【2013备考】各地名校试题解析分类汇编理科数学：3导数3

梦想在飞

简介：
各地解析分类汇编：导数3
1.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】（本小题满分12分）已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)若对
，都有
，求
的取值范围。
【答案】解：(1)
，令
得

当
时，
在
和
上递增，在
上递减；
当
时，
在
和
上递减，在
上递增
(2) 当
时，
；所以不可能对
，
都有
；
当
时有（1）知
在
上的最大值为
，所以对
，
都有

即
，故对
，
都有
时，
的取值范围为
。
2.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】（本题12分）（Ⅰ）已知函数
在
上是增函数,求
的取值范围;
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下,设
，

,求
的最小值.
【答案】解:（1）
,∵f（x） 在（0，1）上是增函数,∴2x
-a≥0在（0,1）上恒成立,即a≤2x
恒成立, ∴只需a≤（2x
）min即可. …………4分
∴2x
≥
（当且仅当x=
时取等号） , ∴a≤
…………6分
（2） 设

设
，其对称轴为 t=
，由（1）得a≤
，
∴t=
≤
＜
…………8分
则当1≤
≤
,即2≤a≤
时,h（t）的最小值为h（
）=-1-
,
当
＜1,即a＜2时，h（t）的最小值为h（1）=-a …………10分
当2≤a≤
时g（x） 的最小值为-1-
,
当a＜2时g（x） 的最小值为-a. …………12分
3.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分13分）设函数
（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若函数f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3,6]，不等式
在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）∵f′(x)=3x2 2ax－a2=3(x－
)(x a),
又a>0，∴当x<－a或x>
时f′(x)>0；
当－a∴函数f(x)的单调递增区间为（－∞，－a），(
， ∞)，单调递减区间为
(－a，
).(4分）
（Ⅱ）由题设可知，方程f′(x)=3x2 2ax－a2=0在[－1，1]上没有实根
∴
，解得a>3. （8分）
（Ⅲ）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知
∈[1，2]，－a≤－3
又x∈[－2,2]
∴f(x)max=max{f(－2),f(2)}
而f(2)－f(－2)=16－4a2<0
f(x)max=f(-2)= －8 4a 2a2 m （10分）
又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立
∴f(x)max≤1即－8 4a 2a2 m≤1
即m≤9－4a－2a2,在a∈[3，6]上恒成立
∵9－4a－2a2的最小值为－87
∴m≤－87. （13分）
4.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】（本小题满分12分） 已知f (x) = xlnx.
（I）求f (x) 在[t，t 2]（t>0）上的最小值；
（Ⅱ）证明：
都有
。
【答案】（Ⅰ）解：
，令
.
当
单调递减；
当
单调递增. …………………………………………（2分）
因为
，
（1）当0＜t＜
时
；
（2）当t≥
时，

所以
………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当
时，

的最小值是
，（当且仅当x=
时取到最小值）
问题等价于证明
，
设
，
则
，易得
，（当且仅当x=1时取到最大值）
从而对一切
，都有
成立. ………………………………（12分）
5.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理】已知函数f(x)=(x2 ax-2a2 3a)ex(x∈R),其中A∈R.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)当a≠2/3时,求函数f(x)的单调区间与极值.
【答案】（1）解:



（2）



以下分两种情况讨论。
（1）
＞
，则
＜
.当
变化时，
的变化情况如下表：














0
—
0



↗
极大值
↘
极小值
↗







（2）
＜
，则
＞
，当
变化时，
的变化情况如下表：















0
—
0



↗
极大值
↘
极小值
↗







6.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理】已知函数f(x)=aln(ex 1)-(a 1)x,g(x)=x2-(a-1)x-f(lnx), a∈R,且g(x)在x=1处取得极值.
(1)求a的值;
(2)若对0≤x≤3, 不等式g(x)≤|m-1|成立,求m的取值范围;
(3)已知?ABC的三个顶点A,B,C都在函数f(x)的图像上,且横坐标依次成等差数列,讨
论?ABC是否为钝角三角形,是否为等腰三角形.并证明你的结论.
【答案】解1)
,

,
依题设,有
,所以a=8.
(2)


,由
,得
或

函数
增区间(0,1),减区间(1,3)
函数
在x=3处取得极小值,g(x)min=g(3);函数g(x)在x=1处取得极大值g(x)max=g(1),
不等式|m-1|≥g(x),对0≤x≤3成立,等价于|m-1|≥g(x)max成立
即m-1≥g(x)max=g(1)orm-1≤-g(x)max=-g(1), m≤1-g(1) or m≥1 g(1)
(3)设
,
.
,且
,
,
则
,
∴
,
,
∴
.
所以B为钝角,
ABC是钝角三角形.

,

=

=

∵
∴

∴
∴

∴
,故f(x)是R上的凹函数.

恒成立∴
在
上单调递减．
若
ABC是等腰三角形,则只能是
.
即

∵
∴
.


∴
,
这与f(x)是R上的凹函数矛盾,故
ABC是钝角三角形,但不可能是等腰三角形.
7.【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】已知函数f（x）=
ax
-（2a 1）x 2lnx(a∈Ｒ).
（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=x
-2x，若对任意x
∈（0，2]，均存在x
∈（0，2]，使得f（x
）【答案】（1）f′（x）=ax-(2a 1)
f′(1)=f′(3)
∴a-2a-1 2=3a-2a-1

∴-a 1=a-
a=

(2)注x>0！
f′(x)=

∵x>0∴令f′(x)>0得ax
-(2a 1)x 2>0
<1>a=0时，得x<2∴f(x)在（0，2）在（2，
）
a
0时，f′(x)>0得(x-2)(ax-1)>0
<2>a<0时，f′(x)>0得(x-2)(x-
)<0
∴f(x)在(0,2)在（2，
）
<3>a>0时f′(x)>0得(x-2)(x-
)>0
①
=2即a=
时，f(x)在（0，
）
②
>2即0③
<2即a>
时，f(x)在（0，
）在（2,
）在（
，2）
（3）f
（x）∵g
(x)=g(2)=0
∴f
(x)<0, x∈(0,2]
由（2）知①a≤
时f(x)在(0,2]
∴f
(x)=f(2)=2a-2(2a 1) 2ln2
=-2a-2 2ln2<0
∴a>ln2-1
∴ln2-1②a>
时，f(x)在（0，
）在（
，2）
∴f
(x)=f(
)=
·
-(2a 1)·
2ln

=
-2-
-2lna
=2-2lna-

=-2(1 lna)-

∵a>
∴lna>ln
>ln
=-1∴f(
)<0∴a>

经上a>ln2-1
8.【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】(本小题满分14分)设函数

(1)当a=1时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
(3)设函数
，若在[l，e]上至少存在一点
使
成立，求实数a的取值范围。
【答案】




9.【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】（本小题满分14分）
已知函数
，其中a为大于零的常数
（1）若函数
在区间
内单调递增，求a的取值范围；
（2）求函数
在区间
上的最小值；
（3）求证：对于任意的
＞1时，都有
＞
成立。
【答案】




10.【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（理）】（12分）已知函数

（1）求
的单调递减区间；
（2）若
在区间
上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
【答案】




11.【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】（本小题满分14分）
已知函数

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）当
时，若
在区间
上的最小值为-2，求
的取值范围；
（Ⅲ）若对任意
，且
恒成立，求
的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）当
时，
.………………2分
因为
.
所以切线方程是
…………………………4分
（Ⅱ）函数
的定义域是
. ………………5分
当
时，

令
，即
，
所以
或
. ……………………7分
当
，即
时，
在［1，e]上单调递增，
所以
在［1，e]上的最小值是
；
当
时，
在［1，e]上的最小值是
，不合题意；
当
时，
在（1，e）上单调递减，
所以
在［1，e]上的最小值是
，不合题意………………9分
（Ⅲ）设
，则
，
只要
在
上单调递增即可.…………………………10分
而

当
时，
，此时
在
上单调递增；……………………11分
当
时，只需
在
上恒成立，因为
，只要
，
则需要
，………………………………12分
对于函数
，过定点（0，1），对称轴
，只需
，
即
. 综上
. ………………………………………………14分
12.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分）
一铁棒欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：
（1）用
表示铁棒的长度
；
（2）若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值.


【答案】（1）根据题中图形可知，

,
. ………4分
(2)本题即求
的最小值. ………5分
解法一：



令
,
,
原式可化为
. ………9分
因为
为减函数，所以
. ……11分
所以铁棒的最大长度为
. ………12
解法二：
因为
，所以

………9分
因为
，所以
时，
为减函数，
时，
为增函数，所以
， ………11分
所以铁棒的最大长度为
. ………12分
13.【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（理）】（14分）已知函数
.
（1）求函数
在
（t＞0）上的最小值；
（2）对一切
恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求证：对一切
，都有
＞

【答案】