卡丹公式欺骗了五百年所有数学家----最简证明.

谢芝灵

楼里讲得很清了,x1是原方程的根,肯定不是增根.代入原方程后得到一个一元二次方程,原根也没丢,把二个根代入就矛盾了.
1 i) j, s2 M' y2 x2 _. S但网友说1^(1/3)有三种情况.其实这三种情况卡丹早想到了,所以卡丹公式才有x2,x3,见x2,x3,里面都有ω和ω^2(即1/ω).
也分别分析了三种情况,

谢芝灵

谢芝灵

数学题:
  @7 F, M3 i2 H0 V- P5 z# F" a" `  m
  u* M- B9 c$ `+ `9 m已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
1 u! i+ a5 E. {; z- F# T有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.

求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?

2 Z. t/ d; w7 D0 k0 ?5 \解题.
  设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
  (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
5 E/ n5 D, O! h, ?, L  因为:ω^2=1/ω,  1/ω^2=ω.代入上式后:
5 R& J. M( U3 Y; T" m! D  1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
  一元二次方程x^2-x-2=0.,
; q  k& w. I4 @+ C( {; |/ L) ~" M再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
/ j  J# A$ w* F5 ]4 ^( S因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
必在-1和2之中.

  u! u: Z$ ?. M2 n% z) ~再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.
并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..

7 \2 q" L5 F" l8 e- C# v补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).

证:
% q+ b, [5 O% ^& u  d4 X* H令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).
0 P8 z- c1 S7 s5 v/ p  (1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
, s" U* G; y" w6 K' C6 E     即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
      w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
    上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3.  注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值，不是三个数值。
  得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
$ I2 N* Z; z5 X% `# c. X' b" r) ^得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).
7 D+ |5 u; F2 i) d  m  得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
5 S1 j0 e& C2 o9 N  l6 h; x   得:w^2=x^2.
  上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).
  证毕!
) _( O( x$ P& q$ p/ h9 b# J# n
  l& M+ D) [  m. a% L/ t