经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
' H# ^( o  y7 ^; Z, `' e解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
' h" {0 Q- u* P0 y8 M+ S! R
其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
: A' l9 }5 _& T4 H( ]: u, W$ o8 c
! D+ l0 n4 D+ H' s

" z3 g& _8 t. W( d% q0 v% N从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：

( C) R. I# |5 ], Q第n新出生的兔子 f(newN)
9 l8 U- ~! J4 [0 ^) j, M& {第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
, w/ h8 \' Z$ G8 j% `/ f3 E即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
: i: `5 o6 I) B( B
% i! W. \$ i( X+ D2 H: C9 g1 J= f(newN) + f(n-1)
5 F  R; ]  z" X4 k

: b* G% g3 [) A
在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；

而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
8 Q( P& l* E( H% g2 e! u8 p
3 E: P6 h1 V. Y% |5 n5 q) C8 e则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

6 {' @2 ~6 v2 z4 Q/ d化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)

即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)
0 a) G: C" t& @

) ^7 `& A0 t8 E) T4 t& H$ A1 R
所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：

. N$ b2 \4 p  w6 C) O) i* ^( l+ Lf(n) = 1 (n=1,2)

2 q! t5 G3 z8 [8 T0 Rf(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
* j* p8 o) J( P( T8 ?
接着编程为递归函数即可解决问题。

  Q% f2 ~7 s- s
- Z" Z( U' Q% R% _& [