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浅谈数学建模活动中信息的提取、加工处理及其利用
2 b; ^0 T! E' t8 ?洪鲁平 ! u$ w8 e5 @& [8 t) Z: N( t
. T( w2 U% b7 B数学建模活动一般要经过三个步骤，一是根据问题的特点，构造出恰当的数学模型，二是对得到的数学模型进行推理和演算，求出所需的解，三是联系原来的问题对得到的解答作出解释和评价，再返回到原问题中去作出最终的判断，这一过程，从信息学的角度来启是不断重复利用，信息的提取，信息的加工处理和信息的输出的过程。在数学建模活动中正确地捕捉信息并对获得地信息加工处理是顺利完成数模活动的基础。 5 b% p$ K2 ~* v0 A: g6 ?
一、问题信息获取的途径 : p" S! [2 R6 w$ ?6 O4 n8 Z
从信息的来源看，获取信息主要从以下几个方面获得。首先，从问题的题设和题断中提取，在这里提取的信息主要有问题体现的位置特征、数值特征与结构特征。归纳起来就是问题中体现的“图形信息”与“数的信息”。其次是从解题者自身的记忆库中获取，从这提取的信息主要有：①数学的基础知识。例如与问题有关的数学定义、概念、定理以及数学模型，②问题涉及到的数学思想方法。
5 k. U1 U: j! h4 \- K8 Z0 D二、对获得的信息应进行加工处理和利用 ! V/ o1 Y S+ b1 d4 Y N1 y h
数学模型面临的是实际问题，它往往是用实际生活中的语言描述的，不是现成的数学语言描述的问题，因而问题的题设与题断提取的信息可以有许多，往往不是唯一的，这些信息有时是有价值的，有时则起干扰解题的作用，因此，必须对获得的信息进行分析，筛选和有效组合。
8 t: q2 c* J4 j7 {* q n1、从整体上把握问题，对问题进行数学抽象 T5 C ?4 _4 | T
数学建模面临的是实际问题，它往往是实际生活中的语言描述的，因而我们必须回绕要解决的问题，对问题进行数学抽象，即对真实事物或现象进行必要的简化和完善化，使之变成数学中理想元素（如几何中的点、线、面等）与理想的模型（即数学模型）。 , F4 u5 d- {. b$ |/ y+ T& S8 P
例如：哥尼斯堡七桥问题。
! N& b D, s. T7 N/ ~哥尼斯堡位于普累格尔河的两条支流之间，座落在离他们汇合处不远的山丘上，市内有七座各具特色的搭桥，横跨普累格尔河（如图1），问能否在一次散步中把每座桥都起一次，而且只走一次，最后又会到原来的 , a# e* Z( j! s9 }0 h
位置。
6 k$ R% o5 Z5 e$ m4 `3 w! D+ k( z( S 在这问题中有桥、河、陆地等元素，但桥连接陆地等。欧拉在解决这问题的思路是：既然岛与三处陆地是桥梁的连接点，不妨将其理想化， 2 ^/ h) d4 O3 v/ _
而把岛与三处陆地抽象成四个点，并把七座桥抽象成七条线（如图2）。这样，桥与陆地的结构关系正是对所要解决问题的本质特征的数学抽象，于是，一次重复地走
9 L) P2 V0 d, i- O/ s- R, y# O完七座桥地问题就等价于一笔画出图形地问题。
$ t4 w0 N6 {8 Y( C: u) s2、对获取地信息应进行筛选、区分、取其精华，去其糟粕。
; t: Z8 R0 j+ D3 a7 h3 O; q( K数学模型面临的问题是较复杂的，信息也是杂乱无章的，有些信息是有用的，有些信息是干扰问题解决的因而为了顺利解决问题有必要将问题中获取的信息进行筛选区分，取其精华、去其糟粕，将问题解决有关的信息从问题中无关的信息中区分出来，从而使问题得到正确的解决。
% ], M7 ~0 j1 Y7 u( D( y例如：一生物学家要想计算一个湖中鱼的条数，在五月一日，她随机地捕捉了60条鱼，并对他们作了标记后防回湖中，再九月一日，她再随机地捕捉了70条鱼发现期中3条鱼是有标记地，为了计算五月一日这湖中鱼地条数，她假定五月一日湖中鱼的25%到九月一日已不在湖中（由于死亡和迁出）九月一日湖中鱼的40%五月一日时并不在湖中（由于出生和迁入），而且九月一日抽样所得的文标记及有标记的鱼都是有代表性的，这位生物学家算出的五月一日湖中的鱼数时多少？
7 h( f% P. B; N6 f6 {9 O分析：从信息角度看，本题的信息主要有：[1]五月一日捕捉了60条鱼作了标记。[2]九月一日捕捉70条鱼中有三条是有标记的。[3]五月一日湖中鱼有25%到九月一日已不在湖中。[4]九月一日湖中鱼40%五月一日不在湖中。[5]两次捕捉的具有代表性。[6]要计算五月一日湖中的鱼数。
4 _0 c3 h3 M" V' X- N/ Z* f1 w& Y% b对这些信息应进行分析，之后发现，第[4]条信息是不切题，即与解决的问题最终要求是无的，应将其舍去，从而列出正确的式子。 4 K4 E/ F) H; v3 l* c
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即五月一日湖中的点数是840条。
% z6 c) ]1 w% Y2 {' N& M从此例中可以发现实际问题的建模材料具有一定的隐蔽性，要求解题者具有较强的理解与筛选能力。
' ?5 Y5 Q0 g$ N- K, `" p# g8 }4 @三、对获取的信息进行有效整合转化，使问题的解决更简洁与流畅。
: ?& X9 n' P. E1 Z9 q数学建模面临的是实际问题，因而从中获取的信息是复杂的、多样的，故将获得的信息进行加工处理中，须有一个优化整合信息与信息转换的过程，从而发现问题的数学结构建立数学模型。
5 a& p* y0 J/ d. N+ n5 S例如：现有流量约为300m3/s的两条河流A、B汇合与某处后不断混合，他们的含沙量分别为2kg/m3和0.2kg/m3,假设从汇合处开始沿岸设有若干观测点，两股水在流经相邻的两个观测点的过程中其混合效果相当于两股水在1秒钟内交换100m3的水量，即从A股注入B股100m3水，经混合后又从B股注入 A股100m3的水量，问：从第几个观测点两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3(不考虑泥沙沉淀)。
' O# l) d" |0 d' k* @8 {. q要解决此问题，需根据题意将它抽象为一个具体的数学问题，建一个恰当的数学模型，从题目所给的信息：若干观测点的测得的A，B两股水流的含沙量不同，同时水流中的含沙量在两股水流不断的混合之中，每个观测点的两河A、B含沙量在不断的接近。将两点综合考虑之后，可知此问题是可归结为一个数列问题，其次在第n个观测点测得的含沙量an、bn是由于前一个观测点的含沙量an-1、bn-1经交换100m3水量而混合而测得。因而可以进一步将问题归结为一个递推关系给出的递推数列问题，这样我们要建的数学模型就清楚了，同时还需将一些无关或次要的因素“1秒钟交换100m3的水量”抛弃再看题目就易发现问题解决的方法。 ' m* X6 _& t/ t- K9 v! K
解：设第n个观测点处A水含沙量为an，B水的含沙量为bn。
, j% b; x, p% \5 u: ^3 R; A则： 
5 M% i( u0 j) ~" \1 @所以，从第9个观测点开始两股水流的含沙量之差小于0.01kg/m3。
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发表于 2004-11-25 20:16
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