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【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

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杨利霞        

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    发表于 2018-8-23 09:45 |只看该作者 |倒序浏览
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    1 }; b+ f: j2 j, B$ K
    【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述. R/ z1 r) n) Z
    4 [4 o- R- V9 j3 E% h' M

    / ~5 m$ j, [1 ]. s  h, Y# r9 k3 G一. 模型1 C3 r/ o1 K( J2 H4 Y& C. e2 `" n
    1. 原型和模型
    1 ?) K% Z1 f1 V8 I$ L* `. X1 f# ?        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
    ( S& c* y3 ~7 H  @  L$ @7 B% s       按照模型替代原型的方式,模型可以分为物质模型(形象模型)和理想模型(抽象模型)。前者包括直观模型、物理模型等,后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。5 [5 b/ n/ R$ O3 _
           数学模型可以描述为,对现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据特有的内在规律,作出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。
    , B" a9 a) h$ K) B+ f$ ]2. 建模方法
    % W5 ]1 _/ Y5 N  _  H3 d% N        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识,找出反应内部机理的数量规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统,通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析,按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。; ^: y- P% c3 [
    3. 建模步骤
    + L1 b4 e. ~) |3 z. ], m" ]        按机理分析方法的建模步骤如下
      ~( @" R/ y" J: \7 n) l( x6 X+ ?% F2 B  K; S4 }: j
    4. 建模过程& H8 Y1 g6 N1 I( h: V6 q
            按一般步骤,数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段,并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
    / l# o3 ?* z5 p# }
    ! j8 a0 ?. J) j, U
    - Q' L; f$ k. J( G
    # U% {8 J7 R# w% c4 x  ?) y
    5. 模型分类8 r* a1 A: q# Y' V4 P. W. J4 i
            按建立模型的数学方法:初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。0 r  [' d+ o( p. n& y
            按模型的表现特性:确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
    3 m* N0 H2 s& N3 @" e        按建模目的:描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。, b/ D) y% m" N$ m  Y( j8 N
            按对模型结构的了解程度:白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。* k+ P: J0 o7 \0 h, Y
    二. 系统辨识& i: k0 C' o, F  k* i0 {
            在科学研究和工程实践中,实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据,通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。  H! C: A! x$ ?
            系统辨识为:根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统,这个系统和所研究的实践系统等价。
    8 f! Y+ b. s! [
    1 b  I& v; `9 B        系统辨识大致步骤:①模型类的选择;②实验设计;③参数估计;④模型核验与确认。
    9 h. _- x( Z% n3 [
    : n/ h% T/ x/ d" e3 q) |
    4 Z" O) o+ H" w9 }5 q4 U

    , \& p  b" c4 P  _! D, \9 H3 b- T% H/ K5 \
    - }0 P1 H  T* B! r% Q

    $ A/ @1 }" ?4 Z* y9 |三. 机器学习# u$ w1 x; x7 b; H6 d3 d
           机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息,它的主要任务就是分类,其中涉及的几个关键概念:①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何;②目标变量是机器学习算法的预测结果,在分类算法中,目标变量的结果类型通常是标称型的,而在回归算法中通常是连续型的;③知识表示可以采用规则集的形式,也可以采用概率分布的形式。0 w" p$ G  y1 j3 x. E
            机器学习的另一个任务是回归,它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习,是因为这类算法必须知道预测什么,即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习,此时数据没有类别信息,也不会给定目标值。在无监督学习中,将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类;将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。& v1 U, a  j7 Q5 u8 `

    / D# B' [. o" Y$ i/ c4 [. o3 F- N

    / z, {$ k+ R) B0 q- n1 I- }; O
    用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法; t  d& G7 Q' u

    / `. r; v! H$ \4 }. ?  P5 q" }( e2 P
    1 l. @# X" M, K! y# R3 W

    . b4 q" g9 a( @
    + }5 O; Q  T3 i1 d! ^6 X3 K; H6 A4 h( w

    $ u& |. U6 e$ l" K  h; `# u) x        机器学习程序设计的步骤:①收集数据;②准备输入数据;③分析输入数据;④训练算法;⑤测试算法;⑥使用算法。; M3 E( Z% j  D* l6 G; i, @4 r
    ! f2 E) r$ n5 e8 ?
    参考文献:
    + K7 a$ g( R# P& ~0 e, Z1. 数学模型(第四版). 姜启源
    7 @8 n# Q$ G8 _& n2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
    8 Y& V- j! [) w% |1 T% o3. 机器学习(第九版)
    + ]. _5 p1 _; H  n
    % A4 O1 r( p# R7 D1 {& ]- s
    % Q% D& Z: g3 O9 g" s/ ^

    4 M% T7 V- K# f/ c# ~4 D- ~3 s8 O
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