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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番) \+ p0 P5 }; K* s 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出8 Q# _$ a9 N% B+ k 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 j. K! v1 w0 U. | 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有$ k4 D% n/ O& ~! C- C; G 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就2 }2 @. B Y6 V! A8 z3 y 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 + N. q" L8 j/ U8 s7 `1 c' C盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包 9 x& c/ @4 i+ J" M8 P- T括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 % _" ?0 ?0 G! S5 H: s贡献。( s Y# ?# {% j) q2 S7 l

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像2 K1 w/ t7 H* ]9 N% P j# \; M$ ]7 [; H+ H: W& x: ]　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列： + ~ [6 ]5 E/ c9 P1 K' ?　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …… $ Z2 v+ d) k/ m' k8 I# v4 `9 Q从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在6 `- G3 M8 i* V* X3 I- O+ L 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 9 C# l+ \( X+ s; ?( \兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三# ~0 Z) n5 t: A I# m @ 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， 8 g+ D7 ]8 k' u4 `一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的; W8 A' ~6 @: v. C" f 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密 . P; }# @, Y+ N1 v" m切的联系。% Q4 j0 |2 _; D/ R ; j( a" ~5 B$ E 　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 ' ~, ^8 u6 l7 a( K书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 - h: o2 N$ q: u/ w) g( n9 P7 e% q. b9 v但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了! e% i8 e) ?1 O, @ 为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在 ) U, a% L" g, w5 k8 s2 n: ]这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏 3 G+ w- w$ r8 o6 W6 C! U* ^; S2 q% F大自然的造化。: N; c7 h. q, y 2 ?7 V" a+ l" s* p% G5 m6 E　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不9 ]9 s1 [/ j& F9 [( l) a& ] 到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒( e/ ?. _) |+ g' U& { 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果% R. z: N* m2 |0 |# o g 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 / [1 W) n! i Q4 L- d+ {1 w, A4 W' c的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 # s* C* [% }+ U5 Q' H4 |3 _种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 " m% c) i8 ^9 h5 f1 \+ Q4 S/ r图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的; @' Z! Z4 D7 y! f

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部9 s8 _3 c2 y$ n$ ^6 L' m （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有' r' W- E- e0 X V: U 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。 , [* b6 X/ j, ]' C

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 3 [# M+ x1 k& R3 ^& P　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让 . W& s+ {% ~0 x9 P( W人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 5 O8 `; D' O0 F9 `0 o( |击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心 7 ~" ]+ r) ~; l& @, F' v菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 : [5 j. |: ?8 I; e+ _这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 6 T' I- t! h6 q; _序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 ; m7 z' d& O8 Y+ c0 b q

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图）4 H0 q4 L F3 R) b7 e" ^ . G0 r! z, e7 ^! c4 _1 X　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自! J7 F% c8 E! F6 O1 C; t 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 ! L0 v& v2 e& }" u能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 1 j+ O+ v4 D4 y太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对6 G; G7 t$ V' o) X 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程4 r" U( }8 ^8 W. ^0 `* J3 X C 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 ( j: N% h6 O! D# J D+ g5 [来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 ; i2 n/ M% `5 E. O# S& g8 c应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周3601 r3 a) `& v- k* h 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 2 [9 V5 t9 ]* @: v- n* f了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时7 K2 n0 k. j" ~4 s% i 能达到89，甚至144条。1 z8 C w+ ^! J) c9 [8 Q4 J# H l2 ` 7 W6 F% [/ t4 w( w# s$ W4 U; h　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 + J. R% a' `; \* X& @8 G; t7 d官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，0 U7 {. K! [+ n6 ^. i, } 你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，& F. A2 Z. X! D5 d 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中: s" |3 B6 `6 k 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出! I, y5 n: B$ z4 C 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。