卡丹公式欺骗了五百年所有数学家----最简证明.

谢芝灵

谢芝灵

数学题:

已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
& `, ]& [1 f3 F8 W" D6 P有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.
( o; c1 h7 d! B  K5 b
( k5 a* D8 }2 G; A; K# m求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?
9 y. p* D9 b5 q* |$ I
/ l( E1 ^9 m0 [  Q解题.
) i5 @* o0 v; b: J6 A( l  设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
, @* V/ Q, Z; I- ?7 ~$ v, v  (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
  因为:ω^2=1/ω,  1/ω^2=ω.代入上式后:
6 z+ _( g& w' t  1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
' d+ k6 c* h2 t$ }9 y  一元二次方程x^2-x-2=0.,
再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
& ?% K% z* D3 F1 u3 M, i, x  _# M  I% D必在-1和2之中.
3 K  B1 }. L& H" z3 g
6 M; H) t! |0 T) s, U' A9 P再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.
并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..
8 G6 f2 Z5 p7 g6 R) }. d+ d/ t
补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).
2 Y3 K9 X1 m: j8 t1 f9 j# p9 t
证:
0 B9 h3 l9 |: M' G9 }) [6 j( a% a令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).
7 J, G3 z0 n$ I  (1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
" w  j8 v( P6 s' o+ ?9 v     即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
+ k! G0 d" u( n, o) C2 |$ g7 y1 i8 ^% E      w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
    上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3.  注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值，不是三个数值。
; `: @9 W8 M3 d  得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
  H, w0 A  {& @+ g7 [( O* O: e) X得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).
" i' F4 l* f. `  得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
  H8 l, k2 e& N! Q$ n" e( m   得:w^2=x^2.
  上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).
) ?3 U3 N( d; l  z" a  证毕!
' g: e. Z# D- \
- k4 D7 j  A9 ]; e- `" v+ x# c