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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番8 |# Q g3 o: g, f1 e& X L( Y 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 % h% H5 q" [2 e$ r3 o的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 - ~" d9 ~. }2 g; h, ^# x/ h A因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有5 |* c) r2 u" L7 c6 Q, r2 ? 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就! p, ?% D6 R* l x 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 B7 e: [. l) z9 \* R盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包+ Y. k: w0 ]& k( @" B 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 1 P% `9 |- ^+ j+ o6 g贡献。! }; O' D0 p9 b- J9 ^

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 * } K% l; @ p9 ` e- H/ n2 E6 A4 G + n* C* r, ]& z: M4 b　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：( @7 `) S+ g( E 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …… 0 d# f) s+ n+ W7 H$ g5 x" n# y从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在 2 @7 u6 E8 j& M: L他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 % _+ D' }: j- j9 y兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三 # n& N+ X# t+ h# {& ~8 R个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， 7 z9 G7 Q% `9 {+ B# U一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 + _# `! _" t2 z) C# n( O% e) P兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密9 W# O0 ], H$ ~! E0 s 切的联系。 ; U. m: y4 ^0 [& U* n9 z/ V8 L$ m- T9 R- U 　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘$ q W/ ]+ l. s: K: j6 { 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。9 c+ J1 ~6 d* l9 V 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 . S; O Y* {! N- R' Z: j为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在1 V7 n) r/ H& v7 H$ Q ~7 P 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏" b, H7 P4 v( [( w1 b; w8 i8 _ 大自然的造化。7 [, R1 {* \ n; b. a) V2 p$ H * Q- U( C6 m8 M9 N 　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 " q/ `- J0 _, Z L/ U到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒 5 N2 Q3 l; q2 A7 x( G草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果) s7 _( `, ?; M7 T 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 1 T2 M! V% g& M+ j+ p的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 ! Q, U H1 U* [2 o. n种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个0 b) I4 b; j$ t+ D3 J 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的 2 ~% r4 e) c/ \$ v8 J* T

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部& J- _* r" @% g （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 3 o( h' w' { K- m3 x% I7 u: F- {; N21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。0 k. }9 R3 E% `

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部( K8 P( i4 b( c3 T 　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让/ \0 ^, J1 I) l$ [1 ?# C7 { 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点% h( U; c `' a; N4 i& a8 J/ { 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心 5 q% ` H" b6 V6 x! z菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 ! _2 e; V: |; O1 o( [这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契% q' S5 }6 ]- W3 j/ M 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。' S4 _9 Q& T6 _& B

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图）, v. b: }% @3 K( |6 }5 O ) h3 ?1 H3 \8 s& F1 z+ N6 ? 　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自 ; \+ G% Z/ _4 H8 N% R5 a然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 Y# x/ l" o; N8 b. j. s; A8 V 能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 : [* R$ {) v/ t* P/ ~4 \太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对7 `& |' c, F. ^: \ 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程8 v: S1 N5 p: X. g7 V1 h2 u 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出- l* B) m! w* O9 m$ b* c, a 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度) T# Q* v: X5 L4 ~$ e 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周3605 Z( N7 ?5 h7 j) v 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定1 W( o4 w& D) Z 了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时5 O; v8 Z3 P# M4 v/ o6 t- Q 能达到89，甚至144条。 ; b8 ^; z2 [3 p% p# I$ y6 }4 S, O& i; V. }4 r: R; L3 d- t 　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 $ M; ?4 Y" e+ h: O3 L官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， : [3 Q5 d6 l' q% g+ ?你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物， / Z2 Q2 P/ v% S也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中 8 Y Y# u* `( K: k: I3 t5 ~# y心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出- \$ d; O; Y# M1 F 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。