卡丹公式欺骗了五百年所有数学家----最简证明.

谢芝灵

楼里讲得很清了,x1是原方程的根,肯定不是增根.代入原方程后得到一个一元二次方程,原根也没丢,把二个根代入就矛盾了.
- G; R/ A" h, N& }: \7 h但网友说1^(1/3)有三种情况.其实这三种情况卡丹早想到了,所以卡丹公式才有x2,x3,见x2,x3,里面都有ω和ω^2(即1/ω).
5 Z& H% j# d0 H7 ?1 R' x也分别分析了三种情况,
1 w0 g3 ~3 G( O4 z, L4 @! x

谢芝灵

谢芝灵

数学题:
" c& J7 A/ \2 r" O+ ]6 g3 W
/ w9 \, N& I& o( j' v( z已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.

' n' p. P3 p  k' d! h求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?

, h9 v. M8 ~4 ?% [7 |解题.
- z3 B/ P0 m4 T% T  设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
$ @5 C( ]1 r) Z& L7 O  (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
9 }- ~+ O; K! t  因为:ω^2=1/ω,  1/ω^2=ω.代入上式后:
  1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
  一元二次方程x^2-x-2=0.,
再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
4 o, d+ r1 X7 C2 n# A因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
必在-1和2之中.

0 D; q: A; p  L* z再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.
并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..
) [# n4 c! @' u" J, h; p
4 N8 O3 K  O; m9 B8 {" M, G% r补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).
) l3 D; m+ s) z' q; \* Y
证:
令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).
/ x; {; P( O, H  (1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
3 e% }1 x' _" h, i, b. H; T     即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
  Y1 ]; ^' l# d9 K; ?      w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
: M9 V0 [- Y, E7 M    上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3.  注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值，不是三个数值。
$ v1 v* N% F3 }6 |/ E$ ~  得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).
1 b! e9 ~0 S2 k( v4 n  得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
   得:w^2=x^2.
  上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).
  证毕!
5 w* i& u5 Z% A, G% }, X& L& B: R
2 A/ D" O/ T+ Q4 K" K