数学建模学习笔记（5个静态优化实例分析学习）

佛自业障

数学建模学习笔记（5个静态优化实例分析学习）
" Q- ?7 B( I5 j静态优化模型（微分法建模，求导得目标函数最优解）
! i, m9 r; o" f; i

* F: _0 U0 J' Y8 |- x      
现实世界中普遍存在着优化问题；静态优化模型指求解问题的最优解；重点是如何根据目的确定恰当的目标函数；一般使用微分法。
% c* }! F$ h7 c1.    存储模型：存在某种矛盾，寻找平衡最优点！
) Z, t2 F- m6 d6 {! i, b8 h& ]a)      问题描述：配件厂为装配生产若干中产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时因积压资金要付存储费，该场生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
. M% `" Y( W* R7 O6 kb)     问题存在：今已知某产品的日需求量为100件，生产准备费5000元，存储费为每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期）？每次产量多少，使总费用最少。
c)      要求：不止回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备飞、存储费之间的关系！
# y) `$ {- m/ S1 S# Td)     问题分析：
5 W/ Y+ U3 v/ N! j) ]" J: M4 H, T首先，对于我们来说，应该先找到问题所在，即造成当前无法做决定的原因是什么？
这道题的原因为：
8 T/ Q- p6 L0 ^$ L% K# l7 I8 R周期短，产量小：存储费少，但准备费多。
# b7 M- u$ v) t+ \8 D7 w周期长，产量大：准备飞少，但存储费多。
e)      分析求解：
3 u4 H- l% k5 p! C. D" I                     i.           模型假设
$ w# |& b6 V3 Y- @. h9 U                   ii.           目标函数：每天费用的平均值最小
9 X. e' o& \1 {& @4 j! F& }                  iii.           模型建立：离散问题连续化
                  iv.           模型求解：得出目标函数，求解当周期T为多少时，可以获得最优解，可以使用matlab等软件进行求解！
: Z/ b$ P$ z' B! k, }                   v.           模型分析：说出T的变化讲引起目标函数如何进行变化！
, l% N* `/ |% {6 h# L7 g6 k1 |f)       进一步建模：如允许缺货时又需要怎样进行建模？
/ x7 ^' q. t5 @) ]+ n2.    森林救火
a)      问题描述：森林失火后，要确定派出消防队员的数量
b)     矛盾：
" E6 _, ^5 s0 ^+ u$ h7 D                     i.           队员多，森林损失小，但救援费用大；
                   ii.           队员少，森林损失大，但球员费用小。
综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。
c)      问题分析：
                     i.           合理假设：火的蔓延方式等；
; M& @) W+ y( R. f) ^. t9 L/ A                   ii.           模型建立了，列出总费用的函数模型；
: ^, a' d% N! a6 Q: P3 I6 F  i: {9 q                  iii.           利用数学软件进行模型求解；
# n! l- m. c. s; ?' s  l. J$ Q                  iv.           进行解释。
* W4 @- y2 b$ F/ B 与存储模型十分像，都是求解存在某种矛盾情况下的最优解。
3.    最优价格
$ l# |1 i( w6 u' i4 Z: d5 s: ua)      问题描述：根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大。
; F+ r' E4 d, E1 p, H7 p+ Ub)     问题假设：产量等于销量：x；收入与销量成正比；销量依于价格p是减函数；等
! s3 g. W, Q2 F5 \c)      建模与求解
  [* Q' W% p) z# td)     如果进一步分析，可以少一些之前的假设，进行另外的一些分析建模。
: B6 u& A% Q: V4.    消费者均衡：
4 s& J8 A. V  j5 v+ X, N" ua)      问题描述：消费者对甲乙两种产品的偏爱程度用无差别的曲线族表示，问他如何分配一定数量的前，购买这两种商品，以达到最大的满意度？
. b* o6 i, t+ J一样是最优化的问题，不多做解释了，，，
0 D; T' g- w2 {b)     可以进行的优化：考虑如何推广到m（>2）种商品的情况！

5.    冰山运输
' L- \( k( R5 `- D, N: }0 Za)      问题描述：某地区缺水，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑；专家建议从9600千米远德南极用拖船运送冰山，取代淡化海水，试从经济的角度研究冰山运输的可行性。
( t$ V! x5 s3 L2 m+ zb)     建模准备：加入进行运输，则需要的一系列的成本计算，最终建模求得成本表达式。
" E8 F, b! f6 a+ o: Wc)      之后进行建模分析。
# T! Q- g" }/ w# z6 _$ @/ Y  ed)     结论分析：只有当计算出的成本显著低于淡化海水的成文时，才考虑其可行性！
重点在于建模时，要充分考虑不可忽略的种种因素：如冰山融化、燃料、租凭费用等。
总结：
1.    存储问题：存在某种实际矛盾，不知如何安排。需要寻找平衡最优点！
2.    森林救火：与存储问题一样，都是解决某种存在矛盾。
5 v- g7 a; u3 D  K$ s) e3.    最优价格：一样，求解最优问题，重在前提假设要合理。
4.    消费者均衡：考虑推广优化。
( l; Q) c- b+ r7 w( L2 u5.    冰山运输：考虑不可忽略的多种因素损失。


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