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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番, l- z/ d B6 J) m2 I; s! N 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 0 r& r# d+ r# _# t: K的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 9 M5 {8 v* C/ A# U2 o( b因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 ^, _9 r2 y# O0 `' v 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就# J5 q8 T5 q- ~# O+ n 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算% f G; R8 R4 u* }6 P 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包 1 h. l# i5 r s: S括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要( h* C$ ^' O: g: G 贡献。* A U! i. Q8 l$ E# j O" A# l

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 . {( Q5 H. w6 @, a ( [* m& g; ], T6 w　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：1 R1 ^" Q: u! b; @ 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …… 9 S$ n1 X" V4 O' c: n% g从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在+ M& z" e5 u: N3 Q& J% H5 o 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 n5 m- t) e! P5 S* D; C2 s8 J兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三 & v0 l4 U+ r8 y) N7 B2 B, Y个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， 5 m5 n2 r1 }- H; [6 O5 t一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 . ?0 N A- a- G4 f% I6 L兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密8 d) d0 V, l6 }) y0 [, E! R 切的联系。 6 \ o% C5 V, ]/ I$ S* j4 m * g% x" m0 G% | T' {8 f　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 " s% z! ]* q6 a5 ]9 e书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 7 p2 m8 c, d3 @3 D, O但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 ; l! x# E6 p/ S$ X. d2 W为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在0 z+ c- y3 a3 Q, {3 m5 A 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏 ' S7 @* E: `7 C" r大自然的造化。 3 @% N3 |" `2 D: B4 |$ ^, H3 p. }- Z; U# w0 N 　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 4 x+ W+ q+ \- O: h; s0 k# p到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒0 e. t+ }% V S' w. M, t 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 % ]- _7 k5 D' W. J( x从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 + O7 T5 w2 z0 ^4 U; n的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一7 y5 a2 \3 b: v 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个5 r7 B$ }- W' q% T( h, t9 V- y, a 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的 0 b/ v6 X" e2 d) B5 ^+ u0 V7 J

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 3 T6 p8 U/ L& _4 L4 N$ J（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有+ e2 R1 X, l6 x- }: d4 g 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。 % W6 k L$ ?2 g2 G6 a4 q

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部( ?' o" s# e" c7 y: _ 　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让! i3 b- K0 y% s5 d3 y% Q 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点- ?, R7 Y$ \- u( C 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心 . N6 d- R) g4 s9 O& h菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管% q5 `+ C3 D! o: Y- Y4 U0 K 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 & @6 {0 ?1 ^: q' Y$ C序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。: K# r; r( I: O M% e3 `. G% n

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图）# Y" |+ l0 x1 ]" h9 F, G4 c+ k - L$ R- z _: a, e7 E3 d 　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自 & ]7 D1 n' |& E' f* N! S8 O然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 % F! l: R& G+ |- M! y7 x7 B能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了, Z: `" X" Z$ _ C' ]6 R1 s 太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对/ g; n$ N$ ?; |- U; z1 I8 T5 H 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 . J# o( [4 i; s* K0 l% {中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 8 x- C r4 p1 X6 G6 E来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 5 n( x5 M8 `% [应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 % z9 N) k" m- u$ y$ g& w度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定' Q$ I! S2 E' K. N' ~ 了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时6 N/ Y# G5 U6 P5 D# ] U 能达到89，甚至144条。 4 e( L' ~* g6 D& @- ~! A+ _" c 6 l+ T- o7 m3 h" B. p　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 0 x7 F- X* ?& f( e官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，8 l' c" P- }( {5 _$ c+ e 你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，# g; u% L e9 y% N/ a* r* Y4 U! ] 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中% ~7 b1 M- B! @) H2 k 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出8 s- u: v/ B8 \. |$ ~ 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。