数学建模学习笔记（第一章：建立数学模型）

佛自业障

数学建模学习笔记（第一章：建立数学模型）
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第一章：建立数学模型

1.    常见模型：是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象，提炼出来的原型的替代物。其集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
实物模型：玩具、照片、飞机、火箭；
物理模型：水箱中的舰艇、风洞中的飞机；
符号模型：地图、电路图、分子结构图。

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+ G% Z6 T4 O( w- p2 H$ B; l/ S3 G2.    建立数学模型的基本步骤：以航海为例
2 W, ~2 C8 O5 D6 o' y$ `0 b7 xa) 做出简化假设：船速、水速为常数；
b) 模型构成：用符号表示有关量：x，y表示船速和水速；
  _) e) W3 ~) h9 R. x6 m- L发挥想象力、使用类比法，机娘采用简单的数学工具。
: G! T: ~- f0 G$ X# }+ h) W; }9 rc) 用物理定律列出数学式子：二元一次方程；（可能伴随模型的参数估计）
4 l2 o) `% i  |* _6 R' X有时模型有未知参数，这时需要使用各种数学方法、数学软件和计算机技术进行模型求解；
之后还要进行模型分析：如误差分析、模型对数据的稳定性分析等；
! k' [* t8 ^# D/ j4 e1 U; j模型检验：与实际现象、数据比较，检验模型的合理性。
3 b: ^1 G4 o9 {* U) kd) 求解得到数学解答；
e) 回答原问题：船速每小时20千米。
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4 a) e, q8 R! g2 X, }% e+ p, `
" O; u! _; w% O" t6 z" r6 L3.    数学模型与数学建模
, R) y- A3 X" c7 P* X数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
; z2 j/ Z+ y' [; @# V: j数学建模：建立数学模型的全过程。（包括表述、求解、解释、检验等）


4.    数学建模的具体应用
a)      分析与设计：椅子在不平的地面上能放稳吗？
+ \* C# Y2 R; `' @# L/ ]' `8 ib)     预报与决策：如何预报人口的增长？使用现成模型、确定模型参数、模型检验、模型应用（即进行人口预报）。
- M( H# f6 u7 H& P. Z; g$ sc)      控制与优化
d)     规划与管理：商人们怎样安全过河？


" f% F2 E0 v- Q$ U1 ]$ {- G1 @' y5.    数学建模的基本方法：
/ P9 j, Y" Z4 E机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律；
测试分析：将研究对象看做“黑箱”，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。
' G6 k* g* m' Z( P0 g* A; A$ N一般情况下，需要进行机理分析建模，并通过测试分析确定模型参数。
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