经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
: ^% V6 K  r4 T9 A& t7 g解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)

5 r  M, e4 a# b7 e- P& o+ C4 I- I其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
: \' x# f6 T. e
# {& W/ e! o$ @

8 V0 ^' S2 ]6 v) T从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：

: w0 y; @. d) y8 k# [& ]0 [- \第n新出生的兔子 f(newN)
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)

= f(newN) + f(n-1)
1 r5 E' S; ^0 ~1 B2 g
% C2 h: G1 ]: D' v
( B* h/ r2 L: }4 [
8 T5 c4 ^& J' V. w% s; Z: z4 t在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
& Y1 V) ?4 ?3 p; Y3 _
而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
: X; d. I8 _& k9 h( h5 y6 R9 ~3 O
则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

) S: q: A6 _1 c化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
- z+ A& b" _2 j7 e
即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)


1 L7 O4 W7 @# i4 v4 |! F
所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
, f  `. N5 w* \' S$ q. o5 F- G- K
1 T& i9 L" R" S9 z5 U- if(n) = 1 (n=1,2)

f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

  F6 f2 {# {4 g9 x9 u+ o接着编程为递归函数即可解决问题。
3 L; _9 s9 q; ~. }& t- R' f

! U6 u) H: }; z' p1 J* X+ `0 _