椅子放置问题

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椅子放置问题

把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.

一、        模型假设
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
1.        椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.
. N% w$ I8 a' z% I9 T" F2.        地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.
  k: J$ `6 P, V9 a9 L; {- [3.        对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.

, y9 @% i: N; {" J2 O8 Z, r; y3 F二、模型建立
中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.
! y" n# Y5 x/ Q5 ]首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置.
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.
由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为 ，B、D两脚与地面距离之和为 ，显然 、 ，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知 、 至少有一个为0.当 时，不妨设 ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：
命题  已知 、 是 的连续函数，对任意 ， * =0，且 ，则存在 ，使 .  
! x, `# v0 |2 b  O4 z$ U2 E  r6 S$ B      
三、模型求解
8 y7 ^$ C, X9 ~将椅子旋转 ，对角线AC和BD互换，由 可知 .令 ，则 ，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在 使 ， ，由 ，所以 .

四、评   注
# a  A8 _1 Z9 `7 d    模型巧妙在于用一元变量 表示椅子的位置，用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转 并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.

木__易

这是数学模型那本书的前言里面的例子好像