【2013备考】各地名校试题解析分类汇编理科数学：9直线、圆、圆锥曲线

梦想在飞

简介：
各地解析分类汇编:直线、圆、圆锥曲线
1.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】已知两条直线
和
互相平行，则
等于（ ）
A.1或-3 B.-1或3 C.1或3 D.-1或3
【答案】A
【解析】因为直线
的斜率存在且为
，所以
，所以
的斜截式方程为
，因为两直线平行，所以
且
，解得
或
，选A.
2.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】已知P（x,y)是直线
上一动点，PA，PB是圆C：
的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则
的值为（ ）
A.3 B.
C.
D.2
【答案】D
【解析】由圆的方程得
，所以圆心为
，半径为
，四边形的面积
,所以若四边形PACB的最小面积是2，所以
的最小值为1，而
，即
的最小值为2，此时
最小为圆心到直线的距离，此时
，即
，因为
，所以
，选D.

3.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】一已知倾斜角为
的直线
与直线
平行，则
的值为
A．
B．
C．
D．

【答案】B
【解析】直线的斜率为
，即直线
的斜率为
，所以
，选B.
4.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】（本小题满分12分）已知长方形ABCD，
，BC=1。以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.
（Ⅰ）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直线
交（Ⅰ）中椭圆于M，N两点，是否存在直线
，使得弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由。


【答案】解：（Ⅰ）由题意可得点A，B，C的坐标分别为
.
设椭圆的标准方程是

则
2分

.
∴椭圆的标准方程是
. ……………………4分
（Ⅱ）由题意直线的斜率存在，可设直线
的方程为
.……5分
设M，N两点的坐标分别为
.
联立方程：

消去
整理得，

有
………………7分
若以MN为直径的圆恰好过原点，则
，所以
，…………8分
所以，
，
即

所以，

即
， ……………………9分
得
. ……………………10分
所以直线
的方程为
，或
.………………11分
所在存在过P（0，2）的直线
：
使得以弦MN为直径的圆恰好过原点。…12分
圆锥曲线
1【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】椭圆的中心在原点，焦距为
，一条准线为
，则该椭圆的方程为( )
A．
B.
C.
D.

【答案】C
【解析】因为椭圆的焦距是4，所以
又准线为
，所以焦点在
轴且
，解得
，所以
，所以椭圆的方程为
，选C.
2【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】已知抛物线方程为
，直线
的方程为
，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为
，P到直线
的距离为
，则
的最小值 ( )
A．
B．
C．
D．

【答案】D
【解析】因为抛物线的方程为
，所以焦点坐标
,准线方程为
。因为点
到
轴的距离为
，所以到准线的距离为
，又
,所以
，焦点到直线的距离
，而
，所以
，选D.
3【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：①
；②
，③
；④
对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
【答案】B
【解析】画图可知选B. ①x2﹣y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②
=
，在 x=
和 x=﹣
处的切线都是y=﹣
，故②有自公切线．
③
=5sin（x φ），cosφ=
，sinφ=
，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线．
④由于
，即 x2 2|x| y2﹣3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．
故答案为 B．
4【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】已知点
，
分别是双曲线
的左、右焦点，过
且垂直于
轴的直线与双曲线交于
，
两点，若
是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

【答案】C
【解析】 由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有
，即
，所以
，解得
，选C.
5【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】在抛物线
上取横坐标为
的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆
相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

【答案】A
【解析】解：两点坐标为
，两点连线的斜率k=

对于
，
，
∴2x a=a﹣2解得x=﹣1
在抛物线上的切点为
，切线方程为

直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，即

解得a=4或0（0舍去），所以抛物线方程为
顶点坐标为
，故选A．
6【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知双曲线
的两条渐近线均与
相切，则该双曲线离心率等于
A．
B．
C．
D．

【答案】A
【解析】圆的标准方程为
，所以圆心坐标为
,半径
，双曲线的渐近线为
，不妨取
，即
，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离
，即
，所以
，
，即
，所以
，选A.
7【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，若椭圆上存在点P使
，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A.（0，
B.（
） C.（0，
） D.（
，1）
【答案】D
【解析】根据正弦定理得
，所以由
可得
，即
，所以
，又
，即
，因为
，(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)所以
，即
，所以
，即
，所以
，解得
，即
，选D.
8【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】过椭圆
(
)的左焦点
作
轴的垂线交椭圆于点
，
为右焦点，若
，则椭圆的离心率为 （ ）
A．
B．
C．
D．

【答案】B
【解析】由题意知点P的坐标为（-c,
）,或（-c,-
），因为
，那么
，这样根据a,b,c的关系式化简得到结论为
，选B
9【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】设
、
分别为双曲线
的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点
，满足
，且
到直线
的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为
A．
B．
C．
D．

【答案】D
【解析】依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形
是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知
，根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2 b2整理得3b2﹣4ab=0，求得
=

∴双曲线渐进线方程为
，即
。故选D.
10【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】椭圆
的焦点为
，点
在椭圆上，若
，
的小大为 ．
【答案】

【解析】椭圆
的
，
，所以
。因为
，所以
，所以
。所以
,所以
。
11【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】若焦点在x轴上的椭圆
的离心率为
，则
= .
【答案】

【解析】因为焦点在
轴上。所以
，所以
。椭圆的离心率为
，所以
，解得
。
12【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知点P是抛物线
上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A 的坐标是（4，a），则当
时，
的最小值是 。
【答案】

【解析】当
时，
，所以
，即
，因为
，所以点A在抛物线的外侧，延长PM交直线
，
由抛物线的定义可知
,当，三点
共线时，
最小，此时为
，又焦点坐标为
,所以
，即
的最小值为
，所以
的最小值为
。
13【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】过椭圆左焦点
，倾斜角为
的直线交椭圆于
，
两点，若
，则椭圆的离心率为
【答案】

【解析】如图
，设椭圆的左准线为l，过A点作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG=60°，所以AB=2AG，…①
由圆锥曲线统一定义得：
，
∵FA=2FB， ∴AC=2BD
直角梯形ABDC中，AG=AC﹣BD=
…②
①、②比较，可得AB=AC，
又∵
∴
，故所求的离心率为
．
14【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】如图4，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B 分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“焚金双曲线”的离心率为 。

【答案】

【解析】由图知，
，整理得
，即
，解得
，故
.
15.【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】（本小题满分
分）
已知椭圆

的离心率为
，椭圆短轴的一个端点与两个焦
点构成的三角形的面积为
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）已知动直线
与椭圆
相交于
、
两点． ①若线段
中点的横坐标为
，求斜率
的值；②若点
，求证：
为定值．
【答案】解：（Ⅰ）因为
满足
，
，…………2分

。解得
，则椭圆方程为
……………4分
（Ⅱ）（1）将
代入
中得

……………………………………………………6分



………………………………………… …………………7分
因为
中点的横坐标为
，所以
，解得
…………9分
（2）由（1）知
，

所以
……………11分



………………………………………12分



16.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】（本题12分）如图所示，已知椭圆
和抛物线
有公共焦点
,
的中心和
的顶点都在坐标原点，过点
的直线
与抛物线
分别相交于
两点
（1）写出抛物线
的标准方程； （2）若
，求直线
的方程；
（3）若坐标原点
关于直线
的对称点
在抛物线
上，直线
与椭圆
有公共点，求椭圆
的长轴长的最小值.

【答案】解：（1）
(2)设













（3）


椭圆设为

消元整




17.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分）已知椭圆
上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且
，点M的轨迹为C.
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，－2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点
且平行于
轴的直线上一动点，满足
（O为原点），问是否存在这样的直线l， 使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由
【答案】

因为
，所以四边形OANB为平行四边形，
假设存在矩形OANB，则

即
，
所以
， …………10分
设N（x0，y0），由
，得

，即N点在直线
，
所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为

18.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】（本小题满分12分）
设抛物线C的方程为x2 =4y，M为直线l：y=－m(m>0)上任意一点，过点M作抛物线C的两
条切线MA，MB，切点分别为A,B．
（Ⅰ）当M的坐标为（0，－l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
(Ⅱ)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA ⊥MB?若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由，
【答案】解：（Ⅰ）当M的坐标为
时，
设过M点的切线方程为
，代入
，整理得
，①
令
，解得
，
代入方程①得
，故得
，
.
因为M到AB的中点(0，1)的距离为2，
从而过
三点的圆的标准方程为
．
易知此圆与直线l：y=-1相切. ………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）设切点分别为
、
，直线l上的点为M
，
过抛物线上点
的切线方程为
，因为
，
，
从而过抛物线上点
的切线方程为
，又切线过点
，
所以得
，即
.
同理可得过点
的切线方程为
，………………………（8分）
因为
，
且
是方程
的两实根，
从而，

所以
，
当
，即
时，
直线
上任意一点M均有MA⊥MB，…………………………………………………（10分）
当
，即m≠1时，MA与MB不垂直.
综上所述，当m =1时，直线
上存在无穷多个点M，使MA⊥MB，当m≠1时，直线l
上不存在满足条件的点M.……………………………………………………………（12分）
19.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】（本小题满分12分）
如图，直线l ：y=x b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。

求实数b的值；
（11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
【答案】（I）由
得
(
)
因为直线
与抛物线C相切,所以
,解得
………………4分
（II）由（I）可知
,故方程(
)即为
,解得
,将其代入
,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为
………..12分

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