[转帖]数学是最容易辨别是非的

kongweiwei

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当先生遇到先生，也谈“数学是最容易辨别是非的”
! I A# Y: i2 @2 S" k) ?2 Z [辞典里开户] 于 2003-11-22 19:20:07上贴

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当先生遇到先生，也谈“数学是最容易辨别是非的”？ 三个多月前，一道被媒体置疑的江苏高考“数学题”，先是你说我说，闹得沸沸扬扬，最后没得说。看得出，中国教育当局的暧昧态度，与出题先生求实与否的态度是密切相关的。近些日子，为那道严肃的数学题，又突的“平地起风雷”，尘埃看来并未落地。惟这次荡起的“波澜”之大，实在让国人瞩目。12位院士联名诏书天下，招致场面蔚然壮观。今日看来，与其说是出题“先生”的问题，倒不如说是“先生”遇到“先生”的问题。 面对一场名副其实的“先生”遇到“先生”之论战，一个据理力争，一个当仁不让，我想，中国教育当局不能不受到十二分之震动。对于一个数学问题，在对与不对之间，真的那么难以判断吗？我之心神不安，已不在数学题本身了，本也不想多语，事实上，明眼的学人们或是世人们，多能悟到，从那一道“错题案”之是是非非，已生出了一些新的是是非非了。或是用得上一说：“中国人的劣根性”。但我不想说那“劣根性”。我只想说，连“挑战者”号作那般精细的准备，都有从天上掉下来的可能，百年遇一回的一道“错题”，也还是有可能发生的，只是明年或三两年再来一回，那就不是小概率事件了，那才更可怕！拿出一点“神州五号”上天的精神来，出题者如此，看题者也是如此！ 真正提起我写字的欲望，是缘于近日读到了最近人民网上署名任心，题为［“数学最易辨别是非”？也谈“高考错题”］的一篇文字（http://www.people.com.cn/GB/guandian/1036/2196667.html ）。我大体只关心文中有关否定“数学是最易辨别是非的”议论。应该说该文字是写得诚恳和认真的，说理也有分寸，特别是文字的后半部分，对那道惹事生非的题目，进行细致入微的剖析，对题目的求解过程，也实事求是的给出了自己的看法，是一种讲道理的科学姿态。只是文中之主要观点，是意在推翻“数学是最易辨别是非的”这一“命题”，这一观点不光是对那12位如雷贯耳的院士以及华罗庚的一种挑战，而且就数学本身来讲，也是一种挑战，甚而有点吓人的。数学那东西，概念繁多，思想复杂，稍不留神，也会闪失出一点断章取义的情况。还好，毕竟数学就是在说理中去伪求真，毕竟还不是秀才遇到兵，只要是就事论事，话总是能说清楚的。想到作古18年的华罗庚先生在九泉之下难辩其冤，当然，也乘机会说说那句先生留在人世间的一句不是不明白的话----“数学是最易辨别是非的”。 不过，还是先得说几句关于“公理”系统的话，毕竟任心先生也扯到这个话题上来了。 数学家们是如何构造公理系统的呢？注意，数学的生成生长，是必须要有公理体系的，简单点说，作为讲“道理”的数学，其“道理”的“起点”在何处？那“起点”就是“数学公理”。而那“起点”，数学家又是极讲究而情有独钟的，可以说，为了数学理论体系的这个底线，对这“底线”的一丝一毫的构造，数学家们都是精益求精。他们从远古中一路爬涉过来，又马不停蹄，苦苦追求，不依不饶的走进了近、现代，成果也不可谓不丰。最古老的公理系统非欧几里得（古希腊 公元前300）莫属，即所谓的“欧氏公理系统”。其公理系统中的“过直线外一点只能做一条直线与之平行”的“平行公理”，作为欧氏几何的精核，为欧氏几何的诞生，放出了不朽的思想光辉。 但最不爱想当然的数学家们，总是瞪大了双眼，死死盯着那让人魂不守舍的“平行公理”，那“命题”可以证明吗？不打紧，那困惑了数学家们达2000多年的时光就那样流逝过去了。企图证明它也难，要想搁置它还是难，总之都是无功而返。这一条被欧几里得视为“公设”的命题，其实在现实世界（三维欧几里德空间）的人们眼中，是再明白直观不过的结果。世界上最不爱放弃的也是数学家，就是在中世纪最黑暗的日子，西方的数学家们同样于不屑，还是执著于前赴后继的追求真理，忘我的在一团团迷雾中寻寻觅觅。最先论证“平行公理”不可由其它公理推出的是罗巴切夫斯基（俄1792－1856）和高斯（德1777－1855），这意味着“平行公理”已是欧氏几何的底线，从而爆发了数学史上石破天惊的一场革命。数学家们也最富于想象和创造，在确认“平行公理”之不可证的几乎同时，罗巴切夫斯基放手假定：“过直线外一点可以作无数条直线与之平行”，替代了欧氏平行公理，创立了第一个非欧几何学。随后黎曼（德1826－1866）也顿生灵感，一唱一和：写下了“过直线外一点不可以作直线与之平行”的假设，进而创造了黎曼几何学。 非欧几何学的诞生，冲破了欧氏几何公理系统的框架，开创了数学理论的新纪元，得到了彼此独立、逻辑合理的两个几何公理体系。最重要的是，数学容许两个对立的公理体系并存，而且它们同样具有真理性。欧氏几何公理系统和两个非欧几何公理系统都是两两独立的（比如：欧氏几何与黎曼几何是独立的），在不同的公理系统中，数学问题的结果是各自公理系统的产物，但都是存在的。这是非欧几何的一个重大发现！原来“公理”可以约定、假设，“公理”具有随意性！走进这样一种理性思维，需要数学家们多大的勇气和想象力！随后数学中的其它公理系统也相继诞生，如自然数系统、有理数系统、实数系统乃至复数域系统，但它们都是数域不断扩大的代数公理系统，具有前者被后者包含的关系。有了这样一些坚实的公理体系作保证，就犹如给数学家们提供了施展拳脚的场地，做文章总是需要“打场子”的！ 针对“数学是最易辨别是非的”一话，任先生开宗明义就斩钉截铁的认为是“一个错误的命题”，那么，一代数学大师华罗庚先生在世所说到底出错在何？我注意到了任先生的一句话：“以几何问题为例，在研究一个具体问题时，是采用欧氏几何还是黎曼几何，还是其它非欧几何，取决于问题是在什么环境之下。问题是，欧氏几何与黎曼几何根本不相容，采用了一个，就是否定了另一个，那么你是否能够认为另一个是“错误”的？”然后生出的“看法”是：“存在这样的数学问题，你无法简单地认为它是‘对’还是‘错’”。 其实，“欧氏几何与黎曼几何根本不相容”，并不导致“采用了一个，就是否定了另一个”。前面已经说到，非欧几何不是在否定对方中生存的，只能说创立的这两种几何公理体系对立。注意两个公理系统都确实是存在的，两门几何学也是相互独立、傲视于科学之林的。“相容性”只是对公理系统内的诸公理的一种约束，如何会“采用了一个，就是否定了另一个”呢？当两只船各依各的公理系统航行时，又如何可以相互“否定”呢？你生的孩子你认，我生的孩子我认，别人的孩子肯定与你没有关系，但那毕竟是孩子！数学家们一点麻烦也没有生出。如果不存在所谓的相互“否定”的前提，那么“存在这样的数学问题，你无法简单地认为它是‘对’还是‘错’”就成了没有“所以然”之“看法”了。 任先生在认定了：“存在这样的数学问题，你无法简单地认为它是‘对’还是‘错’”之后，又说：“要判断‘数学是否最容易辨别是非’，就要拿数学与其它问题（学科？）作比较，要建立一套比较标准，......然后确认数学是其中“最容易”的。”问题是针对多学科的“是非标准”如何能够有？何况还有一个不真的“看法”作前提。但接下来任先生偷换了概念，谓之“如果没有标准，你是否能认为数学比逻辑学“更容易”辨别是非？”一个虚无子有的“标准”竟然决定了“数学是最易辨别是非的”命题没有生根之地，这就不真了。 看来任先生在理解“数学是最易辨别是非的”这句话有点偏差。辨别事物可以有量化的“标准”，也可以用非量化的一般“原则”，其包括各自的特色和各自对当代科学技术的影响程度等等。显然这儿判断“数学是最易辨别是非的”这一命题的真理性，可以采用非量化的一般“原则”，“原则”就在于如何反映“最易”。这个“最易”是综合比较后的最好结果，当然也有相对性在其中。于是，“数学是最易辨别是非的”说法，其真理性似从以下方面可以读出： 首先，数学的根基----公理系统建立的严密性是其他学科不能比拟的，欧氏几何公理系统与现实世界密切相关，其对数学的影响至功至伟，而代数公理系统的祖宗----自然数公理系统，在数学的风风雨雨中，也巍然不动，经受了考验。它们让人们在正确使用数学中，容易对产生的结果坚信不移。其次，数学结果的定量刻划，也是数学的一个最大的亮色，特别是数学模型对物质世界的定量计算，容易得到尽可能精确的结论，这很让其他学科青睐。也看到，在数字技术风靡的今天，数学一直在冲锋陷阵。另外，数学之一最大的特色在于其能在许多的问题中，判断其解的存在性及唯一性，这也属于容易“辨别是非”的一个方面，也是其他学科望尘莫及的。最后，通过数学研究来刻划物质的运动规律，相对于以试验为主的学科而言，其常能在物质运动的复杂因素中，只针对主要因子，放弃次要因素，从而容易抓住事物的本质。 有了上述种种理由，还在怀疑“数学是最易辨别是非的”这一命题的真理性吗？其实，对数学趋之若鹜的形形色色的科学门类，正广泛的应用数学的工具和数学模型，其他学科与数学模型的一次又一次的成功嫁接，形成了当今科学研究的热门方法。数学相对于其它学科，于“事物是非”判断的精确性、优越性以及可操作性上，确实要高出一筹。 当然也要看到“数学是最易辨别是非的”与“数学是一定能辨别是非的”是两个截然不同的命题，从而也看出华罗庚先生的这句话，还是留有一定余地的。作为中国数学界的先驱，华罗庚当然知道数学史上的1931年，25岁的哥德尔（奥地利1906－1978 ），严格证明了所谓的“不完全性定理”；随后，1963年，柯恩（美1934－）进一步完善了哥德尔的工作。在他们的理论中，给出了一个震惊世界数学界的结果：任何理论系统，都存在不可判断的命题；任何理论系统的无矛盾性，都不能在本系统获得证明。哥德尔和柯恩的世纪成就很让19世纪的数学大师希尔伯特大惊失色，其雄心勃勃之全盘公理化的计划即成泡影。如此看来，“数学是一定能辨别是非的”当然不真，而“数学是最易辨别是非的”真理性则是无懈可击的。不过必须指出：所谓的“不完全性定理”，断断不会成为那道高考“错题”的庇护神，一个事实上有结果的问题不属于“不可判断的问题”！这点不多赘。 也注意到了任心先生对数学的逻辑体系的些许担忧，有两点也提及。关于概率统计中的学派问题，比如贝叶斯学派之类，这涉及到概率论中的一个重要概念，即如何定义“概率”。其实，“概率”的公理化定义已得到广泛的认可，也为教科书广泛接受。事情没有完结，也正是在于公理化不是万能的，“不完全性定理”指明了公理化方法也有一定的局限性。因此有关公理化的思想还在发展中。 至于“数学的根基是否有一个坚固的体系”，这确实是一个天大的题目，从数学公理化的历史进程，到实数理论的建立，再到康托尔（德1845－1918）的连续统假设，以及哥德尔和柯恩先后共同证明的“不完全性定理”等，这些数学领域革命性的结果，一次又一次地维护着基础数学的根基，特别是19世纪末或更早一点以来，数学家们做出了许多卓有成效的基础数学工作，所有这些都刺激着全世界的数学家们不断地写出划时代的数学新篇章！ 由于文中涉及到一些基础数学的理论，笔下也是所知肤浅，不胜揣揣，就教于各位知者、智者，也包括任心先生。而关于那道见仁见智的“初等题目”，我断不会骑墙，错了就错了，认个错天就塌下来了吗？只是我实在不想再议那道数学题目，写这篇字就算我的一厢情愿了。

6 u, J% u2 D$ J, B' \7 e P) Y! z# m

jimin

good~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

jc

数学是最为精确的科学

没有半点含糊