数学建模学习笔记（第一章：建立数学模型）

佛自业障

数学建模学习笔记（第一章：建立数学模型）

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第一章：建立数学模型

1.    常见模型：是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象，提炼出来的原型的替代物。其集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
4 L$ b4 [) m& W+ P+ [实物模型：玩具、照片、飞机、火箭；
+ J# x" ~) K9 b1 E. q物理模型：水箱中的舰艇、风洞中的飞机；
! j% K* X0 v) w# q; e符号模型：地图、电路图、分子结构图。


2.    建立数学模型的基本步骤：以航海为例
a) 做出简化假设：船速、水速为常数；
  V; ]$ k& \: X( zb) 模型构成：用符号表示有关量：x，y表示船速和水速；
; Q4 W& a+ J2 Z发挥想象力、使用类比法，机娘采用简单的数学工具。
c) 用物理定律列出数学式子：二元一次方程；（可能伴随模型的参数估计）
有时模型有未知参数，这时需要使用各种数学方法、数学软件和计算机技术进行模型求解；
之后还要进行模型分析：如误差分析、模型对数据的稳定性分析等；
- w9 t0 L  d+ d: C. m% s7 w* Y模型检验：与实际现象、数据比较，检验模型的合理性。
& B5 P1 e$ S. j) }d) 求解得到数学解答；
) n2 F$ @4 a, y$ Z8 `. _1 re) 回答原问题：船速每小时20千米。


3.    数学模型与数学建模
数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
. ?5 h% K4 Z2 i% U! }! n, }" b- a+ I6 g数学建模：建立数学模型的全过程。（包括表述、求解、解释、检验等）
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4.    数学建模的具体应用
a)      分析与设计：椅子在不平的地面上能放稳吗？
b)     预报与决策：如何预报人口的增长？使用现成模型、确定模型参数、模型检验、模型应用（即进行人口预报）。
c)      控制与优化
2 o; {$ c" h# q8 H6 d  z, Z+ Xd)     规划与管理：商人们怎样安全过河？
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+ u; V) u  m3 X) R$ u& M5.    数学建模的基本方法：
: J, i) b9 M5 b& N$ R* _机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律；
测试分析：将研究对象看做“黑箱”，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。
一般情况下，需要进行机理分析建模，并通过测试分析确定模型参数。


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