数学悖论

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第三章 关于数的悖论

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0036.files/image001.gif">

这里介绍的各种数的悖论会激发学生深入数论和其他与列出的悖论有关的数学分支。

由于这些悖论看上去违反直觉和常识而使数学家们感到震惊和难堪，这一点强烈地影响了数学发展的历史。经典的事例有：首次发现无理数、虚数、复数、不遵循乘法交换律的数（四元数）、或不遵循乘法结合律的数（凯雷数），等等，直到乔治·康妥在十九世纪时揭示出一类超限数，大卫·希尔伯特把它称为超限数的“乐园”。

这里选取的悖论大部分是关于简单算术的和初等集合论的。对算术感到厌烦的学生可以受到鼓励去模仿书中例子编出一些新悖论来，他们在做这一尝试中会取得算术技巧。例如， “无所不在的9”能指导做有限计算，“奇异的遗嘱”能指导丢番方程，“惊人的编码”使学生了解无理数的性质。很多悖论是把代数解加以推广的起步点。这一章结尾处有意稍微显露一点康妥乐园中超限数知识，这个超限数乐园有很多令人兴奋的研究正在进行。

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1．六个席位之谜

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0037.files/image001.gif">	M：六个学生在一个大众唱片酒吧预订了席位，到最后一分钟时，第七个学生参加进来。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0037.files/image002.gif">	侍者：谢天谢地！这些小青年终于到了。我已经给他们安排了六个席位。哦，不！我看见有七个人。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0037.files/image003.gif">	侍者：不过也没有问题。我见让第一个学生坐下，让他的女朋友坐到他的腿上待一会儿。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0037.files/image004.gif">	侍者：现在第三个学生就坐到头两人的旁边，第四个学生又坐在她旁边。第五个做到抱着女友坐的那个小伙子对面，第六个坐在这位的旁边。这就安排好了六个人，还有一个空位！
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0037.files/image005.gif">	侍者：这下，我该做的就是叫第七个学生从她的男朋友腿上下来，绕到桌子对面，坐在那个空位子上！ M：那样没有什么问题吧？七个人坐六个席位，一人一个席位！

这是一个古老的悖论——一位旅店老板年安排21位旅客住进20个房间——的另一形式，学生们是不难指出其中谬误的。只要注意到那个暂时坐在男友身上的姑娘是第二个学生就解决了这一矛盾。当第六个学生坐下时，酒吧老板忘了这个姑娘是第二名，又把她当第七个学生来安排了。实际上第七个学生没有能坐到桌旁来，只不过是第二个学生从她的男友身上下来，绕过桌子，坐到第六个席位。

这个悖论显然违反了下面的定理；即n个元素的有限集能够，且只能与具有n个元素的其他集合一一对应。我们将在后面的“无穷旅馆”悖论中考虑无穷集时再回头讨论这一定理。 “六个席位之谜”是介绍有限集与无穷集之间区别的有趣方法。

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2．赚了多少钱？

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0038.files/image001.gif">	M：丹尼斯把他的油画卖给乔治，卖了100美元。 丹尼斯：乔治，你可捡着便宜了。十年以后，这幅画就会值这个价钱的十倍。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0038.files/image002.gif">	M：乔治把油画挂在家中，可是不久，他觉得不喜欢这幅画了。他又把画卖给丹尼斯，卖了80美元。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0038.files/image003.gif">	M：一周以后，丹尼斯将这张画以90美元卖给了格里。 丹尼斯：格里，你可是占了大便宜。十年以后，这幅画就要值这个价钱的五十倍了！
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0038.files/image004.gif">	M：画家很得意。 丹尼斯：头一次我卖得100美元，那正好是我用掉的时间和材料的费用，所以那是对等的买卖。后来，我买它用了80元，卖掉又得到90元，所以我赚了十块钱。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0038.files/image005.gif">	M：乔治的算法可不一样。 乔治：画家把他的画卖给我，得到100美元，买回去又花了80元，显然赚了二十块钱。第二次卖多少，我们可以不管，因为90元是那张画的价值。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0038.files/image006.gif">	M：格里把两种算法都颠倒了。 格里：画家头一次卖画得100元，买回去花80元，所以赚了20元。从他买画花80元，卖画给我要了90元来看，他又赚了10块钱。所以，他总共赚了三十块钱。 M：到底他赚了多少钱？二十块？三十块？

这个纠缠不清的小问题会引起热烈的课堂讨论。也许学生们要花一定的时间才能认识到这一问题中的困难在于它是没有“明确定义的”，因而每个答案都可说是同样正确的，或同样错误的。

不可能说出画家“实赚”多少，因为问题的陈述中没有说那幅画原来的“成本”是多少。我们且不管画家作画耗费时所付出的代价，而只假定说他作画使用的材料，如画架、画布和颜料等总共花费了20美元。经过三次倒卖之后，画家得了110元。如果我们把“实赚”定义为他的材料用费与他最后得到的钱数之差的话，那么他赚了90元。

由于我们不知道材料的成本费是多少（我们只是假定了一个数值），故我们无法计算实际赚钱究竟是多少。这个问题看起来是一个算术问题，但实际上它是关于“实赚”的意思是什么的争论。这个悖论有点像一个古老的悖论：树林中有一棵树倒下来，要是没有任何人的耳朵听到这倒下的声音的话，那么到底是否发出了声音？答案可以是“有”，也可以是“无”，这取决于“声音”一词的意思是什么。

在几何学悖论中，对上面这两个悖论有两个另外的有趣例子，那基本上是对一个词的含意的争论。

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3．人口爆炸

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0039.files/image001.gif">	M：近来，我们听到很多关于地球上人口增长多么快的议论了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0039.files/image002.gif">	M：妇女反对控制生育同盟主席，宁尼夫人不同意这种说法，她认为世界上的人口正在减少，很快地，每个人就会有更多的空间，比他们所需要的还要多。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0039.files/image003.gif">	M：她的观点是—— 宁尼夫人：每个人生来就有父母双亲。这父母二人中每一个又有一父一母。这就有四个祖父母辈的人。每个祖父或祖母又有父母二人，所以就有8个曾祖父母。你每往上数一辈，祖宗的数目就增加一倍。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0039.files/image004.gif">	M：如果你回溯20代到中世纪，你就会有1048576个祖宗！把这个应用到今天每个活着的人身上，那么中世纪的人口就会是现在人口的一百多万倍!宁尼夫人肯定不对，可是她的推理中那儿出了错？

要考虑这个问题最好是先问问，在这个悖论和“六个席位之谜”之间有什么联系没有。

如果下面两个假定成立的话，宁尼夫人的说法就是对的：

1．在各个活着的人的祖辈宗谱树上，每一位祖先只出现一次。

2．同一个人只出现在一个祖辈宗谱树上，不能多于一次。

在所有各种情形中这两个假设没有一个是正确的。如果一对夫妇有五个孩子，这五个孩子又每人有五个孩子，那么，原来那对夫妇就会是25个独立的祖辈宗谱树上的祖父母。再者，如果你在任意一个宗谱树上回溯很多代，就会有某些远亲联姻的夫妇。

宁尼夫人论点的谬误就在于，它既没有考虑到一棵宗谱树上远亲联姻的夫妇，又没考虑到构成每个活人的宗谱树上的人群的大量“交易”。在“六个席位之谜”中只有一个人算了两次，可是在宁尼夫人关于人口回溯内爆中就有成千上万人计算了成千上万次！

一个班级的学生也许会对加倍数列的各项增加之快感到吃惊。如果有某人同意，今天给另一人一元，明天两元，后天4元，如此下去。很难相信在第20天他就得给那个人一百多万元！这一惊人的结果往往用来介绍几何级数（见哈罗尔德·雅可比的《数学—人类的魄力》第二节）。

在加倍数列中有没有什么简便方法来计算头20项的和？有！办法是末项增加一倍再减1。第20项是1048576，故头20项的总和为：

2*1048576-1=2097151

这个方法可用来求加倍数列中任意前若干项的部分和。有些学生应当会证明这一结果。

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4．无所不在的9

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0040.files/image001.gif">	M：数9是具有很多神秘性质的数。你知道吗，9隐藏在每个著名人物的生日中？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0040.files/image002.gif">	M：请看华盛顿的生日。他出生在1732年2月22日。把这些数字按美国习惯写成一个数2221732，现在，把这个数中的数字重新排列，就可以构成任意一个不同的数。用较大的数减去较小的数可得一个差数。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0040.files/image003.gif">	M：把差数的各个数字加起来，在这个实例中得和36。3加6得9！
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0040.files/image004.gif">	M：如果你对德·高尔、约翰·肯尼迪或者任何一个著名的男人或女人的生日作上述计算，你最后都可得到9。是不是著名人物的生日和9有什么神秘的关系？

一旦弄懂了上面这个悖论说明的计算程序，就可在班级里试试让每个学生把自己的生日作这一计算。结果，每个人最后都得到9。

如果把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得一个和，再继续作数字和，直到最后的数字和是个位数为止，这最后的数称为最初那个数的“数字根”。这个数字根等于原数除以9的余数，因此这个计算过程常常称为“合九法”。

求一个数的数字根最快的方法是在加原数的数字时把9舍去。例如，最初两个数宇是6和8，二者相加成14，再将1加4，结果是5。换言之，舍去9以后的数字和若多于—位数则把两个数字再加起来，计算这个和。最后的数就是要求的数字根。可说数字根等价于原数对9的模，简称模9。由于9除以9余零，所以在模9算法中，9和0是等价的。

在发明计算机之前，会计员常常用模9算法来检查很大数目的和、差、积和商。譬如，假若我们用A减B得到C，这个结果可以作下面检查：把A的数字根减去B的数字根，看看差是否对得上C的数字权。如果原来算的差是对的，那么数字根的差也对得上。这并不能证明原来的计算正确，可是如果数字根的差不等，则会计员就知道他算错了。如果数字根能对得上，则他计算正确的可能性是8/9。这种数字根检验方法可同样应用于数字的加、乘和除上。

现在我们就可以弄懂上述生日算法的奥妙在哪里了。假定一个数N由很多个数字组成。我们把N的数字打乱就得到—个新的数N’。显然N和N’有着同样的数字根。因此，如果我们把二者相减就会得0，这和9是一回事（在模9算法中）。这个数，0或者9，必然是N和N’之差的数字根。简言之，取任意一个数，把它的数字打乱重排得另一数，将二者相减，所得的差的数字根就是0或9。

结果为0只是在N和N’相等时。因此，应当提醒学生，在他们用自己生日进行计算时，要保证重排的数可以得到一个差数。只要两个数不等，其差的数字根就是9。

用这个无所不在的9可以玩出很多数字魔术来。例如，一个学生在老师背转身去时写下一个数，所以老师看不见学生写的是什么。然后学生把那个数的数字打乱排成另一个数，计算这个数与原来那个数的差（大数减小数）。然后老师就让学生把差数中一个非零的数字划掉。这时，学生把余下的数字按任意顺序高声读出。老师仍然背转着身子，却能说出划掉的数字是几。

这个魔术的技巧很明显。那两个数之差应该有数字根9。当学生划掉一个数字后，并高声读出其他数字时，老师只要去掉9把其他数字心算加出来。学生念完时，老师用9减去最后的数字，结果就是学生划掉的那个数字（如果最后算得9，学生划掉的就是9）。

上述魔术和生日之谜将大大激发学生学习模算系统的兴趣。

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5．无可奈何的汽车司机

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image001.gif">	M：这辆汽车已坐进40个小伙子，他们很快就要上路去宿营地了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image002.gif">	M：而为一辆汽车坐着40个姑娘。她们正要去同一地点。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image003.gif">	M：在出发前，汽车司机要喝点咖啡。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image004.gif">	M：这时有十个小伙子偷偷地从他们的汽车中出来，溜进了姑娘们的汽车。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image005.gif">	M：当姑娘们的司机回来时，他发觉乘客太多了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image006.gif">	司机：好了，请大家不要开玩笑、胡闹！这辆汽车坐40个人，所以你们最好下去10个人，快点！
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image007.gif">	M：下来了不知性别的十个人。他们全上了小伙子的汽车、坐上了空座。一会儿，这两辆汽车各载着40个露营者便上路了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image008.gif">	M：过了一会儿，姑娘们那辆车的司机想—— 司机：呣……，我确信有几个小伙子在这辆车上，还有些姑娘在小伙子的车上。我想知道，哪辆车上的异性乘客多？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image009.gif">	M：尽管有点难以相信，但事实是，不管回到小伙子车上的十名乘客中男的女的各多少，这两辆汽车上异性乘客的比例都一样。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image010.gif">	M：为什么？假定姑娘们的车上有4个小伙子，这就使小伙子的车上空出4个座位。这4个空位必定由4个姑娘坐着。其他数目，道理一样。

这个悖论很容易用一副扑克牌来证实。首先把这副牌分成26张红牌，26张黑牌。让一个学生从两叠牌中的一叠拿出一小叠来。我们假定这个学生从红牌中取出13张把它放到黑牌上面。然后这个学生把折叠牌洗过。现在告诉学生从刚洗过的这叠牌中拿出13张（可从这叠牌中任何一个地方随便抽取），再把它放到那叠红牌上。最后把这样凑出的半副牌也洗一下。

当学生们把这两个半副牌打开检查时，就会发觉黑牌中混入的红牌数目和红牌中混入的黑牌数目一样多。这个把戏的证明完全和两个汽车的姑娘和小伙子的人数一样。

根据这个原理可以玩出很多扑克把戏。这里介绍一个巧妙应用这一原理的把戏。把一副牌严格分成两叠，使一叠翻成面朝上，再把两叠牌洗到一起。把这样混合起来的一副牌出示给学生们看，不告诉他们正好有26张牌翻开面朝上。可以让一个学生好好洗匀这副牌。你伸出手来，叫这个学生拿出26张牌放到你手中。

你说：“要是我这半副牌中翻开的牌数和你那半副牌翻开的一样多，那不是很奇妙的巧合吗？”

叫这个学生把他（或她）手中的牌摊放在桌面上。这时你暗中翻转你手中的牌，再把牌摊放在学生那些牌的旁边。数数各叠牌面朝上的数目，两个数目相同！

你看出这个扑克把戏是怎么搞成的吗？如果你不把你手中的牌翻转，学生那半副牌中，翻开来的牌数就等于你手中面朝下的牌数。在你将牌翻转过来时，你手中面朝下的牌就变成了翻开来的牌了，这使得它正好和另外半副牌中翻开的一一对应。

这时，我们可以考虑一个古老的智力问题。一杯水放在一杯酒的旁边。水和酒的量相等。从盛酒的杯子中取出一滴来放入那杯水中。把这杯水搅匀，然后从这种混合液体中取出一滴来（要严格与滴入的酒等量），放回酒中去。现在是水中的酒多，还是酒中的水多？

用心的学生立即就能察觉这是汽车悖论和扑克悖论的另一种实例。两种混合液体情况相同。即使两个杯子中的液体量不相等，混合液也不一定搅匀，答案仍然不变，甚至我们还可以把两杯液体滴来滴去，不一定要来回滴数一样。唯一的条件就是，必须使最后杯中所盛液体的量与它开始时一样多。这样酒杯中就失去一定量的酒。这失去酒的位置就被严格等量的水充满！对这一智力问题的证明完全类似于两辆汽车中姑娘和小伙子的人数或两半副牌中红牌和黑牌的数目的证明。

这个酒和水的例子证明了，对于一个可以用冗长乏味的代数方法证明的问题可以用浅显的方法顺利地获得一个简单的逻辑的证明，这是十分令人惊叹的。如上面举出的例子，只要有正确的观点就能看得出来。

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6．一块钱哪里去了？

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image001.gif">	M：一个唱片商店里。卖30张老式硬唱片、一块钱卖两张，另外30张唱片是一块钱卖3张。那天，这60张唱片全卖完了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image002.gif">	M：30张一块钱两张的唱片收入15元。30张一块钱3张的唱片收入10众，总共是25元。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image003.gif">	M：第二天商店老板又拿出60张唱片放到柜台上。 老板；何必要自找麻烦来分唱片？如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖3张，何不把60张唱片放在一起，按两块钱5张来卖？这是一样的。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image004.gif">	M：商店关门时，60张唱片全按两块钱3张卖出去了。可是，商店老板点钱时发现只卖得24元，不是25元，这使他很吃惊。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image005.gif">	M：你认为这一块钱到哪里去了？是不是有个伙计偷了？是不是给顾客找错了钱。

这条悖论是建立等式和不等式性质的极好例子。正如上面的故事所表明的，那个老板觉得把两种唱片放在一起，每5张卖两块钱，和分开来一种卖两张一块钱，一种卖3张一块钱是“同样的”，这就搞错了。没有任何道理能说明两种卖法应该收入同样的钱数。上面的例子中两者之间的差很小，以致于看上去好像那一块钱是不留意造成的，或者是遗失了。

如果考虑一个同样的问题，但价格稍为不同些，大家就能更清楚地看出问题了。假定贵一些的唱片卖两块钱3张，或者说是每张唱片的价格是2/3元。较便宜的唱片卖1块钱两张，或者说每张l/2元。老板把这两种唱片混合，卖1块钱5张。假设每种有30张，如前面一样，分开来卖，得到35元，可是合起来卖60张共得66元。这样老板就多得了1元，而不是少了1元！

这时，我们就需要对此悖论作一下代数分析了。我们假设价格较高的唱片是每张卖b/a元，价格较低的唱片每张卖d/c元。两个分数都要化简为最简分数。例如上面唱片中的例子，贵的唱片是一块钱两张，即每张1/2元；便宜的唱片是一块钱3张，即每张1/3元，故a=2，c=3，b=d=1。

假若所有唱片都各以两种不同的价格卖，则一张唱片的平均价格是b/a和d/c之和的一半。如果两种唱片合起来，按一个价格卖，那么。a+c张唱片就卖b+d元钱，一张唱片的平均价格就是_{MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image006.gif">} 。显然，两套唱片合起来要收入同样多的钱数就必须是

_{MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image007.gif">}

令人吃惊的是，这个等式只有在a=c时成立，而与b和d的值无关。如a>c，则两套唱片合起来交可得的钱多一些（自然起在的条件下，如我们这个说明中的例子，这里a=3，c=2)。如果a<c，则合起来卖就要赔钱（如上面唱片所举例子）MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.html#_ftn1" target="_blank" >

。

这个例子告诉我们，当看到不同种类的货物联合销售时，要判断我们是否真的买到了便宜货并不是一件轻而易举的事。

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7．奇妙的方阵

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image001.gif">	M：把这个4行4列的方阵画在一张纸上，将1到16等数字填入格中。我现在举一个著名例子，证明人的精神的威力，这定会使你吃惊！我能够把握你在这个方阵中选择的4个数。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image002.gif">	M：在这个方阵中任意选一个数并画上圈。这个画片中圈的是7，可是你可以圈你自己选出的数。现在将圈出的数所在的那—竖行（称为列）划一条竖直线，再将这个数所在的横行（称为行）划一横线。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image003.gif">	M：在没有划线的数中，选一个数并画上圈。又按上面的方法将这个数所在的行和列划线。再选第三个没有划线的数，将这个数所在行和列划线。最后把仅余下来的一个数画圈。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image004.gif">	M：如果你按上法进行，则你的方阵就有点像这张画中的样子。现在，把你选出的画圈的4个数加起来。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image005.gif">	M：你做完了吗？我现在告诉你们每个人你们加得的总数。它…是…34！对不对？我怎么知道的？我真的能左右你的选择吗？

为什么这个方阵会使得我们选出的四个数加起来总是得34？秘诀巧妙而简单。在4*4的方阵的第一行的上面顺次写4个数1、2、3、4。在第一列的左边写4个数0、4、8、12。

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image006.gif">

这8个数称为魔法方阵的“生成元”。方阵中每一格可以填上由这一格所在列上方的生成元与所在行左边的生成元相加得到的数。按这个方法将方阵中所有格子填满之后，我们的方阵就按从1到16的顺序填满了。

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image007.gif">

现在我们就可以看一看按前面讲的步骤圈出4个数时有什么特点。显然，上面步骤保证圈出的4个数不会在同一行或同一列。每一个圈出的数都是两个生成元的和，由于它们各在不同的行和列，故4个数的生成元各不相同，因此这4个数的和就等于全部8个生成元的和。这8个生成元相加等于34，所以圈出的4个数的和总是34。

当学生们明白了方阵的窍门后，他们就能编出各种不同大小的方阵来了。比如，我们考虑一个6阶的方阵，它有12个生成元。注意，在这个例子中，选取的生成元使得方阵内数字看起来好像是完全随意的。这里面暗含看这个方阵数字的结构基础，从而使之更富神秘色彩。

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image008.gif">

所有生成元的和是30。如果照前面画片中说明的步骤来选择数字的话，最后选出的所有数之和应为30。自然，那个有肯定结果的数字（或和数）的大小可以由我们任意挑。

如果构成一个10行10列的方阵，使选出的和为100，或任何其他有趣的数，例如当年的年份或某人的出生年分等，这会激发起热烈的气氛。

魔法方阵可否在格中填负数？当然可以！事实上，生成元可以是任意实数：正数或负数、有理数或无理数。

魔法矩阵可否采用乘法，就是选出的数彼此相乘得一定数？可以。这可以引起学生们探讨另一条途径。基本结构完全相同。这时方阵格中的数是一组生成元的乘积。我们也许还希望看看，如果格中填入了一组复杂的数，会产生什么结果。关于魔法方阵的更多的内容可以在《科学美国人》杂志出的《数学之谜和数学游戏》一书第二章中找到。

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8．奇怪的遗嘱

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image001.gif">	M：一个富有的律师拥有11辆古董汽车，每辆值5000美元。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image002.gif">	M：律师死时留下了一个奇怪的遗嘱。他说他的11辆古董汽车分给他的三个儿子。把其中的一半分给长子，1/4分给次子，1/6分给小儿子。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image003.gif">	M：大家都感到迷惑不解。11辆汽车怎么能分成相等的两份？或分成4份？6份？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image004.gif">	M：他的儿子们正在为怎么个分法争论不休时，林小姐——一位著名的数学家驾着她的新式赛车来了。 林小姐：好啊，小伙子们。你们好像碰到了难题。我能帮点忙吗？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image005.gif">	M：小伙子们向她诉说了原委，林小姐便把她的赛车停在11辆古董汽车旁边，下了车。 林小姐：小伙子们，说说看，这里有几辆车？ M：那些小伙子一数，有12辆。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image006.gif">	M：这时，林小姐便履行遗嘱。她把这些汽车的一半，6辆给了老大。老二得到12辆的1/4，即3辆。小儿子得到12辆的1/6，即2辆。 林小姐：6加3加2正好是11。所以，还余下1辆，这正是我的车。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image007.gif">	M：林小姐跳上她的赛车启程了。 林小姐：很乐意效劳，小伙子们！我会把账单寄给你们的！

这是一个古老的阿拉伯悖论，这里是把那个悖论中的马换成汽车而变成现代化的说法了。学生们一定高兴试着变变遗嘱的内容，如改变汽车的数目，和分配它们的分数，条件是借一辆车就可执行遗瞩，最后还要余下一辆车退给借车人。

例如，可能是17辆车，遗嘱说把它们分为1/2，1/3和1/9。如果有n辆车，三个分数是1/a，1/b和1/c，则只有在

有一个正整数解时，上述悖论才起作用。可见让学生们再做复杂一些的问题，增加继承人的人数，同时增加为执行遗嘱而借的车辆的数目。

自然，这个悖论的解答在于下面事实：原来的遗嘱提出的分配比数相加不为1。如果用拆散汽车的方法来执行遗嘱的话，就会余下11/12辆汽车（即一辆汽车的11/12）。林小姐的办法是把这11/12辆汽车分给了儿子们。老大得到比他原来应得的数量多一辆汽车的6/12，老二多得了3/12辆，小儿子多得了2/12辆。这三部分加起来是11/12，这样一来每个儿子所得的汽车就是整数，所以就不用拆散汽车来分了。

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9．惊人的编码

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image001.gif">	M：基塔先生是来自另外一个时空结构中的星系——螺旋系的科学家。一天，基塔博士来到地球收集有关人类的资料。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image002.gif">	M：接待基塔博士的是一位美国科学家赫尔曼。 赫尔曼：你何不带一套大英百科全书回去？这会书最全面地汇总了我们的所有知识。 基塔：这是一个好主意，赫尔曼。可惜，我不能带走那样重的东西。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image003.gif">	基塔：不过，我可以把整套大英百科全书编码列这根金属棒上。在棒上有个标记就可以做到这一点。 赫尔曼：你不是开玩笑吧？一个小小的记号怎么能携带这么多信息？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image004.gif">	基塔：很简单，我亲爱的赫尔曼。各个符号——每个字母、数字、标点符号——都配上一不同的数。零用来隔开符号。两个零表示词之间的间隔。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image005.gif">	赫尔曼：我不懂。你怎么编码cat？ 基塔：这很简单。我马上给你看我们使用的代码。cat一词编为3-0-1-0-22。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image006.gif">	M：基塔先生用他那高级袖珍计算机快速扫描百科全书，把它的全部内容转变为庞大的数字。在数的前面加一个小数点，就使它变成了一个十进制的分数。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image007.gif">	M：基塔博士在他的金属棒上标上一点，这一点把这根棒严格分成其长为a和b的两段，并使得分数a/b正好等于他那代码的十进制分数值。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image008.gif">	基塔：当我回到我自己的星球上时，我们的计算机可以严格测出a和b的值，然后算出分数“a/b”。这个十进制分数就可以被译码、这时计算机就可为我们把你们的百科全书印出来！

还不熟悉密码的学生们也许乐意按照这里所用的数字代码来给一个简短讯息编码和译码。编码表明了一一对应的重要性，以及如何把一种结构标记为另一种同物的结构。这种编码实际上是用在一种高级的证明理论中。库尔特·哥德尔作出了一个著名的证明：一个复杂到足以包含整数的演绎系统有一些定理是不可能在该系统之内证明其是否正确的。哥德尔的证明依据的就是将一个演绎系统中的每一个定理都交换为一个特定的、很大的整数。

把一整套百科全书用一个点标在棒上只是理论上成立，实际上是行不通的。困难在于在棒上标上这个点所需的精度是不可能达到的。而且标出的点必须比一个电子小很多，两段长度的测量也必须同样精确。如果我们假定两个长度确实能够精确地测量，从而得到基塔博土的那个分数，自然用他的办法就可以成功。

数学家确信π的十进制展开式是个无穷无规律数字的序列。如果确实是这样，那就意味着，任何一个有限的数字序列都一定会出现在展开式的某一段。换句话说，在π的展开式的某一段就是基塔博土编的大英百科全书的代码序列，或者就是任何其他业已出版的，或可能要出版别的著作的代码！