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签到天数: 24 天 [LV.4]偶尔看看III
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( B$ a" r3 W' D9 E. J; O ?
. z" b$ w+ i+ s( p7 s/ u T
因为:ω^3=1 有 : ω=(1/ω)^2. 有 : ω^2=1/ω* A4 u; I- @7 n
恒等式: (sin10)^3-(3/4)(sin10)+(sin30)/4=0....(1)8 G3 Y, \; {( d; X7 f( M0 C$ y
化为: x^3-3x/4+1/8=0....(2),
8 H. }# U K& `7 }( s+ r ' F2 J% j' N$ c6 ~
分三次分析! Y" ~) b8 q- E5 m) F `* b
第一分析,5 I9 s8 y2 g( V9 U
. k/ s: d% \8 c9 d7 E6 Q把p=-3/4. q=1/8
0 S3 D9 ~0 i4 c* J代入卡丹公式x1中.
1 t! ^' G) L/ H) x: B) {0 _2 G得:2x=[ω]^(1/3)+[1/ω]^(1/3)....(3)
7 B. {& D# p" O6 n把(3)式两边平方得:7 ^! M7 H& Q' |. G' u4 h
4x^2=[ω^2]^(1/3)+2+[(1/ω)^2]^(1/3).
# a9 R3 ?( E% j) a- [上式ω^3=1变形后为:4x^2=[1/ω]^(1/3)+2+[(ω)^2]^(1/3).; X7 }. f# }- I4 q* c6 j
(3)式代入后得:
|# u" T& x$ E5 m( S得:2x^2-x-1=0......(4)6 X2 |/ N+ ^5 d& Y
此时(4)和(1)式(2)式矛盾 .由卡丹公式引起.* ^+ a0 a: d# i- K
其实此时完全证明了卡 丹公式不是万能公式.不能解(1)(2)形式方程.
/ p8 N, r3 K$ Q4 F* C/ q0 q其实没必要做第种 情况分析.为了让大家放心,我再做.
( V: P* ^5 A/ o第二分析,0 ^/ J/ M5 s. S5 F: k
7 f, J" Y0 ^% X) Q) p6 _
把p=-3/4. q=1/8
( _, F/ L2 J6 ?代入卡丹公式x2中.- x8 o* g, O/ E1 s3 ?
得:2x=ω[ω]^(1/3)+ω^2*[1/ω]^(1/3)/ h" m/ e5 k8 I2 K/ {- J' w/ f: ]
两边平方后:4x^2=ω^2*[ω^2]^(1/3)+2+ω^4*[(1/ω)^2]^(1/3)1 s4 L8 c# d# Q3 ]8 u
得:4x^2=ω^2*[1/ω]^(1/3)+2+ω[ω]^(1/3)9 J& Y/ f3 L* D6 s3 b" k# B) O
同理得:2x^2-x-1=0! Z+ d. n3 r7 f' R |% q6 x0 g# p# Q
5 k: ~4 |$ I& z& X第三分析(略)
8 s4 y0 v8 N/ D m- n卡 丹公式局限性很大,仅能解4(sin30)^3-(3/4)(sin30)+(sin90)/4=0 此形式变形的一元三次方程.这些方程是有理数的解.我知道卡丹公式错误的理论根源.才用上述铁证证明其局限性. |
zan
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