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[教程] 插值方法集锦,还有matlab代码,不要错过哦

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    发表于 2014-7-28 11:22 |只看该作者 |倒序浏览
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    [教程] 插值方法集锦,还有matlab代码,不要错过哦 5 Y) f2 M+ d! s. e% V" y9 X
    大家都知道插值在数学建模中很重要,现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值:拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。' r6 g4 D! Q/ Q3 I6 O, }1 ^
    / ?) B- Z8 c7 H: c
    1. 拉格朗日多项式插值/ G2 ^) ^# @: M5 t  r  P
    拉格朗日插值就是给定n个数,让你用不超过n-1次的多项式你逼近它,当然这n个点要能满足多项式。
    4 c8 c4 X( `$ C' B3 d" l  Y这是一种最基本的思想,计算很简单,先计算n个基函数,基函数可以自己上网搜一下,因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数,把这n个式子相加,最后化简就ok了。下面我把代码写出来,我这些代码全是自己写的,注释比较详细,这里只以lagrange为例,其余都放在附件里了。3 A" E' C5 G- a' Z5 E
    %定义myLagrange函数 ,参数为向量x,y,由用户调用该函数时输入9 T( ], ]: p5 q' C1 n
    function L=myLagrange (x,y)7 u8 C1 r  Y( s4 t
    %n      插值结点的个数
    8 i0 F: \6 z1 ?5 ^n=length(x);, g' I% b2 g  m6 K
    %L      myLagrange函数计算的多项式系数行列式9 c- h8 ?7 Y7 Y
    L=zeros(1,n);
    2 Q( s/ p/ K: f" o1 E# P( U%
    , R7 Z4 _  K8 z, M3 X% G- X%使用双重for循环,第一个for循环是8 L+ g4 c/ Z8 B8 Q0 k$ |! ^
    for i=1:n
    / F1 ~4 L- U: \* z; j! }8 x  }- V  o%a      ' C) F0 r- m1 J
        a=1;
    ( q* P7 q# a$ q+ ]%w   
    + [, k% u/ y/ |' k' {    w=1;& G* I* n" G' O% p, w2 Q
    %for循环& Z$ |6 x8 O/ g2 ^; F
        for j=1:n
    * p$ M$ G" z2 ?; ^9 t! s        %如果i不等于j
    3 f5 @! i+ p; _% L  D        if j~=i
    0 z0 u' x$ g2 o* O            %累加法计算a
    + |2 l6 H$ V6 {9 l; e' W* `! D% T            a=a*(x(i)-x(j));/ r1 [) W" J! F6 C# h7 n
                %用向量乘法函数conv计算w
    % g; d" e8 p0 \            w=conv(w,[1,-x(j)]);6 i2 f  t) ^) e$ y+ K: m
                %if语句结束符7 v# q1 K1 b  |" @
            end
    7 }& x0 T% d+ P) {        %第二个for循环结束符7 n0 |* w9 u6 T3 H; }* Q
        end
    5 |6 Z& _6 W+ O' M    %递归法计算L,其中y(i)/a*w表示第i个元素
    + a% A, Q: A; f2 e        L=y(i)/a*w+L;
    8 f: ^# R% J  }9 O/ n    %第一个for结束符        
    ( C4 \) R% b3 g. u+ ~* a) T' H2 Tend1 V* U$ n* F( E. [
       没错,就这么几句代码,所以很简单的。
    0 t- Q6 Q& D3 l5 w
    + T( D( B3 H5 N# e( J( \  Q2 o: h2. 牛顿插值
    1 e$ U- {, [8 a4 ], b: K% T- a牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点,了然后插值。如果你想再加一个点,它会重新开始计算,这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。* U( Q( K8 L: L
    了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
    4 D- D# ~0 f/ ^8 t- E; dNewton 插值的优点是:每增加一个节点,插值多项式只增加一项,即$ `. c3 y% ~1 M0 F* J

    6 T' j: P8 O6 z9 A" Y+ @9 B0 u  l7 |5 O# y+ ~+ ]
    * W! O- D: \* b# R
    因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
    ! y( s- L% J6 v) `: y$ U由插值多项式的唯一性可知,Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。
    8 ?) b1 z2 ]8 S' o+ f& x. h/ h( v8 U! }) F: c* H
    , L/ O* i4 v8 w. f* I
    牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的/ P: q2 r  x: g5 j8 ^9 J
    ' k2 s* B1 O1 j6 n% h* W
    / _4 Z# S+ m) [, V) V! S
    3.分段插值
    ( u# p8 ?2 z  z8 Y; k# L/ x9 S+ o/ O在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象,最有名的就是Runge现象,就是随着插值节点的增加,lagrange插值多项式的次数就会增大,多数情况下误差会变小,但多项式的平滑性变坏,优势会出现很大的震荡。
    * W. E1 d5 d' u" y7 E高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。2 w4 Y( K: Z2 q* `1 h- \% }

    ! b3 L; B7 g9 i3.1线性分段插值7 W& R* }8 k* W: b7 \% k2 D" |! e
    简单地说,将每两个相邻的节点用直线连起来,如此形成的一条折线就是分段线性; N, b/ E% |! C; O/ V7 ]
    插值函数,在每个小区间上都是线性的,也就是小线段。7 D9 N0 G8 H  o' I7 F7 D, X
    用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函) g: j- @1 n- {( z5 V, L+ X; c
    数interp1。" p$ g8 ^7 Q1 B! o4 p' A
    y=interp1(x0,y0,x,'method')8 a& Z9 U! N/ l/ P0 Z" a
    method 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:
    5 m/ \; z5 ]- w  ?) H2 D1 W" q: x'nearest' 最近项插值
    0 g; N/ A8 b& B7 i/ G# o- k# c/ `'linear' 线性插值0 V  M; {+ y% X: d* B) i
    'spline' 逐段3 次样条插值
    - Q3 _) ~) }8 `3 x, s+ |! E, @'cubic' 保凹凸性3 次插值。
    / K) p6 ]$ N4 n; @+ ]所有的插值方法要求 x0 是单调的。
    % l- A) X  L, H4 Z# F当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、, v* ^/ f7 x! n
    '*spline'、'*cubic'。
    6 i6 ~: z# |0 Z- w! ~3 B+ B3.2埃尔米特(Hermite)插值2 U! Q3 y7 l1 T( k9 \
    到了重点,如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一
    5 O5 q5 `' K6 e) g阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值5 ]. X) a  `/ l& z
    函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
    % b% q3 U: ^7 c% X* C5 a7 S2 `# Y) Y  ?7 k2 ^; d4 G+ |1 Q/ C5 |& A
    % V& V4 O4 D2 q. j0 V/ W
    function y=hermite(x0,y0,y1,x);& Y9 a/ c. t, K; F
    n=length(x0);m=length(x);
    ) \: s  N) K. O  M5 Q! ~for k=1:m& y* _3 L6 R  e' w
    yy=0.0;
    0 Z. {( a' d& S. G4 \/ Efor i=1:n, T: }* q5 X5 @; J. C/ T" \
    h=1.0;
    + j$ l1 _6 ^" x8 y8 O$ }/ ?* Ja=0.0;
    2 p+ ]0 t& l- p- `0 [for j=1:n) }! z+ I! _. Y; E9 t
    if j~=i
    6 {* n3 E' H" g% G+ ?" X# jh=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;3 ]# X  ?  G9 A9 a8 Q" A
    a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
    4 o4 G5 R6 U7 o4 `! d: rend: v& Z$ |; J3 H0 ]9 k( S; x
    end, P4 t) u8 G! z/ J5 y2 `0 b
    yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));  H2 G9 Z% R0 H' b% S9 s0 r, z
    end6 L0 {/ [* A* \0 h
    y(k)=yy;
    0 p1 Z  S+ K% q- dend
    : N7 t) }" k2 L% b/ U
    3 b1 p, n" x  E/ S附件里的hermite插值则是3次的,因为我上课时老师让写的是3次的,而且那个还有4个很长的公式,有兴趣的可以自己百度一下。, @. q3 g8 H) x8 I6 O
    4.三次样条插值
    2 s) E, O8 b% e9 [5 H许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外: z5 }7 F% j! j" u! ^" {
    形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续,
    5 Y. [  J0 V$ I% i, N7 [1 {9 Y而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。
    0 g" L9 g8 ^# M0 P( `2 P要求到2阶导数连续,因此平滑性要求较高。. T- u9 R6 L) N) |1 l/ Y
    这部分公式多,我放到附件里了。% I# Y, c, S, q% U

    ; ?/ s8 P# q4 W$ ^& ~# ^  X当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已,还有很多二维插值方法啦,可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。/ {5 N, C) O  \) D% w4 ]; K  k
    1 z0 A4 Z2 c8 e- N4 a; A% D
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    5 V' X$ U3 z6 b3 ~9 S) Z
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