卡丹公式欺骗了五百年所有数学家----最简证明.

谢芝灵

楼里讲得很清了,x1是原方程的根,肯定不是增根.代入原方程后得到一个一元二次方程,原根也没丢,把二个根代入就矛盾了.
! k$ t1 q  {: E5 Z. s; H0 E但网友说1^(1/3)有三种情况.其实这三种情况卡丹早想到了,所以卡丹公式才有x2,x3,见x2,x3,里面都有ω和ω^2(即1/ω).
9 G" o! l- g/ d. ~: F% G也分别分析了三种情况,
/ |1 X: l' Y; a5 e

谢芝灵

谢芝灵

数学题:
0 ~. _$ Z" T3 a
: |8 d: }+ L" I+ P% a已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
( U7 m+ q( u  l+ X9 C8 ?4 s2 H有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.
5 B! y) D3 d. ]' `3 U+ L# T
3 a5 J$ N$ L3 U求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?
: R3 i) Y% h6 @4 U: |% a+ @
8 |+ m: ^; `' R& h解题.
  设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
  (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
  因为:ω^2=1/ω,  1/ω^2=ω.代入上式后:
/ s/ L, |0 Q& j  1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
- c2 F) }- P4 o' o2 f5 Y' o  一元二次方程x^2-x-2=0.,
5 \3 i0 B/ p: a0 n! l4 J再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
/ |, j% R' P' K' Y- R" Q6 E必在-1和2之中.

7 o4 Y9 i! a  y4 r+ t4 g再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.
并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..
5 E) J0 x' V* J; w5 |5 r- w
补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).
9 q4 C1 Z9 U1 F0 x! R) x2 f
- Y! I: Y+ x: e, [3 h1 ~% P) [证:
令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).
6 |! ^. T1 k; o  M/ b2 ^3 R. z  Q  (1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
     即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
/ x' n% k6 n1 C9 ?4 H/ n, i+ |, y+ g      w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
3 ?" b8 q+ v5 c0 Z' {9 v    上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3.  注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值，不是三个数值。
1 w5 }$ D# m* Y% z8 d; A. Q1 @  得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
4 r  V6 V$ @9 i得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).
  得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
% M; D0 f! i7 Y& k   得:w^2=x^2.
  上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).
  证毕!