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绝对人性化的等周定理

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junawat        

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    [LV.2]偶尔看看I

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    inuoguahlb
    发表于 2014-3-23 18:38 |显示全部楼层
    |招呼Ta 关注Ta
    任选一个平面图形,把图形用直线填平(方法简单,见cut-the-knot org do_you_know isoperimetric shtmlorg的如何证明fig 1。或者搜索维基百科的等周定理的初级证明,他不是全对,但直线填平是对的。把曲线拉起来可能形成新的凹陷,要回溯填平)
      w% b5 q$ ]6 V4 ]6 x5 }" o) \# T
    把新得到图形的周长平分为四段,连接分段时不相邻的两个点,形成线段f,然后连接另外两点分别和线段相连,所形成的两条线段分别垂直于f(有可能这两条线段垂直于f的同一点,有可能不) 999.JPG
    。那么图形就被这些线段分为四块,每块的内角相等,都是九十度。取这些块面积最大的块取代其他三块,拼起来的时候内角还是内角。4 k  z  B) o7 ?! G. _7 i
    9 w* ?0 p" x8 g0 x1 v" `9 j) V
    这样得到一个新图形他的四部分对称。把图形四块的对称线的相交点当成直角坐标系的o点,对称线放在横轴和竖轴上(这是为了指明某些方向)+ o; Q% H2 m1 I- A: j
    (1,2象限对称,2,4不对称,1,4对称,2,3对称,2,4不对称,1,3不对称。。。)( J0 d) m5 t: t6 q: \
    " }  W& Z7 v! F3 N/ _: \: M: |, _# ^
    因为四个象限的图形对称,都可以跟着第一象限变(在我下面证明里可以这样),所以大部分时候我只谈论第一象限。9 Z+ q! v6 J, M1 P. B& U) x

    1 R% c  P3 J9 ~) F7 }2 g/ Z' U  `0 a我所说的周长都是围着整个图形的。
    1 h0 p' {) V  u' w; o" `& P4 [- s# y4 n" O+ e+ ^
    第一象的周长被一个点分为相等的两段,点和o连接成线段,其他象限也这么画。。。。
    $ J" z: A& u! X2 x: j. @- u
    999.JPG
    999.JPG
    zan
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    [LV.2]偶尔看看I

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    inuoguahlb
    mnilofb.JPG

    0 R7 ]6 K+ h, p$ \! l我的思路是调整任意一个平面图形的面积变得更大,周长变得更小,不过也有可能不变,但是最后必须是是平面圆,即任意图形不大于圆。1 f- S8 s/ L, X9 c

    . [5 G( `  H5 \8 t7 `图1一根线段1穿过图形内部,另一根线段2在图形的周长上(可能存在无数根),两直线都要相互平行,记录下两根垂直距离最长的线段,该线段碰到周长两个点以上都要以该线段取代该部分的周长,然后画另外的线段但是和线段1的夹角不为0,因为两个缺口的角度不同。这样下去遍历了图形的一周后(图形的周长不是无限的),得到的图形没有凹陷。称这个过程叫填平。- O  c; c5 n; w4 V$ w/ c* c9 ]

    ( ~  R6 e/ y0 ~1 E$ E. b8 k/ ?图2和图3显示如何将图形转化成四面对称,没有多余解释。
    # u: J& L6 p% K# O4 P
    - ]6 D  q* ]5 T1 a把对称线对准直角坐标系的横轴和竖轴。一个平分点在图形的第一象限的周长上,因为对称,所以其它象限也可以这么做。四个平分点和o点(直角坐标系的中心点)相连。那些线段把图形分成8个部分,就像图4,还要把它们分别标记成红色和灰色。让红色部分和灰色部分分开,红色部分合起来,灰色部分也可以这么做,但是红色和灰色边界上的两条线段必须相同。
    - }) W5 b. Y% `8 A1 g1 y
    ' [$ \% A( i4 D4 p. O5 A8 e将图形在第一象限的周长的中点与直角坐标系的O点相连,其他三个象限也这么做,结果类似图4。图4被横轴枢轴平分线分为8个小扇形,将红色扇形的4个扇形拼一起(类似图5),将灰色拼一起(类似图6),我要将红色和灰色两大部分重新拼起来,为了不增加周长,小扇形拼起来时候红灰交界的腰必须相等,类似图7.
    8 C8 I( l8 e: U7 n. {
    * T) p. V% ^; K9 W" u2 C将图7红灰两大块在周长上的交界处的两点连接起来,然后比较左右的面积,较大或相等的一块取代另一侧,使得虚线两侧的区域对称。
    ! N  c/ K$ j. v- C+ s- O8 `/ U) ^& Q
    注意我这次得到的可能只是两侧对称而已,但所有小扇形的暴露在外的周长都对称。+ j( d; _; S( P- y- s
    9 B& x( @: N, e6 g
    图9证明:扇形的两周长相对于虚线(本来是蓝色的,压缩后有点黑了)对称,连接周长的起点和终点,偏转连线,连线对两腰的角度如果相等(如图11),那么这个扇形的面积起码不可能缩小。扇形的弧线仍然保留在两腰的延长线之内,并且两个小的扇形对称了。3 y& y# X- f3 Q
    . e' A- c% Y9 g
    之后,我就讨论单个小扇形了。见图13在左腰上画垂线(很多很多),红色的指代其中之一的垂线,和弧线(弧线指周长好像更明确)有接触点(可能有很多个接触点)。记录下红色的垂线使得腰最长的那一根,用该红线取代被其包住的那一段弧线,这样便使得面积更大,新的弧线更短。另一条腰也可以这么做。至此得到任意两点之间的弧线不内凹(内陷)。
    ! E/ k; T" h; t& b2 k
    - f- @( h' t/ @4 \1 a# t( v, k图12中,如果图8的虚线左侧替换了右侧,他左侧的点分别是13579(无2468),先让1o线和2o线相等,然后让13o线相等,35o线相等。15o线相等了自然也让9o线相等……顺序就像前序遍历二叉树。5 E4 ~; Y. p( _9 E" f0 u) C+ K( F

    4 ?" R7 B: _  v# m至此一个8块对称的图形生成了,只要照上面的步骤做,o点辐射出来的两线之间的夹角越来越小,夹角之间都没有凹下去,弧线突起越来越小,起码最大的平面图形之一就是圆形。
    6 t+ w- ^( V' P
    ) |! Q  i8 Z2 z* y# X  v/ ]# a
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