【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

) X3 r) P+ M7 ]7 N% Ox1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。
0 b% v& m6 y* z& b$ b) O+ ]

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

! o+ `! m) d3 s% X2 E( u8 D
/ G* z$ d# f; [其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。

1 F3 ]. b( ~3 B' k) A5 ]( _7 @+ N例如：
  M5 x5 p& _3 |0 b7 {" @. qmax  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
matlab中为：
min  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
3.线性规划中解的概念
9 p$ ?2 \4 d; ]9 v: ]
+ I- r, E# s: }+ g! m" F# L& f* @可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

* I. D: W9 N' |3 G4.一般的线性规划问题
1 b5 `3 b. r; t% j
在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。

5.matlab中线性规划求解过程
& \$ c) p% d: K
) i2 g2 Q, Q) h① 利用linprog函数返回最小值解向量。
② value = c’ * x求最小值。
/ U" }! A( U! f+ C  t1 h2 C* a* j
基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
其他的函数形式：
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
* A/ D( e) d5 f; Y- i" Wx0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。
2 }/ W$ _- R& `  f* }2 j, I* V
6.常见技巧

问题为：
# w) ^- e) G! Q% d6 h% U( t
min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
- t- i1 _4 w( z9 |事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
* w6 F3 L1 O/ pxi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
2 p+ [7 G9 n' [0 f令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。
7 X' i) _: a9 \! H8 o- D5 L
' h7 A, j$ l; e% ]0 c+ U转换为：
min  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
9 W" j( w) u2 X9 Y4 ?s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
2 `. g1 d2 p( H5 z& s6 w& r7.运输问题（产销平衡）

. {1 A/ }4 Z3 j" B' H6 t( [
- z* D! R% r- d+ M, k, B( i% i

8.指派问题

1.数学模型

; O: W$ ?7 ^5 i; Z8 b
) W" J+ |' P5 A0 u: d; x2.利用匈牙利算法
算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
2 M6 N' z$ }( b7 B, g最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。
, V+ n! ]/ D, t- D$ Z" Z+ K3 L
& h) k' m1 b9 H, N  {# G" P& B4 u
- V- H3 v( r3 j1 k