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[问题求助] 最短路径中的Floyd算法(弗洛伊德算法)的较为严格的冥想证明过程

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释永思        

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    发表于 2015-10-31 13:45 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    =========================================3 {. m/ P! d4 @8 m( s7 V
    最短路径中的Floyd算法(弗洛伊德算法)的较为严格的冥想证明过程:  `/ n! W. `8 g
    仍用数学归纳法,& p5 T- S3 Q! Q3 [7 k) a0 L
    假设N<=n时,弗法正确。具体值我就不验证了。% U: `. V* }- f) Z" a2 X6 A6 {
    当N=n+1时,假设最新一点最后一点为K,此时K=n+1,
    3 N+ K, E; D  Q# R  f三重循环中,我们都把K排在循环中的最后一位。! B6 a# T! c! y# f4 F* I
    现在我们要证明的是,加上新点K点后,经过弗法的三重循环,原来的n点之间仍是最短距离,但是n点与K点之间的短离是不是最短的就不知的。1 I2 x, ^, u4 N& j! y
    如果原来的n点的某两点之间最短距是与K点无关的,显然经过三重循环后,就是最短距了。. h7 |6 e# @9 |7 J
    如果原来的n点的某两点之间最短距是经过K点的,假设P1,P2,P3,,,Pk-1,Pk,Pk+1,,,Pm本应是实边最短距,不是虚边最短距。5 F8 U# x& K3 S; b
    那么由弗法知,P1,P2,P3,,,Pk-1与PK+1,,,,Pm已是连通的最短路了。且Pk-1Pk与PKPK+1是原始实边,不是虚边。
    & m9 E* A' d5 N; v经过最外层最后一次循环的松驰操作,必能连通P1,P2,P3,,,Pk-1,Pk,Pk+1,,,Pm。6 u% W& m* N) K2 {+ b
    所以得证:加上新点K点后,经过弗法的三重循环,原来的n点之间仍是最短距离,但是n点与K点之间的短离是不是最短的就不知的。$ K; P% _4 ]5 E. |. ~& _. f
    由于对称性,将K点置入内部,把P1点放到最后一点,原来的循环结果不会变的,
    - \8 v" h  p' y. I3 c  w所以三重循环后,K点与原来的点(除P1外)的最短距,就可以求出来了。+ S$ v4 b( Y3 L* L1 G
    由于对称性,将K点置入内部,把P2点放到最后一点,原来的循环结果不会变的,/ F9 s; i) V' Y4 T
    所以三重循环后,K点与原来的点(除P2外,但P1不除外)的最短距,就可以求出来了。4 L; ?& i$ ^* ]# t9 t
    所以K点与原来的n个点的最短距,也就已经求出来的了,仍是原来的三重循环也。
    ; b9 Q' ~7 y; O; q  n3 B6 N' G这样,弗法就可以较为严格的证明了。
    1 I. E9 n$ Z* {4 Z$ O=========================================
    + L& E+ p% z+ F为何假设P1,P2,P3,,,Pk-1,Pk,Pk+1,,,Pm本应是实边最短距,不是虚边最短距???
    . e) l* R7 n% Z( f+ {* g2 O如果是虚边最短距,也可以转化成实边最短距,然后结果一样的。- I" R( L9 b; V/ o- Q. a) s5 M" H
    =========================================4 J5 g# X6 U' \, Z) a3 |

    ' |5 t, e% k9 ^0 \4 r! y6 t8 g3 ~+ O" J8 o, ^% n. N
    zan
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    释永思        

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    忽然想到,上面的证明中有一点未严格证明,就是,要证明弗法的三重循环与N个顶点的排序次序无关,例如for i=1 to n 与  for i=n to 1等次序无关,我没能证明这点。现在十分疲劳,没有余力思考这点。
    ( s: p. ?+ G% W  X8 v) ~
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    谁人能证明弗洛伊德算法的三重循环与循环中的次序无关?我没有余力思考,我太疲劳了,我也不知如何证明,求助了。 例如要证明弗法中,for i=1 to n 与for i=n to 1或次序混乱也是无关的。这个我无法证明,用数学归纳法也一时想不出 来。求助,我太疲劳了,要休息,一时没有余力思考研究。这个也是我一时想到的,弗法无边,永思不尽。
    . _$ E: r: I8 C6 ?* @4 B  \. T7 W7 M8 k* t) q  t4 k2 d
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    弗法:数归法:/ r% l* k1 z: W. P( `
    对于N<=n的任一个混排序,K点替换其中一个点,必也是成立的。这样,就证明了弗法的混排序?3 g" g+ {$ e/ u2 ~6 e* S! x: j+ D. [
    这能叫证明吗???这与没有证明有何区别???- f% Y7 H+ Z& g% S  X5 `# V
    ( n& Y1 Y2 P# Z2 A# Q
    弗法中,必然殊途同归,归于最后唯一的最短距离,这是唯一值,不会有多个值的。所以与顶点混排序无关乎???
    / V# S1 w$ s; _% Y; w
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