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[教程] 插值方法集锦,还有matlab代码,不要错过哦

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    发表于 2014-7-28 11:22 |只看该作者 |倒序浏览
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    [教程] 插值方法集锦,还有matlab代码,不要错过哦
    ! D" J2 V. I% a) z) o) H6 Y大家都知道插值在数学建模中很重要,现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值:拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
    6 }4 D9 T, o  r
    ' x7 ~* h3 y3 o+ h* F' r$ `6 V1. 拉格朗日多项式插值7 S) e* B6 V# n
    拉格朗日插值就是给定n个数,让你用不超过n-1次的多项式你逼近它,当然这n个点要能满足多项式。9 N- Z5 d( x9 p# k: g2 E: W
    这是一种最基本的思想,计算很简单,先计算n个基函数,基函数可以自己上网搜一下,因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数,把这n个式子相加,最后化简就ok了。下面我把代码写出来,我这些代码全是自己写的,注释比较详细,这里只以lagrange为例,其余都放在附件里了。
    ) Z# K4 |& R4 G. l& t%定义myLagrange函数 ,参数为向量x,y,由用户调用该函数时输入
      R  T# J* p# s* }2 }function L=myLagrange (x,y)+ _5 Z5 w1 [0 z$ d: b. I9 B( j: e
    %n      插值结点的个数- B" w  S& z. X# s7 h
    n=length(x);( A; S! L2 b# z1 r
    %L      myLagrange函数计算的多项式系数行列式  z4 o5 n! F; p
    L=zeros(1,n);
    0 C2 ?0 a3 K2 _6 O%& D7 V1 R% [& \8 s5 \7 X
    %使用双重for循环,第一个for循环是: S. D9 ~& Z% y6 U+ f
    for i=1:n8 e: I+ g( v% N: c0 \9 W
    %a      
    , D: S- b" Z) e( B1 u; H    a=1;+ N6 O7 w" z! Y/ m
    %w   
    ! Z) i# X. Y' H* R, h    w=1;/ }, O  b# g* i; G9 T9 c
    %for循环8 p9 _5 D1 t4 k1 G4 K! J
        for j=1:n
    7 E6 s( g/ F* ?        %如果i不等于j
    " V, d  C& g( \1 M( H        if j~=i
    8 @) I$ N7 n; S            %累加法计算a; @' @! t3 R% Z) |6 o. l" m2 @7 ^4 {
                a=a*(x(i)-x(j));
    6 p, n% K3 }6 n4 I: O2 }  r            %用向量乘法函数conv计算w
    ) w; W% Q2 @' ~, a3 \            w=conv(w,[1,-x(j)]);& U# }) h. u" Y5 r. N. ]
                %if语句结束符
    ; Q& h+ }+ x' E! B" [5 F2 e$ z        end
    7 Q$ y/ z: B" X& M! `        %第二个for循环结束符
    + g* Q1 W7 g' j    end1 |' ~7 \# u" L$ U- ^4 C
        %递归法计算L,其中y(i)/a*w表示第i个元素* Y1 M* B# W! R- z
            L=y(i)/a*w+L;
    8 c1 N6 L! }7 I, I% R7 Z    %第一个for结束符        
    5 ]  g* f5 m; Y% v" E7 Q6 y) Zend9 K# u1 ^& A* A+ b# S' l  H
       没错,就这么几句代码,所以很简单的。
    6 o% [+ K8 l# N; s! c. l. o  y6 k# T% ~9 u2 N: U
    2. 牛顿插值, g" w- G. Y% y' K9 i7 S, t
    牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点,了然后插值。如果你想再加一个点,它会重新开始计算,这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。
    ; z5 i6 y3 m$ Z9 Q1 \了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。4 o0 [( }, o$ w2 M2 m  ~
    Newton 插值的优点是:每增加一个节点,插值多项式只增加一项,即
    $ m* n% v4 S7 a
    , W: [) \1 x8 `* s1 d: s- I
    7 y1 y, t; p8 |, Y2 `8 W; D3 ^0 ^" L6 l: Z( G
    因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
    3 a; N. S1 V+ X9 S* v3 V# i由插值多项式的唯一性可知,Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。9 {8 n1 G" s8 g9 m4 v3 m0 `1 f/ ^
    - f- p1 z# K, H- c

    - R8 G! q2 A+ S0 L" x/ V牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的2 s9 [( W# w+ p

    . c( f/ [5 o5 _) L1 F6 \6 j
    ; @2 M/ W6 v* d  z$ ]4 j6 |3.分段插值5 h# g% D7 _* P1 P: A9 ~# l
    在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象,最有名的就是Runge现象,就是随着插值节点的增加,lagrange插值多项式的次数就会增大,多数情况下误差会变小,但多项式的平滑性变坏,优势会出现很大的震荡。
    6 j. c( g4 Y! {; i: t( o  W高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
    3 p% @, u: w. @  w* r+ Z- m# |" C4 @4 D9 r$ V5 q2 o0 }
    3.1线性分段插值" h- N) L, m0 |7 [
    简单地说,将每两个相邻的节点用直线连起来,如此形成的一条折线就是分段线性+ l1 k% K! c$ g! G+ n
    插值函数,在每个小区间上都是线性的,也就是小线段。
    ; p7 R5 G: H  W% d! M, n用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函
    : e3 C1 F; q0 m, o2 }  g" q. P数interp1。
    5 L& }0 E% F7 By=interp1(x0,y0,x,'method')
    . Q2 X% L/ g/ l' O6 t- zmethod 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:
    " b8 m7 ^$ i1 z3 D0 ?'nearest' 最近项插值0 @' k- v& J8 [
    'linear' 线性插值3 m  Q* Q( H4 ]; i
    'spline' 逐段3 次样条插值3 y! @0 O' g( W# c, B5 D
    'cubic' 保凹凸性3 次插值。
    ; _" W1 |9 F! U- J& m( Y$ V3 E( M. G所有的插值方法要求 x0 是单调的。
    ' X9 y/ a6 G* N2 p当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、" W0 v$ _/ R. a" H/ A4 m' Y
    '*spline'、'*cubic'。
    # E  W! G- f4 v3 X- p" ]! |" A3.2埃尔米特(Hermite)插值
    ! _: I+ C, m; z4 {$ g/ K' w4 u% i到了重点,如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一
    , N) m( L7 R7 w& R4 e3 A阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值8 }& K# B  t- e1 p" C
    函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。- }+ i0 ^0 ^# U4 Z

    7 w' v2 |+ v2 Z4 {6 I# @5 H3 P9 j' k2 e% s/ T+ k% M$ m
    function y=hermite(x0,y0,y1,x);
      v3 j( y8 _( y0 {5 Sn=length(x0);m=length(x);
    % x9 h$ [+ R# }  j" Sfor k=1:m
    5 \4 v' @9 U% Z  ~& _7 M7 x1 jyy=0.0;) i( }4 d1 c( @3 U- k3 q- _
    for i=1:n
    1 |; o4 C8 d% o: _' \' {1 [- th=1.0;
    , Y2 ~7 m! }9 v+ l& y% k8 S1 b' H& Ba=0.0;
    9 ^7 D+ ]  }1 C4 z9 Bfor j=1:n8 z/ L* O, l" b: f% R; U, H7 H7 \
    if j~=i6 K$ ]2 K2 a. p6 a
    h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
    " `+ N, @" u( R2 m3 n; o# Ka=1/(x0(i)-x0(j))+a;
    5 u* c0 h" u2 a! Z6 Q3 N7 Wend
    & s7 w7 g$ j" Tend
    + I; L. b5 k$ t1 F; ~yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));9 ?) E5 s5 A- l2 W' J+ H
    end; j) s8 N# E2 C- ?& n
    y(k)=yy;/ S1 c7 N8 a4 y, ?; d3 q1 p. e
    end6 X3 i$ ~1 U: b1 L

    8 A" P$ o/ F9 @3 b) C% I附件里的hermite插值则是3次的,因为我上课时老师让写的是3次的,而且那个还有4个很长的公式,有兴趣的可以自己百度一下。
    2 Y$ K  t% W& o4.三次样条插值5 l% D+ S; `& ?! V5 t
    许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外
    ! M5 H5 I% w" x1 K形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续,+ C1 n) i0 ]  Z6 B* z8 h7 O0 _
    而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。! C- v4 K0 D* X3 |; z) q
    要求到2阶导数连续,因此平滑性要求较高。0 |$ ]) ^1 g5 R
    这部分公式多,我放到附件里了。- w3 B. l" }, [4 j* g3 {% \
    0 H# b) P' N6 J2 o/ r% u
    当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已,还有很多二维插值方法啦,可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。
    ! e5 C6 S$ t. l& g) s# T; X: {
    7 Q5 q1 W4 ~& E8 ?% `
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    0 `3 d: a0 L: I9 _/ e
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