数学建模学习笔记（6）用积分思想建模

佛自业障

数学建模学习笔记（6）用积分思想建模
5 h+ N* O$ g  ~- J
/ T& C' {) j3 Q$ r; g产生积分思想的源头问题：
0 O% Q' r& l9 D0 L) S
" G. h! f$ w' o- I# n    求曲线长；求曲线围成的面积；求曲线围成的体积；求物体的重心；两个物体间的引力

9 B: D6 b1 _* w5 I
7 _$ u% r4 Q, G8 X3 v& o$ R% d1 c    一维空间：求密度为ρ(x)占据（0，l）线段的直杆的质量
: g. c/ @1 r2 k- P1 e
& P3 o. f6 m* S) ?8 y6 p
* X3 l, T' u& ~                     把一根直杆分割成无数小区间，每个区间的密度看作常量，求积分
% O) }+ [2 Z& N/ N! Q5 j0 L1 z! F

    二维空间：求密度为ρ(x,y)占据Ω平面的薄平板的质量

7 V1 O( S) ^# h, W/ \- m
' D1 Z6 L. K  d8 w& x7 }    三维空间：求密度为ρ(x,y,z)占据G空间的物体的质量
+ }, t) A0 I4 J& y, |1 S$ @+ P+ s5 T
这些方法不止适用于物理量，还可以推广到自然科学和社会科学，比如人口出生密度，交通车流密度等可以用于求总量。

案例

消费者愿意付出的价格p=D(p)，q为需求量，p是q的减函数（类似反比例函数）

" u8 x7 R  K; r消费者对价格为p*的商品的购买量为q*时  愿意付出的金额为曲边梯形面积A=∫0→q* D(q)dq

: z  U$ `: u, P+ p6 K实际付出的金额为Ao=p*q*
+ z# L4 n6 s/ ^; ]9 P
: g4 a6 j- ^8 m/ P1 H6 k消费者剩余=愿意付出的金额-实际付出的金额

即CS=A-Ao=∫0→q* D(q)dq-p*q*
* C" e+ {. N% ~2 V" t
3 p4 K/ q# u- e1 H
; V: _+ c6 y% b. e
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