新手进阶建模（6）平衡原理和机理分析应用

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       简单的说，平衡原理就是原来的平衡的因为一边发生了变化使平衡破坏 然后反应朝着能够削弱这次变化的方向发展。现实中绝大多数问题都满足平衡原理，交通红绿灯的设置与路宽的关系，收费站的卡口数与车流量的关系等...
: H. X$ S: @- E- @; t. a       建模中我们拿到的题目并不会直接说明其中哪些因素满足平衡关系，所以这需要我们首先要查阅资料找到该问题中隐含的平衡关系因素。然后建立微分方程求解。
/ i1 N- _1 h, A& t* y& {' R通过几道例题来说明一下：
6 h/ v$ H' c* p6 B& b3 l/ [( z1.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。
% s" E8 c4 J5 _6 z第一：找平衡关系。题目只说了出生与死亡，给了我们一对平衡因素（人口的增长还与该地区的人口迁入迁出、资源分配有关，出
         于简便，只考虑出生率与死亡率）。
第二：找平衡变量，与出生死亡有关的我们可以联想到出生率、死亡率。
4 O# @1 B0 z! n2 H7 p: }: v& F第三：约束条件，建立方程         
* i5 @  x. W, f$ @; c3 n) J         1. 人群个体同质。

         2. 群体规模大。

         3.  群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的   影响。

         4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率）

         5. 群体增长恒定。

         6. 个体增长独立。

        人口数在区间[t，t+△t ]内的改变量N等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。 令B(t, △t, N), D(t, △t , N) 分别表示在时间区间[t，t+△t ]内生育数和死亡数,   则有：
& j" J1 S; w2 [& e

3 W5 k! B. D6 M9 `9 F# w! H, }

         则出生率：
3 C) ?" @# r. R5 E- }& X5 k

         死亡率：

9 F" o4 v9 ^3 |2 {3 h- t& [

         自然增长率 :

, v" A' V8 m3 v, H8 h7 w! c

         又因为初始条件：
  u8 p, S* [: [* m

' R3 M( @$ U- y% c" S# h6 X

         继续推演可得：

: ]3 J& q" u1 y1 G5 G7 m2 N  ]

给定初值 N(0)=N0，可得人口增长的指数模型(Maithus  模型)。但是实际情况下资源必定会限制人口的增长，即人口数量达到阈值时候会减速增长，模型变为 logistic 模型（s曲线）。
" x) F/ |9 I  J' o( i& d. j- h        以上例题仅仅作为说明平衡原理的理解例题。实际应运中平衡关系从物理角度、经济学角度好找一些（只是本人感觉）。
9 o: m* L9 c# M* d7 s! t5 |8 G* G! M8 Q        附本次例题来源的word文件供大家阅读，更深入理解平衡原理。

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+ T5 ~: e7 M- f) Q& S5 P
' v8 q7 V7 n2 N1 \4 Z9 Q, Q+ `- ~5 t

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怎么找不到4了？？？
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