经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
6 I# S- \* z: T) D' l% \
6 E) l2 S2 p& z& A& o" f其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
1 M8 U$ m) h& p, S( A# s4 o
2 x" y/ M9 S8 w, E
& T' t8 J3 }5 |" J
3 ?& D* v2 ^$ j3 m9 l从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
; Z9 k6 L; p3 I" h) O
% y/ ~& D: B6 x* H( [$ U( I4 c! j第n新出生的兔子 f(newN)
; R( q4 e1 |$ Q& f( v2 V0 S第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
1 W/ s8 U4 e# [即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)

% E6 G+ a. D% \+ u8 a= f(newN) + f(n-1)

# L# E" V7 ]# {# Y

  r9 Y5 Z& I+ x% R3 c  P6 o在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
  y) a/ e) p& U' n/ F5 u- M
1 U' n: U# \/ y, @7 B而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
! S, q5 H9 y) s$ L
则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

' \& T! _  C0 _4 z) R0 Z  @. V0 s化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
$ x8 z  a% J2 a5 B4 M
即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)
: r# Z0 x4 g7 B. h; X: q


' B% L5 O& I) e6 c5 k) n& X6 G5 r所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
  \: k( g9 [% f: \" E
  s4 P$ O, D' h6 e5 Df(n) = 1 (n=1,2)

f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

接着编程为递归函数即可解决问题。


, e# I8 r3 E7 w# M6 r" I6 A

2 M8 f& @0 F7 Z1 T: |- h9 y) P