数学分析

LJX2013

数学分析部分： 从数学分析的课本讲起吧.复旦自己的课本应该可以从 六十年代上海科技出的算起 (指正式出版),那本书在香港 等地翻印后反应据说非常好,
似乎丘成桐先生做学生的时候
, G6 [+ E" b9 {- C( e. R) I- A也曾收益与此.
2 E% U2 O0 j  Q, L2 Q" a到90年代市面上还能看到的课本
里面,有一套陈传璋先生等编的,
8 E& k. |5 b! |; f- |& l可能就是上面的书的新版,交大的
0 q2 W4 K9 Q3 a5 _( \7 x试点班有几年就拿该书做教材.
# i/ L" |. }% x. C; _% x) |另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生
' j; ]( j0 {; w+ B; e的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的
课本,好象后来数学系不用了,
计算机系倒还在用.那本书里面
据说积分的第二中值定理的陈述
有点小错.
总的说来,这些书里面都可以看到
一本书的影子,就是
& F# x! j2 Z& D菲赫今哥尔茨的"数学分析原理",
+ ^/ r" y3 d: c1 Y$ z其原因,按照秦老师的说法,是最初
6 N& D; i# o& m# `, {在搞教材建设的时候,北大选的"模本"
是辛钦的"数学分析简明教程",
* p. B* K2 C7 C* }而复旦则选了"数学分析原理".
: j, k" G; Q5 _  O7 b' {后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的
$ j7 V# }: l, G, z! q- o; q* ~那本数学分析.我不否认那是一种尝试,
但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点
来看数学分析这样经典的内容在国际上
2 O) W* v+ F1 j# c: P# l2 \% W( l的确是一种潮流,但是从这个意义上说
; J# ~. q1 r0 K. C8 G/ U2 m8 Y; k该书做得并不是非常好.而且从整体的
  {$ ?- T/ i* e; m课程体系上说,在后面有实变函数这样
' j. r+ A- K- D+ |一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue
4 i$ U. |2 N% Q4 }" A积分值得商榷.
9 h1 P5 C, J" E, @/ J! `* l! I" \$ y  
下面开始讲一些课本,或者说参考书:
1.菲赫今哥尔茨
"微积分学教程","数学分析原理".
4 y: E: o0 }5 J  U前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;
后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.
此书堪称经典.
"微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者
$ K/ [! f( S" S6 X6 @" g9 G列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括
& o6 l( _% Y2 ^5 s: t后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch)
; X) T4 X. \2 [2 m( D, T! V都承认不太合适作为教材,为此他才给出了
# m9 ^; j( ~* D* u能够做教材的后一套书,可以说是一个
7 U  ~! y( A. I% ?, Z# u2 D6 a精简的版本(有所补充的是在最后给出了
一个后续课程的简介).
相信直到今天,很多老师在开课的时候
% |. |9 e7 E. k, ]: y) _) Y还是会去找"微积分学教程",因为里面
9 B5 c2 r7 [+ s. c+ z的各种各样的例题实在太多了.如果想
1 |' ~) `* b4 y) k; B5 Q# x比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的
例题当做有答案的习题来做,当然不是每道
8 B' A1 l4 \" h$ ~' _题都可以这么办的.如果你全部做完了
那里的题目然后考试的时候碰到你做过的
可别怪我.
: K# _0 o  d9 [6 L. ]6 Q毫无疑问,这套书代表了以古典的方式
) A9 }+ ^2 v8 g; n+ v# k5 C处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)
的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万
计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了.
这两套书在理图里面都有.
2.Apostol
; V) Q% k; R. n2 _* G8 S"Mathematical Analysis"
在西方(西欧和美国),这应该算得上是
一本相当完整的课本了,在总书库里面
: O' C- J5 J* a有.
# s4 W& q) c5 e% @% f) H9 _$ ]8 m3.W.Rudin
0 B5 J: K+ Q) a% c"Principles of Mathematical Analysis"
" ?* B$ k  Q4 ], m3 Z6 T(有中译本:卢丁"数学分析原理",理图里有)
" U- o; D6 `, E# b这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到,
这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,
' C4 N. H, |$ o9 T: v! E(指一些符号,术语的运用)也是很好的.
这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是
" y) U5 Q# a7 l( h6 y后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的"高等数学",
虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里
# y/ K4 P1 f1 H. ]8 S' Z想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的
ddmm有所帮助:就是学完"高等数学"以后,可以
找一本西方advanced calculus水平的书来看,
基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师
1 K2 E. v* W/ x  T' y" [曾特别指出Rudin的书.
8 P( \( |- u; h2 f( g, z6 w说到Advaced Calculus,在这个标题下面有一本书也是
可以一看的,就是
, |: |- i0 k! y  `4 U3 PL.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus,
/ C  K5 l) B3 v) D6 C$ T: y' h其第一版在总书库里面有不少,第二版在理图
外国教材中心有一本,系资料室是不是有不清楚.
这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的
课本.
  
4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等
  \- _/ M9 L0 W* h1 J: A  u  X"数学分析习题集","数学分析习题课教材".
4 ?2 M) U4 X+ D+ N3 i, y北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西
6 z6 _! X" O1 h6 j. w! g1 l还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇
1 ^8 N2 h2 g/ |/ P$ S- k- C7 ~并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题
0 V+ o+ U# Z! e3 r& Y* @: N/ ^(一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的
习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,
5 a/ S# J  ~" e原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数
( ]2 [8 e  \8 }收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就
. D7 z# c  ?4 p% f% k要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也
" [% C; D# Q5 [6 W是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答,
96年那会理图里面有一本,现在不知道怎么样了.
* `1 V2 ?  k$ z. ]) x, O5.克莱鲍尔"数学分析"
) @6 @# y5 B) ]- a+ Y; |记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.
理图里有.
6.张筑生"数学分析新讲"(共三册)
我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,
" N+ n" {" p7 L: A张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多
. W: x9 i9 Y4 K+ `4 L, o5 |2 O五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的
是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了"都
9 N* d- B) n. s云作者痴,谁解其中味".在这套书里,对于许多材料的
处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的
遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根
本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看.
理图里有.
  
下面的一些书可能是比较"新颖"的.
/ k' {$ D) l- v6 `7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)"
理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于
* y! q) d3 P( y1 z80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,
2 o; s$ C& D# [+ C/ y人家是苏联科学院院士.
7b."数学分析"
忘了是谁写的了, 也是苏联的,莫斯科大学的教材.
理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限
& w$ {" h* e: l. K; K的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉
到观点非常的"高".
8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)"
1 ^+ m% T1 Q3 B  J, ^那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,
用的术语相当"高深",可能等以后学了实变,泛函再
回过头来看感觉会更好一些.
9.说两句关于非数学专业的高等数学.
# y  s6 Y$ b- x9 }: a8 w& I这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书.
因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,
; F& K8 {0 x: u: T: x, L+ l中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不
! y- A+ |* t* d, m5 t. u+ h分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有
* ?. _; w* Z! N. i/ d$ RJ.Dixmier院士的"高等数学"第一卷)或者叫
"普通数学"(理图里面有一套书就是这个标题),
其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课
' K+ r# a" N, X2 J8 k7 v& G: C9 |  d之间.
  
$ a* |" V  Y5 V1 b  T8 g10.再补充一个技术性的小问题.对于函数项级数收敛,
一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫
"亚一致收敛性",在"微积分学教程"里面提了一句,
$ ]+ t6 f5 j% `% P- O! |其详细讨论,似乎仅见于
; K! T7 x1 T( Y& O! v鲁金(Lusin)的"实变函数论"
+ l) T0 q+ o  c' X& G: o; b4 I里面,总书库里面有.
/ P9 o1 B& r' P8 ^  @: e0 C6 M11.华罗庚先生的"高等数学引论"第一卷
这套书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初
华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时
/ L3 p. L# M! @8 c, E$ J+ x的讲义.那时候他们做过一个实验,就是一个教授
7 N0 \7 s% U5 `3 Y+ f0 T- I负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实
是涉及很多方面的(附带提一句,另外两位负责过一
届学生的是关肇直先生和吴文俊先生).也是出于
! q4 L9 r* h5 S一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统
0 ]  n/ A+ W; X1 P6 v  l教学内容的东西,还包括一些应用.可以一读.
理图里有.
4 `5 ]; h9 w9 V12.何琛,史济怀,徐森林
"数学分析"
5 X$ R. u! _- d1 E" o这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大,
* j& t* u4 l: E8 Q4 ~0 A我本人还是很喜欢的,高一的时候第一次学数分
就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好.
& j; t7 y% _# x9 d印刷质量也相当不错.可惜的是学校里面没有,所以
放在最后.
  
. _: v/ d6 t$ q2 [" e6 P==============================================
空间解析几何部分：
' N3 O! M, m* G  P6 b
空间解析几何实在是一门太经典,
/ @' ^/ |' y) |- n- e  G或者说古典的课.从教学内容上说,
可以认为它描述的主要是三维欧氏
- ]7 i8 g; ]0 ^! g, l" m空间里面的一些基本常识,包括最
: B8 y: X# b+ W+ q/ E$ R' B8 j基本的线性变换(那是线性代数的特例),
和二阶曲面的不变量理论.在现行
/ b& j: @% B4 C" N  P& u的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的
"空间解析几何"里面,最后还有一章讲
, f; f( N8 W/ K. |4 `射影几何.
这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的.
特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影
2 i( i  b8 z. O- ]  }的内容还不是很好念的.
当然,这里还要提到十来年前大概
做过教材的一本书:
项武义,潘养廉等
, I) \: b6 K7 f% `1 r/ O"古典几何学".
这书的内容与课本不是很一样,不过处理方法还是
很不错的.项先生应当算做很能侃的那种类型的.
可以考虑的参考书包括:
9 n( s$ n1 Z+ s3 A+ y1.陈(受鸟)
1 T! w, ?/ a6 Y7 X. }; s# ^& Z"空间解析几何学"
内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.
陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长)
的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.
2. 於ρ*
* v- c% K. Q: R"解析几何学"
这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,
连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面
的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话).
' e4 D4 R. _; B$ r$ q朱先生相当有才华,可惜英年早逝.
  
关于数学分析的习题,还有一本书,就是
1 H4 j0 C% V) g; E; hG.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
+ L2 w' U# G! L6 i"数学分析中的问题和定理"
在学习数学分析的阶段,可以考虑其第一卷的
) T! A8 O( e9 F1 k3 [) I5 J# s前面一半,后面就全是复变的东西了.
该书的内容还是非常丰富的.
在历史上,这是一套曾经使好几代数学家
9 N9 f" n" D( |% R" L- A# w* l( h8 y都受益匪浅的经典著作.这套书的一个好处就是
题目难归难,后面还是有答案或提示的.
' A$ h& X$ T- H8 r' T"微积分学教程"的第一卷有一册在理图里面似乎很少,
到总书库里面去看看吧!
. t# x1 M$ w" a% y& L; r, |, p$ J6 D# FLoomis-Sternberg的书的书号是O172 L863
  
: l5 [# L) A5 N, B如果想了解比较"新"的动态,可以考虑
3.Postnikov
"解析几何学与线性代数(?)"(第一学期)
' f) B; Y8 T! \/ K# q" |这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看
出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的
$ L; M: A) A; a6 |学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早
是要给吃到线性代数里面去的.
2 v4 d/ k* s2 r) c8 i# n海外教材中心有一本英文本.
, j1 ~6 `" f/ ~7 \6 V: L我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早
是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最
糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.
3 }: Y* o+ c/ ]( p7 e. j7 O  e% ^我相信所谓三维的"解析"几何的内容总有一天要
下放到高中里面去.
. `6 F; s# f* M4 `; @& I) t# u& K上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话.
" T4 a/ g6 U, W) W* t可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多
几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有
相当深刻的了解.
4. 衣∧*
  d5 C. Y, E1 g! @"(解析)几何学"
7 _  z+ F7 Z: D% y这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年
) B# H6 p0 L/ l2 I$ T/ R前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能
3 D) ?5 V3 F, s+ r* B% H$ S0 C写的.总书库里面有.
( w2 G- M/ w9 c/ S6 U* `5.穆斯海里什维利
"解析几何学教程"
6 F# s3 }# {9 v+ l8 L这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了.
% O6 J% m5 Y: O; Q5 K' V3 Q( f6 \具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点
$ y' U6 D4 [$ p$ P和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的
而已).
  
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) J4 P( G* e% L0 I
高等代数部分：
) [4 Q& }2 R4 z1 w% F
高等代数可以认为处理的是有限维
4 t. ]9 o3 }+ D; Z5 _6 ?6 w线性空间的理论.如果严格一点,
" p2 v$ `7 t9 s( f# J% j4 {6 O6 y关于线性空间的理论应该叫线性代数,
再加上一点多项式理论(就是可以完完
( c# x1 A  U: M( }# \& e全全算做代数的内容的)就叫高等代数了.
这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra,
6 C0 `: }) V5 D+ `! W" c1 j就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国
教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的
' z+ f* U9 {2 C) m7 X0 iHigher Algebra.
# _$ G" X2 ^3 _! i1 }) _# z3 U现在用的课本好象是北大的"高等代数"(第二版?).
$ W1 `7 {1 `5 W+ w# p用外校的课本在基础课里面是不常见的.
这本书可以说是四平八稳,基本上该讲
3 Z' k( Y" K6 F的都讲了.但是你要说它有什么地方讲
3 e4 I, Q8 Q2 H) T的特别好,恐怕说不出来.
值得注意的是95-96学年度,北大现在的
校党委组织部长王杰老师(段学复先生
的弟子)给北大数学科学学院95级1班
开课时曾经写过一本补充材料,把空
( r( B* k: s) e* ^. E  \, n* F间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到
的话翻印出来是件很好的事情(我的那
本舒五昌老师给96开课的时候送给他
: `; H% j; C) U0 ^了,估计是找不到了).
. @% A, e1 Z: G  
  d, t- z. |7 G+ [好象上面有一点说得不对,就是北大的书用的
还是第一版.第二版在书店里似乎看见过.
从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.
/ C3 v  Z4 s3 B9 x线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在
/ Y; q# ?. O6 n定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一
个矩阵的表示.因此这门课的确是可以
, Q: l8 G% G9 x! |! K) \: \$ I建立在矩阵论上的.
而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.
复旦以前有两本课本就是这么做的.
1.蒋尔雄,吴景琨等
"线性代数"
: L# P) ?- W* i9 n0 }这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比
数学专业相应的课程要高的.
8 Z3 I- {* q; {- {* B' I因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.
我个人以为还是比较有意思的.理图里有.
( H9 C& N6 D! W! x0 T' @2. 啦 埙等
"高等代数"
3 P' d) F* h2 o6 U6 @  n  j这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里
讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里
+ m) d; F5 Y4 [; G# {( d可能可以买到翻印的.
/ i- G# ^1 v; V+ ^, x7 J8 J这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量
6 Q! C+ Q) |# G8 U. a- G: H习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面
的习题做完对于理解矩阵的
各种各样的性质是非常有益的.
: _% q. C" [7 ?, R当然这不是很容易的:
据说屠先生退休的时候留下这么句话:"今后如果有谁
: e1 Q. t; V3 x. `( R开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话
% u& [( M* s( o  A" W- M8 G5 P可以来找我."有此可见一斑.
  m3 Z, ?/ ^$ {& P  
. }% F; ]( H4 O0 s9 K2 r如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,
那么下面这本应该说是比较适当的.
; q/ Y' o4 ^! p  G3 o. s: d8 f( z3. 啦 埙等
8 l5 {7 v1 b8 [  f. P"线性代数-方法导引"
! ?' z5 R/ Y$ z: y/ q" ^7 m这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也
% L! n1 H; m) Z+ ?; ?$ y! x更"实际"一些.值得一做.
另外,讲到矩阵论.就必须提到
4.甘特玛赫尔"矩阵论"
1 X% W. a6 o+ v: r- C, B我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者
' M! d/ ]. k1 Y! m- _+ t+ e, j是柯召先生.
在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳
+ Y, n6 d. p0 ]# f入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan
标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩
阵该怎么求?请看"矩阵论".
5 }* p' m0 M; I6 r3 n! E9 _这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.
; B8 z8 p' i; w/ }$ B总书库里有.
$ ~& B, z5 U) V( D8 b图书馆里面还有一本书的名字和矩阵论沾边.
5 S+ W- ]0 G) F6 [  L5.许以超
"线性代数和矩阵论"
, d2 o# A. a/ ]$ Z7 s8 Q7 M0 j虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国
念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,
现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还
是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于
) k' _! }9 y# h- N1 H空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.
  
/ U2 S8 l) S2 M/ N5 }( i3 Q1 }6.华罗庚
* v$ S- e, Q$ J3 [7 e"高等数学引论"
; F! l, d. O, g; h) k6 [华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在
矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你
只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.
5 z  i) t. b; y4 v7 d可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的
(不记得是不是在这本书里面了):
3 `! Z) o+ N* W2 }% C# G# _+ {) _n阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个
0 Q1 B) ~+ k" X' d% A把一组标准基映到1的反对称线性函数.
这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.
) K2 j: [1 G  o7 X) [高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如
7.贾柯勃逊(N.Jacobson)
& u/ ~. \/ M9 {Lectures on Abstract Algebra ,II:Linear Algebra
GTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31
6 s% u: Y+ ^$ R5 c$ x5 a! o; N("抽象代数学"第二卷:线性代数)
4 e4 ?" W8 n# ^! V4 {1 v$ I这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面
' ^- L* u7 }5 v; H3 u& M已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了.
此书英文版总书库里有,中文版(字体未完全简化)理图里有.
8.Greub
, V3 H, H6 F+ U0 {5 _6 y. JLinear Algebra(GTM23)
这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是
值得一读的.
  
还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有:
- Z; R& b- e# {$ C: u& w9 r9.丘维声
"高等代数"(上,下)
北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向
" W  L5 E/ U+ n没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些
5 l  L" ~; |) X5 Z% O( V几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.
10.李炯生,查建国
3 b6 u+ s; x2 e7 P6 C6 e"线性代数"
2 x' ^; v5 R& g9 H* f这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些
内容的处理在国内可能书属于相当先进的了.
4 c" v& d: ]5 d4 ?. f5 |4 O  
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常微分方程部分：

从常微分方程开始,数学课就变成
* |$ \6 A; Y/ R没底的东西,每一个标题做下去都
3 o6 v7 T2 N. y: v2 G0 v是数学研究里面庞大的一块.
对于一门基本课程应该讲些
什么也始终讨论不断.
: D6 [6 M) K# A+ m+ T& G这里我打算还是从现行课本讲起.
8 O" x+ |$ ~2 {! X) i8 @常微分方程这门课,金福临先生
和李迅经先生在六十年代写过
9 B) ?- g1 \( l2 s( M一本课本,后来在八十年代由
控制那一块的老师们修订了
一下,变成第二版,就是现在常用的课本.
4 f0 R, Z$ P9 R! i( M% x上海科技出版社出版.
! X( L" M! |, ~( h8 o2 ~  e0 b. O应该说,金先生他们的第一版在今天
看来还是很好的一本课本(这本书估计
; E8 F. [1 H& i  _, @受了下面的一本参考书
* C+ {$ N' Q" U( b的不小的影响), 该书在理图老分类的
那一块里有.
但是第二版有那么点不敢恭维.
5 n3 F5 r/ J1 j7 J" C/ X不知为什么,似乎这本书对具体
方程的求解特别感兴趣,对于一
些比较"现代"的观点,比如定性的
讨论等等相当地不重视.最有那么
点好笑的是在某个例子中(好象是
介绍Green函数方法的),在解完了之
后话锋一转,说"这个题其实按下面
  x; n/ Z+ M! r- a  ]的办法解更简单..."
/ }& w2 C# n. a而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的.
  
现代数学的一大特色即是已经
完全建立了一套自己的表达方式.
/ D: ?' V9 b, {没有一个学科象数学这样创造了
这么多的概念.
现代数学的传播的一大困难也在
与此,要向一个非本行(哪怕是
数学里另外一个分支的专家)解释
9 O$ ?0 p7 h& {/ x& f清楚一个概念恐怕也要费上半天口舌.
但在另外一方面数学是如此有用,
: B" Z% [$ v1 p7 V6 Q8 U而且数学的抽象性使得一个数学
- T; o; X/ C+ }观点往往可以表征其它学科的许多
% `0 b: _! J3 [" o& `! n看似毫无关系的对象.所以现代数学
还是挺值得一学的.
自学不是一件容易的事情,特别是自学数学.
从动机上说,如果是想系统学一下大学数学系
的课程的话.我的建议还是跟班听课,这比自己
找书看要省力的多.在可以考虑的书籍方面,
以前上海科技出版社出过一套
1."大学数学自学丛书"
应当说编得是不错的.
: L! g) u: D! n$ W+ `% H至于具体该怎么学,这里我不敢多说,建议参考
: e* z5 K+ b  q: M. H2.赵慈庚, 於ρ*
2 J& E% F. K0 C& ?0 Q& C6 X( o" l"大学数学自学指南"
赵先生是上面那套书的主编,这本书基本上
4 O) I& }4 p7 f0 H8 p以上面那套书为蓝本,也给出了一些参考书.
关键是对每一门课的具体内容都有一个详细说明.
好象是高等教育出的.
  
下面转到欧美方面,
3.Coddington & Levinson
( W$ j4 Z! X2 f$ a"Theory of Ordinary Differnetial Equations"
这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典,
! b* ?+ ~* r2 V% ?& W' o9 B& h数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看
着办吧.
比较"现代"的表述有
" q* T% C/ m3 T6 }  }) T4.Hirsh & Smale
( m$ Y7 e; \+ j( m"Differential Equations ,Linear Algebra and
Dynamical Systems"
! r5 g) x4 E4 f* x(中译本"微分方程,线性代数和动力系统")
" W. V$ e. S$ T' R这两位重量级人物写的书其实一点都不难念,
3 [9 W  B7 S. M, L非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的.
( j: F$ i2 m$ t& Y: L. N9 w关于作者嘛, 可以提一句,Smale现在在香港
( w; q" W1 [% g1 N城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他
4 R/ H7 e# Z3 g9 E9 Y/ Q9 O为在中国领土上工作的最重要的数学家应该
0 t- m$ @/ u( w2 `没有什么疑问.
图书馆里有中译本.
' n7 d+ v% m2 y, W$ ~1 s  
5.Arnol'd
% X6 B, L  V9 u5 D' X"常微分方程"
必须承认,我对Arnol'd是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生,
6 U5 M8 ^" ]2 V+ H3 @# k他们两就占了KAM里的两个字母.他写的书,特别是一些教材
以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把
相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我
. I, Q! ]2 M3 ?' k8 U9 @也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常
- ]0 A0 |  d! i  c! P喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候
就和其它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相
/ Q2 t' _- g! k. U  _教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:Anosov,
Arnol'd,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可见
& u; [7 N1 |: J$ E/ I' k互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何
化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol'd
对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话
# F) B- @3 V. N6 X; a& o* D1 K说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生
们都是这么说的.
这本书理图里有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高,
竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话.
再说一句,Arnol'd的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...."
" K' G- n/ e' @; |; m; h的,程度要深得多.
看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人
自己的值得一看的课本吗?答曰Yes.
! Q( ~4 |% O! z7 k2 c6.丁同仁,李承治
"常微分方程教程"
这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,
# Y8 Y1 i9 E& G0 P/ I观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方,
袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问.
6 S7 |; o+ t3 Q. [附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次(?)印刷的,
里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动.
  
再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看
1 v- g( h5 L1 l' j! E( m5 S$ L- a7.卡姆克(Kamke)
常微分方程手册,那里面的方程多得不可胜数,
  M. H7 s5 S8 O% Z. B理图里有.
- v; Y- |6 }" ?' q5 L# |对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是
- s4 \# K- n- h2 X2 S和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程,
* L' F7 i, F$ c+ E- L现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉.
我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学
物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里.
  ~7 b2 b$ h" N  S事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解
这些特殊函数系的"完备性",象
$ s' }2 c; P$ {, K5 z5 ]8.Courant-Hilbert
"数学物理方法"第一卷
* Z& c3 j7 ]3 U) G( \6 u可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来
- ^$ I% @4 t& B3 z5 F, z并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点
可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数
- E' j* l4 A! I: {+ o2 {一个方法学起来更容易一些.
而且,
9.王竹溪,郭敦仁
"特殊函数概论"
8 H& ^0 F# o2 \的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质
6 {5 ]" {8 B0 Q了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去
查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,
看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:
" B' ~5 ?" ]" ^$ B3 H0 m"(70年代末)...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的
'特殊函数概论'...从此这本书就一直在我的书架
7 E9 k8 U' Y0 q, a  r7 n上,...经常在里面寻找我需要的结论..."
连他老先生都如此,何况我们?
上面这两本书理图里面都有,9.的英文版系资料室
有一本.
( k) D0 w0 s6 `3 D* C  
. ~0 R* V  m: U, a) y下面开始说参考书,毫无疑问,
1 S/ S3 u5 ?9 p( B我们还是得从我们强大的北方
- b, M- u0 Y! |2 l& o" a邻国说起.
1.彼得罗夫斯基
0 n. U& C' f' D# I' H4 ~, X4 X"常微分方程讲义"
在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长
占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他
. s+ |- [/ r/ p+ W& @在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生
3 ~; F. r" v$ F9 T6 ?* N4 W去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班.
他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年
的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就
7 x2 C* x4 R) \0 `& Z8 x利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了
( S5 e7 s: M9 n' F9 E一个保护伞,他本人也以一个非共产党员得以做
到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个
天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的.
他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能
) i: `2 [$ h% N6 A* }8 ~5 e和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术
官僚作风,讲法不是非常活泼.
2.庞特里亚金
1 h3 U; p% p  @, X. f2 S' w"常微分方程"
. P- F5 h9 R- ]" N  b庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故
双目失明,在母亲的鼓励和帮助下,他以惊人
的毅力走上了数学道路,别的不说,光看看他给
# p, R/ t. I3 P) i! ?后人留下的"连续群","最佳过程的数学理论",
你就不得不对他佩服得五体投地,有六体也投
, r. `6 w' q; ]) t下来了.他的这本课本就是李迅经先生他们翻译的.
此书影响过很多我们的老师辈的人物,也很大的
影响了复旦的课本.如果对没有完全简化的字
不感冒的话绝对值得一读.
, W2 ?" ^3 k7 Q/ ^0 ^3 p
==============================================

复变函数部分：
. D8 o! J" B% L9 Y3 o, @4 k' G  
单复变函数论从它诞生之日
) y4 Z/ u4 Z0 d! [: V& T' M(1811年的某天Gauss给Bessel写
了封信,说"我们应当给'虚'数i以实数
一样的地位...")就成为数学的核心,
上个世纪的大师们基本上都在这一领域里
留下了一些东西,因此数学的这个分支
在本世纪初的时候已经基本上成形了.
到那时为止的成果基本上都是学数学的学生
必修的东西.
复旦现在这门课是张锦豪老师教.
张老师是做多复变的.毫无疑问,
多复变在二十世纪的数学里也
占有相当重要的地位,不仅它自身的
内容非常丰富,在其它分支中的应用也
- h2 R$ ?4 J; S/ s- U是相当多的--举个例子就是Penrose的
1 w) g/ c, h, H. `$ c; v! ISpinor理论,基本上就是一个复分析的
问题.这就扯远了,就此打住.
$ Y5 S( I7 y6 F2 r# m. P张老师用的是他自己的讲义,那
5 N0 k4 r0 S7 J7 g( [书要到今年夏天才能印出来.所以
还是这两年上过这门课的ddmm来
谈谈感受比较好.
现在具体的情况我不是很清楚,复旦
以前有一本
1.范莉莉,何成奇
' A( `& {# M- v8 S"复变函数论"
这是上海科技出版的那套书里面的复变.
今天回过头来看,这本书讲的东西也不是
很难,包括那些数量很不少的习题.
5 p% T$ S0 x" c9 I9 W但是做为第一次
学的课本,应当说还不是很容易的.
总的说来,从书的序言里面列的参考书目
! }: _% W7 [, V8 F9 R  U, D$ v6 R就可以看出两位先生是借鉴了不少国际
" i; u- ?/ w! K, f* K7 s/ m. J上的先进课本的.
不知道数学系的学生还发这本书吗?
  
7 C+ |( W7 s' W: v8 p 如果要列参考书的话,单复变的课本
5 ?. T0 ^4 n$ y+ p" o1 r1 z 真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧:
2.普里瓦洛夫
1 `9 m- F. q: P9 L/ M: f$ \/ T "复变函数(论)引论"
这是我们的老师辈做学生的时候的标准
$ V6 s1 K# i0 g: ?) E' K0 w6 J 课本.内容翔实,具有传统的苏联标准
! n  S! M1 ?  V* H0 H( O 课本的一切特征.听说过这么一个小故事:
普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次
期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,
无论是从教师还是从学生的角度来说),
有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝
般地问了一句"sin z有界无界?"此人
# J+ n9 m4 ]: `0 \ 稀里糊涂地回答了一句"有界",就马上
' `3 p3 Y2 l) ]0 l 被开回去了,实在是不幸之至.
- |( T4 G  \7 I- t( G! L9 U2 q0 F 这书不在理图就在总书库里面.
5 `5 X: i) h7 d3 K5 t) { 3.马库雪维奇
9 Z2 ?5 E6 l/ N  j  r "解析函数论(教程?)"
这本厚似砖头的书可以在总书库里找到.
它比上面这本要深不少.张老师说过,
以前学复变的学生用2.做课本,学完
后再看3.,然后就可以开始做研究了.
这本书的一个毛病是它喜欢用自己的
一套数学史,所以象Cauchy-Riemann方程
9 o  ^+ A/ Y0 d6 F) } 它也给换了个名字,好象是Euler-D'Alembert
吧!
2 O7 o% S1 v2 |9 D  
$ e/ s7 L* Z0 _$ R$ l9 ]再说点西方的:
# a& t- t  O- \; a5 d4.L.Alfors(阿尔福斯)
6 S# o: S4 Q% h# D& H% [4 y5 I' u; B"Complex Analysis(复分析)"
0 B4 o$ Q4 v" i  M6 ]- e; R这应该是用英语写的最经典的复分析教材.
Alfors是本世纪最重要的数学家之一
, r, O9 {+ u6 J3 {* u(仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的
人物之一),单复变及相关领域正好是他的专长.
/ {" b) Q  R# a- J他的这本课本从六十年代出第一版
5 l1 x8 U; V$ u8 _( U- @开始就好评如潮,总书库里面有英文的修订本,
0 o0 f( G  h- P" K% m理图里面是不是有中译本(好象是张驰译的)
记不清了,建议还是看英文的.
这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位
代表人物分别对应三种处理方式:Cauchy
3 U( b; `" j5 C' e0 d/ t' q--积分公式;Riemann--几何化的处理;Weierstrass
--幂级数方法.这三种方法各有千秋,一半的
$ N" S! l0 M0 m课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理
$ R+ S) \. G( ~可以说是相当好的.
5.H.Cartan(亨利.嘉当)
"解析函数论引论"
# J0 m9 |# o) L5 d5 q& m2 Y. ?( d9 V这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人物
( f4 ?( Z! i5 i1 V8 {( T5 @) F在二十世纪复分析的发展史上也占有很重
要的地位.他在多复变领域的很多工作是
开创性的.这本课本内容不是很深,从处理
方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作
0 u) q1 ^3 I6 B" i" o4 E7 ]) D5 |(无论如何比那套"数学原理"好念多了:-))
* C7 ^8 y2 x1 [, B* j% ?  
6.J.B.Conway
"Functions of One Complex Variable"(GTM 11)
# A7 T# d$ R1 `* ?"Functions of One Complex Variable,II"(GTM 159)
& w/ {* {* K5 }- Z9 Z, a(GTM=Graduate Mathematics Texts,
是Springer-Verlag的一套丛书,后面的数字是编号)
! J2 m& l+ L; K/ K9 A1 a' l第一卷也是1.的参考书目之一.作者后来又写
2 s9 u! ?& r. W; _/ {8 Q7 C了第二卷.当然那里面讲述的内容就比较深一点了.
. C! I, C) f4 T( s) T3 r7 i5 {8 a这本书第一卷基本上可以说是Cauchy+Weierstrass,
对于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套东西
要到第二卷里面才能看到.
7.K.Kodaira(小平邦彦)
"An Introduction to Complex Analysis"
这就是四年前张老师给我们94理基的7个人开课
: N" I+ y6 [* s! L- f& [是用的课本.Kodaira也是一位复分析大师,
' {/ T( R- ~5 u也是Fields+Wolf.这本书属于"不深,但该学的
基本上都有了"的那种类型.总书库或系资料室
' A, R. {; i8 ~有.需要注意的是这本书(英译本)的印刷错误
% Y6 x) r1 r) Y0 t- k4 ^相对多,250来页的书我曾经列出过100多处毛病.
由此我对此书的英译者F.Beardon极为不满,
4 ]( B! U5 K) f. n/ z1 U# A因为同样Beardon自己的一本"Complex Analysis"
我就找不出什么错.
( P5 ]& t0 O7 e' }  
人家的课本基本上就是这些了.下面说说习题
9 M4 \1 z& e" }  o5 W6 P) O9.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
( X# a" P' p- ?"数学分析中的问题和定理"
第一卷的后半段就是单复变的相当高质量的
0 w" D5 G/ T. @3 }3 i. s0 X7 L习题,第二卷的大部分也是,只不过那就有点
7 l% L4 @' X5 L6 Z8 b3 }6 P- _太过专门了而已.看看这本书的序言就可以多少
0 D7 m; O  R( c: G" I1 J体会到单复变的地位了.一般来说,里面的题目都
3 k1 m/ v, t! V3 V有答案或提示,不过我以为一般来说还是可以
- S+ H$ `1 @3 Q' q1 R+ i- t6 k6 e独立做出来的.
10."解析函数论习题集"
* t/ I% X' [& E: o+ d1 P5 h实在不好意思,作者(大概是三个苏联人)的名字
1 Y8 G6 O' E: I0 N忘了,这本书里面的题目相当多.
理图里面有,系资料室有一本英文的.
5 x$ R  F/ n# D! Z' [( b1 M其它的书我认为可以翻翻的包括
3 R1 y- n. ~6 p0 C4 d11.张南岳,陈怀惠
$ b2 ~/ Z+ q# l  U5 e3 u' N"复变函数论选讲"
- O* G9 S. V7 B- b* X. l" Q$ h这是北大出版的研究生课本,基本上可以说和
; }( y% y/ }1 [上面提到的Conway的第二卷属于同一水平.
% p! D! R3 t+ h* c; i从内容上来看,
第一章"正规族",第二章"单连通区域的共形映射"
' k- ~# h7 L4 X1 f4 n都是直接可以看的,第五章"整函数"同样如此.
' V- t5 G5 {5 n7 Q看一点第七章"Gamma函数和Riemann zeta函数"
(这部分内容在6.里面也有),然后去看
6 J5 y3 d/ `% y12.J.-P. Serre(塞尔)
. _! C: |0 g# e* ]) Q$ j+ r& c"A course of Arithmetics"(数论教程)
第二部分的十来页东西就可以理解下述
& U3 C4 D* K, H: H6 FDirichlet定理的证明了:
  }4 w. E# d$ h8 f: q2 o5 S; N! ^"a,b互素,则{am+b}里有无穷多个素数"
2 g% F( X$ V6 O5 }( ^Serre也是本世纪杰出的复分析,代数几何,
代数专家.他28岁得Fields奖的记录至今还
没有人能够打破.他写的书一向以清晰著称.
  
5 B) u$ t3 n! `9 M, w/ ^0 n  o发信人: unix (  ), 信区: mathematics
偶记得国内的复变教材还有北大庄圻泰的<<复变函数>>, 不记得是不是和张南岳合
- m/ b4 {9 x4 f" U写的。应该是不错的， 习题较多。
9 g# u/ S  r/ L* b$ \7 s! l1 G/ i: u科大严镇军也有一本<<复变函数>>也不错。
2 E' x: e. ^1 f7 @* j- `) w其他的复变书都大同小异，偶还记得有本钟玉泉的馆藏考贝最多。
  
在不牵涉到复流形理论和多复变的情况下,
理图里面还有
13.庄圻泰,何育瓒等
; _! t0 j7 M7 u7 m7 O "复变函数论(专题?)选讲"
5 G8 w/ ~  L& x+ }9 A5 X& ] 差不多的题目应该有两本,一本肯定理图
2 B. g* D+ g" I5 T8 z0 \5 ^ 里面是有的,比较薄,从Cauchy积分公式的
同伦,同调形式讲起,属提高性质.另外一
+ _: n6 C3 y- v5 L: F 本记忆中就觉得太专门了点.
3 a' O; T& m  N 除此之外,讲单复变的还有两本书,
不过可能第一遍学的时候不是很适合看.
/ i% M! @% n+ R3 b3 l* o 图书馆里面都有.
1 O: B# P; y' v/ W 14.W.Rudin
"Real and Complex Analysis"
必须承认,Rudin很会写书,这本书里面他把
& C+ v0 R' G( o: L 对应与我们的复变,实变,泛函的许多东西
8 R7 }* \6 F( r" L+ J  U" w; j) L 都串在一起了.用泛函方法处理复变的基础
是某一个Riesz表示定理,在复旦的课本里面
7 j* d2 y/ J9 e 你要到研究生的泛函课本里(还不一定教)
才能找到那个命题.所以还是到学泛函的时候
/ r' }2 E" H- p* U0 L& j 再谈吧!
4 W  e" F; p% P, [7 {0 w7 u 15.L.Hormander
"An Introduction to Complex Analysis in Several Variables"
1 U% U. |6 M) R 这是本标题下出现的第三位Fields+Wolf的人物.
他的这本多复变的课本也是经典,其工具主要是
微分算子的L^2估计.这里有用的是它的第一章,
可以说第一次看这部分讲单复变的内容一般都会
# P; m$ B& ^; L6 {1 \. q 有一种耳目一新的感觉.讲个细节,就是Cauchy
积分公式对于一般可微函数的推广叫Cauchy-Pompeiu
公式,基本上多复变的课本都会提到而单复变的
书都不讲.其实只要你看一下它的形式就会知道
0 A( I% ?' _0 p( T6 r6 O 这个公式的用处是很大的,不妨试试拿它来算一些
3 c5 W; E8 F! l& i! Y' Q 奇异积分.
  
. ^+ z6 ?: M0 D+ F' e1 g  ^0 r16.Titchmarch
"函数论"
6 I9 e' c1 @& Q* K: A- U* g$ Y, L7 ]这是一本老书,相当有名.书中一半多的篇幅是讲复变的,
0 E/ C" v, c  O2 m0 _/ S# q# A看看可以知道二十世纪上半叶的函数论是什么样子.
除此之外的意义是,程民德先生在他给陈建功先生做的
; Y& \& O, u& Z) Q* J4 V/ p# J传中写到:"(三十年代的浙大)陈先生开的复分析课程
) V2 l/ o- C) s- h# T. |0 L4 ^3 M几乎包括Titchmarch函数论除实函数外的全部内容.."
关于陈先生这位对今天复旦数学系的地位有至关重要
影响的先驱,等说实变的时候再谈吧!
17.戈鲁辛
0 j' L' L/ n0 K7 r"复变函数几何理论"
这本书也很老了.但是这本书的价值并不因时间的推移而改变.
# K9 e2 ]$ f1 j0 r+ d1 M/ ]作者也是很好的数学家,夏道行先生当年在苏联做得
& c: ~. t% o( B, D/ J最好的工作之一就是解决了戈鲁辛的两个猜想.
, d: T, b1 ^' U& e% p: F, h总书库里面应该有,标题可能略有出入.
) d, f4 Y. `1 d0 ?最后讲一本书,不知道复旦有没有:
17. R.Remmert
3 G1 M/ v- S) d4 M"Complex Analysis"(GTM,reading in mathematics)
Remmert是德国的多复变专家,他的这本书一点也不深,
; S- g1 G7 x7 g) z- h4 \其最大特色是收集了很多历史资料,把许多概念的
来龙去脉交代的异常清楚.
  
2 N# a; Q* ]2 T+ J5 k# Y==============================================

( v, M! q9 K( l组合基础部分：

" y( _) W; @9 P6 _1 g这门课没读过,不过如果现在的课本还是
1.I.Tomescu
3 j, b5 w2 i7 z! `2 I4 `3 X; ~$ j"组合学引论"
+ J' O! u% x7 O4 a0 p的话,倒还是想说两句的.
& Y, J" Y0 \2 ^* k2 n首先,这是本很好的书,不管上不上这门课都值得一读.
* N! `2 ?+ \) `) \其次,这本书的习题不是很好做的,特别是没有答案:)
(严肃的说,当你看到许多习题后面都标有人物,年代,
! ]8 E# ?% z: {. d/ S就该知道这些结果不是那么平凡的了)
作为补充,可以考虑
2.I.Tomescu
"Problem in graph theory and combinatorics(???)"
这本书有比较详细的提示和解答,
里面的题目也非常好,
7 ?. |' B$ B; E0 c$ _6 O高二的时候曾和一个哥们把里面的题目抄了一遍
* c2 E1 p( c% U- _  p4 y" I$ Y(当时条件简陋,没法复印的说...//sigh).
0 A! r2 \; `8 S# g: q& [不过复旦是不是有我不是最清楚.
; N4 R* n$ K( P, f) K1 N但是我可以肯定的是,下面这本书总书库里面
有很多:
3.Lovasz
5 t  ~9 Y5 q' g"Problems in Combinatorics(?)"
, M4 [; ^! m. h; K这是本相当好的习题集,作者Lovasz是
, L  t$ Q3 T. K. V" ~( B% e5 \/ @8 W唯一一个得过wolf奖的组合学家.
唯一的可能有麻烦的地方这本书的块头大
了点,不过千万不要被吓倒!
* f$ l8 z- ^* E& ^2 f6 Z
==============================================

实变函数与泛函分析部分：

5 q* N" m  B) [, j这是数学系的学生学到的第一门
完全属于二十世纪的课程.
9 x) j8 ]2 z$ [4 {% {4 ?这门课程的重要性是不言而谕的.
对于这门课程在中国的发展,
1 d* q- R3 X7 I1 E- e许多和复旦有密切关系的前辈都
6 K9 b. D$ e  a/ y5 J做出过重要贡献.
$ z# s; m, N% s8 L+ Z' v在复旦开实分析课的第一人毫无疑问是
陈建功先生(1893-1971).作为中国现代数学的
, t7 U4 ]0 s1 N: t; W- t" d4 c先驱者,他在1914-1929年间三赴日本学习
$ m" O4 ^4 `' N  f5 p现代数学,是在日本获得理学博士学位的第一个
6 U3 e! f! X0 P! V' [( D& V外国学者.此后他回到浙大,和31年回国的苏先生
( {! K3 A: u7 u2 j一起为中国现代数学的发展做出了极其重要的贡献.
- m& _3 {5 z: s" }2 n即便是在抗战最困难的时期,他们也没有放弃学术研究.
李约瑟当时称赞西南联大和浙大是东方的Oxford 和
" ^; ^/ m  v2 {2 iCambridge,陈先生在浙大的大弟子程民德先生说到
"这一光辉的称号,可以说是用难以数计的微弱的
" _3 F8 s$ w$ z3 b桐油灯光所照亮的".程先生为陈建功先生在
# p6 g9 k  o3 g/ c7 o1."中国现代数学家传"(第二卷)
里面做了一篇传记,不可不读.
陈先生在浙大担负着极重的教学任务,在五十年代
他把历年使用的讲义遍成书出版,这就是
, i8 h  d2 w& ^6 I  u$ E  u' t2.陈建功
# J# k* |8 Y! b1 y6 Q" S: @* F"实函数论"
5 ^7 G4 e" }$ R+ ~! G( G+ L今天看来,这里面的内容是相当古典的,
但是其中很多东西的讲法到今天还是很好的.
6 A) J3 O2 \+ A陈先生门下弟子无数,早期(20年代)的学生
% t" S: J4 s+ {9 V* P7 v' \$ S包括中国现代数学的另两位重要人物王福春先生
4 G$ {! @7 w( x- K和曾炯之先生.后来从浙大到复旦,我们可以列出一串
- e2 A4 ^; F: f0 c长长的名单:程民德,叶彦谦,秦元勋,张鸣镛,夏道行,
' ?2 b/ D, b) }3 k) ]  ?" ?龚升,李训经...
前校长杨福家先生在某次会上说过"复旦人不会忘记,
五十年代,复旦造了两幢小楼,一幢是给陈建功先生的,
- u' ]( M% {  K2 K5 X4 u一幢是给苏步青先生的,正是他们使复旦的数学变了样...."
那两幢房子现在还在第九宿舍里面.一幢苏先生家人还住着.
另外的那幢在陈先生58年搬去杭州以后就空着,据说曾有
4 x. j& f2 q6 W# ?: h1 H1 i: ~2 ^0 S某位今天在复旦也是大名鼎鼎的人物搬进去过,但不久就因为
- J4 p( T# l1 w! H实在"摆不平"又搬了出来--陈先生和苏先生的地位可见一斑.
: ^! K) c  m- h' B) m  
今天在数学系里还能找到陈先生的一些遗迹,
( m, a; O% I: L. @, [5 K0 ~比如那套Gauss全集就是陈先生出让给浙大
: f- M; v* J- J; |图书馆的(见内页题字)
) R7 N  O% |7 p6 c4 u现在用的课本是
' Y& H+ N; R1 J2 [# F2 `3.夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌
7 ^4 o: F+ f; Y+ ~" V, W4 F"实变函数论与泛函分析"
第二版,上,下册
这是,在我看来,复旦为中国的数学事业
贡献的最重要的课本.从1978年第一版
出版开始,这就是中国最标准的实变与
& W; v0 _+ o! }: z. J$ \泛函课本.受益与此书的学生不可计数.
夏先生是陈先生五十年代初的研究生.
- ]9 t1 a: }% h当年陈先生开实分析课的时候夏先生
做助教,也是跟班从头听到底(和今天CS的TA的
  S7 X5 J. {  a3 \要求差不多,不是吗?*_^)
夏先生50年代中期赴苏联进修,师从I.M.Gelfand.
# [% E9 n5 E$ q1 }# B那是泛函分析还处于发展的初期,Gelfand
又是这个领域的泰山北斗.所以夏先生不仅
# M/ k! U: _+ ?6 ]" o在在苏联的两年间做出了相当好的工作,
6 x- H. v3 Z2 F) t, V5 o% R# P7 \而且回国后在复旦建立了一个相当
: t  x3 h0 w$ U/ [0 ^强的泛函研究小组.具体可以看
/ R8 a  u, w* a" k* ~4.杨乐,李忠编
; P/ w' R% G- [  u! w"中国数学会六十年"
里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章.
0 ]- Q# {. {# F六十年代初,夏先生就已经是"现代数学丛书"
; P: B( {6 f/ I8 ^- Q, J9 W5 l的编委了,那时候他才30出头一点.今天的中国
数学界,没有一个这个年龄的数学家有夏先生当年
& c  h0 T4 x. Y% d( n的学术地位!
" `5 P6 \5 c2 A0 g夏先生做单复变和概率的功夫也是非常深的.
在80年当选学部委员的时候,他的专业就写的
( z% P) n2 y9 v是这三样.

& L  |% ~2 b# i# t, U( V& k  
2 o' j- q2 {# G9 p我们一章一章来看:
第一章"集和直线上的点集"
这是很美妙的东西,数学系的学生从这里
0 t: j# y8 V6 O% X- w" G. w开始严肃地接受关于无限的教育.
' ~( b" G" h+ q0 b" F9 Z具体的问题是教师一般都要在这一章
6 d: ?6 }  ?$ Z+ s上面花不少时间,部分是因为这些搞脑子的
东西学生以前根本没有接触过.我想今后
( j* q7 J3 a4 L+ J; t/ D+ E可能的话应该在第一二年的课程里面讲一些这一章
的内容,象实数理论和极限论,等价关系,
( S' h+ `( @! F! M% j8 I7 t' j$ R直线上的开,闭集,等等.这样一是可以省下很
多时间,其次的确你翻翻许多数学分析的书
也能看到这些内容.
  f6 X$ S) @# k1 S+ M大概一定要留到这里来讲的包括Zorn引理,
) P" f, M0 ]* {( D- e8 ^2 m; ?0 Y在
5.E.Hewitt, K.Stromberg
"Real and Abstract Analysis"(GTM 25)
里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其
等价命题的叙述.那里写到"The axiom of choice
does not perhaps play a central role in analysis, but when it is needed, it is
) q2 c- r- u. ?" L6 Nneeded most urgently".这是很有道理的.这个方向上扩展出去可以看
+ ~, O' j  l9 `* ]% F6.那汤松
"实变函数论"
# r; W, J; b6 j; x0 Z: H' c在下册里面还有关于超限归纳法的描述.
2 _3 P  T7 H) q% g* ^. B这本书是徐瑞云先生翻译的.据说当年陈
* t: {, |; m! D2 L( z% d9 s6 Y" w建功先生对他的这位女弟子的译做赞不绝口.
徐先生不幸于文革中自杀身亡.
总书库里面有.
另外,对于很多具体的点集的例子,有许多
4 {- \6 d' a$ ~. ^# {9 T书可以参考,比如
0 }* B5 p- f* ]+ t! O$ L7.汪林
"实分析中的反例"
- B& a% k2 Q& Q5 W这是本非常非常好的书,在以后的几章里面
我们也都要引用这本书.作者是程民德
$ E5 B- _+ C9 w& j, M4 u; ^& J先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是
一本讲例子的书!理图里有.
" }1 i& H8 Q' L9 E* }和一些习题集和解答,比如
! _: S7 o3 [& w" U8."实变函数论习题解答"
* X- U1 ?5 R, e$ {6 ?这是那汤松的书的习题解答.质量一般,
# }1 O  f5 q! r: v2 n3 ~: R1 B不过好歹是本习题解答吧.
* z6 i8 H( y# ]* V% I! J5 X, K- o5 z9."实变函数论的定理与习题"
记不清是谁写的了,应该是某个苏联人.
* A# h" @  B! A' e* T里面有详细的解答,质量相当高.
5 G* K( m. Y( X  

第二章"?舛?"
- i, \( F8 n) a5 ]. M5 R3 s) j; W0 k这是这本书上册的核心.
: h6 C/ I5 s4 }' G1 `$ Y6 {测度在这里的讲法,
  r' p+ C2 o1 c! P; d0 W从环上的测度讲到测度的扩展,
基本上属于
10.P.R.Halmos
"Measure Theory"(GTM 18)
(中译本:测度论)
的框架里面.这本书实在不敢
0 i+ v, x' ^* J2 S" D' g1 L3 o3 s评论,自己看吧!
这本书里面还有一些精选的习题,
  F$ f+ P! }% q& M有胆子和时间的话值得一做.
& w% e8 O8 l$ @. U集环的理论
一本相当有趣的书可以看看,
就是
11.J.Oxtoby
: E- Q4 z8 b8 O9 a& ?) Q: \Measure and Category(GTM2)
这里的"category"不是指代数里面的范畴,
而是集合的"纲",讲了很多有趣的东西.
& F* x- f- y: ?4 r% M. F! B现在可以来谈谈
12.周民强
"实变函数"(第二版)
这本书写得不错,总的说来最大的
好处恐怕就是习题很多,
而且都是能做的习题--复旦的课本
$ S7 z: P1 U% ?里面的习题初学好象是难了点,
特别是在没有答案的情况下:)
! F0 o" Z$ m+ }3 y" h$ p还有一本很好的书,
可惜至今只打过几个照面,
( t! n) I& r! K, k. W2 B- @! ?- j但是可以肯定的是绝对是好书:
13.程民德,邓东皋
"实分析"
, R3 l+ T' ?# W5 V我见过这书里面的一个测度的题目:
' c6 w+ ^4 H* z$m^*(E_1\cap E_2)+m^*(E1\cup E_2)
\leq m^*(E_1)+m^*(E_2)$,
还是很有趣的,还难住过我们的一个老师哦!
! U$ d" s' Y+ J/ Q. a  L$ F此外,上一章里面的参考书都可以搬过来.
" E8 x) B; H) I6 a  a$ V需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebesgue积分
! G" p" ~' r# O- L- C& l的,比如6.12.等,有些细节上注意一下L与L-S
- J+ T& P1 X3 p) r的差别还是有用的.
  
第三章
$ x/ j+ u* `1 m7 b1 C这就是真正的实分析了.这里面应该说
每一节都是重要的.
+ m0 D- c) b/ i! Y在全面引用上两章的参考书的同时,还可以考虑
下面的:
( A+ v. q# X3 S$ f14.I.E. Segal, R.A. Kunze
"Integrals and Operators"
和
( |- t, y4 G% r  u& f. x0 b* P0 t15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin
# Y3 I! G, t. W' L( F"函数论与泛函分析初步"
这些作者应该说都是相当好的数学家了.
. m, h3 \& q! R比较遗憾的是一般由于课时安排等种种原因,
最后三节都不能好好讲.其实这些都是很有趣的
3 n1 U* a, r7 O& _1 Q7 }6 U东西.广义测度和R-N定理更是非掌握不可的.
最后问个小问题:
9 _: a' B' E2 d+ E* y"L^1(R)是R上全体可积函数全体构成的空间"
0 J  ]% K1 T! H  S" V这句话对吗?
  
在直线(或者更一般的局部紧群上),是有可能
& h* @* f, R- Q. n8 _6 @ 先建立积分理论再导出测度的.比如下面
将要讲到的
  @' O: y' u/ |3 ^% ^9 ] 16.夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙
4 r- L& {- j3 n! d$ d& Y- }/ X "泛函分析第二教程"
- G1 p. O' S# X) H' K 里面就有一些这方面的内容.
此外还有象
17.夏道行,严绍宗
"实变函数与泛函分析概要(?)"
, S: D5 f7 B! k6 |; C (上海科技出的那套教材里面的一本,
: ^) |9 I0 J5 ~2 \) ~ 理图里面有)好象就是按照先积分
$ H, q' I: ?6 X5 u7 P. E. v3 ~ 再测度的办法讲的.
另外用这一体系的书好象还有
18. F.Riesz,B.Sz.-Nagy
5 S( x* \2 m+ k; w; t "泛函分析讲义"(Lecons d'analyse fonctionnelle)
这也是不错的书.
" P; h  `/ M3 H% s6 B 对测度感兴趣的话,还可以看一些
. ~  r7 i2 A& U; q. s; R1 Q 动力系统里面讲遍历理论(ergodic theory)
的书,"那是真正的测度论"(J.M.Bony).
1 W: [* t4 N" [! _$ z  
第四章
  f* |7 w4 @: ^: w& X2 |% P从这里开始算泛函分析的课了.
不过这一章是不是一定要以这样的
篇幅在这里讲值得讨论.
4 W- K( c% J# E' Q* ?其实很多度量空间的概念在数学分析
课里面就可以解决掉,在这里应该只要
强调有限维和无限维的差别就可以了.
上面的许多参考书在这里一样可以用,
还应该加上的是:
$ x7 A- ]+ O" G3 j% N9 g19.汪林
* M/ M0 p6 W) c1 T7 n! N"泛函分析中的反例"
第十节一般不讲,不过这东西实在是基本,
$ @6 r, e$ j6 j% w! K5 I3 f- H5 }整个泛函的体系都可以建立在上面,
- n4 ^1 G  H) |5 ]" \7 T: x5 e理图里面有一本
- L) S6 g# F% w: m! h, y/ P20.夏道行,杨亚立
"拓扑线性空间"
, h) [% W8 r8 S, A不过那书基本上是第二作者写的,所以建议
7 o  G: z# Q8 L& x" L, p. c有兴趣的化还是看下面几本
8 p( z6 J) t; Z* N21.N.Bourbaki
- _6 ^5 |4 T2 j. D# d$ s$ ?"Topological Vector Space"Chpt. 1-5
' p6 ?; }9 u3 Q# _8 A7 q. z/ n布尔巴基写书是一章一章出的,
, z& Y% i7 n. D5 i这书能一次就包含五章,实属罕见.
而且估计今后也不会有后续的内容了.
  
# C! T6 \7 w$ KGTM里面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的:
22.H.H.Schaefer
. V- V4 o8 n) n% B9 Z2 sTopological Vector Spaces(GTM3)
. R! k' @8 F# ~5 j: h: N! F和
- J6 H# T' q; g9 R3 b* F- U23.J.L. Kelley, I.. Namioka
$ o) `! b- o) R+ V& T$ m4 G0 vLinear Topological Spaces(GTM36)
# z$ `5 }" ]2 f. \. U  W! ~7 `  O; j16.里面有一章也是讲这东西的.
其它许多以"泛函分析"为标题的书也是
以此为出发点的,比如
24.S.K. Berberian
"lectures in Functional Analysis and Operator Theory"(GTM15)
Berberian 也是很好的数学家,他翻译的Connes的"Noncommutative Geometry"
是一个很好的版本.尽管后来Connes自己出了个内容更多的英文本.
或者
25.W. Rudin
3 R3 n; u. o3 R3 R  y% k& |"Functional Analysis"
这本书里面也有很多非常有趣的内容.Rudin的书都是很好的.
4 ~; @# t" a6 Z3 {' v0 o& `1 l0 j" Y26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov
"Functional Analysis"
(英文版系资料室有一本,中译本在理图有很多)
不少人都说Nobel经济学奖有不少是给数学家的,
这话一点不错,不过给计划经济体制下的数学家恐怕
就Kantorovitch一位了.这是本很清晰简洁的书,
1 R! }" ?* Y, \) c7 z8 y& B中译本的质量也很不错.
此外还有
27..J.B. Conway
2 T, `" {1 k: F: |"A Course in Functional Analysis"(GTM96)
7 X+ H7 M, g2 w6 e  
第五章
: {6 Z( w$ S5 p$ m2 t- `这一章讲述Banach空间上的有界线性
算子理论.这一内容的框架性著作
! T- Y2 j8 l  L+ ?0 k9 S毫无疑问是
4 [$ F: a, W2 L7 ~* j, y) `) {28.Dunford,Schwarz
3 W; ^0 _7 n. k$ {* _( H"Linear Operators"I
这书在系资料室运气好的话能找到一到两本.
) j) O1 Y# d1 b' U& H注意有一些结论是可以把Banach空间减弱
为Frechet空间的,不过好象据说实际应用
中除了广义函数空间是个Frechet空间以外
+ o0 j  A+ x7 B其它用得并不多.
前面列的各中标题是泛函分析的书这里
都可以用.
  I& W- T  K3 O7 k! N: b6 F汪林的书19.里面有许多有趣的例子.
* d! m8 V" Q; \不自反的空间的例子在系资料室
可以查到,应该是在某期Proc. of Nat. Acad. of Sci.上.
再补充一下前面漏掉的一本书:
+ M0 A& @# J$ K$ C4 t  r+ x4 ]4 E29.W.Rudin
"Real and Complex Ananlysis"
  T& d! x9 K' K- l, n; F在讲单复变的时候我们已经提到过这本书了,
这里面可以看到不少实分析或者说泛函方法
在复变中的应用.这书现在已经有第三版了,
老的版本总书库里面有很多.
  
第六章
, I: |; D3 x1 t" n3 VHilbert空间由于其上存在一个内积,
$ J, d( k( H# j+ d可以发展的性质比Banach空间要多得多.
从空间本身来讲,线性代数学好点对
本章前面几节有很大帮助,学的过程
中密切注视维数无限导致的各种反例
就是了.
算子理论其实也一样,脑子里面清楚哪些
" R1 A+ }) Q$ ~+ |有限维的性质是可以推广到无限维的
5 F' H3 U) M. W; J: ^: D5 Y% G/ ^对整个体系的理解很有用.
本科阶段一般也就教半章,这也没有办法,
; k4 T* |* F3 `& A2 w' z% g  m如果第四章能省下的点时间的话还是能够
& |. E/ i! R7 T: G5 ~讲一些算子谱理论的.
' a4 C8 q( Q& m. M, J4 @这里可以做的习题非常多,特别是
2 i7 V' s  k5 g30.P.R. Halmos
A Hilbert Space Problem Book(GTM19)
算得上一本杰作."The only way to learn
mathematics is to do mathematics"就出自
+ W, {) g+ ]' N5 e' B这里.
  
再往下去研究算子代数的话,就实在"是没有底的东西了"(陈晓漫)
在16.里面有一章讲些基本概念.
这一块的文献也是浩如烟海,
. p' H0 ?: {1 r7 n因为学得太少,不敢妄加评论,只想指出一本书,
31.G.K. Pedersen
+ o! i2 K: F- e( J; S"C*-Algebras and their Automorphism Groups"
这书连A.Connes都说好,我想决不会差到哪里去.
再说两句A.Connes,关于他的工作,或者说整
个算子代数往后来的非交换几何的发展历史,
- Z8 @- O  L' r6 T特别是这一分支从其开始的阶段就和量子物理
/ Y3 w& w6 Z& A% r! X1 h( q的联系,可以看
32.Vaughan Jones(Fields 90) and Henri Moscovici
"Riview of Noncommutative Geometry by Alain Connes"
! I6 ~; A5 _3 DAMS Notice,v.44(1997),No.7
. @. z- A9 V3 }9 H33.A.Lesniewski
"Noncommutative Geometry"
AMS Notice,v.44(1997),No.7
还有
34.Irving Segal
Book Review, Non commutative geometry by Alain Connes
AMS Bulletin,v.33(1996),No.4
因为
9 ]# B* u5 \0 S! `9 i; {35.Alain Connes(Fields 82)
4 Y: |; }& ~. d& v( ^"Noncommutative Geometry"
# q- z* y, f- p0 @4 {1 C8 f+ g可以说是这一块的里程碑式的著作,
(33.中甚至说今后人们会用今天看
  S! N+ K! {( P. VRiemann的就职演说的眼光看这本书)
7 d$ ]9 H5 `! r) ]) a+ l# Y所以对于这本书的评论很多也就
把整个分支都评论进去了,不妨看看.
Jones说这书是"A milestone for mathematics.
Connes has created a theory that embraces
most aspects of `classical' mathematics
* `9 g: ]" ?* ?+ qand sets us out on a long and exciting
voyage into the world of noncommutative
mathematics".做为老前辈,Segal的书评里面
9 P7 x1 Z. r6 f) i有一些批评,也值得注意.
, p( x, Y% l. L6 o. K' W  
3 O5 _% ?- D# n: e8 s12.的作者J.-P. Serre成为第五位
( K. U5 P8 P! @8 o/ s" _! n既得过Fields奖又得过Wolf奖的数学家.
- k+ J/ l4 f' R) h; u) E6 l. i7 ?& C  @(前面四位是L. Alfors;K. Kodaira; L. Hormander;J. Milnor)
  
第七章
* ^/ h0 M) o, u. l; Y这一章一般不讲,在本科阶段不讲,
1 q# p% G" C  j& l" n在研究生阶段也不讲,实在奇怪,不是吗?
主要问题是,就事论事地讨论广义函数
恐怕不是非常地有趣,要紧的还是这套框架
在偏微分理论中的应用.现在的状态就是
你在复旦数学系基础专业念四年出来可以还没
听说过什么叫Sobolev空间,尽管大家都承认
复旦的偏微是很强的...\\sigh
在广义函数的标题下最有名的应该是
36.I.M.Gelfand等
' ^/ e) r# d) G4 \& w& p3 }8 C"广义函数"(Generalized Functions,I-V)
' K8 [) G  r- ]: x7 `大概I-IV都有中译本吧!理图里面应该是有的,
英文本系资料室有.从泛函的角度,据说是
8 ~3 i+ C( m+ a* Z第二本最有意思.
2 z# F* S4 e2 f3 ~5 G/ M7 ?! S另外还有两本好书,不光是这一块内容,
, D8 d* Y7 ]$ I从整体上讲也是很好的泛函课本
37.K.Yosida(吉田耕作)
"Functional Analysis"
他也过两种不同"规格"的书,一本比较厚,
一本比较薄,都很好.其中有一本的第六版
7 d2 v7 n# _# R$ L! q去年世界图书刚刚影印.
1 ?: ^+ M/ J: o/ e% I' X38.H.Brezis
"Analyse Fonctionelle"
Brezis是我校名誉教授,法国科学院院士,
  [( R2 X4 k0 X" T" q非线性偏微的权威.他的这本书很见功力.
) h; U9 }  c+ s( O2 A. T% x( @; R如果能念法语的话绝对值得一读.
  ?' f5 ?  O& f$ W9 G( e在Rudin的书25.里面也讲了不少广义函数的内容,
特别有一章讲Tauberian Theory,很有意思.
  
==============================================

$ d9 C4 U  u+ I* u% w1 @2 m/ e抽象代数部分：

1 ?5 [) M" ]( x( s$ `有的地方管这叫"近世代数",
) U8 t, L: \6 e7 P反正近不近各人自己看着办吧!
' f) F. h& u: h( \8 G/ e# O从历史上说,可以认为严肃的讨论
3 K) [' b' e3 k& d0 {% s是从伽罗华开始的,他在决斗前夜
写下的那封著名的信件(里面有
! \; g; m8 E1 B  K- T+ {+ Y6 A"你可以公开向Jacobi或者Gauss
提出请求,不是就这些结果的正确性,
而是重要性,给出意见....",现藏
$ i1 p9 F4 b- S1 r5 r# ~3 ~) P法国国家图书馆).在后来的发展过程
中,代数结构话的语言逐步渗透到
数学的各个角落.到今天这已经是
7 m) L) N* V- y$ C( Q9 U一门无处不在的分支了.
" }+ X( l/ k( F( w' Z2 O9 n: q7 l不止一个老师教导过我们:
在复旦,你们受到的分析训练将是
很多的(充不充分要看各人的要求了),
但是代数...恐怕你们自己还要多下点功夫.
现行教材是我的本家写的,
总的说来作为初学还很可以一读,
2 a* U; Q2 C0 B原因将在下面说明.
& m5 t. V0 [9 O9 ~  
+ p7 R! P$ o/ X北大的课本是
" w+ U& ^+ p/ ?) Z8 N1.丁石孙,聂灵沼
# X5 U8 _0 `* o5 C) H"代数学引论"
; z% @8 ?& a4 @; {4 H' d这本书的特点和北大的那本高等代数一样,
就是没什么自己的特色,原因是这本书从
体例到习题在很大程度上参考了
9 O9 r' z& F. u% @/ f8 b2.N.Jacobson
"Basic Algebra I,II"
$ c+ i& i8 L& s% N& c+ n/ p$ O这书在总书库里面有不少,
理图里面也有前面几章的中译本,应该是叫
; Z: K% \0 a( ?+ A3 |"基础代数学"吧,不过翻译质量一般.
5 B8 R9 f3 G  JJacobson在代数领域也属于权威,
是华先生同时代的人.这本书从观点
上说是相当现代化的,比同作者的那本
3.N. Jacobson
3 \. g  v5 R8 Q: j8 e"Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,31,32)
) X3 j/ P$ Q/ n% ~* M! e(中译本:抽象代数学,共三卷,理图里有)
3 F4 F1 y3 [% N! E0 F6 F要改进不少.
有兴趣的话不妨那我的本家先生的书和2.去
比较一下.
  
3 W& `1 C* g/ b  `% W4 ^0 q) r% ^从习题的角度上说,可以看
4.徐诚浩
"抽象代数--方法导引"
这本书可以说比较适合在复旦学这门课.
! }8 ?+ V! b9 w9 u5 H4 ]可以罗列的参考书还有很多,
- N" K6 S" l, `. a8 |. ?综合性的课本有名气很大的
7 k2 Y1 B2 }1 ^5.S.Lang
"Algebra"
Lang写书以清晰著称,他的这本书还得过
AMS发的Steel优秀图书奖.
6.莫宗坚
"代数学(上,下)"
7 L9 i7 d9 ^, @; z5 u北大数学丛书里面的一本,没有很仔细地看
4 p5 Y7 t8 [: Y, ~过,但是感觉不错.北大的一些同学对此书
- {& m6 G; j/ n. P0 b1 J/ W推崇倍至,认为比1.写得好.
7.熊全淹
9 h7 i, f: }* q! H"近世代数"
这本书的好坏不敢评论,
( ^7 l* d( W2 h* h3 w. x. B不过这本书有个很大的特点,
就是作者收集了很多小文章,
' F) h; u( z" i% z比如许多American Mathematical Monthly
/ _3 k# J. x3 R9 k7 c上的短文.依他开列的参考文献到
" q0 P7 i5 K: C- w4 ~系资料室去找,可以看到很多有趣的东西.
' W8 {- D  y$ b0 x) l5 q( p  
其它的就是比较专门的东西了.比如群论
4 O. Y1 M; k2 A6 Q就有影响过无数学者的
% r+ V7 n4 E" n& J" L0 B5 ?4 d6.库洛什
"群论"
" Z" g! q( b2 s注意这本书第二版和第三版中译本的封面
: N* h$ i. |  B8 ]/ `+ l一模一样.
或者段学复先生的导师Robinson写的
7.Robinson
"A course in the theory of Groups"(GTM 80)
再有象(群,代数)表示论,环论,模论等等,都有专著,
不过我是一窍不通的了.还望这里的高手
0 n) n7 e, r3 u# y多多指点.
对于Galois理论,有一本
8.E.Artin
"伽罗华理论"
非常薄,讲得很精彩,绝对是本传世佳作.
, Y2 ~8 p9 P) a% A- i还有
9.Edwards
"Galois Theory"(GTM 101)
这本书很有趣,它是循着Galois的原始
想法写的,因此和一般通行的教本里面的
讲法不是很一样.

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# F. s/ F: A* |& |% q& L0 r数学物理方程部分：

7 L! u# p/ z( a学这门课的那个学期在忙着各种各样考试(比如T,G等等),
故此没能够看太多的参考书.北大的课本也没有
看过,不过据一位北大的师兄说,和复旦的课本
; p% H% X) P- J; V: f, U1 P: W相比较,可能北大那边相对更注重一些解的渐进估计
- G* z# \6 G2 ~4 J等等,而复旦这里对于显式解讲得更多些.
' H& d' E& M6 N/ N% J; ~# Q2 r2 d注意在图书馆里面可以找到一本内容相当接近的书
) R) |* i. q! B" B% [2 f/ ?, [2.谷超豪,李大潜,陈恕行,谭永基(?), Ｋ文*,???
. `* S( }) O. M, v"数学物理方程"(人民教育?高等教育?)
这书的题材,难度,例题,习题等等和1.非常接近.
9 [- q( W- ~/ R2 u( E  z, [# d特别指出这本书的原因是在复旦的课本
中据我所见,只有这本是曾经出过一本"官方的"
习题解答的,那是80年代初,油印本.
能不能搞到就看各位本事了.
" |( `( T- I+ r5 f  N( `; p那本解答对于做作业是很有帮助的.
1 ]: v. J3 w; f3 |6 t1 x) U$ V4 Q比较容易找到的书里面,
1 [+ c: {$ k+ a$ `1 _! A6 ]( y& z3.陈恕行,秦铁虎
"数学物理方程--方法导引"
是一本非常好的讲习题的书.
  }, q7 D, s- ~- ?$ o, g里面的习题如果能够全部做一遍的话,
* w! D: f! I7 x+ j/ t应付考试是绰绰有余了.
3 |3 q& k3 J! y4 T7 T3 c8 Y! o  
; B7 w4 }4 p0 M$ T6 Z/ O! L发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics
  R2 D" m4 C$ {4 u说实在的,偏微分这个领域在过去的几十年
里面有翻天覆地的变化,古典的方法
7 I7 C6 B7 W: u和"现代"的泛函的方法有时候的确很难兼顾.
. S0 i+ z/ u  _- `5 i7 v* @我想说起古典的,
4.R. Courant, D. Hilbert
"数学物理方法"(I,II)
5 [$ p* D  ]* C9 h1 Q! W可以说是毫无疑问的经典.
按照洪家兴老师的说法,
3 N  O1 Q4 {" Y5 C, v* z+ S3 C! Z4 b不管椭圆,双曲,抛物里面的哪一块
$ Z8 D8 y/ R# J# s: A: Q这本书里面的相应章节都是经典,
问题就是这书放在一起你是没办法
当教材来学的,所以只能有空翻翻啦....
4 F# p5 Q2 M1 G# ?* S4 v经典的教材,大概可以算
5.彼得罗夫斯基
"偏微分方程讲义"
) I! _. T: k" q4 @) N' _这本书从风格上可能和他老人家那本
"常微分方程讲义"比较接近.里面的有些内容,
象Cauchy-Kovalevskaya定理,在
复旦的本科也好象是不讲的.
, P) M) {2 I5 F( o( e; }我想讲讲这个人,他其实从三十年代开始就
不怎么做东西了,主要的精力一直放在
' Y9 ^9 M" x$ s  ^为苏联数学界构造保护伞方面.
他最后去世的时候是这个样子的,
某天他到莫斯科市委会去开会,
跟人家大吵了一架,因为基础科学
/ a+ l+ o0 h7 [. Q- J/ R研究的经费的事情,结果出来的时候
在大门口突发心 」Ｈ*,他的最后一句话
% p( Y# X/ G3 @% h4 U8 {是:"我嬴了".
有这样的人存在你才可以想象为什么
人家的大清洗没有对科技的发展有
3 B$ h, [( t+ d7 d6 E太大的影响.对于这个问题,建议看看
6.AMS Notice, vol. 44(1997), No.4, p.432
5 W9 b  b" Z8 {. ]' J+ ^: R. C# g和
7.AMS Notice, vol. 46(1999), No.10,p.1217
  
还有
8.O.A. Ladyzhenskaya
"The Boudary Value Problems of Mathematical Physics"
5 |! t, S9 P# b和5.一样,都很经典.当然你要说它们
, Z* v: z! {8 `! Y$ b4 ~/ C8 j陈旧我也没话可说.
) D; Y1 Z; A' ?- Q( d4 a既然这课叫数学物理方程,多少和物理沾点边吧,
) W8 O& z* Y) v/ y- [" F在这个方向上我以为
3 Y- W5 s# f6 A! C8 \9.李大潜,秦铁虎
"物理学与偏微分方程"(高教)
还是很不错的,上册已经出版,下册
/ O; R+ K3 _: S也就要付印了.该书的起点并不高,
所以应该比较容易看.
! T4 _( i- B$ a据说该书的责编(北大毕业的)极为负责,
- G8 i; r. O) U( H0 E; m" a认真到连里面的公式都一个个去推导的地步.
从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于
& A. F( p) y1 H1 ?2 l$ h2 y本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的
4 u! W6 g3 E' n1 c书(包括不少经典)都可以在这段时间里面看看的.
比如
( t) X" \/ ]0 ?) J10.L.Bers, F. John, M. Scheter,
"Partial Differential Equations"
Bers是个很有趣的人,
可以看看
11.L.Steen, ed.
$ P+ z: E) ]3 m6 Z/ ?  q8 |"今日数学"(Mathematics Today)
2 R) T8 K0 c" ^& @( |- g' C8 E7 Z: v% q里面的文章.附带说一句,这本书是最好的
数学普及读物之一,绝对值得一看,
中译本的质量也不错.
  
$ e# E2 d& q# z12.F. John
1 t: G# X$ E* x0 ]6 b6 q"Partial Differential Equations"
这本书系资料室肯定有.
  o( K: C4 I2 m$ _) q剩下两本应该是比较容易找到的,因为世界图书刚刚
4 E  H. T+ ^! R; ?印,虽说贵了点.不过还是值得一看的.
13.J. Rauch
* I# p! j4 H1 S8 |# K1 V$ C8 v"Partial Differential Equations"(GTM128)
14.M. Taylor
: G0 ^, R2 \0 e( R3 b* v1 Y9 i9 v* G"Partial Differential Equations I"(Applied Mathematical Sciences 115)
后面这本看前一半就可以,后一半也看当然更好:-))
; O1 Z. N& v7 A' T% x1 T( c引G. Lebeau的一句话,这书比
15.L. Hormander
/ y: Y- o* J6 g1 W! R/ g  Q"Linear Partial Differential Operators, I"
要好念多了.
* m; i0 l' C* ~% F/ Q, z(当然基本上人人都是这么认为的,
只不过这位的来头比较大而已
--法国科学院通讯院士,46岁)
  
8 O8 o' C6 d+ J2 h0 d5 l& y这是讲偏微分方程的课的名称.
8 m8 S& ?$ ~8 y, B! P5 L0 d: f" h顾名思义,就是说这里的方程原则上
最早都是从物理里面来的.
这个分支里面的东西丰富之至
(当然往反面说就是有时候会显得
- w4 Z% p$ B. g- j, W4 o( V& g结果比较零散).
现行课本是
1.谷超豪,李大潜,谭永基(?),沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿
9 a! d" H  I! K"数学物理方程"(上海科技)
; [# H( D7 a: ]8 i3 [  z% e9 V这本书在这样一个水平上(指不引进广义函数,
6 _% w0 V7 P% K8 R/ B弱解等泛函里面的概念)是相当不错的.
3 K* V' H; Q9 M% u) }6 d0 V; _注意那些经典方程的推导里面多少有一些
近似的过程,这其实从某种意义上反应了
所对应的微分算子的某些性质的稳定性.
比如,对于经典的波动方程,3维及以上的
奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可以看作
经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个
证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到,
8 T9 B' G8 z& M6 k2 s差不多二阶双曲方程里面只有波动方程
有这样的性质--但是别忘了,高维波动方程
的推导里面是有近似的,这说明什么?
0 Q" ~8 n; p7 }2 ^% S一阶偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的,
常微的最后教不教我课不知道,有些东西还是很
. m. {+ I7 W4 u& C. S& b有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿来
证明微观经济模型的合理性,然后说他看不出有
7 ]) ^' a  t( q. T& m6 |& J. P存在C^\infty推理的可能--数学经济是怎么回事,
可见一斑.你能说社会活动中的数据都是按t解析的吗???!!!
  
- K. d0 r: C1 z; I6 I) O========================================================

拓扑学部分：

我拓扑学得很差(从总体上说),
因此这里我也说不出太多东西.
大概也就点集拓扑还算过得去,
我以为这一方面我们的现行课本:
+ k! N: K9 s9 Y9 w/ S' L" Q 1.李元熹,张国(木梁)
# L4 ?9 ]7 q. w# V "拓扑学"
的前两章还是不错的.至少该讲的东西
* C6 U$ P& E/ _- p 都讲了,而且后面罗列(我想不出还有
- B8 e' \1 l8 u. r 什么更好的形容词)了许多习题,
% W+ F- [. g8 O) p; \ 做上一遍是很有趣的一项工作.
& `* X8 ]5 k) u* I9 N' X 中文的参考书里面好象
2.熊金城
"点集拓扑讲义"
  P# e2 j8 }6 k9 Y3 e6 Y8 b7 g 是比较好的.该书也有些名气.
不过要好好学,可能还是看下面的两本
& I/ z1 a! l' r) z& Y+ n+ G3 G 比较经典的书:
3.J.L. Kelley
"General Topology"(GTM 27)
此书名头很响,55年出版的时候应该算得
- Y3 U( H& `8 l( C2 Z 上是把这一领域里面的结果做了个
很好的总结.该书是想写成课本的,
因此每章后面都有习题,按A,B,C,D,...
0 L. ?* ^% `% {7 R' t1 x: [) [ 编号.只是....真要做起来未免有些困难.
/ L; m  w. y3 P! b. |: v 听说过这样一个故事,就是曾有一位
5 c5 k' W: K/ x9 f1 k5 d 华裔数学家回国讲学的时候于酒席间
& S6 Q+ p; \) O6 q: C 说他的老师要他去学拓扑,指明看Kelley的
书,而且要习题全做.结果大家都笑了,
  W. \+ V* x2 ?' q: F/ a7 t  m 因为大家都明白这目标不是很现实.
我个人的经验是,在那个学期陷入各类
考试的重围中之前,还做了前面两三章
3 H# v, S' ?; t0 G 的题目.是比较困难,但是做起来也非常
有趣.
: P1 T' c% a/ ]5 z' h8 p% T  
再补充一本中文的书,内容和1.差不多
3 b) }6 _5 F- r" ^, M4.尤承业
& s) g5 T3 R: j% E6 r  I; l"基础拓扑学"
8 D: V2 C4 y* Y  M是北大的教材.
5.I.M.Singer, J.A.Thorp
4 W- o$ r- u' A+ `; n7 u) P"Lecture notes on elementary topology and geometry
(中译本:(基础?)几何学与拓扑学讲义,干丹岩译)
这是本极好的教材,应该
+ ~- n( j3 O  W% r可以用深入浅出来形容吧!
第一作者Singer就是和Atiyah
" x1 [3 F7 p9 r$ ?一起证指标定理的那位,说是重量
' ?) k3 \1 d$ \# U  z级人物当无疑义.
& f; w4 O1 F( m0 H. B2 ~如果你只想查结果,我觉得可以去找
, U6 ~+ E! ?! ]9 D6.R.Engelking
"General Topology"
这书是七十年代末写的,内容翔实,
8 j- E8 w( J9 E4 H+ p; v$ K6 v' O至少对我来说是有包罗万象的感觉,
- u! Y2 f& |% V9 ~% R当然对做这一块的人就不一定了.
  
按照萧先生的速度,大概第二章还是能
" V/ f) x! B  h( z+ j* v1 y讲大半的.
8 Q" I9 C3 T1 z- h( C这里属于代数拓扑的起始部分,
( m) M% H4 M, F) T+ i参考书一下子就比前面的多多了.
讲代数拓扑的书,可能
! Q+ ]9 p' ]5 |1 f7 Q& ~. Z1 z4 E5 k; J7.Greenberg
* O/ c" [, `( u4 G: m4 D"Lectures on Algebraic Topology"
+ D* d2 P; S+ [  o8 v* E属于写得很通俗易懂,
配置合理的那一类.
- A2 A. y" V+ |6 c还有象GTM里面的
/ X5 k% Y, y* u, }, A8.W.S.Massay
( L+ p8 |; Y7 r& k% l"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56)
: c1 r1 o: a- H- E4 w" o也是写得很好的书.
我能写的大概就这点了,
还望大家多多补充.
  
0 T1 J  e  a0 b- X# _" X0 F发信人: dhj (undercover~~卧底人生), 信区: mathematics
/ d- z. j# J" y6 M/ t. G. l这个学期刚刚在学拓扑，做些补充的说。:)
拓扑学是在十九世纪末兴起，并在二十世纪中蓬勃发展
9 s4 @9 b# g/ Q! q的数学分支，现在已与近世代数，近世分析共同成为
当代数学理论的三大支柱。
5 v2 K2 A5 A6 Y9 l- D: v/ ]( \如果先要对该学科有一个感性的认识的话，建议看
《拓扑学奇趣》
巴尔佳斯基 叶弗来莫维契 合著
0 }! r! Z- d* M/ M" t, {- G2 @这本书只有不到两百页，可是覆盖的面很广，也有一定
数量的有启发性的题目。
! U, q4 u$ _( fM.A.Armstrong的《基础拓扑学》也是一本不错的书。
! @* F/ p6 t. Q' S0 c+ ~由于该书中的讨论范围有很多是基于Hausdorff空间，
有些是甚至是在度量空间里讨论问题的，
+ j, x* z4 P. k: }! |所以一些定理的证明就变的比较简单易懂，例如Urysohn引理。
由于侧重点不同，这本书对复旦现在的课本是很好的补充。
3 p4 U: z) U# C% o* p$ g  
======================================================

6 J, J. Z0 c8 f* u以下是北大的一位师兄做的补充
: e# b; j. r! K$ A数学分析
- T  E8 P: S* R/ B! N欧阳光中,姚允龙
3 F4 l- J9 e; a. i"数学分析"
这本书在外面的口碑不好，错误不少，据
说南开的一位老师曾笑称此书的作者为"老
糊涂"了。
% Q, d, [+ U+ A& Q  C5 x高等代数
4 ~$ y6 b3 u' J6 z9 x: f5 c9.丘维声
"高等代数"(上,下)
. d/ o6 j  ]6 K; e本书的作者为61(?)年的全国高考状元,他自称在教课的那一年写作
经常至夜里二,三点.
1 R4 r2 O9 w9 p8 n; s单复变函数
11.张南岳,陈怀惠
/ V  h4 x& v% W7 \8 H! W) E"复变函数论选讲"
这本书中的错误不少,据说陈是个很有天赋的人,但
8 I/ n  B7 t: C) X9 J) ]4 p文革中受到很大打击,以至学风不很扎实.
微分几何
陈维桓"微分几何初步"
# z& N2 t4 v' _这本书确实写得不很清楚,陈
5 J7 V- h% A* ]2 \! ?( R2 V还写过一本微分流形,给人的感觉是话说了很多,但
还是摸不着头脑,例如dx,dy究竟是何意
=============================================
  
! L6 D5 j" {% b" i. t. k% d大学里面念过的本科的课程,
基本上就全部写完了,
8 U8 a1 R+ O* \6 D0 H: L& ^6 h8 |感谢大家在这几个月里(默默地?)承受了
. g- f/ P- k  \5 b/ {我的"酸"劲.\\bow
3 d, Y! Y6 l7 b! c& l其实严格说来这里面除了参考书的名字
+ i! f7 r9 @$ z+ p' g; k/ J! t# U和简短的评论外,我还写了一大堆从某种
意义上说属于"题外"的话.我的想法是,
在我的意识中,数学不光是那些定义和公式,
数学还包括了为数众多的数学家
的思想,经历.仅仅局限于技术性的细节
是做不好数学的,我以为.
从技术上说,大学数学系的课程还有很多
5 {/ e$ p/ {1 ?+ @' Q没有写到,即使写到的这些,也有很多
需要补充,修改的地方,只不过...
我是没那心思了:-)至少在近阶段.
希望有兴趣,胃口,功夫,...的大侠们
& _# y* e* x6 q1 k, t. F多多贡献,在这里先予感谢!\\bow
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
(为避免任何对于\\bow的数目产生
误解,文章到此分成两截)
; l3 r8 s8 L" S5 N, ^0 D今年一月,在经历了三个月的情绪极端
+ F* G& f9 ?6 A- k8 ^  O低落以后,我打算开始重新规划自己的
未来(感谢上帝,这三个月总算没让我
$ h* a1 H4 D1 ~, Y/ u% G7 z+ \. ]精神崩溃,甚至还算干了点事情,学了点
/ c* B) d, Z( Q9 R东西,呵呵...).在处理了一些专业上的
. A! p! K/ h9 `6 ]+ s) K4 p0 z原则性问题以后,想着自己还能干点什么,
这时候就有想到了BBS.
  W5 v' ?- g7 A  N& Y) eBBS实在是个好地方,自从四年前在steve家
上了最早的日月光华开始,已经差不多有四
; c' T! ?" Z- S5 t* h年了.(从来没有想过,上BBS的第四年里灌的
水是前三年灌的水的总和的三倍.
可能和心情有关吧!)
9 `5 F' ~5 ~% ]; S' L突然想起可以在这BBS上灌点稍微有意义
点的水,去年底写的那些94理基的故事
从效果上说,让我很好地把心情整理了
一下.也纯数偶然,就想起来写这参考书目.
应当说,写这些东西还是花了点功夫的,
- R$ C3 O% j; e$ f8 }' W' v! k从构思,找资料,到一个个字敲进电脑,
修修改改,一门课总也要花上一两周时间.
6 q# k' M' g2 U5 s, \3 C因此一稿三投连我自己也没有觉得有
什么不妥.好象这也不违反站规吧?
$ @8 O9 T) Y8 s! F& U写着写着也就到了今天.又是一个可以做
"结"的日子.感谢各位这几个月来对我
的关心,帮助...还有宽容,感谢shun, Setver,
3 j, U2 g& |( W4 h" l% zzyc, steve, cavalry, doskey, anti, fit,
standby, dhj, compass, beryl, littlebaby,
darling, Virtual, zhmao, clamp, stoneheart,
# y( X/ K/ t7 T9 ]. Xmax, zypher, leifen, tiny, xdj, zych, txyz,
" X0 y0 H  U" D8 g- b& Q3 t, u* _DblHorn, julong, shasha夫妇,fancier......
还有许多不在这BBS上的朋友,......当然,还有milka.
希望明天的太阳--无论是巴黎的,

还是上海的--升起的时候,
大家都能有个好心情.
再次谢谢大家!\\bow
, u+ `' ?3 P% R, T. Q, [* v2000.6.6 2

hylpy

晕啊，此文已经在网上转载了N次了，越转越不全越变形。

弘道

谢谢楼主……辛苦啦！