透彻理解Shift-And/Shift-Or 算法 字符串匹配/子串查找

美人如花

Shift-And/Shift-Or 算法和KMP 算法一样，也是线性时间复杂度的字符串匹配算法，运行时间上甚至要比KMP 算法快得多。而理解上比KMP 算法更容易一些。Shift-And/Shift-Or 算法设计的非常巧妙，初次接触时同样“吓了一跳”。
& ^" S% z' F8 q; W8 VShift-And 与 Shift-Or 算法的原理完全一样，区别仅在于Shift-Or 对Shift-And 做了一点儿改进。我们先说Shift-And 算法。

! J! f0 z  Q/ S7 m2 a' t& d% e6 uS 表示原字符串，T 表示目标串（模式串），我们要在S 中搜索T。
令 S[0..m-1] = abcabcabdabba, T[0..n-1] = abcabd
, R* P/ e. b% L6 _  X
6 g+ a. x; k+ K; p1，Shift-And 算法思想
Shift-And 算法的核心思想是利用掩码D 来记录模式串的前缀匹配情况。（瞧，shift 算法的核心也是前缀匹配）。Shift 算法大量应用了位运算。
D 是一个m 位的无符号整数：D[n-1, n-2, ..,1,0] （注意D 并不是一个数组，仅仅是一个整数，D[n-1] 表示其最高位bit）。
4 k  [* H3 t% Q: z& _8 u! E数组索引i 控制S 串的扫描，当扫描的字符S 时，D 的第j 位D[j] = 1 当且仅当T[0..j] 是S[0..i] 的一个后缀。
* |  Q, M) F5 G- T1 p$ O) `* L
要使用Shift 算法，需要一个辅助表B。B 是一个字典，key 是问题域字符集中的每个字符，value 是一个n 位无符号整数，记录该字符在模式串T 的哪些位置出现。
/ O- H8 [. t' B7 y( O例如，字符c 在T[2] 处出现，那么B['c'] = 000100 （对于字符串，低位在左；对于B['c']，低位在右）；同理，a 在T[0],T[3] 处出现，B['a'] = 001001.

2 k4 b0 z3 d6 X7 M! O( p6 \$ n4 u0 R假设当前处理到S，需要对D 进行更新。由于D[j] (0<j<n) 标识T[0..j] 是否是S[0..i] 的后缀，所以D[j]=1 当且仅当更新前的D[j-1]=1 并且S==T[j]；D[0] 是边界情况，D[0]=1 当且仅当S==T[0]。
; f0 U# l- ^3 W/ z3 B所以，D = (D << 1 | 1) & B[S[i］ ;
显然，当D[n-1]=1 时，表示T[0..n-1] 是S[0..i] 的后缀，此时找到一个T的完全匹配。
$ ?* t& T& W, \* b
2 D4 s& l" W8 j2 f, c5 F% @$ u2，Shift-And 算法实现
Shift-And 匹配过程代码：

" p0 W3 f: L7 J2 Z  b$ M
& D4 a# K% o: V% K# |+ Y由于位运算在计算机中可以并行进行，每次循环的执行是常数时间的，所以上面代码段的复杂度是 O(m)。

, R0 t6 k( u) E$ o! }3，辅助表 B
5 k7 N$ C' j0 Z! J7 W3 n上面没有提到如何得到辅助表B。很简单，只要获得模式串T 中每个字符出现的位置。
/ Z+ A1 \! R9 j. x' b. f9 s, E

* ]! ]4 X/ p/ j显然，上述代码段的复杂度是 O(n)。Shift-And 算法的时间复杂度是O(m+n)。
3 q& z1 p0 K) Z& _3 g实际上，shift 算法通常比KMP 算法的匹配速度要快，因为计算机位并行运算是非常高效的。

注意：数组B 的大小是由字符集决定的，如果字符来自ASCII 码，字符的数值范围是0~127，数组大小是128 即可；否则，可能需要更大的数组B，或者自己构建字符到整数索引之间的散列关系。
0 h% e' {8 b. N
4，Shift-Or 算法
" p2 D$ J% L: H% S, _$ [7 F5 n在Shift-And 中，对掩码D 的更新：D = (D << 1 | 1) & B[S[i］ ;
每次更新D 都需要额外进行D 移位后与"1" 的"或"运算。这是由于我们要保证当字符S 在T[0] 处出现时，D[0] 一定要等于1，而D 向左移位后最低位是0。

如果将Shift-And 中核心的“与” 运算改为“或” 运算，可以节省这一个附加的“或1” 运算。这正是Shift-Or 所改进的地方。
Shift-Or 与Shift-And 的唯一区别在于，在Shift-Or 中，“有效位” 是通过0（而不是1）来标识。
; n: g1 c6 g) |# W  \5 Z于是求解辅助表B 和更新掩码D 都会与Shift-And 有一些区别，详见代码。

1 A2 u+ |! r) [4 TShift-And 完整代码：C++ 实现  Python 实现
! o7 I. k( ^) W# V) ]Shift-Or 完整代码：C++ 实现  Python 实现
, R/ J9 w/ Y: T- V, c& F# j