最短路径算法的弗洛伊德算法的数学归纳法冥想证明 Version 1.0

释永思

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最短路径算法的弗洛伊德算法的数学归纳法冥想证明 Version 1.0
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                                作者：李均宇（李恒星）  2015.09.07
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   我二十年前已了解迪杰斯特拉算法，最近忽有兴趣开发了一款最短路径算法小软件EXE，了却二十年前的心愿。余庆未了，网上了解了还有多种方法，如A-Star,johnson,bellman,SPFA等算法，其中最感兴趣的是弗洛伊德算法。百度了，看了很多源码，大同小异。但对弗洛伊德算法原理，网上讲的，我看后也觉似懂非懂。利用抗战70周年纪念日放假期间，我闭关冥想，想到了N步的方法，但冥想出来的源码，总比网上讲的多一层循环。于是继续冥想，想到了要用数学归纳法来证明弗洛伊德算法。百度下，好似网上暂没这方面资料，于是共享出来，与诸君分享，不知对错也，网上讲到的什么迭代法，总是不太对似的，弗法可能并没有这么简单的：
假设顶点数为N，
, |) y1 w+ O$ l7 f    N=4，5，6时，具体的弗法正确性，我就不想验证了。
. A; V( k* y+ Z: m/ X* g假设N<=n时，弗法是正确的，如何证明N=n+1时，弗法仍是正确的？
    先研究下N=n弗法正确时的特性。
: t, _8 ?9 d/ [5 r% C% pN=n时，所有的n个顶点两两组合的边D[i,j]，不论虚边实边（直接的称实边，要通过其他顶点的叫虚边，我如此定义先），全部有值，且为最小值最短路径。N<n时，也就是最外层循环，每到一个值K时，此值K的弗法全是正确。
/ S8 A* |8 @" j4 v当N=n+1时，新加一点，称最后一点K。
# U1 N, d# w- m2 ^  @令最后一点K总在循环中排在最后一位，三重循环中都是排在最后一位。
令最外层循环为k,中间层循环为j，最内层循环为i。
3 ~8 v1 e! A7 ?  k/ ^& i定理一：
9 T9 [$ l! a2 }0 w. I   最后一点k若改变i与j之距D[i,j]，则所有经过i与j之最短路必同步更新且不分先后。
- v: G. |- k- F证明：
  假设点x经过最短路径D[i,j]，D[i,x]=D[i,j]+D[j,x]或D[i,x]=D[i,j]-D[j,x]。
6 u/ {# e& f0 JD[i,j]已被替换成为了D[i,k]+D[j,k]，而D[j,k]+D[j,x]>=D[k,x]或D[j,k]+D[j,x]>=D[k,x].
所以D[i,x]>=D[i,k]+D[k,x]，所以x点必被更新，也就是执行松驰操作。
定理二：
: M0 M' y: t$ p2 Y/ K5 g. X! s' M   最后一点k若改变i与j之距D[i,j]，则经过i与j之最短路必不经过最后一点k。
5 X7 ^: K& ~5 I$ K) z7 Z# q证明：
) o: b% i4 F4 F) ~8 |% n8 B, k; l* B   由定理一知，如果经过最后一点k，则D[i,k]本身要变，但正是用D[i,k]来执行松驰操作的，所以矛盾。

定理四：
; F( C0 o% f' u0 _8 ^8 ]4 o   最后一点k与任一点之连线D[i,k]或D[j,k]必非无穷大，即必已连接(不论虚边实边)。
证明：
   k为最内层循环点最后一位。取i,j最小者位于中间层循环，最大者位于最外层循环。
' |4 T( r0 G0 U. D此为max(i,j)<n之弗法，弗法已假设N<=n时全成立，现在求证N=n+1时情况。
+ w7 D% K% B$ d! K6 O可知i,j必连通,即D[i,j]必非无穷大。
D[i,k],D[j,k]两个不可能都是无穷大，这可以取min(i,j)来递归而知,min迭代到一条实边则可止，或本身数学归纳法内部要嵌套另一个数学归纳法来证明其中小引理。
即知D[i,k],D[j,k]必有一个是连通的，D[i,j]也是连通的，从而三点必全连通，必非无穷大。
$ ~1 H6 L4 `+ {6 L定理五：
   与k相连已经全是最短路。
证明：
! f% j! H' a. n/ Y   因为与最后一点k相连的，全部没有变动，全部已非无穷大，所以经过k点的必是最短路。

8 |5 D1 @) b+ P+ R* D0 k所以新增一点k，由定理五知，当最外层循环到最后一位k时，所有经过k点的已是最短路。
所有对原来N=n时的弗法最短路的调整松弛操作，全能同步更新经过相关点的最短路，也就是原来的n个点的弗法，后来仍是最短路。
9 {7 Q  v+ F( D# S) v# C( o则N=n+1时，全部三重循环后，全部仍是最短路。
6 i/ y  `5 O3 G. M3 D7 Z" b由数学归纳法知，三重循环的弗洛伊德算法是正确的。
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关于弗洛伊德算法的新证明：2015.09.23

经过弗法的三重循环后，任意两点之间的距离已是最短路。
仍用数学归纳法，假设N <= n时，弗法是正确的，要证明，N = n+1时，弗法仍是成立的。
; H( K6 f4 o4 \  q- Q. k- J设k = n+1是最后一点。
' \9 l  _6 F2 m1 w: x' o- k如果任意两点间的最短路径结过的顶点数是小于k的，那么根据假设知弗法正确是最短路的。
4 r8 `! _! V% Z$ O9 g9 b/ C8 O如果任意两点间的最短路径结过的顶点数是等于k的。那么知摘去最后3个顶点即只剩下(k-3)个点时，是N <= n的情形。
起点是a点,终点是b点,与k点直接相连的是c点,d点 。
当最外层第三重循环循环到最后三点k,c,d时，ac,bd已经连通了是N <= n的弗法情形。
$ |" P9 Q5 F, g. i0 G& C; Zk,c,d三点，无论哪个是先是后的组合，都必定能够令ab连通且最短路。
例如k点连通cd，c点连通ad,d点连通ab。
; a/ t) f- o% g# Y& m又如c点连通ak（ck不用c点连通，因为原始边长早已有数值早已连通）,k点连通ad,d点连通ab。
所以命题得证。
* _) b: b3 j! l/ p2 A

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