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[个人总经验] 椅子放置问题

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    发表于 2015-8-17 22:43 |只看该作者 |倒序浏览
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    椅子放置问题
    3 G  x4 y$ _! w- L
    + q1 D% N0 w; d2 \+ N* {  M把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只要稍挪动几次,就可以四脚着地,放稳了.下面用数学语言证明.* {( q0 b6 W. X4 U9 @4 ^  ?
    . t. w8 s% N% |% e& T
    一、        模型假设
    / e* B7 E' v2 [3 S- h对椅子和地面都要作一些必要的假设:- Y6 ]" h5 U- ?& U! a) P% ]! T; v4 n
    1.        椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触可视为一个点,四脚的连线呈正方形.; L: d  z5 M: b" o+ N
    2.        地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况),即地面可视为数学上的连续曲面.
    6 W+ M7 Q  q6 q  H6 \& {3.        对于椅脚的间距和椅脚的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.$ {% K( F& p1 h5 @& F& `

    + b/ I5 i+ {9 Z9 B二、模型建立6 W% _9 L/ o- X$ W, a4 j8 r. u
    中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.1 V: m; g' E0 B, z( J. X7 |% x
    首先用变量表示椅子的位置,由于椅脚的连线呈正方形,以中心为对称点,正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变,于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置.6 j4 r( u) \* O1 l) ~" I% `7 |5 J/ |$ x
    其次要把椅脚着地用数学符号表示出来,如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离,当这个距离为0时,表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.
    , V- C2 \# W9 P- c# |1 ?( _- R" f由于正方形的中心对称性,只要设两个距离函数就行了,记A、C两脚与地面距离之和为 ,B、D两脚与地面距离之和为 ,显然 、 ,由假设2知f、g都是连续函数,再由假设3知 、 至少有一个为0.当 时,不妨设 ,这样改变椅子的位置使四只脚同时着地,就归结为如下命题:
    5 z- v, L/ @4 w6 E' T/ |4 V. d命题  已知 、 是 的连续函数,对任意 , * =0,且 ,则存在 ,使 .  
    . F  n, e) c/ g' e      
    9 H4 \3 W6 |: o" z) @三、模型求解
    * q2 C  V/ k" j; \2 \% k: D将椅子旋转 ,对角线AC和BD互换,由 可知 .令 ,则 ,由f、g的连续性知h也是连续函数,由零点定理,必存在 使 , ,由 ,所以 .
    3 ]5 w+ a" @4 l& w4 q' ^* M0 I# X0 y6 d
    四、评   注! C5 b* J* C1 w" q! a9 |6 T2 O* ]
        模型巧妙在于用一元变量 表示椅子的位置,用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转 并不是本质的,同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.1 J4 l+ D: b. K: j

    : C. j( Z" E# e# P
    zan
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    木__易        

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