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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番8 B8 s5 v" f3 ]" T1 q 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出$ r! s, c' y& i4 {6 y2 _( q 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 q9 m" ]: [# S$ _8 Z因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有, o6 U G4 x/ _% d" Y8 ? 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 ) c9 @! D7 p- c8 L- F是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 ( \ g% v5 A3 l8 X, }/ t; B4 q& j盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包 h Q( m( ?+ X6 Z- Q括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 % c1 t; R! h3 j( k5 T e2 H/ \6 h贡献。6 W6 f, |. [) P: `/ E

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 5 A# ]$ J# y5 m$ p1 t1 S 1 X' I7 d. y# D　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：3 d) j j; K4 o& E2 U 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …… 6 F; M# K7 S# X& w9 p从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在# S) n2 o6 g+ a 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对0 r8 o$ q; q/ s1 J" I$ M 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三- \& |8 M, _+ C3 j2 W8 s 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，7 R0 g* P6 G- N: v5 z, F9 A 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的" u+ K* l( @0 e. X/ l# J! A 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密$ z' I$ h* ~$ Q. [) z7 h+ k" z, n 切的联系。 + E/ X, l* R6 D! t- U# d : Z7 |$ n# g; w3 N& T　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 6 d0 N! i6 O% x. u5 C书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。9 O- M: b& ^+ |+ p6 G) V' E 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 6 y2 g O0 E5 c) A# m& @1 x' I2 B为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在9 Y1 F$ Z0 Z: n9 B: c b8 a2 S$ g 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏 * w: Z$ Z9 U/ t! \大自然的造化。 5 P9 E1 A/ ]+ I+ ?/ n0 a+ A, n 7 ], `+ v8 E& P5 Z0 W+ `4 B　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不* B7 j* a) A( A/ q2 ? 到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒: t/ T* U+ S. V1 `0 m, K# T 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果6 u# \. Y+ C* S 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 8 a( }3 k8 Q5 p: s6 ]4 J+ W# G5 t的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 9 E2 S$ v9 k' d7 ]- J5 I种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 % B! a1 I5 c+ l图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的 & N0 t/ _' B" D; U* M+ G

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 9 Y) b% k5 U9 k7 S6 l（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 9 o+ R" z7 _ F0 o6 W2 R# z- l21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。 . b) x2 v7 @* B1 n: a

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 8 X0 l) p" j+ C; Q　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让5 w* P+ J$ N5 d P, p5 X 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 0 P, T" c+ f8 k/ o) m$ H击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心 2 I2 l* s7 s5 x) b' a- C6 w菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 . u& {/ \- z' j* w) a/ Y8 c, E这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契9 O! j8 R: u6 `) S3 G9 N) } 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 . V/ A' d. p0 m7 H3 h3 I* y

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） 0 A$ I8 o, v8 t' U0 |: P& ^0 E8 S( A" `7 I! ~ 　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自% a' ~& z: i) {) d( N7 C& _4 i 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它! Z, t, f9 g/ b3 W- t+ a 能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 % R5 ~- h* s& C2 S太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 6 h& M. _1 k5 m于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程- a+ i3 l- d8 m 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 5 Z5 S0 T4 h3 Q r% n来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 3 U2 Y" _* d" X J: M" |应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 " G. w0 { D+ r& {度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 ( B9 X3 q* K7 M了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 + }! ]7 b. c* k, W( n能达到89，甚至144条。4 j: a7 E' b4 L, ?9 i' c / L# I" c7 b/ S7 G O　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 8 Q1 c$ E4 F5 J( ]官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， 3 |& q# c" {$ j( o: k+ J/ A9 z你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，* S7 F& o4 x, a' K2 A$ Z 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中, L3 r. P2 W+ [# t! u7 C 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出) h& e" c" ~6 m: U6 v; H 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。