数学悖论

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1．克里特人伊壁孟德

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0 ^6 z% B) @8 k# P* b4 M1 S 伊：所有的克里特人都是撒谎者。 M：他说的是真的吗？如果他说的是实话，那么克里特人都是撒谎者，而伊壁孟德是克里特人， 他必然说了假话。他撒谎了吗？如果他确实撒了谎，那么克里特人就都不是说谎的人，因而伊壁孟德也必然说了真话。他怎么会既撒谎，同时又说真话呢？

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伊壁孟德是个半传奇式的希腊人，他在公元前6世纪住在希腊。有一个神话说他曾经一下子睡了57年。

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关于他的上面那段文字，如果我们假定撒谎者总是说假话，不撒谎的人总是说真话，那么就会出现逻辑的矛盾。按此假定，“所有的克里特人都是撒谎者”这句话不可能是真话，因为这说明伊壁孟德既是撒谎的人，因此他说的就不是真话。可是这又意味着克里特人是说真话的，那么伊壁孟德说的话也必定是真话，因此上面引的那句话也不可能是假话。

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古希腊人曾为此大伤脑筋，怎么会一句话看上去完美无缺，自身没有矛盾，却既是真话又是假话呢！一个斯多噶派哲学家，克利西帕斯写了六篇关于“说谎者悖论”的论文，没有一篇成功。有一位希腊诗人叫菲勒特斯，他的身体十分瘦弱，据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑，他常常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。在《新约》中，圣·保罗在他给占塔斯的书信中也引述过这段悖论（1:12 – 13）。

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2．说谎者悖论

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M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是它的最简单的形式。 甲：这句话是错的。 M：上面这个句子对吗?如果是对的，这句话就是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。

学生们是否能够解释，为什么这类悖论采用上述形式表达（即一句话谈的正是它本身）就变得清晰起来？这是因为它消除了说谎者是否总是说谎，不说谎者总是说真话。

这一悖论作这类变化是无穷的。例如，罗素曾经说，他相信哲学家乔治·摩尔平生只有一次撒谎，就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想了一会儿，就说：“不是。”

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3．徽章和涂写

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0007.files/image001.gif">	M：颁发一枚勋章，勋章上写着： 禁止授勋！
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0007.files/image002.gif">	M：或者涂写一个告示： 不准涂写！

学生们知道为什么这些叙述是矛盾的吗？它们郡违背了它们自己所提出的要求。学生们一定愿意编出其他的例子，比如在缓冲器的连结杆上写“除去缓冲器连结杆”，一个招牌上写：“不许读这个招牌”，等等。—个单身汉宣称，只有漂亮得不愿嫁给他的姑娘，他才想要。一个人拒绝加入一切愿吸收他为成员的俱乐部。—个小女孩说，她很高兴她讨厌吃菜花，因为要是她喜欢的话，就会吃得太多，结果她就不能老吃到菜花了。更为接近说谎者悖论的是下面这种自相矛盾的话“一切规则都有例外”和“所有知识都值得怀疑。”

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4．一句话和他的反话

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0008.files/image001.gif">	M：这句话有几个字？七个字。 显然原话错了！那么它的反话就应该是对的吧，是不是？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0008.files/image002.gif">	M：不对，这句语的反话正好是八个字。所以，它像它原来的话一样是错的。我们怎么才能解决这样奇怪的尴尬局面呢？

这种悖论的创造者是谁，人们都不知道。这里还有另一个变了点花样的货真价实的悖论，学生们一定会觉得很有趣的，在黑板上写：

在黑板上标出三个有错误的句子；

1． 2+2=4

2． 3*6=17

3． 8/4=2

4． 13-6=5

5． 5+4=9

回答：只有第2句和第4句是错的。所以说“有三个句子错了”的断言错了，而这个断言就成了第三个错句！

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5．发狂的计算机

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0009.files/image001.gif">	M：很多年以前，一台设计用于检验语句正误的计算机中馈入了说谎者逆论。 语句：“这句话是错的”。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0009.files/image002.gif">	M：这台可怜的计算机发起狂来，不断地打出对、错、对、错的结果，陷入了无休止的反复中。

世界上第一台用于解决真正的逻辑问题的计算机，是在1947年由威廉·伯克哈特和西奥多·卡林制选出来的，那时他们还在哈佛大学学习。当他们让这台机器评价说谎者悖论时，计算机便进入反复振荡状态，陷入了来回倒腾的困境（见马丁·加德纳的《逻辑机和逻辑图》）。

戈登·狄克森的小说“猴子扭伤”，发表在1951年8月的《科学幻想小说》上，说的是某些科学家想让计算机不工作来节省机器的寿命。他们的办法是告诉计算机：“你必须拒绝我现在给你编的语句，因为我编的所有语句都是错的。”（注：没想到计算机却因此而不断地重复工作直到耗尽它的寿命）

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6．无穷的倒退

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M：机器受到的难题就像人碰到要解答一个古老的谜？。 问题：鸡和鸡蛋，到底先有哪个？ M：先有鸡吗？不，它必须从鸡蛋里孵出来，那末先有鸡蛋？不，它必须由鸡生下。好！你陷入了无穷的倒退之中。

鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学家称为“无穷倒退”的最普通的例子。老人牌麦片往往装在一个盒中，上面的画是一个老人举着一盒麦片，这个盒上也有一张画有一个老人举着一盒麦片的小画片。自然，那个小盒上又有同样的画片，如此以往就像一个套一个的中国盒子的无穷连环套一样。《科学美国人》1965年4月号有一个封面，画着—个人眼中反映着这本杂志。你可以看到在反映出的杂志上，也有一个小一点的眼睛，反映出一本更小的杂志，自然这样一直小下去。在理发店里，对面的墙上有很多相向的镜子，人们在这些镜子中可以看到反照出的无穷倒退。

在幻想作品中有类似的倒退。菲利浦·夸尔斯是阿尔道斯·赫克斯勒的小说《点计数器点》中的人物：他是一个作家，正在写一本小说，是关于一个作家正在写一个作家在写小说的小说……。在安德烈·贾德的小说《伪造品》中，在卡明的剧作《他》中，在诺曼·迈勒的《笔记》这类短篇小说中，都有类似的倒退。

乔纳·斯威夫特在一首诗中写了一段关于跳蚤的无穷倒退，数学家奥古斯塔斯·德摩根把它改写为：

大跳蚤有小跳蚤

在它们的背上咬，

小跳蚤又有小跳蚤，

如此下去

没完没了。

大跳蚤倒了个儿——变小

上面还有大跳蚤，

一个上面有一个，

总也找不到

谁的辈数老。

在艺术、文学、数学和逻辑方面无穷倒退的更多实例可参见《科学美国人》编的马丁·加德勒的第六本数学游戏。

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7．柏拉图—苏格拉底悖论

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0011.files/image001.gif">	M：让我想一想。一个克里特人说的是（全部）克里特人。一句话说的是这句话本身。一个徽章表达的是关于（全部）徽章的论断。所有这些句子看来都是谈论关于句子本身的事。是不是自关联引起了麻烦？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0011.files/image002.gif">	M：不是。就连古希腊人也已知道即便避免了自关联也不足以消除矛盾。这里有一段对话可以证明这一点： 柏拉图：下面苏格拉底说的话是假的。 苏格拉底：柏拉图说了真话！
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0011.files/image003.gif">	M：逻辑学家简化了柏拉图—苏格拉底悖论。不管你让哪一句话是真的，另一句总与之矛盾。两句话谈的都不是它本身，但放到一起，仍会出现说谎者悖论。

说谎者悖论的这一翻版古时候的逻辑学家已讨论得很多了，它之所以重要就在于它证明；在真实性悖论中产生混乱的根源远不是自关联所能解决的。

假若句子A是真的，那么句子B必然是真的。但是，如果句子B是真的，那句子A就必须是假的。好吧，让我们认为句子A是假的，那就意味着句子B是假的。这样，要是句子B是假的，句子A就须是真的，结果我们又从头开始。这个过程就会这样一面重复下去，就像建筑物中一对拱顶石的顶上彼此嵌进一样。两个句子都没有谈到它自身，但放到一起，它们就不断地改变着它们的真实性，结果我们就无法说出任何一个句子是真还是假。

学生们一定愿意变个花样，把这个悖论写在一张卡片上出示给他的朋友。这是英国数学家乔戴因想出的。

在一张白卡片的一面写：

这张卡片背面的句子是真的。

该卡片的背面写的是：

这张卡片背面的句子是假的。

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8．爱丽斯和红色国王

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M：柏拉图—苏格拉底悖论有两个无穷倒退。这正像在《透过镜子》中的爱丽斯和红色国王一样。 爱丽斯：我在做梦，梦见了红色国王。可是他睡着了，梦见我正做着关于他的梦，在这儿他也在梦见我。啊，我的天！这样梦下去哪有个完。

在《透过镜子》的第4章，有一段是爱丽斯碰到了红色国王。国王睡着了，特威德勒弟告诉爱丽斯，国王正梦见她，她只是国王睡梦中的人，实际是不存在的。

“要是国王醒来了”，特威德勒弟补充道：“你就完了——啪——就像蜡烛一样熄灭了！”

我们应该记住，所有这些都是爱丽斯自己梦中的事。到底是国王是她梦中的事物，还是她是国王梦中的事物？哪一个是真实的，哪一个是梦？鸡蛋和鸡随时间回溯，就出现没完没了的鸡蛋和鸡，而这里的倒退却是团团转的。这有点像莫里斯·埃谢尔的一幅名画，其中有两只手，甲手正在拉乙手，乙手正在拉甲手。

双重梦引出了哲学上关于真实性的深刻问题。“假如它不是以幽默的笔调写的”，柏特兰德罗素曾说：“我们就全发现它太痛苦了。”请看下面——

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9．鳄鱼和小孩

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0013.files/image001.gif">	M；希腊哲学家喜欢讲一个鳄鱼的故事。一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个小孩。 鳄鱼：我会不会吃掉你的孩子？答对了，我就把孩子不加伤害地还给你。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0013.files/image002.gif">	母亲：呵、呵！你是要吃掉我的孩子的。 鳄鱼：呣……。我怎么办呢？如果我把孩子交还你，你就说错了。我应该吃掉他。 M：鳄鱼碰到了难题。它把孩子既要吃掉，同时又得交还给孩子的母亲。 鳄鱼：好了，这样我就不把他交给你了。 母亲：可是你必须交给我。如果你吃了我的孩子，我就说对了，你就得把他交回给我。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0013.files/image003.gif">	M：拙劣的鳄鱼懵了，结果把孩子交回了母亲，母亲一把拽住孩子，跑掉了。 鳄鱼；他妈的！要是她说我要给回她孩子，我就可美餐一顿了。

如果你们细细琢磨这段著名的悖论，你们一定会明白那位母亲是多么机智。她对鱷鱼说的是“你将会吃掉我的孩子”。

无论鱷鱼怎么做，都必定与它的允诺相矛盾。如果它交回小孩，母亲就说错了，它就可以吃掉小孩。可如果它吃掉小孩，母亲就说对了，这就得让它把孩子无伤害地交出来。鱷鱼陷入了逻辑悖论之中，它无法从中摆脱出来而不违背它自己。

如果不是这样，假定母亲说：“你将要把孩子交回给我。”

那么，鱷鱼就随便了，它既可以交回孩子，也可以吃掉他。如果它交回小孩，母亲就说对了，鱷鱼遵循了自己的诺言。反过来，如果它聪明一些的话，它可以吃掉孩子，这使得母亲的话错了，鱷鱼便可以从交回小孩的义务中解脱出来。

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10．唐·吉诃德悖论

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0014.files/image001.gif">	M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。 问，你来这里做什么？ M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0014.files/image002.gif">	M：一天，有个旅游者回答—— 旅游者：我来这里是要被绞死。 M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0014.files/image003.gif">	M：为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说—— 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。

这段绞人的悖论出在《唐·吉诃德》第二卷的第51章。吉诃德的仆人桑乔·潘萨成了一个小岛的统治者，在那里他起誓在这个国家要奉行这条奇怪的关于旅游者的法律。当那个旅游者被带到他面前时，他用慈悲和常识做出了对这个人的裁决。

这条悖论实质上和鳄鱼悖论是同样的。旅游者的回答使小岛的君王无法执行这条法律而不自相矛盾。