[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦

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发表于 2014-7-28 11:22 |只看该作者 |倒序浏览

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[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
大家都知道插值在数学建模中很重要，现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。

1. 拉格朗日多项式插值
拉格朗日插值就是给定n个数，让你用不超过n-1次的多项式你逼近它，当然这n个点要能满足多项式。
这是一种最基本的思想，计算很简单，先计算n个基函数，基函数可以自己上网搜一下，因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数，把这n个式子相加，最后化简就ok了。下面我把代码写出来，我这些代码全是自己写的，注释比较详细，这里只以lagrange为例，其余都放在附件里了。
%定义myLagrange函数，参数为向量x，y，由用户调用该函数时输入
function L=myLagrange (x,y)
%n    插值结点的个数
n=length(x);
%L    myLagrange函数计算的多项式系数行列式
L=zeros(1,n);
%
%使用双重for循环，第一个for循环是
for i=1:n
%a
a=1;
%w
w=1;
%for循环
for j=1:n
      %如果i不等于j
      if j~=i
         %累加法计算a
         a=a*(x(i)-x(j));
         %用向量乘法函数conv计算w
         w=conv(w,[1,-x(j)]);
         %if语句结束符
      end
      %第二个for循环结束符
end
%递归法计算L，其中y(i)/a*w表示第i个元素
      L=y(i)/a*w+L;
%第一个for结束符
end
没错，就这么几句代码，所以很简单的。

2. 牛顿插值
牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点，了然后插值。如果你想再加一个点，它会重新开始计算，这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。
了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
Newton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即

因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
由插值多项式的唯一性可知，Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。

牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的

3.分段插值
在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象，最有名的就是Runge现象，就是随着插值节点的增加，lagrange插值多项式的次数就会增大，多数情况下误差会变小，但多项式的平滑性变坏，优势会出现很大的震荡。
高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。

3.1线性分段插值
简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性
插值函数，在每个小区间上都是线性的，也就是小线段。
用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函
数interp1。
y=interp1(x0,y0,x,'method')
method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：
'nearest' 最近项插值
'linear' 线性插值
'spline' 逐段3 次样条插值
'cubic' 保凹凸性3 次插值。
所有的插值方法要求 x0 是单调的。
当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、
'*spline'、'*cubic'。
3.2埃尔米特(Hermite)插值
到了重点，如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一
阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值
函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。

function y=hermite(x0,y0,y1,x);
n=length(x0);m=length(x);
for k=1:m
yy=0.0;
for i=1:n
h=1.0;
a=0.0;
for j=1:n
if j~=i
h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
end
end
yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
end
y(k)=yy;
end

附件里的hermite插值则是3次的，因为我上课时老师让写的是3次的，而且那个还有4个很长的公式，有兴趣的可以自己百度一下。
4.三次样条插值
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外
形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，
而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
要求到2阶导数连续，因此平滑性要求较高。
这部分公式多，我放到附件里了。

当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已，还有很多二维插值方法啦，可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。

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