数学建模学习笔记（6）用积分思想建模

佛自业障

数学建模学习笔记（6）用积分思想建模

& M- c6 K3 J! o9 o产生积分思想的源头问题：

7 C0 h5 e8 K& z5 B3 C  r/ g1 t) E    求曲线长；求曲线围成的面积；求曲线围成的体积；求物体的重心；两个物体间的引力
& L2 C; N, Q3 W8 h: w* d

  g' k, [7 U- @5 j/ a: A- y5 e/ E    一维空间：求密度为ρ(x)占据（0，l）线段的直杆的质量
; t$ t& O' ^  P9 A- J5 v0 l1 k" |
7 l: u3 W- Z* a& t) L2 B
                     把一根直杆分割成无数小区间，每个区间的密度看作常量，求积分
8 @% h; v0 \% m6 `  s

    二维空间：求密度为ρ(x,y)占据Ω平面的薄平板的质量

! B1 Y  N; u8 C7 w- v
) `  k! L/ _. ?& p+ n    三维空间：求密度为ρ(x,y,z)占据G空间的物体的质量

6 P! I/ Q3 m9 ?) X- F这些方法不止适用于物理量，还可以推广到自然科学和社会科学，比如人口出生密度，交通车流密度等可以用于求总量。
6 U0 M; o, x6 T; f5 _* c
4 |3 A, F8 |+ I) |案例
( g) a/ }. E3 k% T) c7 \6 _; d% u
: ?! E1 F" g5 G$ d$ g消费者愿意付出的价格p=D(p)，q为需求量，p是q的减函数（类似反比例函数）
8 s  ^- y! K( m
! F8 l. H% I+ {! J9 b4 W/ [消费者对价格为p*的商品的购买量为q*时  愿意付出的金额为曲边梯形面积A=∫0→q* D(q)dq
( n: o9 F/ U& b
  L, @" M# \' d0 C" T5 j) o0 Z+ b, x实际付出的金额为Ao=p*q*
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% ~# J$ e1 s2 ~& W* F2 `消费者剩余=愿意付出的金额-实际付出的金额
1 m, a# G% m6 h' L. O! _5 J
" C( Z. z8 [) g! E/ C4 ?即CS=A-Ao=∫0→q* D(q)dq-p*q*


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