经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
4 J3 x2 H. I- a' r) D- b* d解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
- V3 G$ p# `0 Y. [. T3 n  A
7 E. J) x4 k1 X) z; k6 v' {" O3 P其中 f(1) = f(2) = 1 (对)


5 j8 k4 B0 T. v6 t) i+ t9 Y
从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
" D. ^+ y- V6 Y1 h. j" A8 k
第n新出生的兔子 f(newN)
1 c" q! F) Q: r+ i7 |第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
3 a$ Z6 @+ ?9 A, r即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)

8 ?! X. w2 n" S  [= f(newN) + f(n-1)

1 u' \  @3 X5 r1 H+ u% L

4 C0 P: O# t# q' z在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；

' X7 c* v/ Y' ~而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
0 J" M( r3 I3 l- j
则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2
; i2 F1 N) ^1 _" s3 l
5 y0 O7 C' R2 M# H' o化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)

+ d7 _4 z( E/ C即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)
+ i! W* f: ?. @8 l' Y. u( f
; e2 k! ?; L- H3 ^
6 I" `% L4 |. t" W8 Y
, ~5 Q7 v( J6 ^7 Y4 ]- y" D" z所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
% n4 Y* S8 I/ z" \8 h% n
( D2 `/ A3 h" a# h8 I! Kf(n) = 1 (n=1,2)

f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

接着编程为递归函数即可解决问题。


5 q7 g  \  X+ c- `( {. |+ g5 _- ^" }
6 Q* c4 Z1 [, y* ?& q