数学建模

佛自业障

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
  [" h+ Q- |- v几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
( W, d7 c/ i4 F4 ~* v2. 按模型的特征分：
% E2 |; z6 |( m/ r7 ?+ a: b静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
0 |3 h6 N( o) K0 d, c性模型和非线性模型等。
8 Z# {6 ~3 A3 ?! s3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
) z4 @  ]. U0 g7 m' d) V0 C( n) \预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
8 x) f$ s8 @! _) p有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
- L9 {2 a7 i1 d+ S/ _/ D: O. r比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
  c0 A0 \: \! T7 V* S, E运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
+ L& O2 |) D1 q数学建模十大算法
; C" R! O) E. [% l$ F0 n0 X  X. N/ T1 、蒙特卡罗算法
, W8 E7 R  V# E6 R( k  Y5 K8 k该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
7 K7 L5 X. I6 v, M3 `通常使用 Matlab 作为工具
# h3 @1 s; R+ k2 _3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
$ }: Y$ i  K$ v  P' `4 、图论算法
% V1 d4 \3 P9 y  U& l$ j0 z# G这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
' x- N; ]& ]2 q( K' y/ N# B, c( b论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
6 _* p, W4 n3 g' ]: z& ?3 G这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
$ t7 v& y- T' z; k  W; Z这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
$ M) n6 r4 H+ c9 {- L/ M很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
- D0 m. O/ `9 O2 w2 b如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
) B- U" Y9 y6 n) ^$ \赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
5 H4 ^* e4 l0 s3 N5 I算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
3 w9 x: z8 @% ?6 i5 E4 M& b①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
- x' r0 A4 G  }# ^: z- B! l1 k0 d, E2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
0 y7 |) g$ ~. E6 x  r1 k找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
+ d  s8 ?/ [% ]6 [8 n# N求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
( x; ?9 h8 s# ?6 x化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
! t( Z- K$ f' e* G, h! R互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
, G4 Q) \/ x7 u4 F/ v; [' k9 }5 Q概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
& g$ m# V. A: E4 T0 ~3 A1 t数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
4 S7 S5 `; ?% Z; `$ I8 H& T预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
; N9 \: p, Q5 `+ q6 F, F7 ?  `) S预测波动数据的函数。
) k+ \3 O1 N' y2 B/ I. s7、 、 神经网络 （ 较好） ）
' ]; J  y3 ?  r# _大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
$ G' i$ P* ~: K  j( C/ t办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
% d8 ]4 w1 o$ t3 E! E" H& N8、 、 混沌序列预测（高大上）
! U" j- i. ]) I适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
' m) I! i  C: l9 d7 k* g拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
6 r: D/ X/ M  c! b在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
# r4 v9 j. s( Z- s10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
: b3 J0 f; M; R6 r1 g. I" i+ p11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
% B. Q' i% V) g, N作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
2 n% n/ p* f+ O2 M12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
% I+ V+ S: e0 A/ L# [6 ]! K优化问题，对各省发展状况进行评判
# T& \# J- l* u7 [8 \13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
/ U; \; U% m7 g7 W0 f  ^法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
8 b+ V  n9 I: ^% M8 m' U解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
  @4 f7 r, K( A% b9 X0 }- J的最差值。
7 E) n" }% Q* H9 D: a# q15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
* D5 K4 w3 _( h. U( q9 X可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
$ v; V( Z0 |0 h% w0 u  o+ h16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
9 _, z0 l2 T2 j- D  @7 O量有无影响，差异量的多少
* Z) N% Y6 E2 I协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
# Y' e* s2 w9 G3 Q素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
1 K. V2 {) b! A2 \5 Q此外还有灵敏度分析，稳定性分析
* B5 U/ A# O8 N& k17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
5 K7 B+ a5 N' l6 g0 k3 w非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
2 i8 [8 z$ f- j, i: R& A0 k智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
- v! M+ S9 G( m9 |% p排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
1 ~; z$ [1 h4 j; g0 g* V" B即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
7 f; B: k  e3 j- B. K计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
9 ]3 ~3 m" @7 g( C) t6 z; h1 i6 T般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
+ y/ E3 P- S+ ^4 d* S$ \  J21 、图像处理 （ 较好） ）
/ H* A* [; X! J4 v( i8 t6 t& y2 IMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
- ?: V" T" U" \# F+ w. K例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
2 o/ {2 H1 I6 F3 b2 v22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
. |" w6 b/ I9 F. E" O( O8 c9 u23、 、 多元分析
1、聚类分析、
- p# ?: Z* v( u1 h5 M2、因子分析
8 ]* v& Z: A: U: d, Z$ G3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
; Z0 `/ k$ U- ]7 d) M% G各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
6 i/ \% ^& S9 `' }7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
$ s) M: y% ^! e3 B主要包括以下几种方法，
0 }# D; v( i( a' x+ I1 z1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
+ i( A9 N3 ~' p3 X5 b+ Z  E4、密度聚类
5、其他聚类
9 {. T  S) C1 f: ^6 r6 n. v6、贝叶斯判别（较好）
! i: A, d, ]: F: Y' z. Z2 b# Z7、费舍尔判别（较好）
; V, }5 n, ?: r5 z1 j8、模糊识别
7 b1 }5 {  M: @' `5 b( G7 d3 L9 P  x25 、关联与因果
. v: K/ c4 Q' n1 o9 I8 u1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
# T/ M8 j1 e2 x9 d6 o3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
2 l/ k' \3 y* ?2 }$ U（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
( P+ \, t+ P" d8 E2 y0 N9 o2 i6、标准化回归分析
5 r( k% J6 U+ X' N& M# S5 z若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
& O* B* w, S* V" {' ^8 o8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
% V/ p( H' u+ u) u0 Z9、优势分析
! G4 Y" ^2 M  y% ^26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
$ i/ J+ B! ^! H+ Z( \- ?; g量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
2 s% C; N# b" i7 s% T6 j率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

: g2 _& D3 B! ?) o

6 A' q( B) T  i+ e: y