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【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

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杨利霞        

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    发表于 2018-8-23 09:45 |只看该作者 |倒序浏览
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    ; j' S) ]7 B8 l! z6 D
    【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述% S1 K% x1 T9 K

      P- t9 M( k4 o
    1 I+ b; e; C* J7 i/ G: C一. 模型
    # Q) c6 [) N/ ]; \+ M. `1. 原型和模型, k' F- R* }4 o" [3 I- Y+ u
            原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
    + _: z7 T& E; f7 A! `! x# u1 I       按照模型替代原型的方式,模型可以分为物质模型(形象模型)和理想模型(抽象模型)。前者包括直观模型、物理模型等,后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
    3 A( h" @. G# T, F+ X       数学模型可以描述为,对现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据特有的内在规律,作出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。
    4 o0 B8 ]% n% d/ u2. 建模方法$ J! p; e' ]. ?# v5 P% g
            建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识,找出反应内部机理的数量规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统,通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析,按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
    # j( z5 E8 n9 v( D3. 建模步骤
    9 [1 G" m! d( l$ F) _" H        按机理分析方法的建模步骤如下7 c  a9 J1 P2 L

    2 E; F2 s# W3 `/ b; Z/ l: g6 w) `4. 建模过程
    5 s0 {! d  a+ T, _5 a6 u. L        按一般步骤,数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段,并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
    ! c# `" I0 o/ k. o
    & R9 F% B$ G: H8 f( p7 l* A, Q6 O
    & y. c% @7 R3 ~( J- n5 N5 b4 V+ E
    5. 模型分类
    1 e  B! h& D( s2 e% ]/ K        按建立模型的数学方法:初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
    ' P6 C( R7 |$ {9 I5 x        按模型的表现特性:确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。% l0 n3 t1 R+ }# f8 b
            按建模目的:描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
    % }6 P4 D2 i- s2 X9 d# y+ V+ T1 P        按对模型结构的了解程度:白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。) l4 e# |, {/ a  ]: L, u
    二. 系统辨识
    9 z( X* _* R4 r+ o        在科学研究和工程实践中,实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据,通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。& A6 F0 B% h  \: m/ y4 O
            系统辨识为:根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统,这个系统和所研究的实践系统等价。. E- E  j- t% H0 H+ {
    ' |0 |; t4 R; s/ \( K4 I
            系统辨识大致步骤:①模型类的选择;②实验设计;③参数估计;④模型核验与确认。
    5 b, d& f; ]1 \! l0 ?
    . ^# n7 A2 Z; Y" \

    6 S7 \& Q' \" u# _
    5 t& E8 p$ ?2 z, z0 L( v- |
    $ k; v. `4 t" k! D8 E" k! b. K) |" }: C7 c' n3 E

    ! Y& ^2 @2 Q  D# ~% T三. 机器学习4 ~  W# }' R# g
           机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息,它的主要任务就是分类,其中涉及的几个关键概念:①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何;②目标变量是机器学习算法的预测结果,在分类算法中,目标变量的结果类型通常是标称型的,而在回归算法中通常是连续型的;③知识表示可以采用规则集的形式,也可以采用概率分布的形式。* r9 _( q9 R# d( G% l, b
            机器学习的另一个任务是回归,它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习,是因为这类算法必须知道预测什么,即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习,此时数据没有类别信息,也不会给定目标值。在无监督学习中,将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类;将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。' h$ J, F- |3 {: m( C

      W# z! V& b( [. h! W/ g. E

    & {6 c1 t2 |( R' ~5 g# e4 w, B  L
    用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法& [& ]5 }0 Z- s  O: J2 Y0 y& f7 n

    4 z$ s, l% x# x0 h" V
    . ?' j: m7 |% p6 t9 o/ t" V3 {

    3 b2 _* y) c7 I$ E' P8 b0 h* {$ g* ~/ X' v- a  Z

    , q# n3 D' l, X" U+ I- O
      F4 n- I1 y- W1 a
            机器学习程序设计的步骤:①收集数据;②准备输入数据;③分析输入数据;④训练算法;⑤测试算法;⑥使用算法。
    " e  G* V; F: W4 {' F6 `
    6 }8 E" ]6 o. [+ {0 v% g参考文献:, }4 }5 ?# `3 r+ D
    1. 数学模型(第四版). 姜启源
    + T: v; Z7 M+ d% y1 X  v2 A3 k2. 系统建模与辨识 . 王秀峰+ A  V4 b& I% r, U+ G
    3. 机器学习(第九版)
    $ X" l! K$ ]8 c$ C7 ?( x$ g% P& Y
    ' N6 O2 g, q6 @7 A7 a& Q* e. E* j
    + B- h% R2 q# a9 H! U

    6 C: t& Z+ }6 Z0 @$ L
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