数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）
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1.    席位分配：
/ O: H  _! W3 l( q; J5 ]
  @1 L8 i" x+ _  U8 ua)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
0 J6 v" p/ O, e' A5 i( S
( B( s0 ?+ _; V  x: Dc)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。


2.    双层玻璃窗的功效：

a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

) r1 N$ b& q& N- ^, u! Tb)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

% `5 p" N0 C6 G$ k$ {  y" N3 f& qc)      建模：热传导定律模型。（有公式）
. g6 A+ k3 d5 {6 n
d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
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: E% O# l9 l" l3 C5 X: w. z3.    划艇比赛的成绩：

a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
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5 f& J* s* s3 Q- cb)     属于统计，数学模型拟合类型；
. U8 C3 E8 i( t$ X. m6 V
c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
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d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；

4 l3 j2 [+ g: J" Y# ]e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     

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4.    录像机计数器的用途：机理分析
6 h& \- a* j% R; D7 V
. r( k4 S, E8 O- w1 w' u) ya)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

; L  q8 V2 _8 {  w+ N$ m8 W8 C; Bb)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

! d- w. J9 S, \/ I" D' g  e& Dc)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！

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9 k9 w4 o' w4 @' r5 e& d: n5.    实物交换：

6 O! P/ D4 l0 b6 @. W' j9 b7 Da)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
1 u! q' \& B  J$ C7 L
/ M9 J( m* N, P$ x9 i, u1 qb)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
3 `1 f! B+ w0 u6 O
c)      根据不同假设，进行不同建模处理。


6.    传送带的效率：物理实际模型

( Y0 P; p3 X1 X9 s* Q3 m$ wa)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

: _) c! J% C) P2 ib)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

6 O' `, @/ o# l) t" |c)      模型建立，提出提高效率的途径。


7.    起帆远航：
, L0 n! q" w+ w# Q- m  Y1 M
a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

# ]- I. a6 r7 w6 u# ^# {; I" Q" Tb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
$ T9 I$ c% H6 ?  {+ P4 B/ e
5 l7 U, d, z) }  y% B: h+ d1 A
- M& ?& }' |, i1 Q( e总结：
- c* ]6 {7 P1 k9 i
+ ^/ ~2 x9 |) R; w9 |% Y* C1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

) H  e% s3 Y# a, ~2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
! G8 G" m! X. p0 N9 o8 Z/ S* Z
% c8 }% j) h- M  h6 k4 X& N* H3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

; A4 `$ ?; [6 O4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

" R; n8 a0 H& B3 r5 o5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
( a' R1 y) c- g* p9 I2 u' ]
  K6 t$ G) [% x! y8 }. E0 l+ b6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
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. w/ m, B4 r  n0 X  r9 O7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。

* @/ m$ N9 ]7 C7 r; e! U8 D以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。
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