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[个人总经验] 差分方程模型

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    发表于 2015-8-17 22:52 |只看该作者 |倒序浏览
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    差分方程模型# ^' [' h8 a) V( T0 R; a% @. a

    , S: X) a" P2 z4 H    将时间离散化后,就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。这章与第8章讨论的是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续,又可以用离散,要看目的而定。离散的一个优势在于,便于计算机求解。8 y, K* V# P" X7 O  Y: Q  L* H+ n3 Y2 o, u* _  n

    0 D  d/ j/ @6 n( u0 w0 B; V& O3 {7.5 差分方程简介:介绍差分方程稳定性的知识,判别稳定的条件。本章要用到的知识。
    2 K3 @" x+ f+ {: h! A( l1 l' _7.1 市场经济中的蛛网模型: i3 v0 J" t6 P
    & T0 V7 t2 C. X. u8 y    先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”,给出趋于稳定的条件,再用差分方程建模,解释结果。本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典,可作为建模论文写作的参考。, Q* R2 M% q* g% Z2 @! f" D
    & h1 I) p: l* `& @    本节最后对结果的解释也非常值得学习:启示我们,一些数学结果如参数前后的变大/变小,可能意味着什么,我们不要轻易放过,而是要时刻不忘解释相对应的原因。
    5 y) H% O  V" q! Y2 W1 F7.2 减肥计划——节食与运动) L+ o0 G0 S, b
        这是一个很生活的问题,主要讨论如何把一个“超重”的人减到目标的正常范围内(均以WTO颁布的体重指数BMI衡量)。) c( d2 x! i0 `1 Q9 [. e
        我认为这个模型的两点仍然在建模本身:及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化,用数学的语言可以表达,写出差分方程。其中p208的“基本方程”式(1)是整个模型的基石,有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到,式(1)其实是一个“建而不解”的方程。, M2 r' j: U0 H/ r! L: a+ a
        但正如节末评注中所述,实际参数的设置会更复杂,代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异,所以要有更多核对。但我们先要学习的还是建模这一步。- ]1 L/ p/ f! b2 t/ E2 L6 v5 f) k6 \" P0 S9 a7 G  u# l9 @
    7.3 差分形式的阻滞增长模型1 t) a9 d6 r: ], i. g2 p! v1 u4 A+ v' O: B
        此节是与之前用微分方程Logistic规律描述的“阻滞增长”规律最好的对比。有时,用离散化的时间研究比较方便,本节是很好的参考。(按:本人曾经做过用差分方程加修正,描述人数传播问题,个人认为很多情况用差分方程更好,也更“诚实”些,因为我们也只是想要每个时段的数量)! i( Q( h. P& d" S& d
    ! d; ]1 `8 _7 e' K# r    要注意的是:若用离散描述,需要说明各“时段”指代意义。推出p211的式(6)后,这个一阶分线性差分方程,也是“建而不解”,但注意:此处“不解”是指不需求通项公式,但各项的值仍要计算——用计算机递推可方便得到。我们最关心的往往是k趋向无穷时,y/x收敛情况,即平衡点稳定性的问题。这里微分、差分方程判别上有区别。
    % Z) h* k  P+ a; b$ W# W4 T4 V    P212中,通过深入讨论和213页的数据表发现,不同的参数b下收敛情况不一,然后发现了“倍周期收敛”的规律,即存在多个收敛的子序列。然后发现当n区域无穷时,不在存在任何倍周期收敛,出现混沌现象(Chaos)。9 K7 Q5 q; c9 s: x- D+ ^; Q; ~' r. i4 j$ O$ @5 E+ ?
        混沌的特点为对初值极度敏感,这一点在物理课中老师也提到过,许多非线性方程均是如此,即“差之毫厘,失之千里”,蝴蝶效应。( W' n- X6 U5 W& a8 i6 y- g6 j4 p) j( h: T# {' e, \
    7.4 按年龄分组的种群增长
    , O0 Y8 B0 Q+ @) j0 {5 d    这个模型的主要区别在于:将种群分成n个年龄组,分析各年龄组对种群总量增减的影响。这一节的数学推导稍繁。0 t: c2 h% o9 I8 x0 {
    9 {; C- |- ]/ L1 ~6 M
    zan
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