数学建模

佛自业障

数学模型的分类
3 h" W$ Q- {- s0 Q7 Q+ v/ ]1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
% S$ o1 Z+ i* J( e! M: s型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
: M6 p4 m3 M; Z+ j2 G: z性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
9 i- A- l; E7 ^/ y2 m* F) ~$ J4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
3 ~3 T0 p1 l) u% s  f% R: q往也和建模的目的对应
2 ?  B' U' J( v2 y, V4 {/ }6 c: Y5. 按对模型结构的了解程度分： ：
/ e) |3 p) y1 N$ B- A, P" k有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
; S' Z/ b* N; ?5 I  r) q6. 按比赛命题方向分：
6 T# |  _3 o& R$ |8 U6 o. S1 B" X国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
# n$ j2 [6 ?5 G" X运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
( m' O" h8 e8 q- x数学建模十大算法
' X! g' c# o: m. t% R1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
0 Z" |, R6 _8 R7 @( k" y! U! q# b以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
- t/ J0 v! g0 S1 ]: v2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
+ ^" }  b5 _' \$ H5 z; _7 o通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
0 m" q8 i: r( O法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
4 F7 H( C. ]* i* H5 y+ X这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
/ u: E' Q8 ?& _  l6 M5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
9 l* U# Q; Z: }+ ?7 [/ o* e; ~这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
& h, P3 O) D' S. Y/ l% g; _1 u0 V6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
3 }9 C& X/ j1 Y7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
1 e7 W) R8 n) D- ]$ {* \! u8 、一些连续离散化方法
6 O% w& A7 ?+ S9 l很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
! s, d2 }9 l$ d5 Y0 ~% }据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
2 \5 X. `3 a+ z" N$ d: n9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
" W% _, I& O% @赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
7 v0 ]$ u% k  B" a算法简介
5 K+ k& Q. h6 a- p1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
: y% }9 g. M2 _+ X0 |3 y3 {个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
. W7 i" q! ]1 L# u5 f②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
7 f* R" C1 r# U3 b4 ]微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
/ N6 n& y8 [" ~8 e' i: o; _) J" _- y3 、回归分析预测 （ 一般） ）
$ ]  ?0 s4 q. j) r% N求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
$ f3 e: b* t+ B) c3 d) {7 B' w8 X( A②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
7 W7 B; m) p- H! ~! P一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
: G% k" p4 x: h4 t# ]2 W6 r: t5、 、 时间序列预测
3 d1 K) Z" F  f* T; I预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
5 ^6 \! [" r' `% S# ^2 D! j（较好）。
  L3 o/ }# r$ h! E2 H6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
- o/ q2 s2 V% H4 ]) X0 n' Q2 T0 I大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
4 J; s9 l  |2 e4 D- J办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
! C* [1 r3 b9 I; `' O适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
3 n; m3 g! y- r' R0 Y在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
" n* I% d, h$ l7 x逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
7 P+ m% Q7 x+ M+ q, D. Z' N10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
. S# S# e  ?. Z' |! }11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
" V( Y; K% \/ |4 C- e; K作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
9 r% X# w% s. z. ]/ X# y# K, U优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
/ c+ }/ o5 |" T; ?似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
9 y; @- t7 \, p其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
8 _7 \$ ^5 Y, g+ C  v. ^& {解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
! x! i: G5 v! i1 {3 t/ I6 m5 G15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
+ K/ ]  [( u6 }' E# A- ]) f: E该方法做评价比一般的方法好。
0 ?# X6 J; r% t) b+ S; D16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
9 v8 W( g$ D8 j+ G/ Z1 R3 j量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
) w$ @; s+ v4 h% _% E0 O素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
- K2 w& `7 H  ?( e' p0 m此外还有灵敏度分析，稳定性分析
& |- V1 Z0 W. U! X- L: O/ x/ ^17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
- s; `6 R, _- S2 K模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
4 e2 y, L+ d, Z8 T' E优解。
' v" P' O' m4 z% V+ O0 @8 W18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
6 o; h9 E+ O* t/ M( _8 L: X9 P离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
# E+ T% b( R, c0 {" [# Q5 X" `20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
  O. C' x2 I' v- W! X% A8 @" M" U5 Z7 t排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
4 o: F# E# \7 @% Z& u即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
' k% e* R' C8 p# R计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
2 [& M* \- }; @$ O22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
0 l: G. R' l! N7 ^+ B) ~& {% W* h射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
; k  K) ?6 g& T2 X, D5 B3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
$ N* H% E0 R2 z; h& V% z8 s4 f从而达到降维的目的。
4、判别分析
- l4 l7 ^4 t, x2 V5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
  l1 G# m6 D3 g8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
' S' x" P4 \( ?4 {- c4 N主要包括以下几种方法，
; i* ^* P3 N3 ^% \2 F$ h0 U, ]1、距离聚类（系统聚类）（一般）
5 R6 r* J# e6 z7 z, v9 R2、关联性聚类
  d, s( G) h( y- H$ p3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
- d2 K* i: ]9 `* _, o: w7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
/ e9 Y2 a3 a) |$ w* t( w0 C1、灰色关联分析方法
4 n+ |; B  V8 X$ f/ r% c0 m2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
0 }: c3 {3 r; Z. x  R6 j. g9 e" r* `3、Person 相关（样本点的个数比较多）
( W, l: C2 c3 f2 ]; l4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
. U. h$ p* i  d/ E7 Z- i+ }5、典型相关分析
1 P% v9 Z' g0 c. b（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
4 O5 _& F/ n. ?1 u) N; V6 {一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
, B5 k; @/ F. @2 j: s' H3 @数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
( g$ S5 B& G5 Q3 B$ w5 h7 \8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
: i+ S) q1 t, a

# v, x2 i  N' L8 Q1 h/ |6 w
( \3 F; O0 q! l