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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番 . ^1 H. p$ N% E% H: ^! _" A& E2 d图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出6 J" C7 {* S% C) I: } 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 * {- R8 S9 m8 N H# M0 K/ H# u因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有5 ]1 _; m/ f! c- _5 t9 |% A; [ 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 7 O' L9 u5 }; \" t& N5 [是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 # e* A) y* h Z1 Q# d/ q盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包6 `/ s, E- S/ s 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要2 r) g4 _: q; b( N 贡献。 3 y9 W8 }6 d% r# @) S2 g& Z

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像4 {: D3 Q. ~! b) {- } . z5 d- X9 v$ ^9 ?; D' N; ]　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：7 K* H$ R5 L/ v 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …… . D Q7 F, F* W1 R从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在/ \! L- l2 ]& d' x 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 1 O* a5 X; \/ [6 y( A' Q1 Q7 i兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三 . A4 f+ O; s$ Q6 E! H; I, H个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，+ i4 O) w& S, s& P6 Q" w 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 3 e& }+ R7 [7 {8 U8 l2 e% X: J3 a9 Z兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密# ]: C( {) X! ~. l M 切的联系。/ c3 k2 S0 d$ \3 a 8 B; u9 j3 O' B4 q. i* U　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 0 u! ~9 @0 S( _2 i" d; _书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。4 ^' n& d* p. H* K, G 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 # E% \2 Q6 O( G$ w% Y2 u* V# c为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在1 C+ ?! B" {2 g H, j7 j 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏' M# @$ _; e$ \# s+ {4 ] 大自然的造化。 $ E6 G b! i/ u8 v7 x 5 `' K; W E e* D　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 ? W6 v+ L: ^+ L) Q到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒# P0 f5 b* P& J8 N 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果/ C7 a$ Z5 N1 @7 i 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 ! |. ^% @2 O I$ U( A; I6 a的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一+ N0 [2 H4 w8 _2 J) C7 f2 i1 [ 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 & }* V+ L0 K; i6 H6 s5 R9 l. H图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的8 V) p: {- Y F5 ]

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 ( Q" J9 v5 \ ]( A' S（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 2 P5 F4 ]; W {4 r- I3 c- ]21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。/ w8 j% k0 q( O/ i2 c0 ^* U- L( z

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部- t7 `! g! r6 {9 p7 G) W: ^' w 　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让. t! \$ _3 b# W. X N 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 ; _+ M- P! ]$ i4 q击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心2 p: A/ R% i! T. K0 F 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 5 u$ y# ? `( }这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 7 t% R" ^# g9 A1 I4 Y序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 }0 n+ X @( u4 a! B' D( d

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图）6 t& q6 R5 q" p# h 2 M$ M* [7 K( Q, A" u/ s/ w! X5 z　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自, Y! u* ~. w. r# E3 D. N0 g 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它, n2 J( h0 P4 H2 |/ Z 能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 % c+ ^: P" t+ G- L2 q太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 + h1 ~3 h: \$ \ x4 u9 H于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程2 C, A+ B I q. X+ i+ k 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出4 O+ _: b9 E' l: n 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度+ n8 Y0 {, C3 q 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周3604 E" I B; F+ y/ i2 {' C 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定8 z# ~. |/ E: B# t 了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时# N" h0 \6 I% J( \ 能达到89，甚至144条。6 o F6 m% s; v+ f. \ + U$ a% Y! s) _　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 # k9 G; d! f) W) l" c9 v, i官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， 8 f. q3 u, O* A, z$ c: l; q; Z$ U2 D你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，- _* C0 ~4 z# b 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中 % A( ~; ^- A, s心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 . k. Q" x* x# p H来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。