卡丹公式欺骗了五百年所有数学家

谢芝灵

错误有二个:
(1)一个小错误.(我会在后面指出)
. g$ C4 r# C! c1 C; N8 S# k7 v- t(2)一个致命性的数学逻辑错误.(我会举实例反驳,但错误根源我不会说,我知道错误根源.)
+ k0 f2 ~# ^7 V# }  G2 r" c5 y
! V8 h7 L* H% d! x结论:卡丹公式不能解一元三次方程!

  t! U$ r4 N$ @! I5 p. R% i! j/ g先请看卡丹公式:
5 o+ C, T. R. _9 q( o只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax^3 +bx^2+ cx+ d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法.如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为
" y* H* ^( v: b; i第一个小错误:
' L" t/ A- N/ M) ^  J4 U
: }1 ^) p0 x* a4 y( P; P 第一个小错误:
大家知道一邢三次方程有三个根.上面卡丹公式也有三个根.见x1,x2,x3.
大家从表面上看是三个不同的根.实际上面三个根就是一个根.因为x2中ω放到开立方中就变为ω^3.但是:ω^3=1.在x2后部分还有个ω^2,放进开立方中就是:ω^6.同样
1 {$ R  d% t  Xω^6=1.这样x2就是x1.同理x3也是x1.
! P/ z6 r# @9 l1 v) c0 J
第二个致命性数学逻辑错误.
6 k( \# l, x: x' o% c我举实例反:
  A+ d  G: w) J4 c4 o, e以30度角三等分公式.
4(sin10)^3-3(sin10)+sin30=0....(1)
# W& z8 P- t) L6 r为书写方便,设sin10=x.
! T2 w5 l9 E5 t, m1 b: C得:4x^3-3x+1/2=0.
3 ?9 l  c: E4 \' i- D7 Y化为:x^3-3x/4+1/8=0......(2)
4 Z0 M. V, Y6 X8 F
x^3-3x/4+1/8=0,
, |6 ]0 C/ y' E; rp=-3/4.  q=1/8    代入卡丹公式.
  l: R$ y0 d# M- X+ r4 Q- M% c% ?
. D$ c- F& e1 F0 |6 z( Q$ i
2(2)^(1/3)x=[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3).....(5)
把(5)式两边平方得:
4(4)^(1/3)x^2=[-1+(-3)^(1/2)]^(2/3)-2(-4)^(1/3)+[1+(-3)^(1/2)]^(2/3).
) ]7 ^. y" q8 H1 w' F, W得:4(4)^(1/3)x^2=-(2)^(1/3)[1+(-3)^(1/2)]^(1/3)+2(4)^(1/3)+(2)^(1/3)[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3).
整理得:4(4)^(1/3)x^2=(2)^(1/3){[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3}+2(4)^(1/3).
.
$ }0 x9 x1 F6 N3 c/ q' M把(5)式代入得:4(4)^(1/3)x^2=2(4)^(1/3)x+2(4)^(1/3).
得:
4x^2-2x-2=0..........(6)
3 }! C; j) n. a/ ~- C! L解得x1=1.即:sin10=1
& _" S' V" b( ]6 Lx2=-1/2.即:sin10=-1/2
1 w5 o4 m7 B8 b9 _) \& \1 D8 ^代入(1)式验正全错!这个错误是卡丹公式造成的.


* a0 `4 D. T; _

谢芝灵

另一个挂图了,重发.

谢芝灵

x^3-3x/4+1/8=0代入卡丹公式后得到4x^2-2x-2=0
7 y( z1 j+ R) t; z
两个方程矛盾/

谢芝灵

(-1)^(1/3)=-1
(-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2
(-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2
- I  N4 j7 X: e+ Q三种情况.分别与x1,x2(或x3),x3(或x2)对应.

, c: N4 I9 o5 C( a1 K' z; w. d原方程必有三个根. (-1)^(1/3)=-1 时,有一个x1根对应.你动手算算就知.得到一个一元二次方程.
$ X$ g- g" T' v& t3 F7 U: `7 Y# c                  (-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2有 一个x2(或x3)对应,也得到一样的一元二次方程.
0 F! u% p8 s$ P+ C/ a2 |; h                  (-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2有 一个x3(或x2)对应,也得到一样的一元二次方程.
! w: m# l2 ^' R我重复做了,三种情况.都一样,卡丹错了.

我在其中只用了(-1)^(1/3)=-1并不矛盾,因为必为其中一个根对应.得到一个一元二次方程.也与一元三次方程矛盾.
只要求得一个根与原程不合则原公式来历有问题.
- l' l7 X3 y# j" \, a. ^