
" D; v" a5 V. [3 k9 l这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书.
, h4 x5 O% d; ]' }因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,
0 n# S& a; P. X中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不
/ D, f: y: l* `/ H分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有
J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷)或者叫
"普通数学"(理图里面有一套书就是这个标题),
其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课
* E! H1 B+ |5 n; O7 s! A2 E# j之间.
  
10.再补充一个技术性的小问题.对于函数项级数收敛,
一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫
  B8 N5 M# Z( M* ^' G"亚一致收敛性",在"微积分学教程"里面提了一句,
/ o4 ?7 f7 W: S其详细讨论,似乎仅见于
鲁金(Lusin)的"实变函数论"
  S* L) L& Q2 }) R& q! H里面,总书库里面有.
11.华罗庚先生的"高等数学引论"第一卷
这套书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初
华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时
* g: D; L( B4 O- A" e! Q% [2 l; n3 r* G的讲义.那时候他们做过一个实验,就是一个教授
: E* F8 A9 Z2 {7 e3 v负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实
是涉及很多方面的(附带提一句,另外两位负责过一
4 }( S: v7 f$ x4 i' Z届学生的是关肇直先生和吴文俊先生).也是出于
/ D) B7 W. t" M; X一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统
6 u# N) I0 r" p2 U教学内容的东西,还包括一些应用.可以一读.
理图里有.
12.何琛,史济怀,徐森林
"数学分析"
这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大,
) o& t  W" ]1 ^) ]% r2 P) H) P我本人还是很喜欢的,高一的时候第一次学数分
( E# @; L$ |8 P- A# n( y4 e就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好.
: ], Y7 V+ F7 n& @( p: b印刷质量也相当不错.可惜的是学校里面没有,所以
$ S; Y/ C5 c  x7 |/ \2 W6 k  j. H放在最后.
  
2 O1 F# B4 A( i2 P==============================================
空间解析几何部分：
4 z) U4 }  y3 [$ k3 d6 g& I
% @5 ^; z7 c5 m/ G2 K' `8 a空间解析几何实在是一门太经典,
或者说古典的课.从教学内容上说,
1 {, L& _  h4 T可以认为它描述的主要是三维欧氏
空间里面的一些基本常识,包括最
3 Y! h* L+ J( G0 U2 ^$ {基本的线性变换(那是线性代数的特例),
1 D; u! |  v* S! q6 U和二阶曲面的不变量理论.在现行
8 C2 v' M* c6 q; Q" L  F4 T3 ~的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的
$ h7 o: K* s/ }0 m  r) @* Q"空间解析几何"里面,最后还有一章讲
% O: q/ ]+ v  a) \0 J6 f+ g射影几何.
这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的.
) o- c! }; I2 Y: g# |  o# T特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影
1 @" U* a) F" Y1 I. {6 Q+ T0 j1 d- ?的内容还不是很好念的.
- S% r! U. C! i, M6 |) c; N当然,这里还要提到十来年前大概
) N# G( v, [9 C2 t) w! `做过教材的一本书:
' A; |9 `0 s, Z# A0 a项武义,潘养廉等
0 I3 ?7 r- q* U+ d: ^. s& A; g"古典几何学".
9 `# ~0 V  _, Y" R  e" [这书的内容与课本不是很一样,不过处理方法还是
; j! V( f  z' i- [1 d  z5 d很不错的.项先生应当算做很能侃的那种类型的.
可以考虑的参考书包括:
1.陈(受鸟)
! `; O  Y; d2 `& D* }+ F"空间解析几何学"
: q& @& B$ C* f/ Q; f' E/ Q* f6 K内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.
7 `6 l6 n6 \7 a& J, L3 ~, ~* v) c# L陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长)
的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.
2. 於ρ*
"解析几何学"
这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,
连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面
  ]$ |* m2 E( S) h$ u的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话).
$ s3 e1 _7 L& X# s# |* r3 e朱先生相当有才华,可惜英年早逝.
, P% v; G/ @5 Y$ A: I  
+ j0 m1 S. a0 E" g2 Q6 v关于数学分析的习题,还有一本书,就是
  O; f' ^) N; i" F# yG.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
"数学分析中的问题和定理"
$ s2 Y5 F& {3 i2 C  r" L" Q在学习数学分析的阶段,可以考虑其第一卷的
前面一半,后面就全是复变的东西了.
: z* y# ?( U. X9 R! a2 j该书的内容还是非常丰富的.
在历史上,这是一套曾经使好几代数学家
9 P: h) c+ B4 ?# A- ^8 }: L都受益匪浅的经典著作.这套书的一个好处就是
; J( g) }- ?4 w" h7 w7 n" k题目难归难,后面还是有答案或提示的.
" A' K7 S/ @, ?"微积分学教程"的第一卷有一册在理图里面似乎很少,
' a; \1 D) P: q$ P; \到总书库里面去看看吧!
8 a8 D/ m3 `1 ~" R$ jLoomis-Sternberg的书的书号是O172 L863
0 j) ~  U) b# G4 G8 X% }  
如果想了解比较"新"的动态,可以考虑
: F' H6 R" ?: \6 o( |3.Postnikov
"解析几何学与线性代数(?)"(第一学期)
# Y% s! g3 z. q6 y9 d这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看
出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的
学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早
是要给吃到线性代数里面去的.
海外教材中心有一本英文本.
我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早
+ F" x, E! Z( C( s9 [* n是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最
; ^. v: d2 O- ~) l. R糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.
我相信所谓三维的"解析"几何的内容总有一天要
$ `5 ]' k1 _) u3 G7 G6 U下放到高中里面去.
上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话.
0 q# L; x8 ~$ ^( j( w可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多
1 b& k9 ]0 B7 Q5 @7 _; z2 l+ B2 v几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有
; Y9 Q! w6 ]0 t2 t/ m; C相当深刻的了解.
# Z( L! m' b/ L/ S$ q- H( }4. 衣∧*
9 b+ E0 @8 P8 h9 c7 |+ {; ?"(解析)几何学"
' W2 K6 c0 G7 r, y3 T" |8 x这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年
& N. @' X7 T/ C% s. g" S前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能
写的.总书库里面有.
5.穆斯海里什维利
$ |4 V7 O+ q, v- |"解析几何学教程"
& Y" ~8 x  n) T9 @% E. ^这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了.
3 y. y1 O7 j6 A, u7 n具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点
3 f& s% j# a/ V# P) L/ U3 U和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的
. [1 m- I0 H$ b而已).
  
==============================================
" \- ]! S' e& s: N) p6 a
高等代数部分：

0 }" S& i: n9 M' D/ T8 N6 |高等代数可以认为处理的是有限维
线性空间的理论.如果严格一点,
关于线性空间的理论应该叫线性代数,
再加上一点多项式理论(就是可以完完
全全算做代数的内容的)就叫高等代数了.
. \  v- P- Y' H% h# a$ @" K: z这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra,
8 F7 L9 H+ n3 `7 u% [; L# c就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国
教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的
' S  p1 T% w! ~2 ~" qHigher Algebra.
现在用的课本好象是北大的"高等代数"(第二版?).
8 `3 Z% C% V2 e0 j4 q- M用外校的课本在基础课里面是不常见的.
这本书可以说是四平八稳,基本上该讲
的都讲了.但是你要说它有什么地方讲
6 J# N/ k! G6 C* C- C1 H. V& R- A的特别好,恐怕说不出来.
% E4 y" |7 h- B1 Z/ y" {值得注意的是95-96学年度,北大现在的
9 Z/ M4 ]! B( a4 c7 {+ P$ b: f校党委组织部长王杰老师(段学复先生
! g) A: y9 G3 o的弟子)给北大数学科学学院95级1班
4 R6 f! G0 S& s* d( x) O/ |开课时曾经写过一本补充材料,把空
" F! T# w/ X% c- s: l间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到
的话翻印出来是件很好的事情(我的那
  m. J+ `- ~! e  G本舒五昌老师给96开课的时候送给他
了,估计是找不到了).
  
+ `  J! m& |3 b% x好象上面有一点说得不对,就是北大的书用的
还是第一版.第二版在书店里似乎看见过.
3 M& X, \7 o3 U' s' j5 |, Y* t从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.
线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在
定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一
个矩阵的表示.因此这门课的确是可以
8 v* j' e& O  K1 Y建立在矩阵论上的.
3 g% |7 I7 g. D9 f4 ^& r, s而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.
复旦以前有两本课本就是这么做的.
1.蒋尔雄,吴景琨等
3 }7 j8 `8 R" {! I"线性代数"
这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比
: [  u% P1 w8 X) }1 @9 D数学专业相应的课程要高的.
因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.
5 a# H" I2 ]% V1 d) j! l我个人以为还是比较有意思的.理图里有.
2. 啦 埙等
9 Q; x6 u) W9 [; M"高等代数"
这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里
讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里
  c. d1 z5 j' d可能可以买到翻印的.
1 b* g- K" |5 [; _  D8 J9 s这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量
习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面
( T, t/ O3 R; ~; l0 @! D的习题做完对于理解矩阵的
+ B( j  \9 L, }7 T' c4 S3 |各种各样的性质是非常有益的.
$ \, R% A+ W6 n& n" h; H当然这不是很容易的:
  ^. }! o$ O* u% t据说屠先生退休的时候留下这么句话:"今后如果有谁
开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话
可以来找我."有此可见一斑.
4 A' r7 o/ \, ~3 f8 P8 m2 J  
如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,
那么下面这本应该说是比较适当的.
3. 啦 埙等
"线性代数-方法导引"
: g: a/ _$ r- l; |) |这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也
更"实际"一些.值得一做.
另外,讲到矩阵论.就必须提到
( `# C/ K9 K% H+ [6 M% X: j4.甘特玛赫尔"矩阵论"
我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者
是柯召先生.
& }% [4 Y8 \1 |1 W. R在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳
( Q2 }7 _7 }5 w5 [& r入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan
! H& |, x) ~6 }% L( B# s, z标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩
0 r6 o0 }2 o7 V3 S" G阵该怎么求?请看"矩阵论".
: `) g1 ?7 w" M这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.
总书库里有.
图书馆里面还有一本书的名字和矩阵论沾边.
/ z  i8 Z- T6 G; k8 z3 K, g5.许以超
"线性代数和矩阵论"
虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国
' W8 X; Z- n5 }7 Z- l念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,
6 \2 q: e1 h# {+ {" J现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还
是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于
空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.
1 w; ?: G, u* K; H2 N. G- a  
4 r% a) u  S1 o8 Z6.华罗庚
: n" P- I% X; Y1 H"高等数学引论"
华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在
矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你
9 P1 ~+ g9 _8 }8 ^! H: n3 E只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.
可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的
(不记得是不是在这本书里面了):
, T8 O, M! _! f/ h+ {1 Fn阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个
+ O* }* w5 S( {8 s把一组标准基映到1的反对称线性函数.
) g$ Y4 g& Q( B* P这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.
高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如
$ b7 q) B. z' O1 l8 p' S7.贾柯勃逊(N.Jacobson)
Lectures on Abstract Algebra ,II:Linear Algebra
GTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31
("抽象代数学"第二卷:线性代数)
这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面
2 ?7 C5 L+ H. ^3 i已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了.
此书英文版总书库里有,中文版(字体未完全简化)理图里有.
/ }& J$ \  Q5 k1 \8.Greub
& T) m; J, T6 CLinear Algebra(GTM23)
+ f) }7 ]  a- K# T这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是
值得一读的.
  
还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有:
& I( q- L& h7 j% d  b) }8 t9.丘维声
"高等代数"(上,下)
' ]" B: z/ |7 G5 m北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向
. a) G7 o3 D% r) B; C) @! d% Y没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些
几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.
5 o3 k0 x4 r, I5 m8 {$ a10.李炯生,查建国
! C* X! O& u7 X6 Y# k& @"线性代数"
/ X3 i1 @' @; c& j$ _; {这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些
- L( u6 A! f/ B& G* ^" }! U内容的处理在国内可能书属于相当先进的了.
  
1 Q# t# ~) d  C" U! C+ S7 z0 L# P==============================================
( U# Y1 w: n6 N4 a( O' w
) M# \  A5 u9 ]- h9 E常微分方程部分：
- I8 r0 z# ~+ |
) H! C8 N/ L! }* I* |7 f从常微分方程开始,数学课就变成
没底的东西,每一个标题做下去都
; L6 a  J1 }3 P是数学研究里面庞大的一块.
1 t0 c% ^+ S6 e+ a, U对于一门基本课程应该讲些
什么也始终讨论不断.
这里我打算还是从现行课本讲起.
常微分方程这门课,金福临先生
和李迅经先生在六十年代写过
( c  C7 D$ A, m; X( C* s6 A! W& e一本课本,后来在八十年代由
6 o6 J9 [) V, ]$ b" g控制那一块的老师们修订了
一下,变成第二版,就是现在常用的课本.
! M0 e4 K. I. n3 \2 {# e$ t上海科技出版社出版.
应该说,金先生他们的第一版在今天
7 h, m$ N% D) B/ ?$ d看来还是很好的一本课本(这本书估计
6 x( `) O& \9 B4 F9 a/ N. d受了下面的一本参考书
# V5 R, j- x! q# s的不小的影响), 该书在理图老分类的
那一块里有.
, j$ v5 r' J% I7 @$ I! N但是第二版有那么点不敢恭维.
不知为什么,似乎这本书对具体
+ ~- k) p" |% y5 q" j方程的求解特别感兴趣,对于一
些比较"现代"的观点,比如定性的
讨论等等相当地不重视.最有那么
/ F6 e6 x' |! b# Q! C* k点好笑的是在某个例子中(好象是
介绍Green函数方法的),在解完了之
7 Z) h5 k) G8 r& v* [! I! m后话锋一转,说"这个题其实按下面
的办法解更简单..."
9 R# r' ^$ [. Q( L; J% N( t( W, A而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的.
% \* e9 B0 L/ D7 ~; ]1 [  
现代数学的一大特色即是已经
, f) o" \5 d: s* ]8 v) \完全建立了一套自己的表达方式.
( V0 \5 ]% \+ Z% e4 {1 q没有一个学科象数学这样创造了
这么多的概念.
现代数学的传播的一大困难也在
与此,要向一个非本行(哪怕是
数学里另外一个分支的专家)解释
8 B2 C; v; \/ B3 r2 L  B  [清楚一个概念恐怕也要费上半天口舌.
2 ~+ T2 b) s# L1 I但在另外一方面数学是如此有用,
# R9 S" h: S" Y- S; m2 c而且数学的抽象性使得一个数学
) C7 y4 D3 V" h! |, x" p观点往往可以表征其它学科的许多
# @! j+ ~+ ^! C6 @7 }5 d看似毫无关系的对象.所以现代数学
+ N8 b+ y7 B8 ]6 Q2 p6 L" r还是挺值得一学的.
自学不是一件容易的事情,特别是自学数学.
从动机上说,如果是想系统学一下大学数学系
+ @" L! h) e! U: N7 |9 p8 h的课程的话.我的建议还是跟班听课,这比自己
$ n3 |# }/ L' X4 W找书看要省力的多.在可以考虑的书籍方面,
# u, c7 U1 G7 W2 T  y以前上海科技出版社出过一套
1."大学数学自学丛书"
应当说编得是不错的.
* p- l# z1 {+ p: |9 _至于具体该怎么学,这里我不敢多说,建议参考
8 L# n6 d* J1 j6 B$ f8 T2.赵慈庚, 於ρ*
! Q! D. g! z. w5 M2 D"大学数学自学指南"
" m, m! _& k; y8 ]0 }赵先生是上面那套书的主编,这本书基本上
以上面那套书为蓝本,也给出了一些参考书.
关键是对每一门课的具体内容都有一个详细说明.
6 E3 t$ n" H: [6 V; ?! @2 Z) g好象是高等教育出的.
  
下面转到欧美方面,
7 G% q  b; o7 w$ \1 }# ?3.Coddington & Levinson
5 Z5 l, N4 D1 Y: z$ f1 J( M( }4 K# C"Theory of Ordinary Differnetial Equations"
这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典,
4 I1 \% r+ @# L1 }数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看
着办吧.
比较"现代"的表述有
4.Hirsh & Smale
/ v7 E. s8 x+ t6 T  f) M  a, \"Differential Equations ,Linear Algebra and
Dynamical Systems"
(中译本"微分方程,线性代数和动力系统")
这两位重量级人物写的书其实一点都不难念,
2 _+ G5 E! }2 D/ V9 ^非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的.
关于作者嘛, 可以提一句,Smale现在在香港
城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他
4 X6 L. {3 M! j0 [8 l为在中国领土上工作的最重要的数学家应该
没有什么疑问.
图书馆里有中译本.
4 ?$ r: \; [6 ]! R4 D  
5.Arnol'd
$ [3 w' ?1 g/ ^4 T* `; F, c0 M2 {2 ?"常微分方程"
6 M* `3 y% [' R. N! R必须承认,我对Arnol'd是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生,
他们两就占了KAM里的两个字母.他写的书,特别是一些教材
以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把
) S3 q2 n0 B$ S$ l6 c  m相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我
; ~7 i$ n% Y9 W/ O& c- s$ }  {也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常
0 F; h* e; Z0 ~( H& v6 e0 F喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候
就和其它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相
) s# A$ l! z) D: a2 n$ Q  q0 ]" H教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:Anosov,
( U7 K' S, ?# e' B. P: ^0 ?" A' PArnol'd,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可见
互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何
( f/ i+ I* \# A6 z' B化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol'd
对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话
说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生
  t& d( P$ m. q+ F7 S* F" p; s3 z们都是这么说的.
* W2 \5 A0 _: z9 X这本书理图里有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高,
9 |2 w; J  w' M竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话.
1 d+ |0 }5 N) [再说一句,Arnol'd的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...."
的,程度要深得多.
看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人
2 \/ T- O& g. ]. W8 I5 Q自己的值得一看的课本吗?答曰Yes.
6.丁同仁,李承治
6 F# q2 r5 W! p5 `5 _" Z"常微分方程教程"
这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,
+ l, G3 H6 R$ M0 a8 e( z& [观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方,
7 w# b9 \, |! D. D4 u袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问.
附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次(?)印刷的,
; F7 y. X$ J. F. J( ^$ M, {  B! \: C里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动.
  
- X1 _# Z# `. A8 E6 M: [再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看
7.卡姆克(Kamke)
  ?5 S; k& O5 Z3 Q0 `! O& t常微分方程手册,那里面的方程多得不可胜数,
理图里有.
7 h" c6 V8 T: c( l0 y对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是
. I* B% B$ V- O8 ^) C) i* x2 ^和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程,
现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉.
我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学
& T' L9 L7 ]* D: w; `- o) a6 @物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里.
, l/ ], `/ w4 v2 l# u: `事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解
: X& y  R( w) J% {6 r* w" _这些特殊函数系的"完备性",象
: u# m4 G, u- @- f- J8.Courant-Hilbert
"数学物理方法"第一卷
可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来
并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点
% k. {  M4 m) |, R2 |# p  J可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数
一个方法学起来更容易一些.
而且,
7 J# ~5 K7 j4 e. g& F7 L9 E1 E7 `* E% A9.王竹溪,郭敦仁
0 R) _! J& N& ?) ?! M"特殊函数概论"
# x% {- x& t" j' _. l的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质
了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去
. }+ X& L' c7 h9 \$ J查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,
/ w9 U! {. g0 Q: k看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:
"(70年代末)...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的
'特殊函数概论'...从此这本书就一直在我的书架
上,...经常在里面寻找我需要的结论..."
+ i: g( C) q$ v/ q4 _连他老先生都如此,何况我们?
8 ^2 N* Y; {" U; U% F  L上面这两本书理图里面都有,9.的英文版系资料室
  N1 |3 {+ C$ D" q有一本.
  
9 W- n" T4 M7 e9 s! I% m& q下面开始说参考书,毫无疑问,
3 J2 y7 i; h5 C  o9 b5 c我们还是得从我们强大的北方
; o* @, B( I+ J# m# S邻国说起.
: r- Q. ]% K: \% ?$ |8 W1.彼得罗夫斯基
"常微分方程讲义"
在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长
9 ^7 A* E! z, r* d; w占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他
在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生
去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班.
他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年
6 F, b! f! _- ~; O的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就
( [& Q. t/ O! ^  [利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了
3 @; k- ?4 u1 |4 D% ]; P% ~7 E! V2 L一个保护伞,他本人也以一个非共产党员得以做
7 G% T/ Z0 f& l( j! ~" L" o到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个
天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的.
/ P: h( {; N" T5 O* T3 k6 q, \2 r他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能
和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术
& q; w% q; r1 B0 R, w' t% g! N( I官僚作风,讲法不是非常活泼.
2.庞特里亚金
# k6 Q8 v: T: G. U. ?% c"常微分方程"
% R3 p- V; Q/ U6 e, F: w( t庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故
% p" @& v- _: t7 y; R( @双目失明,在母亲的鼓励和帮助下,他以惊人
的毅力走上了数学道路,别的不说,光看看他给
' s, ~% U+ w& ]( b' V( f后人留下的"连续群","最佳过程的数学理论",
* E6 x. }" p: h$ M4 q4 S7 _1 N你就不得不对他佩服得五体投地,有六体也投
- \# _  o8 }0 [. }) N  O" l下来了.他的这本课本就是李迅经先生他们翻译的.
此书影响过很多我们的老师辈的人物,也很大的
% a4 r" e" Q$ G+ A* F& a影响了复旦的课本.如果对没有完全简化的字
, n+ t# N6 J6 [不感冒的话绝对值得一读.
$ ?6 v$ P9 H( z4 M
==============================================

复变函数部分：
6 l9 y+ v3 J& t. j0 y: _1 R+ T, @  
单复变函数论从它诞生之日
- \$ D  Z; }9 b. R0 @" t! h/ X) o(1811年的某天Gauss给Bessel写
1 T! Y* Y  e2 o3 u% D2 w- R了封信,说"我们应当给'虚'数i以实数
5 p/ u! i! J8 Y4 W* V一样的地位...")就成为数学的核心,
上个世纪的大师们基本上都在这一领域里
9 ~- Y4 Y" g( P. N留下了一些东西,因此数学的这个分支
在本世纪初的时候已经基本上成形了.
到那时为止的成果基本上都是学数学的学生
必修的东西.
复旦现在这门课是张锦豪老师教.
6 A6 M2 d, x0 g: s) d/ t# o张老师是做多复变的.毫无疑问,
多复变在二十世纪的数学里也
占有相当重要的地位,不仅它自身的
5 s& u* w6 G) b# i* H内容非常丰富,在其它分支中的应用也
是相当多的--举个例子就是Penrose的
* K! o( l% \; ]  y/ o# YSpinor理论,基本上就是一个复分析的
问题.这就扯远了,就此打住.
张老师用的是他自己的讲义,那
" o% u2 e% T: M1 l( \! P书要到今年夏天才能印出来.所以
还是这两年上过这门课的ddmm来
7 N* Y% r+ T- m7 i9 x谈谈感受比较好.
3 d& c, B6 p) ~2 [% E9 J: w现在具体的情况我不是很清楚,复旦
以前有一本
; y* g& Z3 q) q$ {# D1.范莉莉,何成奇
9 l* x7 c% Z2 C: w% D4 k2 y"复变函数论"
这是上海科技出版的那套书里面的复变.
& ^% h6 J% Y7 k2 A' ]( ]- l今天回过头来看,这本书讲的东西也不是
' A) l8 J4 `; `很难,包括那些数量很不少的习题.
但是做为第一次
学的课本,应当说还不是很容易的.
总的说来,从书的序言里面列的参考书目
就可以看出两位先生是借鉴了不少国际
上的先进课本的.
不知道数学系的学生还发这本书吗?
/ A, }4 w! d2 e  
如果要列参考书的话,单复变的课本
真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧:
2.普里瓦洛夫
"复变函数(论)引论"
这是我们的老师辈做学生的时候的标准
课本.内容翔实,具有传统的苏联标准
课本的一切特征.听说过这么一个小故事:
2 ]4 C9 d2 Y% N6 K# W/ a 普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次
# Q' W2 F' t' `4 e; r9 G# O 期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,
7 E: i7 T! l1 K 无论是从教师还是从学生的角度来说),
有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝
般地问了一句"sin z有界无界?"此人
稀里糊涂地回答了一句"有界",就马上
被开回去了,实在是不幸之至.
这书不在理图就在总书库里面.
/ h6 G8 V4 u7 M3 L' o7 o 3.马库雪维奇
$ Z* v6 H2 ?) F. I' w; _' @ "解析函数论(教程?)"
" \& u) j7 Y7 N7 I5 y1 d 这本厚似砖头的书可以在总书库里找到.
* l8 j( A' ?4 Z* t5 H4 I2 ] 它比上面这本要深不少.张老师说过,
以前学复变的学生用2.做课本,学完
后再看3.,然后就可以开始做研究了.
$ X% w( \& T$ Q 这本书的一个毛病是它喜欢用自己的
一套数学史,所以象Cauchy-Riemann方程
它也给换了个名字,好象是Euler-D'Alembert
" U2 Q5 q3 \9 y- f9 Q% ?7 _$ P! W2 h 吧!
$ B. r, U9 c/ X8 v# p1 ~  
  t. P! ~2 Q8 ^% d1 ~再说点西方的:
4.L.Alfors(阿尔福斯)
0 V- m$ O1 D6 U1 M3 V" t3 z1 x"Complex Analysis(复分析)"
$ G. v1 i6 c  @$ g# v0 ]这应该是用英语写的最经典的复分析教材.
- k* r' X9 x& }( e3 oAlfors是本世纪最重要的数学家之一
(仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的
人物之一),单复变及相关领域正好是他的专长.
他的这本课本从六十年代出第一版
9 j; K9 `! W" ~: N2 K1 @( C& H开始就好评如潮,总书库里面有英文的修订本,
: _7 M6 z4 _' c理图里面是不是有中译本(好象是张驰译的)
3 l8 X9 R6 v1 }) |- S) d记不清了,建议还是看英文的.
这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位
代表人物分别对应三种处理方式:Cauchy
4 I: x/ e% g6 l! q% ?+ |--积分公式;Riemann--几何化的处理;Weierstrass
--幂级数方法.这三种方法各有千秋,一半的
% Q3 H4 F2 b  r9 @* I$ k# a课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理
6 [! z0 E! t& W8 o可以说是相当好的.
; s+ {% X7 _& {( ~- B  b5.H.Cartan(亨利.嘉当)
"解析函数论引论"
: l: U( C! x  m" t) @这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人物
在二十世纪复分析的发展史上也占有很重
' `) x& W' F$ ?/ X9 Y* ~) m7 ?要的地位.他在多复变领域的很多工作是
: q& F/ k; j; Y开创性的.这本课本内容不是很深,从处理
方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作
1 s% ]; N3 P; x3 F(无论如何比那套"数学原理"好念多了:-))
7 u5 B1 j$ J$ [  i3 P# E/ E  
/ P0 d4 X. i# [( [) M. E" k. ]6.J.B.Conway
- s6 q; T# L4 H1 i" v& x' q( y6 A"Functions of One Complex Variable"(GTM 11)
"Functions of One Complex Variable,II"(GTM 159)
) u, e9 v8 l3 }* u* M9 I% w7 X# L(GTM=Graduate Mathematics Texts,
/ n  J1 s4 z5 h( J0 l是Springer-Verlag的一套丛书,后面的数字是编号)
第一卷也是1.的参考书目之一.作者后来又写
了第二卷.当然那里面讲述的内容就比较深一点了.
这本书第一卷基本上可以说是Cauchy+Weierstrass,
4 }. O5 V2 p2 O+ ?% x8 l对于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套东西
$ h. |' P- m/ A1 y- U要到第二卷里面才能看到.
7.K.Kodaira(小平邦彦)
"An Introduction to Complex Analysis"
这就是四年前张老师给我们94理基的7个人开课
是用的课本.Kodaira也是一位复分析大师,
也是Fields+Wolf.这本书属于"不深,但该学的
' P& {' K' Q/ ^  ?# c; J7 V基本上都有了"的那种类型.总书库或系资料室
: b' E- y' l& x1 J有.需要注意的是这本书(英译本)的印刷错误
: g* x4 M4 a3 b2 ]2 M相对多,250来页的书我曾经列出过100多处毛病.
由此我对此书的英译者F.Beardon极为不满,
$ Q7 r+ ]# }$ O5 V  Y8 K) g因为同样Beardon自己的一本"Complex Analysis"
我就找不出什么错.
  
# E) [# ^$ k- m" V# U人家的课本基本上就是这些了.下面说说习题
) `4 z; m: r  [- @/ U7 P9.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
"数学分析中的问题和定理"
第一卷的后半段就是单复变的相当高质量的
4 }& j7 h0 f& t. D+ B6 i: o+ y习题,第二卷的大部分也是,只不过那就有点
太过专门了而已.看看这本书的序言就可以多少
6 O# M8 v7 h  h/ Z' e体会到单复变的地位了.一般来说,里面的题目都
有答案或提示,不过我以为一般来说还是可以
4 b8 @" B$ F2 S$ e! G独立做出来的.
  b% K$ m+ `5 x0 D: a* |7 {) t10."解析函数论习题集"
实在不好意思,作者(大概是三个苏联人)的名字
忘了,这本书里面的题目相当多.
理图里面有,系资料室有一本英文的.
" o- ~3 l1 c) J' `其它的书我认为可以翻翻的包括
, s& k' B+ Q& k11.张南岳,陈怀惠
% U% J2 i! O" a  G"复变函数论选讲"
这是北大出版的研究生课本,基本上可以说和
上面提到的Conway的第二卷属于同一水平.
从内容上来看,
! Q. \: o1 e) {第一章"正规族",第二章"单连通区域的共形映射"
都是直接可以看的,第五章"整函数"同样如此.
7 O. H- E' a; U  d: t8 w0 j看一点第七章"Gamma函数和Riemann zeta函数"
( Y( z% G7 u5 L2 i. p3 G* \4 Q(这部分内容在6.里面也有),然后去看
12.J.-P. Serre(塞尔)
$ j( w# M% U/ A6 k"A course of Arithmetics"(数论教程)
  h& b1 G% Z4 o5 k" i. q第二部分的十来页东西就可以理解下述
Dirichlet定理的证明了:
"a,b互素,则{am+b}里有无穷多个素数"
0 F! b% ]6 o8 @/ a) ySerre也是本世纪杰出的复分析,代数几何,
代数专家.他28岁得Fields奖的记录至今还
没有人能够打破.他写的书一向以清晰著称.
: f7 e8 O/ W$ x* U3 V  
发信人: unix (  ), 信区: mathematics
8 k. j# j1 [3 q+ ~9 [  D+ Q* \偶记得国内的复变教材还有北大庄圻泰的<<复变函数>>, 不记得是不是和张南岳合
写的。应该是不错的， 习题较多。
科大严镇军也有一本<<复变函数>>也不错。
其他的复变书都大同小异，偶还记得有本钟玉泉的馆藏考贝最多。
7 T) _) R; X4 G( p( z" N: o  
在不牵涉到复流形理论和多复变的情况下,
理图里面还有
13.庄圻泰,何育瓒等
"复变函数论(专题?)选讲"
/ [9 L* I5 ?1 l6 u 差不多的题目应该有两本,一本肯定理图
; p" u" |4 t0 X/ P3 n4 s. P 里面是有的,比较薄,从Cauchy积分公式的
同伦,同调形式讲起,属提高性质.另外一
本记忆中就觉得太专门了点.
/ n" ?) y  u9 k$ r$ u3 l' c+ H5 P4 C 除此之外,讲单复变的还有两本书,
1 c3 D2 b4 Q- A" U' z0 b: G* J1 L 不过可能第一遍学的时候不是很适合看.
% f+ \# ]" G+ ~0 s. B. Q 图书馆里面都有.
14.W.Rudin
"Real and Complex Analysis"
4 ]$ \, A2 e6 y2 g* g/ C0 f+ r$ }+ O% d 必须承认,Rudin很会写书,这本书里面他把
对应与我们的复变,实变,泛函的许多东西
4 n5 v3 O( \/ N+ ^' ~0 Z! W$ | 都串在一起了.用泛函方法处理复变的基础
是某一个Riesz表示定理,在复旦的课本里面
" L- b5 X9 p) j: E' u. R: o 你要到研究生的泛函课本里(还不一定教)
才能找到那个命题.所以还是到学泛函的时候
- D0 G( i; ~# k) z: u+ Q, [& ]! k# Q 再谈吧!
15.L.Hormander
, ]! o+ \. {& ~1 { "An Introduction to Complex Analysis in Several Variables"
这是本标题下出现的第三位Fields+Wolf的人物.
. n( Y- I) o( w# t9 u, b/ J 他的这本多复变的课本也是经典,其工具主要是
' K6 Z: v8 k* Z) h$ d* R% [ 微分算子的L^2估计.这里有用的是它的第一章,
' R9 ~* K  l. X$ A/ X2 C6 _ 可以说第一次看这部分讲单复变的内容一般都会
有一种耳目一新的感觉.讲个细节,就是Cauchy
积分公式对于一般可微函数的推广叫Cauchy-Pompeiu
公式,基本上多复变的课本都会提到而单复变的
书都不讲.其实只要你看一下它的形式就会知道
这个公式的用处是很大的,不妨试试拿它来算一些
- T+ o" _1 M/ t- H3 n3 S8 D 奇异积分.
, m: a% d0 {7 V) L% p) M  
16.Titchmarch
"函数论"
) P- S! Y6 T9 S, D5 ]  H这是一本老书,相当有名.书中一半多的篇幅是讲复变的,
看看可以知道二十世纪上半叶的函数论是什么样子.
除此之外的意义是,程民德先生在他给陈建功先生做的
传中写到:"(三十年代的浙大)陈先生开的复分析课程
0 D; C8 Q9 ^: }几乎包括Titchmarch函数论除实函数外的全部内容.."
关于陈先生这位对今天复旦数学系的地位有至关重要
影响的先驱,等说实变的时候再谈吧!
# w' H* C0 P4 E17.戈鲁辛
* |" |1 @1 @5 V9 T, I"复变函数几何理论"
这本书也很老了.但是这本书的价值并不因时间的推移而改变.
作者也是很好的数学家,夏道行先生当年在苏联做得
' f8 s" u- \) m: Z最好的工作之一就是解决了戈鲁辛的两个猜想.
; y6 a$ U" ^. V总书库里面应该有,标题可能略有出入.
最后讲一本书,不知道复旦有没有:
17. R.Remmert
"Complex Analysis"(GTM,reading in mathematics)
4 o2 R) \. }5 k, I; Q+ JRemmert是德国的多复变专家,他的这本书一点也不深,
: G( y/ k+ ^5 i2 y$ K其最大特色是收集了很多历史资料,把许多概念的
来龙去脉交代的异常清楚.
  
2 Y9 q# U$ `3 e4 z8 R==============================================

* E/ J* s% U3 ~: v5 o组合基础部分：

这门课没读过,不过如果现在的课本还是
1.I.Tomescu
"组合学引论"
; Y$ Q9 s5 C) P7 P: {+ k# Y的话,倒还是想说两句的.
. {5 x- q2 y$ A首先,这是本很好的书,不管上不上这门课都值得一读.
其次,这本书的习题不是很好做的,特别是没有答案:)
5 U/ }8 \" L% B6 v) h  |$ U1 W(严肃的说,当你看到许多习题后面都标有人物,年代,
# J7 b/ h/ v) O! K/ N就该知道这些结果不是那么平凡的了)
/ O3 ^9 B1 c$ g作为补充,可以考虑
2.I.Tomescu
"Problem in graph theory and combinatorics(???)"
这本书有比较详细的提示和解答,
里面的题目也非常好,
高二的时候曾和一个哥们把里面的题目抄了一遍
6 B; Y% t. @0 j(当时条件简陋,没法复印的说...//sigh).
1 p0 D+ E. ^* ^( j, Q不过复旦是不是有我不是最清楚.
但是我可以肯定的是,下面这本书总书库里面
有很多:
3.Lovasz
: E! O5 S5 I. i% D$ N, F"Problems in Combinatorics(?)"
) s6 A, Z6 {- {" O" ^. Z! U& F( {3 N$ O这是本相当好的习题集,作者Lovasz是
3 J; i/ e8 c# x& T5 y  B唯一一个得过wolf奖的组合学家.
唯一的可能有麻烦的地方这本书的块头大
了点,不过千万不要被吓倒!
2 w4 t; y2 Y3 f/ p8 L+ T
==============================================

实变函数与泛函分析部分：

0 V  j/ s% m* l4 M6 C& n# Q6 Y这是数学系的学生学到的第一门
完全属于二十世纪的课程.
这门课程的重要性是不言而谕的.
! x$ ]- V3 Y  ^( L' G  v对于这门课程在中国的发展,
1 m, E& ]/ P$ \8 ^许多和复旦有密切关系的前辈都
$ T* V) B- M- y5 U$ v9 w做出过重要贡献.
5 y6 X, g: |0 u$ c  {; v在复旦开实分析课的第一人毫无疑问是
陈建功先生(1893-1971).作为中国现代数学的
$ o* V* f/ U$ ^0 {0 N) L, e4 A9 o先驱者,他在1914-1929年间三赴日本学习
现代数学,是在日本获得理学博士学位的第一个
外国学者.此后他回到浙大,和31年回国的苏先生
一起为中国现代数学的发展做出了极其重要的贡献.
2 t1 g. o9 s6 H- c5 M1 L+ {$ z6 q即便是在抗战最困难的时期,他们也没有放弃学术研究.
李约瑟当时称赞西南联大和浙大是东方的Oxford 和
0 c( K& ], Y+ L0 r) y: P7 R+ s+ yCambridge,陈先生在浙大的大弟子程民德先生说到
"这一光辉的称号,可以说是用难以数计的微弱的
1 g& d2 X( X( z4 C) C桐油灯光所照亮的".程先生为陈建功先生在
! Y7 u  u+ g! ^8 j( C* m1."中国现代数学家传"(第二卷)
6 D0 \6 y: j) Z4 t; a, V里面做了一篇传记,不可不读.
$ ]) E4 J5 M  j* @陈先生在浙大担负着极重的教学任务,在五十年代
5 \" c. j; w* i他把历年使用的讲义遍成书出版,这就是
) B/ |. ?- u$ _  y9 @) M2.陈建功
( a* K4 Z& d# M- d"实函数论"
, ^2 T% j. N+ q. \% _今天看来,这里面的内容是相当古典的,
但是其中很多东西的讲法到今天还是很好的.
陈先生门下弟子无数,早期(20年代)的学生
包括中国现代数学的另两位重要人物王福春先生
和曾炯之先生.后来从浙大到复旦,我们可以列出一串
4 K5 _' H" H, W; l长长的名单:程民德,叶彦谦,秦元勋,张鸣镛,夏道行,
* ^; ]' c  n! \- `; Q0 y龚升,李训经...
$ w/ m4 A. V; n. b( Z  K4 W前校长杨福家先生在某次会上说过"复旦人不会忘记,
1 ?; ]6 Q0 y& W( p- n3 e; [1 S: l五十年代,复旦造了两幢小楼,一幢是给陈建功先生的,
一幢是给苏步青先生的,正是他们使复旦的数学变了样...."
: A- Z1 ^, d; a9 w  ~7 D  R! G9 ]6 g那两幢房子现在还在第九宿舍里面.一幢苏先生家人还住着.
另外的那幢在陈先生58年搬去杭州以后就空着,据说曾有
某位今天在复旦也是大名鼎鼎的人物搬进去过,但不久就因为
实在"摆不平"又搬了出来--陈先生和苏先生的地位可见一斑.
  
# M) F* M" P# m9 s2 s" [5 ~今天在数学系里还能找到陈先生的一些遗迹,
比如那套Gauss全集就是陈先生出让给浙大
图书馆的(见内页题字)
现在用的课本是
3.夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌
"实变函数论与泛函分析"
第二版,上,下册
& `8 `2 g  L1 g, l$ u: E这是,在我看来,复旦为中国的数学事业
" W. |* R: t  ?1 `7 j( ^" O贡献的最重要的课本.从1978年第一版
出版开始,这就是中国最标准的实变与
泛函课本.受益与此书的学生不可计数.
夏先生是陈先生五十年代初的研究生.
2 ]% P% X) n- _; D% Z, {! i当年陈先生开实分析课的时候夏先生
做助教,也是跟班从头听到底(和今天CS的TA的
要求差不多,不是吗?*_^)
+ j0 T3 v- z  `( r2 c/ `. V1 G夏先生50年代中期赴苏联进修,师从I.M.Gelfand.
那是泛函分析还处于发展的初期,Gelfand
又是这个领域的泰山北斗.所以夏先生不仅
7 ?8 y' a* P" ^  v) |在在苏联的两年间做出了相当好的工作,
而且回国后在复旦建立了一个相当
1 @6 H. r" _+ ~0 |, r8 K强的泛函研究小组.具体可以看
4.杨乐,李忠编
( x' I3 A; E' M"中国数学会六十年"
/ m: Q4 b/ ?: u里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章.
六十年代初,夏先生就已经是"现代数学丛书"
- F& C) ^9 S' P) H& H* L3 n1 l0 l的编委了,那时候他才30出头一点.今天的中国
0 c7 s8 v% i! Q3 M6 J& t数学界,没有一个这个年龄的数学家有夏先生当年
的学术地位!
夏先生做单复变和概率的功夫也是非常深的.
在80年当选学部委员的时候,他的专业就写的
7 S( a1 r/ m  Q/ ~8 q$ J是这三样.
0 V" U. f5 ]: G& V! P: G; a$ P) \' M
. h1 @) s, P+ k2 }2 F1 l3 i  
4 Y/ H) s; a+ u我们一章一章来看:
第一章"集和直线上的点集"
7 F$ W2 A! `! u这是很美妙的东西,数学系的学生从这里
开始严肃地接受关于无限的教育.
! M; E! q- q5 J5 k* |, B具体的问题是教师一般都要在这一章
上面花不少时间,部分是因为这些搞脑子的
  b4 N% K5 t3 V. `0 O东西学生以前根本没有接触过.我想今后
  H8 y$ g6 o0 _0 `: [* L* a" M可能的话应该在第一二年的课程里面讲一些这一章
6 N( N' S8 |& P的内容,象实数理论和极限论,等价关系,
6 b: Q  o  `/ Y; s. w: t0 G' ~直线上的开,闭集,等等.这样一是可以省下很
* @/ L; R2 l1 H多时间,其次的确你翻翻许多数学分析的书
& ?: S; q% W% i4 p% }; S: ]! f" g, E6 p$ E也能看到这些内容.
& K, W9 p/ h* }% g4 C大概一定要留到这里来讲的包括Zorn引理,
在
& l& r# \5 w. }3 Z- W2 F5.E.Hewitt, K.Stromberg
. r/ [* R9 H- l: J4 v"Real and Abstract Analysis"(GTM 25)
里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其
8 v0 [* E& q0 m' a+ Y' A等价命题的叙述.那里写到"The axiom of choice
  d# h) a- K2 i. J/ y1 Q8 R8 qdoes not perhaps play a central role in analysis, but when it is needed, it is
needed most urgently".这是很有道理的.这个方向上扩展出去可以看
2 e9 c7 x- [# W( j6.那汤松
"实变函数论"
在下册里面还有关于超限归纳法的描述.
- F9 Q6 Y" u" e1 j8 v这本书是徐瑞云先生翻译的.据说当年陈
! h9 P9 j# Z: A" Z6 g: W( n建功先生对他的这位女弟子的译做赞不绝口.
7 X3 ^& @# G2 {) O8 E3 z% {徐先生不幸于文革中自杀身亡.
总书库里面有.
另外,对于很多具体的点集的例子,有许多
书可以参考,比如
7 F! q1 R! x( K* m0 o7.汪林
"实分析中的反例"
这是本非常非常好的书,在以后的几章里面
我们也都要引用这本书.作者是程民德
6 [8 {, B: ], J% H先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是
一本讲例子的书!理图里有.
0 [4 T6 m4 [' J" ~和一些习题集和解答,比如
8."实变函数论习题解答"
$ p) Y" s3 e4 I: D+ k这是那汤松的书的习题解答.质量一般,
不过好歹是本习题解答吧.
/ c$ A" @$ W8 X: j8 r9."实变函数论的定理与习题"
记不清是谁写的了,应该是某个苏联人.
里面有详细的解答,质量相当高.
) Z  R+ q2 S! q% J1 X. A  
& B1 Y/ H% P' F
第二章"?舛?"
这是这本书上册的核心.
8 ]% r4 l% t, k( q8 L8 X测度在这里的讲法,
从环上的测度讲到测度的扩展,
基本上属于
9 [! r( \/ B3 l  A$ K. W3 I10.P.R.Halmos
"Measure Theory"(GTM 18)
(中译本:测度论)
的框架里面.这本书实在不敢
评论,自己看吧!
这本书里面还有一些精选的习题,
有胆子和时间的话值得一做.
集环的理论
; Z6 F) G4 C6 i0 E6 w! j" |一本相当有趣的书可以看看,
就是
11.J.Oxtoby
Measure and Category(GTM2)
4 [0 ^. k; K8 O) u. s  `这里的"category"不是指代数里面的范畴,
- ~- c' J7 s7 _; a$ D而是集合的"纲",讲了很多有趣的东西.
3 @. R# P0 d: B, F' C现在可以来谈谈
, Z) a/ V$ j! |3 u2 n12.周民强
"实变函数"(第二版)
这本书写得不错,总的说来最大的
好处恐怕就是习题很多,
- R( C! [* f+ g: O而且都是能做的习题--复旦的课本
; c. d+ W% ?: E( _8 k8 }* _里面的习题初学好象是难了点,
+ ~! s7 @# C& t8 L) B特别是在没有答案的情况下:)
; H; }6 h3 r1 {; O6 }3 K6 O* V还有一本很好的书,
可惜至今只打过几个照面,
但是可以肯定的是绝对是好书:
6 e5 c0 d( j' B. [3 l& ~13.程民德,邓东皋
$ v) k* a9 R5 K/ g8 K" C"实分析"
3 [  B+ `+ F6 O/ k9 K3 s9 W4 y4 H我见过这书里面的一个测度的题目:
$m^*(E_1\cap E_2)+m^*(E1\cup E_2)
\leq m^*(E_1)+m^*(E_2)$,
还是很有趣的,还难住过我们的一个老师哦!
  V3 g( j! d, S8 v* T( v此外,上一章里面的参考书都可以搬过来.
9 u# P# q6 n1 T5 s需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebesgue积分
的,比如6.12.等,有些细节上注意一下L与L-S
的差别还是有用的.
' ?6 M$ y, F5 D5 q7 {; E1 p  ~  
/ E$ X0 b1 ^. k  [8 C第三章
这就是真正的实分析了.这里面应该说
每一节都是重要的.
在全面引用上两章的参考书的同时,还可以考虑
3 K- F, I: i. _7 k. L; Z' P下面的:
2 L1 c, C5 z& X14.I.E. Segal, R.A. Kunze
"Integrals and Operators"
和
- M( ^" B/ [+ v5 Q15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin
( t2 u+ ]) N% e+ H. n"函数论与泛函分析初步"
这些作者应该说都是相当好的数学家了.
) @) _& d. e! S) j: d5 h比较遗憾的是一般由于课时安排等种种原因,
7 w9 @% C6 i8 a$ |6 I9 }最后三节都不能好好讲.其实这些都是很有趣的
4 u  Z- ~; v8 Z) k8 w- o  R7 E东西.广义测度和R-N定理更是非掌握不可的.
' F0 W4 x! v6 t- S最后问个小问题:
" l: o7 z( I2 u5 R6 ?2 u"L^1(R)是R上全体可积函数全体构成的空间"
这句话对吗?
+ _8 O7 H# {  ^2 X1 R: m# w2 J  
在直线(或者更一般的局部紧群上),是有可能
先建立积分理论再导出测度的.比如下面
将要讲到的
16.夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙
# A- m: d3 _1 c$ ~, X+ m: g7 e "泛函分析第二教程"
1 R1 r: x) Y" V3 r7 z1 I 里面就有一些这方面的内容.
5 J3 s7 E2 Y- E* J8 e 此外还有象
17.夏道行,严绍宗
( {/ Z6 Y# W0 s "实变函数与泛函分析概要(?)"
(上海科技出的那套教材里面的一本,
4 j! }. ^, X. L9 a6 \5 G 理图里面有)好象就是按照先积分
# @! B) M6 [1 s3 l3 x# B  Y 再测度的办法讲的.
, ~$ L' b# A/ F3 l# X 另外用这一体系的书好象还有
18. F.Riesz,B.Sz.-Nagy
4 P. _4 ]4 f- G  a: M "泛函分析讲义"(Lecons d'analyse fonctionnelle)
这也是不错的书.
对测度感兴趣的话,还可以看一些
9 O! f3 J$ n: w" B9 s4 f* U 动力系统里面讲遍历理论(ergodic theory)
的书,"那是真正的测度论"(J.M.Bony).
  
第四章
从这里开始算泛函分析的课了.
$ P" }+ f" O8 y7 v. a1 c5 [不过这一章是不是一定要以这样的
/ T: _( D# z, A1 h) [4 Y) e& N5 U篇幅在这里讲值得讨论.
其实很多度量空间的概念在数学分析
课里面就可以解决掉,在这里应该只要
强调有限维和无限维的差别就可以了.
& L* G& E! x% g& n' V上面的许多参考书在这里一样可以用,
还应该加上的是:
" Y) Z+ K: g/ O4 l# C2 o; P19.汪林
"泛函分析中的反例"
第十节一般不讲,不过这东西实在是基本,
, ?* t1 s2 _$ ]整个泛函的体系都可以建立在上面,
3 y& h4 C# B/ M" {! Y# h# n, F理图里面有一本
1 e. N3 D( a: W; X( u- ?" Q20.夏道行,杨亚立
"拓扑线性空间"
不过那书基本上是第二作者写的,所以建议
# w, x2 m) Z) u% N- P& ^: }% |有兴趣的化还是看下面几本
& N! D/ _. u4 ^; R) T) r21.N.Bourbaki
"Topological Vector Space"Chpt. 1-5
布尔巴基写书是一章一章出的,
这书能一次就包含五章,实属罕见.
; Q- ], }8 Y* j# b而且估计今后也不会有后续的内容了.
8 @4 \5 M7 M* P$ F/ }  
GTM里面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的:
22.H.H.Schaefer
Topological Vector Spaces(GTM3)
和
23.J.L. Kelley, I.. Namioka
# b5 ^( r+ q8 I0 l+ K* dLinear Topological Spaces(GTM36)
, R: X2 K' r$ x9 z" G/ k: A0 l16.里面有一章也是讲这东西的.
其它许多以"泛函分析"为标题的书也是
以此为出发点的,比如
+ n- d0 A' c7 M4 h( j, Z0 G) L24.S.K. Berberian
) c2 h* u* M, ^- G5 `! v1 v$ l"lectures in Functional Analysis and Operator Theory"(GTM15)
& ?: a3 v2 T2 {  ~) b9 `Berberian 也是很好的数学家,他翻译的Connes的"Noncommutative Geometry"
- a& n' g3 n" }3 Y$ v是一个很好的版本.尽管后来Connes自己出了个内容更多的英文本.
- O7 g( a5 \" S) E" h或者
25.W. Rudin
"Functional Analysis"
; Z! c7 f5 U2 O( K( n9 ]这本书里面也有很多非常有趣的内容.Rudin的书都是很好的.
) z: q: k" W! I% ^8 p1 I+ ~) a26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov
8 Q, _3 T# M" L( X+ `) o. h"Functional Analysis"
. j9 [: T" i4 y6 w3 n(英文版系资料室有一本,中译本在理图有很多)
不少人都说Nobel经济学奖有不少是给数学家的,
这话一点不错,不过给计划经济体制下的数学家恐怕
% H- U, S" `9 n4 r( L就Kantorovitch一位了.这是本很清晰简洁的书,
中译本的质量也很不错.
/ U/ G9 b1 z7 g8 v, q! H( a8 ~此外还有
5 U& ~( \4 P$ ]; h27..J.B. Conway
"A Course in Functional Analysis"(GTM96)
9 R5 V. R5 \6 h5 a- a; t7 G  
第五章
这一章讲述Banach空间上的有界线性
算子理论.这一内容的框架性著作
# K# P6 ]0 L3 B: ?毫无疑问是
$ c4 Q% U- F" o$ Y  y, Q* d28.Dunford,Schwarz
"Linear Operators"I
3 ]% j# L; `# R这书在系资料室运气好的话能找到一到两本.
注意有一些结论是可以把Banach空间减弱
为Frechet空间的,不过好象据说实际应用
中除了广义函数空间是个Frechet空间以外
. Y0 L: d9 {- i8 @: _8 ]" ?+ a其它用得并不多.
前面列的各中标题是泛函分析的书这里
都可以用.
3 W  H# `4 d% T" Q4 k* {. S# E汪林的书19.里面有许多有趣的例子.
不自反的空间的例子在系资料室
1 W1 e; o; p) v& |$ a9 F7 Q  M+ D: U可以查到,应该是在某期Proc. of Nat. Acad. of Sci.上.
再补充一下前面漏掉的一本书:
29.W.Rudin
"Real and Complex Ananlysis"
在讲单复变的时候我们已经提到过这本书了,
9 U2 ?: |$ _' }$ g: s5 T这里面可以看到不少实分析或者说泛函方法
在复变中的应用.这书现在已经有第三版了,
& x. E8 n. k+ V) [, `- e* ^老的版本总书库里面有很多.
8 J! E% T* c* t: p  @3 G  
第六章
, O7 A: Y# e  p! T& L2 YHilbert空间由于其上存在一个内积,
可以发展的性质比Banach空间要多得多.
从空间本身来讲,线性代数学好点对
4 s  F* ~/ w% q) V9 J) n4 U; O本章前面几节有很大帮助,学的过程
6 i6 i6 ~* v- P2 A$ Z中密切注视维数无限导致的各种反例
! v8 F. l; ~: J0 y0 I; l3 o就是了.
" q! i, Q# W6 i. X算子理论其实也一样,脑子里面清楚哪些
% }# g5 s6 i# {0 Z( M有限维的性质是可以推广到无限维的
, g+ [$ [+ L+ @2 h6 {, x对整个体系的理解很有用.
本科阶段一般也就教半章,这也没有办法,
4 ~8 k- e' \1 k" `5 e- q9 y如果第四章能省下的点时间的话还是能够
- {5 T5 ?* r4 p+ g  t讲一些算子谱理论的.
9 o: d3 W+ a1 W0 L9 N  _) Z这里可以做的习题非常多,特别是
' K6 N0 o' L8 ~30.P.R. Halmos
A Hilbert Space Problem Book(GTM19)
算得上一本杰作."The only way to learn
mathematics is to do mathematics"就出自
6 N- w2 k2 m$ p2 H; K; L8 _' E3 v这里.
  
再往下去研究算子代数的话,就实在"是没有底的东西了"(陈晓漫)
$ c% L& g7 x  w9 K: i5 S7 W在16.里面有一章讲些基本概念.
这一块的文献也是浩如烟海,
7 e$ p- C" @+ m- B9 W因为学得太少,不敢妄加评论,只想指出一本书,
' h: o' N; H- E' W$ Q- @, d# Y3 i31.G.K. Pedersen
"C*-Algebras and their Automorphism Groups"
这书连A.Connes都说好,我想决不会差到哪里去.
# q* O- m8 H+ o( a& }$ M6 O再说两句A.Connes,关于他的工作,或者说整
个算子代数往后来的非交换几何的发展历史,
特别是这一分支从其开始的阶段就和量子物理
5 d( w0 W' u; Z% K的联系,可以看
32.Vaughan Jones(Fields 90) and Henri Moscovici
: r; g* d: h: G  m3 |/ f* f"Riview of Noncommutative Geometry by Alain Connes"
. H: |+ O3 U8 o. x0 F& y# _AMS Notice,v.44(1997),No.7
33.A.Lesniewski
# [7 l; }: `$ G4 K/ I"Noncommutative Geometry"
8 Z8 U6 K7 f$ b5 _AMS Notice,v.44(1997),No.7
还有
34.Irving Segal
Book Review, Non commutative geometry by Alain Connes
AMS Bulletin,v.33(1996),No.4
因为
$ a: A( n2 T- w& t5 v( M$ c. G& `" D35.Alain Connes(Fields 82)
"Noncommutative Geometry"
可以说是这一块的里程碑式的著作,
(33.中甚至说今后人们会用今天看
Riemann的就职演说的眼光看这本书)
& f# E1 P0 K; s8 P! S, L所以对于这本书的评论很多也就
& z9 T* X& Y# ?; M1 f( \6 d4 g! h; t把整个分支都评论进去了,不妨看看.
- _% `5 |0 {& j+ ^7 A; C& rJones说这书是"A milestone for mathematics.
Connes has created a theory that embraces
most aspects of `classical' mathematics
9 D$ z) ]. h- band sets us out on a long and exciting
; i3 e3 G- m3 Uvoyage into the world of noncommutative
. C$ \5 S) G, y% omathematics".做为老前辈,Segal的书评里面
$ F/ p" R. w: r# T1 r  C有一些批评,也值得注意.
  
: [( ^" n" A7 n' z0 E+ V12.的作者J.-P. Serre成为第五位
既得过Fields奖又得过Wolf奖的数学家.
(前面四位是L. Alfors;K. Kodaira; L. Hormander;J. Milnor)
& R+ V7 w) o2 ^, ~# r  L9 T  
第七章
这一章一般不讲,在本科阶段不讲,
在研究生阶段也不讲,实在奇怪,不是吗?
主要问题是,就事论事地讨论广义函数
恐怕不是非常地有趣,要紧的还是这套框架
  P8 b& P* i( _在偏微分理论中的应用.现在的状态就是
6 u1 b: X6 P# f/ K: Q; ^" b你在复旦数学系基础专业念四年出来可以还没
听说过什么叫Sobolev空间,尽管大家都承认
复旦的偏微是很强的...\\sigh
1 @; Q" }8 I( H) S在广义函数的标题下最有名的应该是
, Q4 ^8 j) V4 m0 U* X! ]36.I.M.Gelfand等
4 |1 h9 {% y5 j"广义函数"(Generalized Functions,I-V)
9 F" h% c$ d% m( f1 |9 S) m5 e大概I-IV都有中译本吧!理图里面应该是有的,
英文本系资料室有.从泛函的角度,据说是
第二本最有意思.
另外还有两本好书,不光是这一块内容,
从整体上讲也是很好的泛函课本
/ c* C% M9 D" `6 e* J37.K.Yosida(吉田耕作)
"Functional Analysis"
! l, E3 v# [( c" @# @他也过两种不同"规格"的书,一本比较厚,
1 p6 g' K, ^+ e9 H% r1 E一本比较薄,都很好.其中有一本的第六版
; a5 H: Z# T, b$ p- y去年世界图书刚刚影印.
38.H.Brezis
"Analyse Fonctionelle"
" W& K+ \0 u* v: O6 j& k( M5 ^Brezis是我校名誉教授,法国科学院院士,
非线性偏微的权威.他的这本书很见功力.
如果能念法语的话绝对值得一读.
在Rudin的书25.里面也讲了不少广义函数的内容,
特别有一章讲Tauberian Theory,很有意思.
: K6 ?  ~2 b' U$ V; e  
==============================================
  ^: Y, j/ ^9 P1 `
抽象代数部分：

有的地方管这叫"近世代数",
反正近不近各人自己看着办吧!
从历史上说,可以认为严肃的讨论
2 P' u2 B! B. p7 ^( M3 w  P' R; {是从伽罗华开始的,他在决斗前夜
写下的那封著名的信件(里面有
0 X$ _) k3 T. x) e) R) T"你可以公开向Jacobi或者Gauss
提出请求,不是就这些结果的正确性,
而是重要性,给出意见....",现藏
法国国家图书馆).在后来的发展过程
/ C7 R) L1 u0 o2 P中,代数结构话的语言逐步渗透到
数学的各个角落.到今天这已经是
& T3 Z' P% B# Z! W1 C, P9 c一门无处不在的分支了.
不止一个老师教导过我们:
在复旦,你们受到的分析训练将是
很多的(充不充分要看各人的要求了),
7 l" N  [  j3 G9 @, w9 }9 p. E0 m但是代数...恐怕你们自己还要多下点功夫.
# O* x2 J. B$ ~2 r7 @/ F现行教材是我的本家写的,
1 k" @9 Q4 z" i: @8 M. f总的说来作为初学还很可以一读,
# r' S# A" p  u1 ]5 U" G原因将在下面说明.
  
- N: l8 T: i2 X0 c* M$ d北大的课本是
+ O# g9 R) L" E: u. F4 ?( l: [# J9 D1.丁石孙,聂灵沼
"代数学引论"
, I; i- W$ k( Y9 j$ a$ u" f( Z这本书的特点和北大的那本高等代数一样,
就是没什么自己的特色,原因是这本书从
  A* L) \$ O& V' k, E体例到习题在很大程度上参考了
& {1 Q# r$ k, O; n+ }) |2.N.Jacobson
"Basic Algebra I,II"
# S0 R5 |  M+ k. G8 E8 Q这书在总书库里面有不少,
. ~  B" T5 l- ^3 _3 A& p理图里面也有前面几章的中译本,应该是叫
4 e8 E$ I: v2 v  Y) Y5 ?"基础代数学"吧,不过翻译质量一般.
: N; g( y4 ^+ h& R  [+ k, F! _Jacobson在代数领域也属于权威,
是华先生同时代的人.这本书从观点
上说是相当现代化的,比同作者的那本
3.N. Jacobson
! x# k; G# e/ x+ P"Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,31,32)
, o0 o4 J. W9 P, z(中译本:抽象代数学,共三卷,理图里有)
要改进不少.
0 l) P: J$ i1 ], f  R5 W" g有兴趣的话不妨那我的本家先生的书和2.去
比较一下.
* M# \! @& q5 N2 Z1 M8 Q" T" G: F4 F  
从习题的角度上说,可以看
" D% T3 o: K: N. u, i4.徐诚浩
9 i3 ~( g; B3 _) N# `8 H"抽象代数--方法导引"
/ z( l. n/ [: I  M, i- o这本书可以说比较适合在复旦学这门课.
8 z" q0 y* _, h) [7 w可以罗列的参考书还有很多,
综合性的课本有名气很大的
5.S.Lang
+ A7 F/ Q: q* x% }"Algebra"
Lang写书以清晰著称,他的这本书还得过
9 f( P# c' }  TAMS发的Steel优秀图书奖.
6.莫宗坚
, E8 j- M% W" D"代数学(上,下)"
4 n5 {* u( H$ w, k$ C# V北大数学丛书里面的一本,没有很仔细地看
. ~2 t7 _( x8 T  t4 t过,但是感觉不错.北大的一些同学对此书
% C0 c5 N* [, D推崇倍至,认为比1.写得好.
+ ]: Q; m& B' ~! Q( W: {( r- z7.熊全淹
"近世代数"
/ p$ w5 {, j, [$ r8 x这本书的好坏不敢评论,
( z2 ?: k) a( M7 d不过这本书有个很大的特点,
就是作者收集了很多小文章,
比如许多American Mathematical Monthly
% k* r0 n( }3 f% M上的短文.依他开列的参考文献到
$ R- x8 m4 Z8 B1 X$ c8 P! ?系资料室去找,可以看到很多有趣的东西.
# J2 M& J/ o% {2 c: ^2 t7 s  
) n1 |$ g8 Q3 ~( s: a/ ?其它的就是比较专门的东西了.比如群论
就有影响过无数学者的
: d  i6 y3 ^4 Q* \/ I9 v6.库洛什
"群论"
8 {8 V7 ~" D- c9 ?注意这本书第二版和第三版中译本的封面
一模一样.
7 e* G5 @% V1 [0 ?' @. W+ E或者段学复先生的导师Robinson写的
7.Robinson
"A course in the theory of Groups"(GTM 80)
再有象(群,代数)表示论,环论,模论等等,都有专著,
不过我是一窍不通的了.还望这里的高手
7 L, O( I9 p2 k; F多多指点.
) [0 M5 M$ q" m8 O. \* p- k对于Galois理论,有一本
8.E.Artin
"伽罗华理论"
6 ]2 x; [0 A9 c( H8 e0 B2 p% D/ u' m非常薄,讲得很精彩,绝对是本传世佳作.
还有
9.Edwards
"Galois Theory"(GTM 101)
这本书很有趣,它是循着Galois的原始
想法写的,因此和一般通行的教本里面的
讲法不是很一样.
4 O5 [* M. }& n
=====================================================
  
. S* W1 [! ~% `* X. t, K数学物理方程部分：

' ^# z3 G: r  B1 Z3 k  d& {4 F( b学这门课的那个学期在忙着各种各样考试(比如T,G等等),
故此没能够看太多的参考书.北大的课本也没有
9 Q# n7 N! L- y! `看过,不过据一位北大的师兄说,和复旦的课本
相比较,可能北大那边相对更注重一些解的渐进估计
0 V+ \. [' J$ N5 K& R等等,而复旦这里对于显式解讲得更多些.
/ f* i7 {/ u. \. i注意在图书馆里面可以找到一本内容相当接近的书
2.谷超豪,李大潜,陈恕行,谭永基(?), Ｋ文*,???
' s' f' L9 B2 j* F7 v"数学物理方程"(人民教育?高等教育?)
这书的题材,难度,例题,习题等等和1.非常接近.
9 A- h5 q' c% |; i9 Y: G特别指出这本书的原因是在复旦的课本
; I# P+ z# E+ p2 c' o中据我所见,只有这本是曾经出过一本"官方的"
习题解答的,那是80年代初,油印本.
能不能搞到就看各位本事了.
那本解答对于做作业是很有帮助的.
比较容易找到的书里面,
3.陈恕行,秦铁虎
"数学物理方程--方法导引"
% \4 R) v( K2 L是一本非常好的讲习题的书.
9 U) R4 c2 ]. _- k4 ~里面的习题如果能够全部做一遍的话,
应付考试是绰绰有余了.
5 S* o/ ]3 J& ^) c0 r% [  
! d1 N; l; E( |9 M4 c2 e发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics
; y, @# e8 |! r说实在的,偏微分这个领域在过去的几十年
里面有翻天覆地的变化,古典的方法
- [% h( N( t, D" C6 j和"现代"的泛函的方法有时候的确很难兼顾.
6 s# G0 s9 \2 S/ a我想说起古典的,
) f6 X7 z2 Q$ R  [7 a4.R. Courant, D. Hilbert
"数学物理方法"(I,II)
7 ], i2 l+ K% E, l0 E可以说是毫无疑问的经典.
( s. e9 S0 F  Q4 j按照洪家兴老师的说法,
1 p% F; ~$ `6 a: Z2 q. j不管椭圆,双曲,抛物里面的哪一块
7 J) ]3 x* L; C- o( {# ]: b. m这本书里面的相应章节都是经典,
问题就是这书放在一起你是没办法
& M. W. R9 ~; B9 A4 v( d当教材来学的,所以只能有空翻翻啦....
+ T5 v; V+ R! j* S* g  G! l/ e经典的教材,大概可以算
% E4 B- Y3 ^3 v1 X5.彼得罗夫斯基
( l, l2 c% w; R# h, u"偏微分方程讲义"
这本书从风格上可能和他老人家那本
: P) w6 G! ?0 N& [8 n"常微分方程讲义"比较接近.里面的有些内容,
$ T& G6 h6 G: z# @象Cauchy-Kovalevskaya定理,在
2 G5 [" F& K/ e$ q4 Z# z) y( ?复旦的本科也好象是不讲的.
我想讲讲这个人,他其实从三十年代开始就
不怎么做东西了,主要的精力一直放在
为苏联数学界构造保护伞方面.
他最后去世的时候是这个样子的,
  p4 C! S) \! T' k某天他到莫斯科市委会去开会,
跟人家大吵了一架,因为基础科学
研究的经费的事情,结果出来的时候
+ h! h% s  [' Y) g- F( S在大门口突发心 」Ｈ*,他的最后一句话
是:"我嬴了".
有这样的人存在你才可以想象为什么
人家的大清洗没有对科技的发展有
太大的影响.对于这个问题,建议看看
6.AMS Notice, vol. 44(1997), No.4, p.432
和
7.AMS Notice, vol. 46(1999), No.10,p.1217
  
还有
8.O.A. Ladyzhenskaya
"The Boudary Value Problems of Mathematical Physics"
和5.一样,都很经典.当然你要说它们
陈旧我也没话可说.
既然这课叫数学物理方程,多少和物理沾点边吧,
# p" |. u  F! j' m# Y; C在这个方向上我以为
# c; v' g! w) Q* J1 W! X8 \9.李大潜,秦铁虎
; z2 `% Q  E& g) C( u"物理学与偏微分方程"(高教)
还是很不错的,上册已经出版,下册
( a9 k8 i# i# K$ E* x也就要付印了.该书的起点并不高,
所以应该比较容易看.
据说该书的责编(北大毕业的)极为负责,
* f9 f: K# \2 v, u, f认真到连里面的公式都一个个去推导的地步.
从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于
本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的
书(包括不少经典)都可以在这段时间里面看看的.
0 g% l+ X5 w3 T) P3 ?比如
' q$ b( d, n% k10.L.Bers, F. John, M. Scheter,
"Partial Differential Equations"
9 O2 Q6 j- K4 C2 kBers是个很有趣的人,
可以看看
11.L.Steen, ed.
3 W" E' j' A! @& L"今日数学"(Mathematics Today)
, h! W( Q/ Y, I% L2 B( r2 F里面的文章.附带说一句,这本书是最好的
( {4 }6 f" L8 R; h1 L* T数学普及读物之一,绝对值得一看,
# e0 j  j! D+ [" I) Q% R; M中译本的质量也不错.
# d: e9 ^0 d: d  B) R* a- T  
12.F. John
8 |, `1 L) u8 ~9 t; x"Partial Differential Equations"
这本书系资料室肯定有.
剩下两本应该是比较容易找到的,因为世界图书刚刚
8 `: T2 A0 r" ^: Y: k印,虽说贵了点.不过还是值得一看的.
13.J. Rauch
# m& r9 L+ G5 r: K- v. g& z"Partial Differential Equations"(GTM128)
14.M. Taylor
"Partial Differential Equations I"(Applied Mathematical Sciences 115)
后面这本看前一半就可以,后一半也看当然更好:-))
$ ~. k7 G# _0 O8 n( G2 U引G. Lebeau的一句话,这书比
15.L. Hormander
"Linear Partial Differential Operators, I"
0 T& H" r/ d  E8 E6 N$ }; a7 _要好念多了.
(当然基本上人人都是这么认为的,
2 F( t; b: E: B3 h7 H' _只不过这位的来头比较大而已
--法国科学院通讯院士,46岁)
  
这是讲偏微分方程的课的名称.
; T) o- ^; `  T0 J" A顾名思义,就是说这里的方程原则上
最早都是从物理里面来的.
# Y% M4 o1 `1 R2 q5 Q5 t7 S这个分支里面的东西丰富之至
) q: U6 I5 j1 P) b8 C' K(当然往反面说就是有时候会显得
结果比较零散).
现行课本是
! @$ D& ~/ P' Q. Q  I1.谷超豪,李大潜,谭永基(?),沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿
"数学物理方程"(上海科技)
6 @- W5 j% x( p, Q/ t! c+ D这本书在这样一个水平上(指不引进广义函数,
9 g& Z* _, b; x+ D弱解等泛函里面的概念)是相当不错的.
- p- a" f0 }- G. n/ G6 }8 q" X6 E6 n注意那些经典方程的推导里面多少有一些
近似的过程,这其实从某种意义上反应了
1 g6 J3 v( Z4 `& o* K所对应的微分算子的某些性质的稳定性.
" V& G9 V0 F0 Z3 t2 \# u$ R比如,对于经典的波动方程,3维及以上的
奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可以看作
, d8 B) e# o1 p7 {% y2 ^经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个
0 j& V# {8 `2 g5 e( H5 [证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到,
差不多二阶双曲方程里面只有波动方程
0 K+ G, U/ X4 m/ e9 ?; }9 Q. e4 C! E有这样的性质--但是别忘了,高维波动方程
# O/ c+ ?0 k) E+ W8 I; m: q* B的推导里面是有近似的,这说明什么?
一阶偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的,
5 f. T% |6 j2 N0 X常微的最后教不教我课不知道,有些东西还是很
$ v6 f. p# i( n" P$ r' C有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿来
) G# S8 _2 k0 M3 K+ A+ x证明微观经济模型的合理性,然后说他看不出有
3 ~7 w2 w* I3 p8 C5 O( r* `. c. a" I存在C^\infty推理的可能--数学经济是怎么回事,
可见一斑.你能说社会活动中的数据都是按t解析的吗???!!!
  
========================================================

拓扑学部分：
  I9 [9 d" ?( ?) E+ l0 u* I
我拓扑学得很差(从总体上说),
, k* h3 i0 S1 v* }0 Y* e# Q: W 因此这里我也说不出太多东西.
大概也就点集拓扑还算过得去,
我以为这一方面我们的现行课本:
6 u+ H1 O  D3 T 1.李元熹,张国(木梁)
  O  C( Z7 F; \. \* Z3 a "拓扑学"
的前两章还是不错的.至少该讲的东西
都讲了,而且后面罗列(我想不出还有
什么更好的形容词)了许多习题,
. u+ z3 p! i8 t8 ^' d3 `& l8 H! n 做上一遍是很有趣的一项工作.
中文的参考书里面好象
0 F- f( H4 U, `0 }# c4 m  w 2.熊金城
"点集拓扑讲义"
是比较好的.该书也有些名气.
1 H* T3 K- S) j+ z* ^ 不过要好好学,可能还是看下面的两本
比较经典的书:
# n- y1 l3 b+ J( }  D- n 3.J.L. Kelley
"General Topology"(GTM 27)
此书名头很响,55年出版的时候应该算得
' J3 ]/ g) L6 `% ?4 \- V 上是把这一领域里面的结果做了个
很好的总结.该书是想写成课本的,
因此每章后面都有习题,按A,B,C,D,...
6 n' ]* ?: d: l+ ~" f: I 编号.只是....真要做起来未免有些困难.
听说过这样一个故事,就是曾有一位
华裔数学家回国讲学的时候于酒席间
说他的老师要他去学拓扑,指明看Kelley的
书,而且要习题全做.结果大家都笑了,
因为大家都明白这目标不是很现实.
我个人的经验是,在那个学期陷入各类
7 b8 S, n/ Q2 q 考试的重围中之前,还做了前面两三章
的题目.是比较困难,但是做起来也非常
. W; X1 n5 O2 D$ V9 U5 O; t7 M 有趣.
  
9 `3 ^/ \3 e- Q/ e+ f+ S再补充一本中文的书,内容和1.差不多
4.尤承业
"基础拓扑学"
( v. R/ z, ]9 \5 j是北大的教材.
: N  ?2 H. T) t. z5.I.M.Singer, J.A.Thorp
"Lecture notes on elementary topology and geometry
& }* Z$ g; e' O6 l, o(中译本:(基础?)几何学与拓扑学讲义,干丹岩译)
这是本极好的教材,应该
可以用深入浅出来形容吧!
第一作者Singer就是和Atiyah
一起证指标定理的那位,说是重量
级人物当无疑义.
如果你只想查结果,我觉得可以去找
6.R.Engelking
8 I$ k% w2 M9 z/ B$ T: o"General Topology"
, f/ w% Z& f: w) p! \# }这书是七十年代末写的,内容翔实,
7 N4 q% H6 C' s9 ^9 B+ N3 `! s. ^至少对我来说是有包罗万象的感觉,
当然对做这一块的人就不一定了.
- z: ^: H& J! [  
按照萧先生的速度,大概第二章还是能
- d+ b/ X( C) D3 \2 ~6 @+ b讲大半的.
这里属于代数拓扑的起始部分,
* x% A* y" s  f, }6 Q参考书一下子就比前面的多多了.
7 R9 E! {: W3 h! e讲代数拓扑的书,可能
7.Greenberg
"Lectures on Algebraic Topology"
属于写得很通俗易懂,
配置合理的那一类.
* ~/ h; f# Z$ q  @8 t还有象GTM里面的
8.W.S.Massay
"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56)
/ z) T, P  F* X0 a0 J- s也是写得很好的书.
我能写的大概就这点了,
" M, @5 q$ X' L, p1 \7 z还望大家多多补充.
  
发信人: dhj (undercover~~卧底人生), 信区: mathematics
这个学期刚刚在学拓扑，做些补充的说。:)
4 k# G3 e2 p& c拓扑学是在十九世纪末兴起，并在二十世纪中蓬勃发展
+ o: X. z0 k1 z9 `( z2 w1 l8 O的数学分支，现在已与近世代数，近世分析共同成为
. _. V- u" |$ u, K4 q/ B) y当代数学理论的三大支柱。
如果先要对该学科有一个感性的认识的话，建议看
/ N" Z) R0 j1 c《拓扑学奇趣》
巴尔佳斯基 叶弗来莫维契 合著
这本书只有不到两百页，可是覆盖的面很广，也有一定
7 D. ]9 b! c0 ?* G数量的有启发性的题目。
M.A.Armstrong的《基础拓扑学》也是一本不错的书。
4 a4 `' l% L, z+ D由于该书中的讨论范围有很多是基于Hausdorff空间，
有些是甚至是在度量空间里讨论问题的，
: c; b' W1 Q1 t0 s: d( ~所以一些定理的证明就变的比较简单易懂，例如Urysohn引理。
/ A9 O7 {) y" N由于侧重点不同，这本书对复旦现在的课本是很好的补充。
  
9 }1 U+ W' Z; J) G! H# ~======================================================
: d  |# S$ ~* P0 m- S8 N0 W
以下是北大的一位师兄做的补充
; J! O% B# ]( L3 Y7 T3 `数学分析
+ {3 ^: T' k! c0 a欧阳光中,姚允龙
"数学分析"
5 o0 O  \; n- I! ]8 J2 o这本书在外面的口碑不好，错误不少，据
说南开的一位老师曾笑称此书的作者为"老
糊涂"了。
7 W* p6 C$ r1 `5 y# J/ J高等代数
3 t' f  I' R  P9.丘维声
"高等代数"(上,下)
本书的作者为61(?)年的全国高考状元,他自称在教课的那一年写作
经常至夜里二,三点.
4 n- B" Y+ z# o单复变函数
11.张南岳,陈怀惠
4 d8 h( ]) ^( c1 H7 K, t% \( G" l"复变函数论选讲"
* }2 V  n" f4 J% B这本书中的错误不少,据说陈是个很有天赋的人,但
文革中受到很大打击,以至学风不很扎实.
微分几何
陈维桓"微分几何初步"
这本书确实写得不很清楚,陈
还写过一本微分流形,给人的感觉是话说了很多,但
" v0 b! l- ], `还是摸不着头脑,例如dx,dy究竟是何意
9 [1 F7 t8 `6 t# s3 E* s=============================================
$ g* `5 F* H; r+ k4 l+ U  
大学里面念过的本科的课程,
基本上就全部写完了,
8 t8 r6 U0 K1 T6 _' E: n感谢大家在这几个月里(默默地?)承受了
/ w6 s( P" C& I$ `' Q我的"酸"劲.\\bow
其实严格说来这里面除了参考书的名字
6 S4 h) S0 D: w/ H和简短的评论外,我还写了一大堆从某种
意义上说属于"题外"的话.我的想法是,
$ l: x- `9 z& f, t: ~在我的意识中,数学不光是那些定义和公式,
数学还包括了为数众多的数学家
的思想,经历.仅仅局限于技术性的细节
是做不好数学的,我以为.
; H" z# I+ z3 }8 F从技术上说,大学数学系的课程还有很多
没有写到,即使写到的这些,也有很多
& h- W7 \" v$ Y( u, d. e需要补充,修改的地方,只不过...
; I0 i$ b0 }. [) B/ k我是没那心思了:-)至少在近阶段.
希望有兴趣,胃口,功夫,...的大侠们
多多贡献,在这里先予感谢!\\bow
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
(为避免任何对于\\bow的数目产生
误解,文章到此分成两截)
今年一月,在经历了三个月的情绪极端
) s+ d/ _, h. `7 C0 N$ U4 m. D低落以后,我打算开始重新规划自己的
未来(感谢上帝,这三个月总算没让我
精神崩溃,甚至还算干了点事情,学了点
东西,呵呵...).在处理了一些专业上的
0 p# Q: X. Z+ Q9 I' ?原则性问题以后,想着自己还能干点什么,
% d8 ~2 x; F9 x) a这时候就有想到了BBS.
BBS实在是个好地方,自从四年前在steve家
上了最早的日月光华开始,已经差不多有四
年了.(从来没有想过,上BBS的第四年里灌的
& z8 p; J( V+ c$ V/ v水是前三年灌的水的总和的三倍.
可能和心情有关吧!)
( d; k$ l" ]$ h. `6 n6 l突然想起可以在这BBS上灌点稍微有意义
: E* D' ~) j, D. p点的水,去年底写的那些94理基的故事
从效果上说,让我很好地把心情整理了
1 w. `% d& Y# Y一下.也纯数偶然,就想起来写这参考书目.
应当说,写这些东西还是花了点功夫的,
9 d0 p, c+ L. `& W7 I从构思,找资料,到一个个字敲进电脑,
* @& m7 w* g# Q* ?' |修修改改,一门课总也要花上一两周时间.
因此一稿三投连我自己也没有觉得有
什么不妥.好象这也不违反站规吧?
写着写着也就到了今天.又是一个可以做
! y* S% A4 K5 }5 q"结"的日子.感谢各位这几个月来对我
的关心,帮助...还有宽容,感谢shun, Setver,
' H6 |1 B' V8 D5 @5 }  Y% v1 Ozyc, steve, cavalry, doskey, anti, fit,
standby, dhj, compass, beryl, littlebaby,
darling, Virtual, zhmao, clamp, stoneheart,
, M  `- _; h4 A5 }1 w; s3 Kmax, zypher, leifen, tiny, xdj, zych, txyz,
* G6 j/ U$ f' W* }- @1 B5 S, {DblHorn, julong, shasha夫妇,fancier......
" f  A1 _' V! R0 u" A- |) B还有许多不在这BBS上的朋友,......当然,还有milka.
希望明天的太阳--无论是巴黎的,

6 P& O7 Z# ~1 E5 r4 O% Z, V还是上海的--升起的时候,
# {, S" Q' K& j5 G6 x大家都能有个好心情.
9 t" \9 L+ X: U; l再次谢谢大家!\\bow
2000.6.6 2

hylpy

晕啊，此文已经在网上转载了N次了，越转越不全越变形。

弘道

谢谢楼主……辛苦啦！