卡丹公式欺骗了五百年所有数学家

谢芝灵

错误有二个:
(1)一个小错误.(我会在后面指出)
(2)一个致命性的数学逻辑错误.(我会举实例反驳,但错误根源我不会说,我知道错误根源.)
7 K/ ^7 l' Y* e; e. [* E
结论:卡丹公式不能解一元三次方程!
4 P8 N4 D$ C6 q
( [$ w6 p7 j) G4 z4 E8 ~先请看卡丹公式:
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax^3 +bx^2+ cx+ d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法.如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为
4 h: i" z+ h4 O  X& f第一个小错误:

& h8 |3 y4 k9 A$ G: C- W 第一个小错误:
大家知道一邢三次方程有三个根.上面卡丹公式也有三个根.见x1,x2,x3.
7 j* i1 I) }  k8 {- W$ o9 t大家从表面上看是三个不同的根.实际上面三个根就是一个根.因为x2中ω放到开立方中就变为ω^3.但是:ω^3=1.在x2后部分还有个ω^2,放进开立方中就是:ω^6.同样
ω^6=1.这样x2就是x1.同理x3也是x1.
6 J5 |/ U8 O2 n2 ?
第二个致命性数学逻辑错误.
我举实例反:
以30度角三等分公式.
4(sin10)^3-3(sin10)+sin30=0....(1)
为书写方便,设sin10=x.
得:4x^3-3x+1/2=0.
化为:x^3-3x/4+1/8=0......(2)

2 E' U  S9 N7 x' W$ Ex^3-3x/4+1/8=0,
9 l. A' E$ F" ]3 xp=-3/4.  q=1/8    代入卡丹公式.

5 D' c: D5 N# ~1 D5 s/ @5 G
: J! a  N: w# s  ~2(2)^(1/3)x=[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3).....(5)
把(5)式两边平方得:
4(4)^(1/3)x^2=[-1+(-3)^(1/2)]^(2/3)-2(-4)^(1/3)+[1+(-3)^(1/2)]^(2/3).
得:4(4)^(1/3)x^2=-(2)^(1/3)[1+(-3)^(1/2)]^(1/3)+2(4)^(1/3)+(2)^(1/3)[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3).
+ i+ \3 r' H# W+ m7 a% _# r$ d整理得:4(4)^(1/3)x^2=(2)^(1/3){[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3}+2(4)^(1/3).
.
把(5)式代入得:4(4)^(1/3)x^2=2(4)^(1/3)x+2(4)^(1/3).
得:
4x^2-2x-2=0..........(6)
解得x1=1.即:sin10=1
/ H% F0 h3 M" p6 l0 W7 Q4 {: Lx2=-1/2.即:sin10=-1/2
代入(1)式验正全错!这个错误是卡丹公式造成的.
, T  x) ]2 p" \9 B2 ^6 a9 _
6 [% R, w1 [$ K5 O

谢芝灵

另一个挂图了,重发.

谢芝灵

x^3-3x/4+1/8=0代入卡丹公式后得到4x^2-2x-2=0

两个方程矛盾/

谢芝灵

(-1)^(1/3)=-1
# I, m6 V% E$ t5 t2 c9 d( L(-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2
, {4 h. D" I" x9 D1 X& J7 S5 W(-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2
% e: O+ L- h4 |$ p/ ]1 g三种情况.分别与x1,x2(或x3),x3(或x2)对应.
7 r0 \! Q5 ~: i. ?- a' c9 j
! m" f8 H5 T! g/ W, d原方程必有三个根. (-1)^(1/3)=-1 时,有一个x1根对应.你动手算算就知.得到一个一元二次方程.
( X! Y. u9 _7 P3 l0 g+ b9 _! H* H                  (-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2有 一个x2(或x3)对应,也得到一样的一元二次方程.
                  (-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2有 一个x3(或x2)对应,也得到一样的一元二次方程.
我重复做了,三种情况.都一样,卡丹错了.
- k* J: N8 Q* p* e- v! U
我在其中只用了(-1)^(1/3)=-1并不矛盾,因为必为其中一个根对应.得到一个一元二次方程.也与一元三次方程矛盾.
( J+ X0 V4 O5 C1 l) O只要求得一个根与原程不合则原公式来历有问题.
: z$ i% |" y' V; W