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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番5 ^; |# f( k( L+ I" [ F% F5 T 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出) o# g, @& X0 [( L3 T. H+ q 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来) D, Z( a2 @4 o' G0 F k5 x 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有8 I9 [2 ^% r! B6 E# q" y+ ?. Z2 w 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 . b4 M6 [! D3 E; s$ C, G- v& n+ g. d是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算: ?* `( }" @8 \. x) Q0 ~9 x$ e" y! l 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包; G( _# n: _ v2 @/ d 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要0 E' G8 k6 |( o' i9 R2 e- [/ j 贡献。 ) h6 E o3 y5 E- B% o: X- D

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像; Z0 s* J) x# d7 S! Q " E( t+ V7 ~1 i　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：. u5 \0 p4 q2 q: J$ n2 k8 I% B 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……6 @4 V* j& [+ c/ u* [0 {8 J' @' P 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在- o s u7 z; g 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对" o3 w( o) J6 q" t& ?7 @6 a% q 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三 - R O" @3 `! I* @& a2 |% q个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， + n( x6 c% p! G* C3 ?! A% p一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的) R8 o9 t. y0 B0 o" o 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密2 J& K4 h, l; w9 v, W 切的联系。 - R4 V) t( Z# E7 S" n$ P+ I9 F6 t6 r& t E& B1 l" L: V4 }7 ? 　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 + u/ B# T* s* R书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 / a w* f+ P4 a+ }' ~ G, M9 M但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 t$ o1 \7 { @9 U 为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在3 }8 r; e% U8 S" {( u 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏 2 B. G- }2 x |1 G0 e4 h4 N大自然的造化。 $ T) G0 J: J! H5 P0 D# K 5 _5 W: q! {+ L0 ?5 g, r {+ ?, J　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 . [& ]; X0 ?" }* k到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒" m- b6 o- U2 x4 N/ [. U* _2 ~# u- X9 ] 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果) h* C, m2 g0 G C+ U' M0 Y% f, a 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 2 T; [& ]9 `; y9 d的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 5 ~# G! f L3 D- Y# S4 Q种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 ! ]' Q; q' y) _/ |1 ~; I2 F* z. _图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的- E7 [5 t: W0 e3 [ P

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部) v2 o$ `6 d6 ] （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 3 T% V' w( y% r2 N+ |- Z9 h- V4 H21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。0 p$ J d! w* y0 ~/ x* l

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部* h. R$ X" l* X7 f2 { 　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让 , z# r/ X- l0 q; X3 ~" [人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 5 q* c; q9 t _& _- I击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心 1 @( X0 Q$ X4 z$ M1 s, U菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管: I6 r: ^; ]1 u$ C: h, S3 Q( d 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 Z! h$ x5 V. q1 b% p& J1 K: s, O; O 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。6 G3 |- s# A5 ~5 Z& j; Z

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图）2 O1 E, [9 A4 H, e% w$ ~8 ? 3 ~: f/ T' G* z$ T2 I7 F, N　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自9 j, _8 @( c6 G9 O 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 5 j u, l# l0 j4 l1 ` ^能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 - Z( w4 f9 E4 i H% P" Q) y0 v太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 % l; m+ \0 C3 Y ^2 [! {于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 8 l" d( Q' `, v% l中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 - z) ?3 k& F* @8 {7 d来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度! L% h) O7 C6 c' ~: n( y 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周3600 X, g# F' a* |, [: |1 E- K 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 + `. p' R g. G$ a了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 0 a7 n( I6 }0 w: [- \8 A4 F能达到89，甚至144条。 ! i! \5 D# A3 p. a+ n / R4 \" m" m% @+ ~　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 ; g, b1 Z4 `: j( o官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， . x- i% [" x* o0 e你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物， - h, ~* D% c% A0 p3 r0 Q也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中 & w8 O1 t% f$ R) \$ V( d' M心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 3 J: W. `( }/ v来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。