#每日一数模#坚持60天，I can deserve it !

赤眸

数学建模的基本方法
  机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律。
  测试分析：将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。
  二者结合：用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数。
注意：机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。

怎样学习数学建模
  数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术。技术大致有章可循，艺术无法归纳成普遍适用的准则
。
  1、具有想象力，洞察力和判断力。
  2、学习、分析、评价、改进别人作过的模型。
  3、亲自动手，认真作几个实际题目。
共勉！

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赤眸

Malthus模型是由英国统计学家马尔萨斯（T R Malthus）于1798年提出的人口模型：
dN(t)dt=rN(t),N(t=t0)=N0 （1）
式中r 代表出生率,假设为常数,
N(t) 为t 时刻的人口数量.方程（1）的解为：
N(t)=N0er(t-t0)（2）
（2）表示人口增长将按指数规律增长,称为Malthus人口指数增长模型,简称Malthus模型.实践证明当人口数量不太大时,Malthus模型能够很好的说明人口总数的增长情况.
------Malthus模型公式为：
y=C0*e^rt,
其中c0为人口基数,
e为自然是2.71828……,
r为人口增长率,
t为时间.

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赤眸

静 态 优 化 模 型：
现实世界中普遍存在着优化问题;
静态优化问题指最优解是数(不是函数);
建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数;
求解静态优化模型一般用微分法。
人们在工程技术科学研究和经济管理等诸多领域中经常遇到最优化问题.例如, 商品经营者制定价格使得销售利润最高,结构设计要在满足强度要求等条件下,使所用材料的总重量最轻;企业集团订购生产资料时要使订货费用最低;资 源分配要使得总效益最大;体育比赛要使成绩最佳;运输方案的安排问题中要使运 输成本最小且收益最大;编制生产计划要在满足工艺流程需求的条件下,降低成本 使总利润最高.对普遍存在的最优化问题,建立数学模型,用计算机进行模拟求解,提供定量的、科学的最优决策方案,对经济与社会发展具有重要的意义。

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数学规划：
  是运筹学的一个重要分支，也是现代数学的一门重要学科。其基本思想出现在19世纪初，并由美国哈佛大学的Robert Dorfman于20世纪40年代末提出。数学规划的研究对象是数值最优化问题，这是一类古老的数学问题。古典的微分法已可以用来解决某些简单的非线性最优化问题。直到20世纪40年代以后，由于大量实际问题的需要和电子计算机的高速发展，数学规划才得以迅速发展起来，并成为一门十分活跃的新兴学科。今天，数学规划的应用极为普遍，它的理论和方法已经渗透到自然科学、社会科学和工程技术中。根据问题的性质和处理方法的差异，数学规划可分成许多不同的分支，如线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化和整数规划、随机规划、模糊规划、非光滑优化、多层规划、全局优化、变分不等式与互补问题等。

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主成分分析法介绍：
主成分分析（principal components analysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法。旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。
                                                        
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赤眸

数学规划的模型：
数学规划模型的一般形式是：

optf(X)

s.t.=\begin{cases}g_i(X)\le0,&i=1,2,\cdots,m\\h_j(X)=0&,j=1,2,\cdots,l\end{cases}

　　上式中，X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T是未知向量，称为决策变量；f(X)称为目标函数；gi(X)与hj(X)称为约束函数。f(X)、gi(X)与hj(X)均为X的数量函数。

　　符号opt表示对函数f(X)求最优化结果。如果要求f(X)最大，则optf(X)记为maxf(X)。如果要求f(X)最小，则optf(X)记为minf(X)。

　　符号s.t.为subject to的缩写，意思是受约束于或受限于m个不等式约束条件g_i(X)\le0,i=1,2,\cdots,m，以及l个等式约束条件h_j(X)=0,j=1,2,\cdots,l。

　　于是数学规划问题可以表述为：求满足约束条件的x * ，使f(X * )成为最优，而将X * 称为数学规划问题的最优解，将f * = f(X * )称为最优值。

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赤眸

数学规划的研究：
   数学规划论包括丰富和具体的研究方向：线性规划、非线性规划、对偶规划、几何规划、整数规划、动态规划及多目标规划等。数学规划论在社会和经济的管理和计划、军事的指挥和实施、工业产品和系统的设计与运行等诸多领域，有着十分广泛的应用。

　　Schmit于1960年提出把数学规划同有限元方法相结合，使结构优化设计学科的发展正式启动，逐步形成了结构优化的规划法分支，后来他同Farshi及以后他又同Fluery等在结构优化设计中的规划法中吸收了准则法的优点，根据力学特性和工程直觉，他们提出了建立近似显式模型的近似概念法，包括很多行之有效的措施，如近似显式逼近、设计变量连接、有效约束粗选、倒数变量的引入、采用对偶求解技术等，使优化效率得到了显著的改善。许多优化模型因此可以处理成线性规划问题、二次规划问题及对偶规划问题，借助于数学规划中成熟的算法，可以对大多数实际工程问题进行求解。

　　工程优化问题要求优化算法具有可靠性、通用性、有效性、健壮性、准确性和方便性，根据这些特性的要求，我们通过对于智能结构最优控制的研究体会到，Schmit等对由结构优化设计建立优化模型和采用优化算法进行求解所做的工作完全适用于智能结构最优控制的建模与求解。

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数学规划的案例分析：
案例一：生产安排问题[3]
　　某工厂生产甲、乙两种产品，生产每件产品需要的原材料、能源消耗、劳动力及所获利润见表。

表　生产每件产品所需的量和利润
品种        原材料/kg        能源消耗/百元        劳动力/人        利润/千元
甲        2        1        4        5
乙        3        6        2        6
　　现有库存原材料1400kg，能源消耗总额不超过2400百元，劳动力满员为2000人，试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件)，使获得的利润最大，并求出最大利润。

　　模型建立

　　设安排生产甲产品x件，乙产品y件，相应的利润为S，则此问题的数学模型为

　　maxS = 5x + 6y

　　s.t.=\begin{cases}2x+3y\le1400\\x+6y\le2400\\4x+2y\le2000\\x\ge0,y\ge0,x,y\in Z\end{cases}

　　上述数学模型称为数学规划模型，其中x、y称为决策变量，函数S=5x+6y称为目标函数，这些不等式组构成的限制条件称为约束条件，记为s.t.。

　　决策变量、目标函数和约束条件是数学规划模型的三个要素，若目标函数和约束条件均为线性的数学规划问题称为线性规划，否则称为非线性规划。

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赤眸

动态模型：
描述对象特征随时间(空间)的演变过程；
分析对象特征的变化规律；
预报对象特征的未来性态；
研究控制对象特征的手段。

微分方程建模：
根据函数及其变化率之间的关系确定函数；
根据建模目的和问题分析作出简化假设；
按照内在规律或用类比法建立微分方程。

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SIR模型：
SIR模型是传染病模型中最经典的模型，其中S表示易感者，I表示感染者，R表示移出者。
模型中把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，与感病者接触后容易受到感染；I类，感病者（Infective），指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者（Removal），指被隔离，或因病愈而具有免疫力的人。
传染病模型有着悠久的历史，一般认为始于1760年Daniel Bernoulli在他的一篇论文中对接种预防天花的研究.真正的确定性传染病数学模型研究的前进步伐早在20世纪初就开始了，Hamer, Ross等人在建立传染病数学模型的研究中做出了大量的工作.直到1927年Kermack与McKendrick在研究流行于伦敦的黑死病时提出了的SIR仓室模型，并于1932年继而建立了SIS模型，在对这些模型的研究基础上提出了传染病动力学中的阈值理论.Kermack与McKendrick的SIR模型是传染病模型中最经典、最基本的模型，为传染病动力学的研究做出了奠基性的贡献.
                           
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