卡丹公式欺骗了五百年所有数学家---最简铁证

谢芝灵

" G8 _0 d/ U  V% w$ e; A
$ D$ Z$ Q1 ?; J) P$ L$ M奇妙的数ω.
$ j1 l  N. u# C6 Hω=[-1+i(3)^(1/2)]/2
n是非0的任何数.
ω+1/ω=(ω)^n+(1/ω)^n=-1或2.当 n为1,2,4,8,16,...形式时等于-1.别的形式等于2.
解:设(ω)^n+(1/ω)^n=x.
/ F5 x5 F6 o; z1 D1 @/ _0 e4 u  两边平方后得ω^2)^n+2+[(1/ω)^2]^n=x^2
                  得ω)^n+(1/ω)^n+2=x^2.
, Q- h6 F. R$ L' g0 h7 K/ G       得方程:x^2=x+2
  解得 x1=-1.   x2=2.

谢芝灵

关于增根,减根问题.
5 J4 e" d1 a& ]; R在(2)式代入卡丹方程中得到三个根,我把三个根x1,x2,x3都分析,就不会漏减根了.
1 I7 [6 P, V; c; b; i5 }由卡丹公式得到x1,此时就是一个一元一次方程.两边平方后得一元二次方程.出现了一个增根.
我把这两个根都代入(2)式,均错误.
第二步,把x2这个两边平方,又得到一样一元二次方程.同样矛盾.
4 o) a( g4 ~1 J5 j& C6 F0 J第三步,同上一样.
8 _* R/ F5 |7 M& D. V! t( b+ ~9 f
所以不存在增根减根把主根丢失的情况.
方程就三个根x1,x2,x3.也可写成sin10,sin50,-sin70.有人说多了几个根,如-cos20.等.其实-cos20就是-sin70.他们是重复计算.
3 ^5 v1 v9 t1 y
其中的复数也是按复 复数法则.ω^3=1,得ω^2=1/ω.还有(1/ω)^2=ω.

* d5 i9 l: r. v7 |; J8 |: T那么(ω)^(1/2)的平方等于多少?
得:[ (ω)^(1/2)]^2=(ω^2)^(1/2)=(1/ω)^(1/2).
错误的计算是::[ (ω)^(1/2)]^2=(ω)^(2/2).=ω.====此是错误的!

6 k- H5 @% J/ Z9 X- ~0 @

谢芝灵

楼里讲得很清了,x1是原方程的根,肯定不是增根.代入原方程后得到一个一元二次方程,原根也没丢,把二个根代入就矛盾了.
但网友说1^(1/3)有三种情况.其实这三种情况卡丹早想到了,所以卡丹公式才有x2,x3,见x2,x3,里面都有ω和ω^2(即1/ω).
& T) \" Y8 [6 n& t也分别分析了三种情况,

谢芝灵

谢芝灵

ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.得ω^3=1.和ω^2=1/ω.及ω=1/ω^(1/2).

ω是个奇妙的数.
% U1 K  ^" [  x. N) n. k& aω^n+1/ω^n更是个神奇的值.
即不管n变化多大.ω^n+1/ω^n的值就在-1和2之中.

polgageorge

如果你是对的，麻烦你仔细整理一下，如果可以的话，分享分享；如果你错了，不要灰心，找找错在哪。不要让情感战胜了理智的头脑，即便你得了数学大奖。另外，建议你确认一下关于卡丹公式的参考资料是否完整确切

谢芝灵

数学题:
! H  m0 U; P# \- Y! S9 n+ J4 k; I
已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
% u) I5 I9 N1 v# u有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.
3 }* A9 m5 p# j! G; A/ i, t! M7 H3 Q$ G
求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?
8 c. t9 L  X- m- o
解题.
) |, p- P# o2 P0 }! _* @8 o  设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
  (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
  因为:ω^2=1/ω,  1/ω^2=ω.代入上式后:
  1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
1 w9 w2 X8 r/ V$ i% |% s  一元二次方程x^2-x-2=0.,
再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
必在-1和2之中.

再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.
并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..

/ P% D3 G' ~+ s' _0 A' |补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).
5 n0 |. b, O* {1 l
: p. k6 b2 q: @' c证:
令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).
  (1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
' c4 y) T. K6 m6 Y% Y     即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
' X/ y3 Q3 i0 A% V% Q      w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
    上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3.  注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值，不是三个数值。
2 @( _( B* E8 o3 t7 O  得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
7 u! M/ r5 O; b! A  M得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).
& _- E6 j, C4 X1 E; C+ G" j  得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
/ _3 F7 r+ i9 U5 Z7 J; j" J* W7 C   得:w^2=x^2.
, k9 v: H8 x, z9 C  上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).
  证毕!

数学1+1

谢芝林先生:
      一元三次方程的求根公式没有问题。问题在于你对ω的理解，为什么有ω^3=1 ？