【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

x1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

+ M3 R( O! f# n其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。

例如：
6 V0 A. ]4 R4 @+ u9 rmax  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
matlab中为：
min  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
  n/ J9 y/ P/ z, T! F9 [3.线性规划中解的概念

- m1 {- d& z6 c4 T. f8 R可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
- `' w! B; M4 \7 C; ^可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

4.一般的线性规划问题
" n) P3 V  G/ e+ D0 ~- V& R
在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。
1 {, y5 U$ V/ A
) s) ~: a6 v" @% T9 }! e5.matlab中线性规划求解过程

① 利用linprog函数返回最小值解向量。
6 J6 u  Q/ N+ u* A8 Y& z& z② value = c’ * x求最小值。

% O: m* T" w  b4 w- P% p" t基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
; L) U0 c% z- L4 h( b其他的函数形式：
: H6 J4 ?8 K- _5 k$ F[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
x0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。
/ c5 v# G* M; O' x; x+ {$ Z
6.常见技巧

, I$ g% |6 }+ T/ V问题为：
& m3 R/ k" t% d+ N# g
min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
xi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
6 I$ A1 _# R, n# @! j令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。

转换为：
min  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
% i8 J4 J  c+ Y: a7.运输问题（产销平衡）

7 |; Z4 v0 U% j& X4 z
+ ^$ s5 C! o# K: H1 W9 e" b- w) q: a

8.指派问题

1.数学模型
# H. B! g" k$ E6 U# E, E9 S

7 @8 B4 ]8 {- s6 e3 X- P, Q2.利用匈牙利算法
算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
- |$ w+ \  V6 S. O: j6 u( L4 \; B求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。

$ R9 @- ~* k% _" `  R8 j. F( b- j