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数学建模学习笔记(6)用积分思想建模

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    发表于 2018-10-31 08:46 |只看该作者 |倒序浏览
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    数学建模学习笔记(6)用积分思想建模3 Z8 A3 v: e- [0 |8 J: R/ D8 F: G
    + O; U( M3 a# M
    产生积分思想的源头问题:
    $ Q$ c2 v& c. Y& x) T& _% i, l! ]9 h- L3 u3 U& l( x! V! W' X8 J- ]
        求曲线长;求曲线围成的面积;求曲线围成的体积;求物体的重心;两个物体间的引力) ]' M! P1 _3 `2 n( r

    ! Q4 ]4 \/ S$ a6 y6 w4 Y% `" B& |4 o$ h6 [- k+ A
        一维空间:求密度为ρ(x)占据(0,l)线段的直杆的质量1 m0 t: S$ x8 o

    6 v5 {2 q( a  Q, j: d* s
    * ]- {3 L' n6 q' S& A                     把一根直杆分割成无数小区间,每个区间的密度看作常量,求积分
    . i9 t; _8 {$ q6 S! j2 ~3 l
    6 F$ ^4 W. _& Y4 q1 G/ u4 Y2 y- q2 o/ {) @2 _& I
        二维空间:求密度为ρ(x,y)占据Ω平面的薄平板的质量7 d" l/ M! L) `$ ^/ j% x3 p
    & f0 a6 ~" ?6 g- T

    ; `8 k, A" t' k$ n+ ~5 s. r" U    三维空间:求密度为ρ(x,y,z)占据G空间的物体的质量- b5 O9 a; r3 V! m0 R" u) J: m
    # M9 o) \( T$ b
    这些方法不止适用于物理量,还可以推广到自然科学和社会科学,比如人口出生密度,交通车流密度等可以用于求总量。
      o0 K* O' N+ M5 L
    3 s5 b( m/ ]' S! J案例! E7 \5 E: r6 G

    1 m, ]3 R/ g& F) L6 I) e( n9 t消费者愿意付出的价格p=D(p),q为需求量,p是q的减函数(类似反比例函数) ; a! Z; {" W! h4 h0 w- s' H' {# B
    + ]2 v$ K1 S' R; M
    消费者对价格为p*的商品的购买量为q*时  愿意付出的金额为曲边梯形面积A=∫0→q* D(q)dq
    . a. z/ h+ ^' R! O+ H5 [, p) T% c' c# K0 Z* x- b8 q+ n/ ]
    实际付出的金额为Ao=p*q** O% @9 I' _% w$ p

    7 _; a& x4 M' H1 V消费者剩余=愿意付出的金额-实际付出的金额+ @( K2 T# W' c4 d6 _& @* T
    3 @7 ^! y0 ~5 g6 t
    即CS=A-Ao=∫0→q* D(q)dq-p*q*
    ; R7 t0 A7 G0 x% w5 E1 Q4 e+ N, j! o$ L2 Y/ u' d, h! P7 A

    $ S7 \$ y% H/ P& @/ o9 F3 n% j  K; J! H+ c( \$ v

    # J! K6 n% F3 B/ m
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