数学建模竞赛必须要掌握的十个算法

佛自业障

, H- S. z: k3 B5 W数学建模比赛是本科生和研究生阶段最重要的比赛之一，包括全国大学生数学建模竞赛（俗称“国赛”）和美国大学生数学建模竞赛（俗称“美赛”）。在这些比赛中取得好成绩，不仅有助于保研、有助于找工作，更重要的是形成科学的思维模式。下面列举了十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。

01

) I, h* \# C& g1 O$ Y/ S  r1 W8 h

蒙特卡罗算法

1946 年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家 JohnvonNeumann, Stan Ulam和 Nick Metropolis 共同发明了蒙特卡罗方法。
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
( S. }8 G+ U( S% |
2 C; U  K! R' |$ x由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
/ ?. N* Q) E) N: R! |. J
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
9 T, G! r, y/ X4 f
8 s3 }: ^: R; x6 h当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
; Z) G; s+ v8 a% D) W, Q* ?
举个栗子，直观了解蒙特卡洛方法：

假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如：积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
" i6 t: h4 q. j! K
; ?( Y, f" s9 ^9 p; t

3 t: N) r! F7 V2 F/ K' {蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。

" ~( S. ~3 y9 P( z' ^$ C9 u& c蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：

a、直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解；
) W) w* `6 Q) v* l
4 ^' P& \/ A1 |( I' ub、采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律；
3 n# X. [! G" C; e) C1 a* ]
/ M/ u* A3 ]; Qc、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法等等
' J( K+ R6 B. Q8 r; L" y

02

数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法

我们通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用 Matlab 作为工具。
' D+ k5 m2 o4 T# Z& d; h
/ g' h0 z, Y$ e* {* |% [& P% j数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是 98 年数学建模美国赛 A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年 A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
5 O0 a3 @: i5 d) e, Z$ T
& a/ k6 X) B; y( {6 Z! F

2 h2 f, A" n' c: r此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉 MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
' y; n$ g% Z" a1 i9 H
' m  ?! K1 k( ]! R6 d1 l" h+ D% O6 i4 `

03

: k# Y; @6 [' I% e; Q1 t

线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题

4 [) O1 ]' c! {" a数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题。

$ g' W; e1 I' V" D遇到这类问题，求解就是关键了，比如 98 年 B 题，用很多不等式完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还需要熟悉这两个软件。

* Q9 {" N9 A5 R$ v5 w0 p

04

+ V* \8 w5 C$ u/ ^' ]* E9 w

图论算法

& j8 p" W7 A) \* Y9 j+ _. L1 u
& n1 M  Y/ x9 k+ A. n# [这类问题算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等问题。
( K! J0 \9 n+ y5 B+ Y% P# x
关于此类图论算法，可参考 IntroductiontoAlgorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。

1 `* T1 M0 K  ?7 O

: S3 o% R6 m4 Y# k0 K# d

( S8 z$ j3 [) q# V8 g. \2 |

05

9 R+ X2 t9 ]0 @3 j: H+ }) ^

动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法

. F5 L8 F- u! _$ ~
在数学建模竞赛中，如：92 年 B 题用分枝定界法，97年 B 题是典型的动态规划问题，此外 98 年 B 题体现了分治算法。

这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
7 [. i! ^7 Q3 f/ l! u& f
$ _4 m4 e8 ?, `! v: S

06

$ ?8 m6 g5 `1 }7 h* V0 ^+ x" A

最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法

这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
9 d0 \1 z8 L" p- v
在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题的模拟退火算法，00 年 B 题的神经网络分类算法，01 年 B 题这种难题也可以使用神经网络。
$ z  B9 q7 ~& o- W: a" S) J
还有美国竞赛 89 年 A 题也和 BP 算法有关系，当时是 86 年刚提出 BP 算法，89 年就考了，说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
4 P) ~& V  L2 v) \# _' L: u) ]
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。



07

网格算法和穷举法

! z3 O0 r; F/ e# a网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。

比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，比如在 [a;b] 区间内取 M+1 个点，那么这样循环就需要进行 (M+1)N 次运算，所以计算量很大。
  a. k7 w/ B% |" \7 i
& H- e) k3 g! K4 d! ?- F& N! |( E在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用MATLAB 做网格，否则会算很久。


: E& x- i' z, D( E4 x
+ y3 K+ D2 m# d0 }% z) {0 C穷举法大家都熟悉，自不用多说了。
% p) T+ i5 K1 H9 u) A
; I  V. _# B! @2 H) O/ C0 O" P

08

一些连续离散化方法

. T, W" D  t  F/ n' w$ F7 t4 s
( h, W, F2 @6 M, M7 g. D  j大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。

- c% m/ [* i4 f& @( r这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
5 Z3 x( [% r/ o. b0 }

09

4 I% Q' U# k  ^; I5 r6 W1 v; {

数值分析算法

% r* c" P! Y/ k$ O) q
数值分析（numericalanalysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的算法。

" f& y/ E1 S% R! I, M如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
2 T) @) i: Z& W6 W+ k% h5 s
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB、Mathematica，大可不必准备，因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

+ n7 f4 X1 D7 C- d/ {* f: w

10

: j' A% n7 ^* ?/ L; A+ I
% J7 |- M/ q, I# L, I" N

图象处理算法

在数学建模竞赛中：比如 01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值计算，03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把 MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。

+ Z9 x* S4 p) k& Q. |
. o1 _3 ]3 w. [
& v' M* d0 b" x6 j/ d- `! @6 h/ E6 l

GsBush23

说的太好了。。
) W( B- m( p: }; U5 h3 e

pazq18

楼主的帖子怎么样？赶紧试试这里看样子是好东西啊的快速回复给楼主点评论吧
# ]+ \$ J: }# F1 e: M