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[问题求助] 最短路径中的Floyd算法(弗洛伊德算法)的较为严格的冥想证明过程

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释永思        

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    发表于 2015-10-31 13:45 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    =========================================' y: A: t/ ~- G# H  }
    最短路径中的Floyd算法(弗洛伊德算法)的较为严格的冥想证明过程:  D: W  o4 z: r, E5 L
    仍用数学归纳法,
    1 \) E) L  c& x5 C7 O假设N<=n时,弗法正确。具体值我就不验证了。* a8 ]; R( W! Y7 v8 `6 n
    当N=n+1时,假设最新一点最后一点为K,此时K=n+1,9 k+ ]+ W. O0 @
    三重循环中,我们都把K排在循环中的最后一位。
    ! s! {/ m+ v; [: w+ `: m* G现在我们要证明的是,加上新点K点后,经过弗法的三重循环,原来的n点之间仍是最短距离,但是n点与K点之间的短离是不是最短的就不知的。
    # v! R- x. y0 ?8 x' X/ `如果原来的n点的某两点之间最短距是与K点无关的,显然经过三重循环后,就是最短距了。
    & B1 K4 |% k/ @+ @如果原来的n点的某两点之间最短距是经过K点的,假设P1,P2,P3,,,Pk-1,Pk,Pk+1,,,Pm本应是实边最短距,不是虚边最短距。! H0 O/ s9 P5 N
    那么由弗法知,P1,P2,P3,,,Pk-1与PK+1,,,,Pm已是连通的最短路了。且Pk-1Pk与PKPK+1是原始实边,不是虚边。
    ) C3 x9 j2 o- P, i4 B0 q经过最外层最后一次循环的松驰操作,必能连通P1,P2,P3,,,Pk-1,Pk,Pk+1,,,Pm。2 K0 X9 Z3 A$ J' W  J4 ~
    所以得证:加上新点K点后,经过弗法的三重循环,原来的n点之间仍是最短距离,但是n点与K点之间的短离是不是最短的就不知的。
    / ^" F5 X% w4 M* @由于对称性,将K点置入内部,把P1点放到最后一点,原来的循环结果不会变的,5 ?6 s; s4 r8 a# Q; L& ^5 [
    所以三重循环后,K点与原来的点(除P1外)的最短距,就可以求出来了。
    5 [& O- K% \8 i由于对称性,将K点置入内部,把P2点放到最后一点,原来的循环结果不会变的,
    ; Z0 s- X: N5 O所以三重循环后,K点与原来的点(除P2外,但P1不除外)的最短距,就可以求出来了。
    9 }. v# f/ h8 ^7 y" \, J所以K点与原来的n个点的最短距,也就已经求出来的了,仍是原来的三重循环也。
    4 S2 A3 k/ ]1 j8 q7 m! h2 g1 n这样,弗法就可以较为严格的证明了。
    6 Z2 |, |9 r! ^, m6 p& x/ m=========================================
    ( z  z: X9 \# r/ ^2 i) f为何假设P1,P2,P3,,,Pk-1,Pk,Pk+1,,,Pm本应是实边最短距,不是虚边最短距???
    ) N4 C5 n: {3 S* O' `7 W0 B如果是虚边最短距,也可以转化成实边最短距,然后结果一样的。7 ^1 d& n' o! \0 ^& {4 {' S3 o% ]
    =========================================
    ( G8 m/ U: I/ ]$ k0 C4 c0 f0 _4 o3 A. a5 l7 R) [1 U' s
    ! e6 ]3 h  J* y8 U' M
    zan
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    忽然想到,上面的证明中有一点未严格证明,就是,要证明弗法的三重循环与N个顶点的排序次序无关,例如for i=1 to n 与  for i=n to 1等次序无关,我没能证明这点。现在十分疲劳,没有余力思考这点。
    0 d* c8 ^$ x5 Q6 H+ G# B1 ^
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    谁人能证明弗洛伊德算法的三重循环与循环中的次序无关?我没有余力思考,我太疲劳了,我也不知如何证明,求助了。 例如要证明弗法中,for i=1 to n 与for i=n to 1或次序混乱也是无关的。这个我无法证明,用数学归纳法也一时想不出 来。求助,我太疲劳了,要休息,一时没有余力思考研究。这个也是我一时想到的,弗法无边,永思不尽。2 F, E: S$ M; @$ l3 f3 s
    7 B, a7 D2 }8 g- S9 }. Y
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    弗法:数归法:
    8 k, I3 ~( \( A" Y, Q# J- F1 h! Y2 P对于N<=n的任一个混排序,K点替换其中一个点,必也是成立的。这样,就证明了弗法的混排序?
    7 v# U7 c' g& |+ S2 W. O6 H这能叫证明吗???这与没有证明有何区别???+ t( D- G6 V4 F; }; h1 b( Y1 u0 `
    ( d, X* J& g, U+ t" ]8 U
    弗法中,必然殊途同归,归于最后唯一的最短距离,这是唯一值,不会有多个值的。所以与顶点混排序无关乎???4 k6 f  r0 b6 q4 O) a% K
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