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数学建模学习笔记(6)用积分思想建模

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    发表于 2018-10-31 08:46 |只看该作者 |倒序浏览
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    数学建模学习笔记(6)用积分思想建模
    5 h+ N* O$ g  ~- J
    / T& C' {) j3 Q$ r; g产生积分思想的源头问题:
    0 O% Q' r& l9 D0 L) S
    " G. h! f$ w' o- I# n    求曲线长;求曲线围成的面积;求曲线围成的体积;求物体的重心;两个物体间的引力$ N7 w- [+ z6 u8 ~/ P: y1 h; R

    9 B: D6 b1 _* w5 I
    7 _$ u% r4 Q, G8 X3 v& o$ R% d1 c    一维空间:求密度为ρ(x)占据(0,l)线段的直杆的质量
    : g. c/ @1 r2 k- P1 e
    & P3 o. f6 m* S) ?8 y6 p
    * X3 l, T' u& ~                     把一根直杆分割成无数小区间,每个区间的密度看作常量,求积分
    % O) }+ [2 Z& N/ N! Q5 j0 L1 z! F: {( q) R% ]$ q5 f: j
    " |. i3 ]: J' ?) }& y
        二维空间:求密度为ρ(x,y)占据Ω平面的薄平板的质量- q% P) `  g& W

    7 V1 O( S) ^# h, W/ \- m
    ' D1 Z6 L. K  d8 w& x7 }    三维空间:求密度为ρ(x,y,z)占据G空间的物体的质量
    + }, t) A0 I4 J& y, |1 S$ @+ P+ s5 T; F8 V1 a) u6 v6 C$ y
    这些方法不止适用于物理量,还可以推广到自然科学和社会科学,比如人口出生密度,交通车流密度等可以用于求总量。% M* [( c8 t2 w. T
    ' ~* o0 d  u( Y: r7 @; G$ H8 ^
    案例4 ]. A1 k% @3 N2 e
    : @# V+ a3 M* y& A7 u5 p* K, U- K
    消费者愿意付出的价格p=D(p),q为需求量,p是q的减函数(类似反比例函数) 0 ?2 y0 z) y/ ^

    " u8 x7 R  K; r消费者对价格为p*的商品的购买量为q*时  愿意付出的金额为曲边梯形面积A=∫0→q* D(q)dq& w: ^* r5 D, ~

    : z  U$ `: u, P+ p6 K实际付出的金额为Ao=p*q*
    + z# L4 n6 s/ ^; ]9 P
    : g4 a6 j- ^8 m/ P1 H6 k消费者剩余=愿意付出的金额-实际付出的金额  e% t0 I3 V2 J9 d! G) q
    # j" ^  m3 {, c
    即CS=A-Ao=∫0→q* D(q)dq-p*q*
    * C" e+ {. N% ~2 V" t
    3 p4 K/ q# u- e1 H
    ; V: _+ c6 y% b. e
      z% r) P- r- h! f; R7 }1 F$ @: m, C8 a8 `
    zan
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