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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番5 F( J n0 r* ]0 v6 l0 J( R 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出( l/ Y4 G7 f# v) d2 h* B: n 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 % r" ]3 q% x) F$ Q( o0 V+ Q因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有0 p1 }1 y& i+ c, H 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就1 o& b8 y0 s: l9 Y 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算& F! a2 t2 J7 d. N" G) \ 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包. m: }5 A! R c' r3 X 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 + t3 U( e% t2 n9 B; t' Y- C贡献。 , L- j' e k. y! j) V

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 . L9 r7 h. g. `3 z, N% a 2 p# H% Y0 x8 O+ X　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：! t8 k, I o5 u- z* u, K 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……9 m; |0 D- e: P. m3 [" n7 M* A 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在4 \" I9 } H+ ^. l" v+ } 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对/ j7 o% f1 m: b$ L0 C' F4 `' h: L 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三# q* g" }/ G$ }8 M; y% M5 `- x 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， s0 N0 R$ a9 p1 K6 D2 E 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 + ~/ H( V: z& U, h" P/ @兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密5 N! H/ W0 l7 m) P' o4 D! X 切的联系。- w6 A3 I8 f# v6 Q 8 ]% u; v) K- U% f9 v0 C& S g 　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 1 L5 w6 A& ]/ A, }书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 w* m0 l3 z- e% n4 {" P 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了: W6 i( U0 R% A% U, ~ 为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在 0 _6 F2 k8 O# \0 H这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏* {. p0 @' |; J3 r- D+ i 大自然的造化。& e) b( Y. O2 D m g + \' x- l9 G0 M! u3 ~/ Z' } F　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 4 H2 ~7 ~( X& B8 V# L到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒8 J! c, a( F# p( ]+ I8 c 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 0 n& Y5 ~# V1 m! G" N7 w( T从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 9 k* T8 U. p9 Z8 r9 Y8 w7 T8 f的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 7 a# }: A1 W; n1 |: E3 Z8 B种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个" l' f4 {. W, Y 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的1 O' K: a# K# q

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 2 q; c0 m3 i% L; d( X（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有6 W" Z! d2 s R" f6 ^; G z, j9 L 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。5 N7 D4 z! b/ Z$ h$ t/ o

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 ; K5 E8 Q1 j; o5 n3 q' E　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让. @9 b' v5 C" v 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点8 ]; w" E8 K' d 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心/ u0 r3 L9 f$ o. {' H1 X 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管# Z) B! x1 p5 P- w. z- M 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契! N1 J7 [1 n( B9 e+ E 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 0 L: b( N/ v: q* K2 ~( m

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） 9 Q$ g& ?) ^$ H& F5 c4 o) w 8 m+ r9 p- Y' V　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自& P. a# H- W" I$ d9 U1 r( p 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 1 [# s% I, ]( B p v& X/ V能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 / R. s2 K z8 D* R太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 7 l8 z7 U: k% [1 ~9 A8 B1 ~于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程/ ^1 _- Y& [# q, u& A! ^- \ 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 0 e1 q* d, X) @# |* V- g来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 3 m" ~* r7 r+ c( s. n应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 k6 r7 O; f% v$ n$ G: P0 q# n/ j 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 . P6 V% y* w# P, u8 l# v了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时& J2 Q! f. c5 B8 X. e' T0 `, E 能达到89，甚至144条。4 Z3 p: y% V$ T/ W 6 c3 ]0 k0 i/ }! ]　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器$ D2 L* Y! k$ H9 d- n M, j 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，1 F+ n" j$ O% O; h 你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物， * ~4 w6 w7 F$ r8 z1 Z也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中 |5 c$ ]" I9 p$ p& k8 T! n! V心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出" f. L4 u7 B* m$ \0 P, O 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。