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数学建模学习笔记(5个静态优化实例分析学习)) Z% p6 b! A4 [1 F: ^
静态优化模型(微分法建模,求导得目标函数最优解)
+ g+ F9 x3 ?7 X/ M' r, J* D+ l/ ^& n; d. q: ]- `8 b
$ q1 i6 _$ x# C& }
3 ?% q* f0 e" g+ N" k
现实世界中普遍存在着优化问题;静态优化模型指求解问题的最优解;重点是如何根据目的确定恰当的目标函数;一般使用微分法。) d6 S, R2 \) D! q) U
1. 存储模型:存在某种矛盾,寻找平衡最优点!
o% o* F5 b) W2 f& Na) 问题描述:配件厂为装配生产若干中产品,轮换产品时因更换设备要付生产准备费,产量大于需求时因积压资金要付存储费,该场生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出。- i2 m8 |/ K( D3 ?7 `7 F
b) 问题存在:今已知某产品的日需求量为100件,生产准备费5000元,存储费为每日每件1元。试安排该产品的生产计划,即多少天生产一次(生产周期)?每次产量多少,使总费用最少。) H7 U6 t5 Q- B4 v; z( M
c) 要求:不止回答问题,而且要建立生产周期、产量与需求量、准备飞、存储费之间的关系!0 |$ d. Q% i2 |. {2 A
d) 问题分析:
, ?6 L6 ~1 u8 @* ~首先,对于我们来说,应该先找到问题所在,即造成当前无法做决定的原因是什么?1 {4 M5 y: x3 P- s- ^5 t9 l
这道题的原因为:
, l/ Z- h( t& F! [# S; B8 F周期短,产量小:存储费少,但准备费多。7 G: L6 m* L) W4 ~5 a
周期长,产量大:准备飞少,但存储费多。
4 p: b; P) C' M- xe) 分析求解:
" q1 z* f( o) n/ a8 A. D i. 模型假设0 O" B: |* u/ t8 t7 X5 H: [4 B! u
ii. 目标函数:每天费用的平均值最小
' N- ~; ~, G7 L+ O& A0 P8 ^ iii. 模型建立:离散问题连续化7 v0 L8 J! S) N% x8 x3 S! S# i
iv. 模型求解:得出目标函数,求解当周期T为多少时,可以获得最优解,可以使用matlab等软件进行求解!
: N7 ~) t3 e7 `5 S# C" a: P v. 模型分析:说出T的变化讲引起目标函数如何进行变化!
7 K9 g( B$ G2 [' s, o8 Cf) 进一步建模:如允许缺货时又需要怎样进行建模?& Z& u( ` U. M5 R( f
2. 森林救火0 l4 I5 h; \. e5 t2 w
a) 问题描述:森林失火后,要确定派出消防队员的数量- ]. V! p8 Q3 U" D( F, ~
b) 矛盾:
8 `0 ]+ [& q1 f2 J! P i. 队员多,森林损失小,但救援费用大; U+ l4 T3 @1 Y3 m/ i
ii. 队员少,森林损失大,但球员费用小。; W# _; `/ j9 V k; W/ }8 E
综合考虑损失费和救援费,确定队员数量。
8 z: u3 Q# R6 P$ F8 [" m# Ac) 问题分析:2 G( _# f7 J2 [3 L
i. 合理假设:火的蔓延方式等;1 Q/ h) x6 r2 D2 K
ii. 模型建立了,列出总费用的函数模型;
& s+ o e' H# Y8 R# C( j& s% {% D" { iii. 利用数学软件进行模型求解;
; t3 A& Q# k# K O8 ~( i ~! i/ e iv. 进行解释。
, h/ z/ m: S; g3 W' K 与存储模型十分像,都是求解存在某种矛盾情况下的最优解。, r/ P% V- N& ]
3. 最优价格
" m9 X5 t. I6 n) F" [( Ka) 问题描述:根据产品成本和市场需求,在产销平衡条件下确定商品价格,使利润最大。
) r, Q& f) }+ S! ]b) 问题假设:产量等于销量:x;收入与销量成正比;销量依于价格p是减函数;等
* n, M: q. _7 N$ R$ }5 Zc) 建模与求解) h2 F9 u+ N* g7 Q& b2 t7 P
d) 如果进一步分析,可以少一些之前的假设,进行另外的一些分析建模。. B w' B/ [0 t5 f
4. 消费者均衡:$ i% y* H4 r* @' Q# I
a) 问题描述:消费者对甲乙两种产品的偏爱程度用无差别的曲线族表示,问他如何分配一定数量的前,购买这两种商品,以达到最大的满意度?6 S: x; Y, o* b& U; f7 g+ y9 `" V+ T u/ u
一样是最优化的问题,不多做解释了,,,
3 s3 j$ r9 H+ A2 H+ \- o+ ib) 可以进行的优化:考虑如何推广到m(>2)种商品的情况!
. D. n( n, ?" c( ~3 v2 N' t
" B \: l3 m& S+ [. u5. 冰山运输% @3 M d0 m% F" ?9 V
a) 问题描述:某地区缺水,淡化海水的成本为每立方米0.1英镑;专家建议从9600千米远德南极用拖船运送冰山,取代淡化海水,试从经济的角度研究冰山运输的可行性。
& w J7 z8 N Y& j2 O4 mb) 建模准备:加入进行运输,则需要的一系列的成本计算,最终建模求得成本表达式。
0 [' i) r! W1 x, Oc) 之后进行建模分析。; Z' g$ m8 [7 a' F! G
d) 结论分析:只有当计算出的成本显著低于淡化海水的成文时,才考虑其可行性!: m, O4 S% o* T, N5 Z3 Y5 I
重点在于建模时,要充分考虑不可忽略的种种因素:如冰山融化、燃料、租凭费用等。
' u( w) H5 b4 r$ r4 Q总结:
# ]+ y* V& I+ t# r [1. 存储问题:存在某种实际矛盾,不知如何安排。需要寻找平衡最优点! q/ r7 ^2 W* t- |
2. 森林救火:与存储问题一样,都是解决某种存在矛盾。
) [. g, V5 f% l _, ^( P3. 最优价格:一样,求解最优问题,重在前提假设要合理。
8 [3 e: f: T& O4. 消费者均衡:考虑推广优化。* a8 w$ G8 {$ s$ x; G) z2 F& y
5. 冰山运输:考虑不可忽略的多种因素损失。
+ S) g: K1 J) [, h1 h$ v/ F7 Y' K1 A# l
1 \* \. p% b4 Q8 f
" m+ F/ }5 x5 q! f; y1 B0 w$ ^" \. G
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