数学建模

佛自业障

数学模型的分类
: }- ?9 N9 v3 Z  T; d2 H1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
7 Z# p( t7 K5 a" U" e0 A. z型、马氏链模型等。
( q+ |& v+ @# o( k. K* l9 r7 P2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4 z* X6 b5 @  s: t! Z; x) l4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
* J1 x, f4 U* f* R: O有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
! q9 Q, S3 P  _" L比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
" d  B+ @$ U* X国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
, ]7 s' ]6 F% J2 B9 g6 @8 Z运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
3 Y$ o" ?) i; ~- G& l. J3 a数学建模十大算法
( m% }; F6 ?5 M( U& }8 H& `  X1 、蒙特卡罗算法
9 J; `. |0 P, w5 j+ ]) h该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
' h( G% J2 }; Z: |7 L6 F/ U2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
9 }! v  A1 X7 Y( {& m9 D  x比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
. p7 h% c. f3 c" X5 m2 L& k- c0 j( u, |: w通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
4 W6 p1 E# F, n& n" ]建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
2 k, K  o" u% }8 i/ r4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
, p4 H; \' I% ]+ M! L% D论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
* P# k! S' ?; ^& I6 B$ c这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
6 G6 K4 `1 z4 Y) j# x( o7 K" w- [+ p一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
2 K  H0 M; u4 e5 Q: d' g据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
; Q9 x7 \- Y$ J10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
6 f2 `. p3 _, X9 M6 U$ _3 a8 }# ~# n! ]行处理
8 S* M$ E4 N/ m- W算法简介
- u; _* @% V- D8 E1 l1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
$ i& S' l! l+ T' i9 |5 @) A解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
" v! N6 u5 \4 P# v1 d8 a其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
/ \6 b" y  F; O. m: D" _找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
* d/ Z) G5 M- ]2 a. {6 ?8 L3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
5 |) f+ n, G* P化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
% C+ o" p3 E; q: @: v) v/ I1 T4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
% a& D0 }4 e- m一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
* E- d- G. `5 F" I互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
$ a; Y  G" S! n8 p; c0 i9 v概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
$ v1 z' t1 t1 O9 R. H9 G5、 、 时间序列预测
% V" h. a6 y( D. O0 Y: O- e7 ~; p预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
) W4 p6 G" X, w4 _- j（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
4 i5 @6 T( \/ f, O数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
0 s  q, d% m( q预测波动数据的函数。
$ V- T# H7 r3 Q  J. T9 T& x7、 、 神经网络 （ 较好） ）
9 _' ~# S2 m( e& D大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
( N( t' q/ K( x4 O- ^适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
/ w1 E  z: }, s1 s( D4 U拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
# X" `2 y# S  R; s4 E) K+ E/ @2 d评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
8 r, Q1 c# j7 d3 t! M作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
5 m" [# R" }! _) |5 a12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
7 p$ ?" h9 J% ^; T/ ~; y似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
. x: |8 i. x$ b/ H0 v$ _3 C其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
, G# s& D9 M+ Q+ Z2 U* {: x  X解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
) r2 c) x5 H$ ~( N) A% \15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
7 k* Z( t. F# q  O1 ]/ G可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
) ~. N2 Q& F  U来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
' I: y! B. e- ~* B+ g1 R7 T该方法做评价比一般的方法好。
  D$ Z1 {  `8 z% u8 t; A16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
+ B  s' P) }2 V" ~. s$ k6 E) i协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
- b4 ?6 S: o1 i" P' W+ M7 v+ t此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
  R& g7 z# Z0 Y+ u' b模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
; {6 i0 P5 k7 \( c% T. L4 Y( H智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
, ]; V4 {3 I, x( a) j算法、神经网络、粒子群等
1 C7 B+ Z( S8 v8 `6 f+ r& D其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
! d* U, C" q; f! |6 ]; P: L- [离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
' d2 t  c& D) d/ ~排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
  I6 `. h/ l4 [* U: w! L计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
8 N' P# [; m' y6 R( g21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
! e( m# |+ t& _22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
3 ^/ a; C6 H3 I1 f支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
( W4 L1 F4 [5 T5 e4 x0 H$ t: }射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
, q- ]0 A* ]* \23、 、 多元分析
) l& L$ d2 s; P. h% l- @1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
4 K9 d( r& l" w! R( d从而达到降维的目的。
4、判别分析
2 x6 S+ ]1 b( H8 \2 `2 I4 K5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
. U% M% x& v1 X( [! a+ \4、密度聚类
1 \7 W7 l6 c$ Y! `- ~5、其他聚类
2 _" M6 w6 P) j6 w7 S. a7 K6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
8 J$ n( t- M7 v# ]+ M+ @# H25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2 p- s- O* c3 _, k# r- y- i2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
7 q  J* n1 `) B& V9 T. t8 t（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
; F( O: L0 c: _) V6 \5 ?- W! V' @6、标准化回归分析
  |# Z! z. V0 z6 I  \若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
0 J2 J' w- C6 P5 ^3 x* |8、格兰杰因果检验
  E6 A  v8 B0 ^: L- y- ]( Z计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
8 v! L& \& X7 j1 v; T: h- T9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
0 r; l2 c3 J) E5 K4 O0 }/ r量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。


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