数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）

1 [  a+ L% x( G7 Y# R- Q1.    席位分配：
. U! A0 |  v& S# {) p; l: x* q
5 r2 J' q3 A/ V5 G2 X+ P( \% R% Aa)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

3 E. A( {) F8 F) K0 U0 n4 qb)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

# v8 h- U" U9 ~" \c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。

2 G9 ]9 r# J. {- g5 l
2.    双层玻璃窗的功效：

+ v5 q# d! u9 x  S# p/ s) [a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
9 d" o% S- R6 b2 j( m" I# e
0 `% Z1 E- I  E' u* _b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

* k5 k% _% `  [8 Fc)      建模：热传导定律模型。（有公式）
) @2 Z/ e8 }* \3 T7 m9 F$ F8 n0 ~
' @  F3 Q- c/ sd)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
/ p. U1 ]  E1 I

3.    划艇比赛的成绩：

. `8 t1 T5 C4 ba)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
; e3 z0 b5 k# j0 ]/ |1 x" c
b)     属于统计，数学模型拟合类型；

c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
" c5 x5 i' i0 W/ P& S, g& l! L
e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     

- N( x2 H1 Y4 {; f
4.    录像机计数器的用途：机理分析
* f3 F1 b* Y( |, r0 S8 d8 q
5 |1 }' P) Y: [4 z; i* h7 e6 |4 ua)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
' e. g9 q9 ~; M8 ?. g" c3 y' \
0 ?6 h. I& h3 H& f# n0 e; d问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
) a& h: L% o& ~' _
b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？
0 D# p* n( ?6 j- e* w
2 T0 h. u' T" Ad)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
. D- C- K9 Q( W2 S1 p. J( e

5.    实物交换：

a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
( U4 b" B# Q5 W3 M
b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

c)      根据不同假设，进行不同建模处理。
* B' H1 N- K8 Z9 M
& c, s; Z0 }0 {
6.    传送带的效率：物理实际模型
0 [- h8 t2 U& k7 ?3 I& D2 s
a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
; f  q/ ]+ ?2 r, t& p) T
c)      模型建立，提出提高效率的途径。


' h  D6 i! ]9 X4 P3 M7.    起帆远航：
) E0 T3 q* [, J' {9 \" J# H
' A+ l0 R# w9 A1 D% C$ Ra)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
1 N! b: A7 P6 b! Y
b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

% W3 }+ Y9 P/ i$ E1 h8 ic)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
; g5 ]# K9 ^9 j7 r# o4 X, Q
; e  d. a' O2 J! f2 ]3 M- l" V
  E9 x8 L2 }: n3 I- O  _总结：

1 t! z6 w* q* x( A! ^; M9 ^' p1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

" M: b5 V+ C4 M2 }5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
* N9 a7 Q- g4 ?
" ]% t) d/ I6 b8 S% G/ G7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
3 W2 m: s) f% z$ A+ N% l
" M1 W  o, d* `7 C; x3 Z7 ^以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。