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[个人总经验] 椅子放置问题

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    发表于 2015-8-17 22:43 |只看该作者 |倒序浏览
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    椅子放置问题
    # S+ x+ l8 t* u; x8 E- r$ c! R8 Z4 I8 Q* K  Z
    把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只要稍挪动几次,就可以四脚着地,放稳了.下面用数学语言证明.7 U0 @' R$ p1 S$ K/ D) F) a

    2 T+ {- e3 H1 F( d, D一、        模型假设6 ?; t' c5 F8 w1 c; F
    对椅子和地面都要作一些必要的假设:1 A6 A7 Z5 ]) y# X( x
    1.        椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触可视为一个点,四脚的连线呈正方形.
    + f: u+ n9 {) Q. A  {2.        地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况),即地面可视为数学上的连续曲面.
    4 T  p4 R5 k8 e5 g( h5 ^3.        对于椅脚的间距和椅脚的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
    % n. x# s+ M! \2 |3 J' j* `8 d: C# O% A' T( v
    二、模型建立
    ; b# a- R4 v8 _/ R中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.
    4 {8 r! n0 X2 |- t: @, a首先用变量表示椅子的位置,由于椅脚的连线呈正方形,以中心为对称点,正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变,于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置.
    : ]" h3 e: L! L) K/ z4 w6 h2 W其次要把椅脚着地用数学符号表示出来,如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离,当这个距离为0时,表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.' b' h! h. f; B( P0 h# e9 P
    由于正方形的中心对称性,只要设两个距离函数就行了,记A、C两脚与地面距离之和为 ,B、D两脚与地面距离之和为 ,显然 、 ,由假设2知f、g都是连续函数,再由假设3知 、 至少有一个为0.当 时,不妨设 ,这样改变椅子的位置使四只脚同时着地,就归结为如下命题:
    ! g* N/ D8 F$ C2 k9 q3 Y" R命题  已知 、 是 的连续函数,对任意 , * =0,且 ,则存在 ,使 .  
    1 a, ^% h% D' H9 w, a      
    7 `& P8 X4 v, y4 u) X三、模型求解7 X+ }' Z- t3 j- Z8 F, S
    将椅子旋转 ,对角线AC和BD互换,由 可知 .令 ,则 ,由f、g的连续性知h也是连续函数,由零点定理,必存在 使 , ,由 ,所以 .
    : i6 `, `. k6 S" W" E- Q: V/ E. B# W3 a& h0 L+ W
    四、评   注) Q* V! t2 v1 p; G/ H: r. c
        模型巧妙在于用一元变量 表示椅子的位置,用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转 并不是本质的,同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.
    0 X7 H0 q9 Q% H1 [6 L9 v1 O0 [" o. ]! O+ p, x
    zan
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