卡丹公式欺骗了五百年所有数学家----最简证明.

谢芝灵

楼里讲得很清了,x1是原方程的根,肯定不是增根.代入原方程后得到一个一元二次方程,原根也没丢,把二个根代入就矛盾了.
% Z. K; k4 e) H0 O6 E) h但网友说1^(1/3)有三种情况.其实这三种情况卡丹早想到了,所以卡丹公式才有x2,x3,见x2,x3,里面都有ω和ω^2(即1/ω).
  M5 I1 f3 Y4 g) B也分别分析了三种情况,

谢芝灵

谢芝灵

数学题:
- N) @8 L2 y4 [/ W+ W7 `$ h# a
8 ]- s$ N8 \" W已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
$ q, u5 o  n5 L$ ~# m有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.
( [3 T& C7 B" d- X0 g
0 d! x0 N4 c* _  K! J求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?
. O4 L! x$ C( N- L: E2 {
( L3 |4 Q" u8 ^  d0 O3 v; Y: o解题.
  设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
' U+ S" O* ], t: u  (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
  因为:ω^2=1/ω,  1/ω^2=ω.代入上式后:
7 Y3 H- h4 |, [9 f& _; z  1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
  一元二次方程x^2-x-2=0.,
再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
) K5 a3 K" V) r因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
+ s$ X* S7 }9 R8 L. {2 @必在-1和2之中.
% K* a, r9 U& s, p' [
. }0 C# Y; x& D再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.
并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..

: c9 V: _' p0 O$ q5 \. K, e补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).

证:
0 W. E  p0 y0 L# i; x0 \令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).
/ q$ t: F- p( M' O5 O! m* k8 D  (1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
9 c  S2 u  O3 n5 `+ a  ^* L  s0 v, K1 Q     即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
      w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
8 L3 w8 v4 |4 d; ?/ x; E/ ~' ~! l    上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3.  注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值，不是三个数值。
  得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
2 _! V% y, L0 t; B得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).
  得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
   得:w^2=x^2.
  上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).
  证毕!
  f& r* E' p3 l3 d2 w/ c