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问题分析 8 Q7 R3 p7 ~& u
男生追女生,对男生来说最重要的是学习、爱情两不误。因此我们引进男生的学业成绩函数Y(t)。
# w6 s# [/ W. X; ]& x9 k Z1 b: U5 ~
首先,我们不考虑男生的追求攻势,则影响该函数的因素主要是两个人的关系程度。为了便于分析,我们将两人的关系简化为女生对该男生的疏远度,于是引入疏远度函数X(t)。
+ q/ t& W3 N" y. o4 g" q) h; W3 g# h4 u, y' a1 c4 g) ]6 `- R6 Q
问题就转化为求解Y(t)和X(t)的相互作用关系。利用微分,很容易就可以求出两者的关系。但现实中男生可能会对该女生发起一轮轮的追求攻势,因此还要考虑到追求攻势对模型的影响。而追求攻势又与女生的疏远度有关,可以简化地将两者看成是正比关系。将追求攻势加入到模型中,就可以找出攻势与Y(t)和X(t)的关系了。 7 c4 V2 h: c1 \5 R& k7 F
1 ^& l; Z v" ~, H8 `( X 模型假设
" R8 X, e0 A% _1 n* A+ f; I2 H" [2 s( ?# Z1 N" c. K
1、t时刻A君的学业成绩为Y(t); # G t" n3 c1 V1 _- s% a
5 J2 s. K% b" h( U+ j) b# T" n, g+ I
2、t时刻B女对A君的疏远度为X(t); 1 ^# F6 ?( M$ _$ u b# J7 c# S
4 u9 y7 b$ v1 G! i8 w3 }% E7 _ 3、当A君没开始追求B女时B女对A君的疏远度增长(平时发现的A君的不良行为)符合Malthus模型,即dX/dt=aX(t)其中a为正常数。
1 k7 C; T) A7 ~1 F! g% n O! k3 R+ O- j' |% l$ |) e+ H. I8 F
4、当Y(t)存在时,单位时间内减少X(t)的值与X(t)的值成正比,比例常数为b,从而 dX(t)/dt=aX(t)-bX(t)Y(t)。 9 n8 ~2 s; M" V. ]; b3 W
- z+ A L, T8 ~/ Y$ h- P- z 5、A君发起对B女追求后,立即转化为B女对A君的好感,并设定转化系数为 α,而随着的A君发起对B女的追求,A君学业的自然下降率与学业成绩成正比,比例系数为e。于是有dY(t)/dt=αbX(t)Y(t)-eY(t)。
2 K; H- X) `: {9 f+ P {+ s# i! a+ U! e: i$ b/ f2 Y
模型构成
7 J7 s0 {, w4 [% t
' \+ G' W' R }( p: v 由假设4和假设5,就得到了学业与疏远度在无外界干扰的情况下互相作用的模型: ! o6 m2 R+ ~0 x8 @" L
5 d. s: T/ m+ l [ E$ ?4 P {dX(t)/dt=aX-bXY;dY(t)/dt=cXY-eY} 其中c=αb. (1)
5 Y+ h5 b& N2 R% d: ?4 C x
1 A) M" c! P" B# x/ Y 这是一个非线性自治系统,为了求两个数X与Y的变化规律,我们对它作定性分析。令{aX-bXY=0;cXY-eY=0} 解得系统(1)的两个平衡位置为:O(0,0),M (e/c,a/b)。从(1)的两方程中消去dt,分离变量可求得首次积分:
% a! g3 u/ `% i u4 v4 j# F& G, g- h: I6 p
F(X,Y)=cX-dln|X|-aln|Y|=k (2) : a" T2 k9 R ], s0 A( X- _
5 D% P- z+ D4 h; E3 h) M 容易求出函数F(X,Y)有唯一驻点为M(e/c,a/b)。再用极值的充分条件判断条件可以判断M是F的极小值点。同时易见,当X→∞(B女对A君恨之入骨)或Y→∞ (A君是一块只会学习的木头)时均有F→∞;而X→0(A君作了变形手术,B女对他毫无防备)或Y→0(A君不学无术,丝毫不学习)时也有F→∞。由此不难看出,在第一象限内部连续的函数z=F(X,Y)的图形是以M为最小值点,且在第一卦限向上无限延伸的曲面,因而它与z=k(k>0)的交线在相平面XOY的投影F(X,Y)=k (k>0)是环绕点M的闭曲线簇。这说明学业成绩和疏远度的指数成周期性变化。 / O2 h& l0 L) J
% p, e! @0 j$ B# L 结果解释 & \3 R+ f4 C5 |1 E2 e: T; @3 w
s, Z. F& T# }1 B, E
从生态意义上看这是容易理解的,当A君的学习成绩Y(t)下降时,B女会疏远 A君,疏远度X(t)上升;于是A君就又开始奋发图强,学习成绩Y(t)又上升了。于是B女就又和A君开始了来往,疏远度X(t)又下降了。与B女交往多了,当然分散了学习时间,A君的学习成绩Y(t)下降了。 " }& y$ i1 O5 z
$ d7 D$ r7 h. q
然而我们可证明,尽管闭轨线不同,但在其周期内的X和Y的平均数量都分别是一常数,而且恰为平衡点M的两个坐标。事实上,由(1)的第二个方程可得: dY/Ydt=cX- e,两端在一个周期时间T内积分,得:
, N6 A h9 a/ D0 N, e0 T
9 R6 E* Q8 p6 f; @3 u( K$ x ∫(dy/Ydt)dt=c∮Xdt-dT (3) B. \1 n: c4 M) ]4 e
) L% @5 r' P5 _1 l' g2 @
注意到当t经过一个周期T时,点(X,Y)绕闭轨线运行一圈又回到初始点,从而:∫(dY/Ydt)dt=∮dY/Y=0。所以,由(3)式可得:(∫Xdt)/T=e/c。 - ^, }% H7 x* A! x2 b
- Y8 {- a0 S& U/ h
同理,由(1)的第一个方程可得:(∫Ydt)/T=a/b。
% E+ L2 H2 G3 Z/ u. b/ t# r6 i) R) N# g" S1 M& ]# y* R C& a
模型优化
: ?+ i( [7 x1 M1 l) }! g! j" g7 U [4 Y9 K: N! k7 Z
考虑到追求攻势对上述模型的影响。设追求攻势与该时刻的疏远度成正比,比例系数为h,h反映了追求攻势的作用力。在这种情况下,上述学业与疏远度的模型应变为:
% p/ J. Y& S1 a" E! u
$ V, _+ o9 D; ?5 a: a# p/ x {dX/dT=aX-bXY-hX=(a-h)X-bXY;dY/dt=cXY-eY-hY=cXY-(e+h)Y} (4)
3 z0 d4 z# C* j, b
# x8 o6 P/ n* a2 } 将(4)式与(1)式比较,可见两者形式完全相同,前者仅是把(1)中X与Y的系数分别换成了a-h与e+h。因此,对(4)式有
5 Y9 q( I. @, k* I+ \5 G4 f) ? M. h! V
x’=(∫Xdt)/T=(e+h)/c,y’=(∫Ydt)/t=(a-h)/b (5) " W9 B5 a9 x4 s$ C
( y8 I1 P1 ^8 `: t2 d 利用(5)式我们可见:攻势作用力h的增大使X’增加,Y’减少。 5 ?! o2 f m8 a( j% u
" p+ z0 m) t q6 _6 p4 b
我们的建议
5 o- @5 e' z5 I1 G
~7 A( p- z2 I: P, h7 ~: M& N 考试期间,由于功课繁忙,使得追求攻势减少,即h减小,与平时相比,将有利于学业成绩Y的增长。这就是Volterra原理。 此原理对男生有着重要的指导意义:强大的爱情攻势有时不一定能达到满意的效果,反而不利与学业的成长;有时通过慢慢接触,慢慢了解,再加上适当的追求行动,女生的疏远度就会慢慢降低。学习成绩也不会降低!
1 V2 W& n$ @8 U$ n: y" C【转自:http://www.enetedu.com/bbs/html/2008-10-26/200810269005325881.htm】
% {0 D% C! N3 I/ ?( F# }9 D: p |
zan
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