数学悖论

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11．理发师悖论

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0015.files/image001.gif">	M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0015.files/image002.gif">	M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0015.files/image003.gif">	M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！

伯特纳德·罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某些集合看起来是它自己的元素。例如，所有不是苹果的东西的集合、它本身就不是苹果，所以它必然是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是它本身的元案的集合组成的集合。这个集合是它本身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0015.html#_ftn1" target="_blank" >

。

在逻辑学历史上最富戏剧性的危机之一就与这条逆论有关。德国的著名逻辑学家哥特洛伯·弗里兹写完了他最重要的著作《算法基础》第二卷，他认为他在这本书中确立了一套严密的集合论，它可作为整个数学的基础。1902年，当该书付印时，他收到了罗索的信，他得知上面那条悖论。弗里兹的集合论容许由一切不是它自身的元素的集合构成的集合。正如罗素在信中澄清的，这个表面上结构完美的集合却是自相矛盾的。弗里兹在收到罗素的信后，只来得及插入一个简短的附言：

“一个科学家所遇到的最不合心意的事，莫过于是在他的工作即将结束时使其基础崩溃了，我把罗素的来信发表如下……”

据说，弗里兹使用的词“不合心意”（undesirable）是数学史上最词不达意的说法了。

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12．占星家、机器人和目录

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0016.files/image001.gif">	M：想想这个占星家，他给一切不占卜自己的占星家以忠告，他也只给这些占星家以忠告。谁给这位占星家忠告？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0016.files/image002.gif">	M：或者想想这个机器人，它修理一切不修理自身的机器人。谁修理这个机器人？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0016.files/image003.gif">	M：再想想这个目录，它将一切不列入本身的目录编目，这个目录编入哪个目录？这些都是罗素悖论的实例。

在罗素的理发师悖论的所有这些翻版中，都是在集合S中确定了一个关系R，它是从其中一个元素到集合S中不以R自关联的所有元素的关系。选取不同性质的集合和不同的关系，就可轻易地把这种悖论变幻出新的花样来。

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13．无聊与有趣

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0017.files/image001.gif">	M：有些人很有意思，有些人很无聊。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0017.files/image002.gif">	甲：我是全美足球明星。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0017.files/image003.gif">	乙：我可以用脚趾弹吉他。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0017.files/image004.gif">	丙：我什么也不会做。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0017.files/image005.gif">	M：这里有一张列举了所有无聊人的表，一张列举了所有有趣人的表，在无聊人的表上自然总有一个地方写着世界上最无聊的人。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0017.files/image006.gif">	M：可是这一点使得他非常有意思。这样，我们就得把他移到另一个表中。 丙：多谢。 M：现在又有另一个人成了最无聊的人，他也变得使人感兴趣起来。结果最后每个人都变得有意思起来，是不是？

不要过分严格推敲，这个逗人的悖论就第一次给出了“没有一个数是没有意思的”这一命题的证明。构思者埃德温·比彻姆巴赫在1945年的《美国数学月刊》4月号上以醒目的标题“有趣的整数”将它发表出来。

试试看，你们对于下列问题有何反应？

1．这个证明可以成立，还是有谬误？

2．把第二无聊的人移到有趣人的表中是否会引起第一个移到有趣人表中的人又变得乏味起来，还是仍然保持是有趣的呢？

3．是否存在一种观念，按此观念每个人都是有意思的，因为他可以是某个特殊集合中最乏味的人，正如每个整数在特定的集合中都可以是最小的数一样？

4．如果所有的人（或整数）都是有意思的，那么这是否使得“有意思”这一形容词变得无意义了呢？

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14．语义学和集合论

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0018.files/image001.gif">

M：关于真实性的悖论称为语义学悖论，关于事物的集合的悖论则是集合论悖论。两种类型是密切相关的。

语义学（真实性）悖论和集合论（或经典）悖论之间的对应关系可由下面事实体现出来，即每一段关于真实性的命题，都可重新组织为关于集合的命题，反过来也一样。例如，“所有苹果都是红的”，这句话等价于下述命题，“如果x是苹果这句话是真话，则x是红的这句法也是真的。”

让我们看看，到底说谎者悖论——语义学的命题，如何改述为实质上是与理发师悖论同样的集合论的命题。

假定黑板上写着一句话：“这句话是假的。”从效果上讲，这句话是说“这句话宣称像这个黑板上宣称自己是假话的句子，也只是这类句子的集合才是真的。”

用类似方法，可以把每一个语义学悖论转变为集合论悖论，把每一个集合论悖论转变为语义学悖论。

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15．抽象语言

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0019.files/image001.gif">	M：语义学悖论要靠引进抽象语言来解决。关于世界的种种论述，如“苹果是红的”或“苹果是蓝的”等，都是用实际语言来组成的。而关于真实性的论述则必须用抽象语言来组成。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0019.files/image002.gif">	M：在这个例子中，不存在悖论，因为句子A是用抽象语言写出的，谈论的是句子B的真实性，而句子却是用实际语言写出的。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0019.files/image003.gif">	M：我们怎样才能谈论一种抽象语言的真实性呢？我们必须达到更高级的抽象语言。在这个无穷的阶梯中，每一级对下一级都是抽象语言，对上一级又是实际语言。

抽象语言的概念是由波兰数学家阿尔弗雷德·塔斯基提出的。在阶梯的底层是实际语言或形象语言，如“火星有两个卫星”。像真和假这种词不在这种语言中出现。为了谈论用这种语言表述的句子真和假，我们必须使用抽象语言，即比所说明的语言更高一级的语言。抽象语言包括了所有的形象语言，但它比形象语言“更丰富”，因为它可以谈论形象语言的真实性。我们引用一个塔斯基喜爱的例子：“雪是白的，”这是用形象语言说明的。而“‘雪是白的’这句话是真的”就是用抽象语言说的。

我们能否谈论一句抽象语言的真假性呢？能，不过仅当进到更高一级的抽象语言，并用更高级和更丰富的，包括了所有它以下的形象语言的语言说话时才能做到。

这个阶梯的每一级对它紧上面那一级而言都是形象语言。而每—级，除开最底下那级外，对它紧下面那级而言，又是抽象语言。这个阶梯，我们愿意向上延伸多少就可以有多少。

这个阶梯的头四级是：

A．任意一个三角形的内角和是180°

B．句子A是真的。

C．句子B是真的。

D．句子C是真的。

注意，语句A简单叙述了几何客体的定理。关于定理的证明在几何教科书中则是用抽象语言B写的。关于证明理论的书又是用语言C写的。幸好，数学家很少需用比C更高级的语言。

刘易斯·卡洛尔在一篇文章中饶有趣味地讨论了这个阶梯在理论上的无限性。题为“乌龟对阿基里斯说了些什么”，后来重印时题为“刘易斯·卡洛尔的魔术。”

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16．类型的理论

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0020.files/image001.gif">

M：集合悖论可用一个类似的无限等级排解掉。一个集合不能是该集合本身的元素，或不能是低一级的任何集合的元素。上面举出的那个理发师，占星家、机器人和目录简直就不存在了。

在集合论中，与塔斯基的抽象语言阶梯等价的，伯特纳德·罗素最初把它称为“类型理论”。且不管技术上的术语，这个理论把集合按类型的级别加以排列，此时说一个集合是它本身的一个元素，或说它不是此集合本身的元素就变得毫无意义了。从而消除了自相矛盾的集合。这种矛盾的集合根本就不“存在”。如果遵循类型理论的法则，就不存在有意义的方法来定义这种集合。这就相当于一个语义学的规定，像说谎者悖论这样的句子简直就不是句子，因为它违反了合格句子的组成法则。

伯特纳德·罗素花费了很多年时间研究他的类型理论（现在称为“简单类型论”，因为后来逻辑学家大大简化了它）。在《哲学的演进》一书中，罗素写道：

“在写完《数学原理》时，我断然决定尝试要找到解决上述悖论的办法。我感到这就差不多像是对我个人的挑战，并且如有必要，我将以我的余生来努力实现它。可是由于两个原因我发觉这是难以对付的事。第一，整个问题时时以其琐细烦恼着我……第二，像我这样尝试，可能会毫无进展。整个1903年和1904年，我的精力几乎全部投入这个问题中，可是没有丝毫成功的迹象。”

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17．梵学者（印度预言家）的预言

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0021.files/image001.gif">	M：梵学者能用他的水晶球看到未来吗？试图预言未来就会导致一种新的奇异的逻辑悖论。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0021.files/image002.gif">	M：一天梵学者与他的十多岁的女儿苏椰发生了争论。 苏椰：你是一个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。 学者；我肯定能。 苏椰：不，你不能。我就可以证明它！
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0021.files/image003.gif">	M：苏椰在一张纸上写了一些字，把它折起来，再将它压在水晶球下。 苏椰：我写了一件事，它在3点钟以前可能发生，也可能不发生。如果你能预言它是发生，还是不发生，在我毕业时你就不用给我买你答应过要给我买的汽车了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0021.files/image004.gif">	苏椰：这是一张白卡片。如果你认为这件事会发生，就在上面写“是”；如果你认为它不发生，你就写“不”。要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗？ 学者：好吧，苏椰，这可是一项定约啊。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0021.files/image005.gif">	M：梵学者在卡片写了一个字。到3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道： 苏椰：在下午3点之前你将写一个“不”字在卡片上。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0021.files/image006.gif">	学者：你捉弄了我。我写的是“是”，所以我错了。可是，我要是写“不”在卡片上，我也错了。我根本不可能写对的。 苏椰：我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。

这条悖论最早的形式是关于一台计算机，这台计算机用开红灯表示“是”，开绿灯表示“不”。这台计算机被要求用回答“是”或“不”来预言下一次灯亮是不是它的绿灯。很明显，要它预言正确，在逻辑上是不可能的。这里改写为与梵学者打赌，是马丁·加德勒创造的，发表在他的《选自‘科学美国人’的新的数学游戏》中第11章。

这个悖论可以简化成最简单的形式，即问一个人：“你下句话要讲的是‘不’，对不对？?请回答‘是’或‘不’。”

这条悖论是否和说谎者悖论相同？这个问题将引起一场有趣的班级讨论。当这个人回答时，“不”的意思是什么？显然，在说谎者悖论中它相当于“我现在说的‘这是错的’这句话是错的。”这自然和“这句话是错的”一样。因此，梵学者悖论只不过是说谎者悖论经过伪装的翻版而已。

注意，恰如“这句话是对的”不会导致悖论一样，问题你下句话要说“是”，对不对？”也不会导致悖论。学者回答“是”或“不”都不会引起矛盾。这也就像我们对说谎者悖论的翻版——鱷鱼故事的情况，上述结果相当于，妈妈要是说：“你要把孩子还给我。”鱷鱼既可以吃掉小孩，也可以交回小孩，均不会引起矛盾。

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18．意想不到的老虎

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0022.files/image001.gif">	公主：父亲，你是国王。我可以和迈克结婚吗？ 国王：我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开门，从1号门开始。他事先不 知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。这只老底将是料想不到的。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0022.files/image002.gif">	M；迈克看着这些门，对自己说道—— 迈克：如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。可是，国王说我不能事先知道它在哪里。所以老虎不可能在第五个房间里。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0022.files/image003.gif">	迈克：五被排除了，所以老虎必然在其余四个房间之一。那么在我开了三个空房间之后，又怎么样了？老虎必然在第四个房间。可是，这样它就不是预料不到的了。所以四也被排除了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0022.files/image004.gif">	M：按同样的理由，迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐。 迈克：哪个门的背后也不会有老虎。如果有，它就不是料想不到的。这不符合国王的允诺。国王总是遵守诺言的。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0022.files/image005.gif">	M：迈克证明了不会有老虎之后，就冒冒失失地去开门了。使他惊骇的是，老虎从第二个房间中跳了出来。这是完全出乎意料的。这一切表明国王遵守了他的诺言。迄今为止，逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还未得到统一意见。

意想不到的老虎这则悖论有很多其他形式的故事。不知什么原因，它第一次是发表在四十年代初，说的是一个教授的故事。这位教授宣布下一周的其一天要举行一次“意料之外的考试”。他向他的学生保证，没有一个学生能在考试那天之前推测出考试的日期。一个学生“证明”了这不会在下一周的最后一天，接着是不会在倒数第二天，倒数第三天，等等，结果是不会在下周的每一天考试。然而，教授能够遵守他的诺言来考学生，比如说在第三天考。

当哈佛大学哲学家W.V.奎因在1953年写的一篇关于这个悖论的论文中，把它改成了一个监狱长排定一个意想不到的日期绞死犯人的故事。关于这条悖论的讨论，有一个列举了23本参考书的书目，可参见马丁·加德勒的《料想不到的绞刑和其他数学游戏》一书第一章。

大多数人承认迈克推理的第一步是正确的，即那只老虎不可能在最后一个房间。可是，一旦承认这是严格的推理，迈克其余的推理就跟着成立。因为，假若老虎不可能在最后一个房间，那么同样的理由将排除它在倒数第二间，第三间，一直到其余各房间。

然而，很容易证明迈克推理的第一步也是错的。假定他打开了所有房门，只余下最后一个门。这时，他能准确地推断说最后一个房间里没有老虎吗？不能！因为，如果他这样推断，他也许会打开这个房门，发现有一个料想不到的老虎在其中！其实，即使问题中只有一个房间，整个悖论也仍存在。

逻辑学家的一致意见是，尽管国王知道他能够遵守他的诺言，而迈克却无法知道它。因此，他根本无法以充分的证据推论在任何一个房间没有老虎，包括最后一个房间在内。

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19．纽科姆悖论

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0023.files/image001.gif">	M：一天，一个由外层空间来的超级生物欧米加在地球着陆。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0023.files/image002.gif">	M：欧米加搞出一个设备来研究人的大脑。他可以十分准确地预言每一个人在二者择一时会选择哪一个。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0023.files/image003.gif">	M：欧米加用两个大箱子检验了很多人。箱子A是透明的，总是装着1千美元。箱子B不透明，它要么装着1百万美元，要么空着。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0023.files/image004.gif">	M：欧米加告诉每一个受试者。 欧米加：你有两种选择，一种是你拿走两个箱子，可以获得其中的东西。可是，当我预计你这样做时，我就让箱子B空着。你就只能得到1千美元。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0023.files/image005.gif">	欧米加：另一种选择是只拿一个箱子B。如果我预计你这样做时，我就放进箱子B中1百万美元。你能得到全部款子。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0023.files/image006.gif">	M：这个男人决定只拿箱子B。他的理由是—— 男：我已看见欧米加尝试了几百次，每次他都预计对了。凡是拿两个箱子的人，只能得到l千美元。所以我只拿箱子B，就可变成一个百万富翁。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0023.files/image007.gif">	M：这个女孩决定要拿两个箱子，她的理由是—— 女：欧米加已经做完了他的预言，并已离开。箱子不会再变了。如果是空的，它还是空的。如果它是有钱的，它还是有钱。所以我要拿两个箱子，就可以得到里面所有的钱。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0023.files/image008.gif">	M：你认为谁的决定最好？两种看法不可能都对。哪一种错了？它为何错了？这是一个新的悖论，而专家们还不知道如何解决它。

这个悖论是哲学家经常争论的很多预言悖论中最新的，也是最棘手的。它是物理学家威廉·纽科姆发明的，称为纽科姆悖论。哈佛大学的哲学家罗伯特·诺吉克首先发表并分析了这个悖论。他分析的依据主要是数学家称之为“博弈论”或“对策论”的法则。

男孩决定只拿B箱是很容易理解的。为了使女孩的论据明显起来，要记住欧米加已经走了。箱子里也许有钱，也许空着，这是不会再改变的。如果有钱，它仍然有钱；如果空着，它仍然空着。让我们思考一下这两种情况。

如果B中有钱，女孩只拿箱子B，她得到1百万美元。如果她两个箱子都要，就会得到1百万加1千元。

如果B箱空着，她只拿B箱，就什么也得不到。但如果她拿两个箱子，她就至少得到1千美元。

因此，每一种情况下，女孩拿两个箱子都多得1千元。

这条悖论，是试验一个人是否相信自由意志论的“石蕊试纸”类型的悖论。对这个悖论的反应公平地区分出，愿意拿两个箱子的是自由意志论信徒，愿意拿B箱者是决定论（宿命论）信徒。而另一些人则争辩道：不管未来是完全决定的，还是不是完全决定的，这个悖论所要求的条件却是矛盾的。

对这些争论观点的讨论可参见马丁·加德勒在1973年《科学美国人》7月号的数学游戏专栏，以及诺吉克教授发表在同一刊物1974年3月号同一专栏的文章。由于这一悖论还未解决，故它是学生讨论的极好课题。你将发现课堂里对这个悖论的反应是活跃的，十分有益的。

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忘了说了, 这是《科学美国人》杂志社马丁·加德纳编写的

从惊讶到思考 ) g' N9 \! R$ K. g* P——数学悖论奇景

的第一章内容, 贴出来供大家欣赏.

先贴第一章, 看情况再决定是不是贴其他的...