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数学建模学习笔记(5个静态优化实例分析学习)
" Q- ?7 B( I5 j静态优化模型(微分法建模,求导得目标函数最优解)
! i, m9 r; o" f; i! G; p) ~$ [( n+ l1 E4 e; a
* F: _0 U0 J' Y8 |- x ; Q$ z2 d' P& K7 n
现实世界中普遍存在着优化问题;静态优化模型指求解问题的最优解;重点是如何根据目的确定恰当的目标函数;一般使用微分法。
% c* }! F$ h7 c1. 存储模型:存在某种矛盾,寻找平衡最优点!
) Z, t2 F- m6 d6 {! i, b8 h& ]a) 问题描述:配件厂为装配生产若干中产品,轮换产品时因更换设备要付生产准备费,产量大于需求时因积压资金要付存储费,该场生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出。
. M% `" Y( W* R7 O6 kb) 问题存在:今已知某产品的日需求量为100件,生产准备费5000元,存储费为每日每件1元。试安排该产品的生产计划,即多少天生产一次(生产周期)?每次产量多少,使总费用最少。0 I& M- B7 w- L9 E W( L) t
c) 要求:不止回答问题,而且要建立生产周期、产量与需求量、准备飞、存储费之间的关系!
# y) `$ {- m/ S1 S# Td) 问题分析:
5 W/ Y+ U3 v/ N! j) ]" J: M4 H, T首先,对于我们来说,应该先找到问题所在,即造成当前无法做决定的原因是什么?' Z$ v5 V3 S; a
这道题的原因为:
8 T/ Q- p6 L0 ^$ L% K# l7 I8 R周期短,产量小:存储费少,但准备费多。
# b7 M- u$ v) t+ \8 D7 w周期长,产量大:准备飞少,但存储费多。" q1 ?1 `' S3 w) Q" {" a
e) 分析求解:
3 u4 H- l% k5 p! C. D" I i. 模型假设
$ w# |& b6 V3 Y- @. h9 U ii. 目标函数:每天费用的平均值最小
9 X. e' o& \1 {& @4 j! F& } iii. 模型建立:离散问题连续化8 E* H8 s% t6 ~; A
iv. 模型求解:得出目标函数,求解当周期T为多少时,可以获得最优解,可以使用matlab等软件进行求解!
: Z/ b$ P$ z' B! k, } v. 模型分析:说出T的变化讲引起目标函数如何进行变化!
, l% N* `/ |% {6 h# L7 g6 k1 |f) 进一步建模:如允许缺货时又需要怎样进行建模?
/ x7 ^' q. t5 @) ]+ n2. 森林救火* s2 R6 e3 M1 h' E% G. {- G
a) 问题描述:森林失火后,要确定派出消防队员的数量& g# |& S& r V4 B9 X& c0 e
b) 矛盾:
" E6 _, ^5 s0 ^+ u$ h7 D i. 队员多,森林损失小,但救援费用大;9 G9 H; E/ P" i8 v: j6 `
ii. 队员少,森林损失大,但球员费用小。) H0 V- X9 E6 x9 q! N# B
综合考虑损失费和救援费,确定队员数量。# A$ f2 j' x1 R+ y# L
c) 问题分析:* O$ h$ D" R3 p; u
i. 合理假设:火的蔓延方式等;
; M& @) W+ y( R. f) ^. t9 L/ A ii. 模型建立了,列出总费用的函数模型;
: ^, a' d% N! a6 Q: P3 I6 F i: {9 q iii. 利用数学软件进行模型求解;
# n! l- m. c. s; ?' s l. J$ Q iv. 进行解释。
* W4 @- y2 b$ F/ B 与存储模型十分像,都是求解存在某种矛盾情况下的最优解。+ A! a; n% [2 w: P4 [5 P. ?4 r* T
3. 最优价格
$ l# |1 i( w6 u' i4 Z: d5 s: ua) 问题描述:根据产品成本和市场需求,在产销平衡条件下确定商品价格,使利润最大。
; F+ r' E4 d, E1 p, H7 p+ Ub) 问题假设:产量等于销量:x;收入与销量成正比;销量依于价格p是减函数;等
! s3 g. W, Q2 F5 \c) 建模与求解
[* Q' W% p) z# td) 如果进一步分析,可以少一些之前的假设,进行另外的一些分析建模。
: B6 u& A% Q: V4. 消费者均衡:
4 s& J8 A. V j5 v+ X, N" ua) 问题描述:消费者对甲乙两种产品的偏爱程度用无差别的曲线族表示,问他如何分配一定数量的前,购买这两种商品,以达到最大的满意度?
. b* o6 i, t+ J一样是最优化的问题,不多做解释了,,,
0 D; T' g- w2 {b) 可以进行的优化:考虑如何推广到m(>2)种商品的情况!- p! p- K) x \/ Q" r+ ^" ]
2 F0 L& F+ s+ U- c: I
5. 冰山运输
' L- \( k( R5 `- D, N: }0 Za) 问题描述:某地区缺水,淡化海水的成本为每立方米0.1英镑;专家建议从9600千米远德南极用拖船运送冰山,取代淡化海水,试从经济的角度研究冰山运输的可行性。
( t$ V! x5 s3 L2 m+ zb) 建模准备:加入进行运输,则需要的一系列的成本计算,最终建模求得成本表达式。
" E8 F, b! f6 a+ o: Wc) 之后进行建模分析。
# T! Q- g" }/ w# z6 _$ @/ Y ed) 结论分析:只有当计算出的成本显著低于淡化海水的成文时,才考虑其可行性!7 E3 V" }: v' ^% w) W6 o! W6 ?
重点在于建模时,要充分考虑不可忽略的种种因素:如冰山融化、燃料、租凭费用等。* l# O! o) K3 i2 E- R& E E$ i* K
总结:2 T# b( o r, G, h
1. 存储问题:存在某种实际矛盾,不知如何安排。需要寻找平衡最优点! @. O( \. I. K
2. 森林救火:与存储问题一样,都是解决某种存在矛盾。
5 v- g7 a; u3 D K$ s) e3. 最优价格:一样,求解最优问题,重在前提假设要合理。* h+ Q/ L1 _% ?2 I
4. 消费者均衡:考虑推广优化。
( l; Q) c- b+ r7 w( L2 u5. 冰山运输:考虑不可忽略的多种因素损失。, Z8 d6 Z( T; H2 o( ~$ T" |$ x
3 \: y/ S2 h2 x: ?5 M3 g4 j s
) r I3 _/ c, M) C, Y( C# O' ~% G$ R! V
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