数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）

, N1 g% B* b8 R3 ?. _# O1.    席位分配：

a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
, z# L5 K1 ~! n7 V7 A
3 ~$ ]; m( t1 C# Cb)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
% A! e% A" q6 J- P
c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
# q+ n% v$ ^$ j% A$ p

2.    双层玻璃窗的功效：

, @6 c! E2 L  q% Ba)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

$ a2 r3 ?/ W& N+ X' m+ q/ e5 Yb)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
3 C7 h: T: v/ a  `" I% G& `4 V
9 T2 C8 I$ m7 P- S# Z9 ~* G6 Oc)      建模：热传导定律模型。（有公式）

- g: g; A; ^  s, ?$ ^, {) p1 g+ M5 Gd)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
9 A" d: C1 f# o8 I# M1 |5 \* P$ X
e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。


3.    划艇比赛的成绩：
- e' k) i6 p4 S: e( ?* |6 ]
a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
5 r) P# F  r1 o& `! d
b)     属于统计，数学模型拟合类型；
0 W0 N; U6 G9 t& N! r$ E
c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

- D6 f3 r( [1 I6 I" m% n, nd)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；

e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     

; k) h$ O2 A0 X( ?% g0 m
4.    录像机计数器的用途：机理分析
) a" _. v: U- b, J! e5 t
% |1 ^8 O# Y$ R8 w3 ^8 ^& O( fa)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

7 T  _1 J1 x) `! E  c% W) G% K2 s问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
7 T# G; @% M# y9 F# |
. Z' F$ r, ~- h: m4 o, Nb)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！


7 f9 P, E$ Z6 d6 X' |5.    实物交换：

a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
4 S" g6 y! R( k& L+ V; l1 v
b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
3 d, v  N, @& f+ V% U. \' Y. v
- _" N2 Y% s; S8 S3 lc)      根据不同假设，进行不同建模处理。

; @. \* T9 J8 h1 i4 v3 m
8 h( F, ^  k) D) T/ g% G. Z6.    传送带的效率：物理实际模型
( ]. e( u$ ]2 u3 j* |- C
" a1 v  O& l1 F, |) `  k! e1 Ta)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

* j; @$ q$ _) O2 l* @b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

  L" d3 `& ^8 f1 E. @c)      模型建立，提出提高效率的途径。

& u3 O# E7 n4 P0 ]
7.    起帆远航：
/ x/ i7 X8 z  d- E7 U4 ~
a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

$ ]! T" ~/ R; Qb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
) F& J8 }& T+ |' v" Y* k
c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。


, e+ I, W. M1 ~  U" U总结：

1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

" R/ T* v8 c4 B3 e* n5 \3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
/ V2 e' b$ e: }, U$ _
4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
1 g4 J, s9 Y1 t' y2 {
7 @2 I' l% N* e7 e  T5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

$ i5 L8 o( o; C4 }! @6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
: A. k, j! ]8 o2 P4 F
8 c3 T1 |# L2 O, [7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。

以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。
& w5 o& }: C) B( b) m