数学建模

佛自业障

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
' U, H' f* u1 J1 _& l几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
1 j; d  {; ^  G: Z1 n- y# D- C型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
- D1 Q4 L, N- d: k3. 按模型的应用领域分：
. _  y) f1 S9 b3 T$ @  {0 |人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
/ f9 j( n4 f' D7 n; f9 w" G& K$ o: V4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
5 u- a) V+ J% A, l7 w往也和建模的目的对应
4 }) ~( q* x$ h9 e5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
  _8 ^% o3 u% I9 q2 o8 [/ @( @比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
7 q7 u( H+ P6 r( G: V" v国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
! b9 a: {8 e8 g+ v3 u: c( |- L该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
7 l4 M8 r$ ~% d7 c, q- f5 C以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
( b! |/ t& ~/ l比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
( Q4 u* ^  W4 V1 S建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
& s( t( P8 w9 Y) |法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
, M4 I# i( ]5 I) i6 y- l$ y4 、图论算法
; {- i: ]+ [8 Q; O5 q这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
" P1 ?6 w4 |) e0 T6 J+ L2 |1 R5 H; N论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
# t- C: f4 S+ y. G4 r5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
+ }1 g: {) r" @  S" {( z6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
3 ]& s: ?3 n' A9 O( u帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
8 R/ p+ c# e8 G3 N1 A7 、网格算法和穷举法
+ ~1 W  m8 a* y8 I0 Q1 i当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
! ]6 G# Y/ H+ Z+ E) a5 C一些高级语言作为编程工具
. n" F/ H# ~' w8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
/ @! C  U' M5 e8 \+ ~. q2 W) u7 p: z9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
* p, |) L& e; x  k5 u/ F9 t赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
9 @% p# P( V" a( F的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
" @& E! R; d' ^+ j8 l' o算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
5 Y1 l" _* K% `- v+ N2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
: ~; R5 m3 `0 P; z: p5 x化； 样本点的个数有要求：
0 G  X, q& f  ]5 I" e6 B7 Q①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
" E% C& P: z' m8 p; S4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
* T  G1 S; u+ K1 M5 {一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
+ P0 p& |/ w: R' I5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
% ^: T" \, Y$ K( U$ x6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
3 h5 c! N& w* t" q# N6 d7、 、 神经网络 （ 较好） ）
, z, t: ^  |7 [* a% P) ^大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
  T2 f* H$ G; Q' i2 ~办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
# p/ ?! S. M5 c$ |) W  N6 ]% U拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
& }7 A/ p" c/ t" d' a9 U10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
. o: j1 a* B+ s/ t- ?1 ^6 j1 h2 J11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
' F, X! f$ l' d4 }' C12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
$ I7 o6 L7 Q: @+ P. k13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
. f+ n6 d3 H4 Z% Z, m7 U9 r秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
, \( v5 B. B' J6 J& T  C9 m, ^14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
+ `3 u5 I6 K- O* d, |其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
3 \% }& v8 Y# T' I评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
7 o% _( z$ a0 k. F/ R的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
' w- V8 H! M9 L* T: v8 v量有无影响，差异量的多少
% T& \5 u$ Z0 N9 G( h* Q  E4 D协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
; ^( j+ M, G5 C非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
6 k! y4 L0 j* S2 ?. M4 a其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
7 i3 R( d- @" a: S: x' y8 U19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
- H! D. z6 {' u! k# m5 M8 e, `, ~离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
4 k. |! S& y# F# }3 `) b4 x# }即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
6 C2 A0 K8 C% g8 n有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
1 Y9 _+ ^* \& E" z3 z9 S$ P计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
$ v- T7 C/ [) ?% u般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
- L- G: e. n7 M0 U% L" V" Y, `MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
' w* |$ m2 r& L) ]支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
0 i, \6 I+ n3 G6 I/ K射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
  j8 W% W; {, b5 U9 F23、 、 多元分析
. s3 b/ c" v. G  S) E9 @' R1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
6 P' d) p% c( U8 E各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
0 `8 Q' _1 H) S7 G% ~! l( j5、典型相关分析
6、对应分析
" G: j, y/ @' g+ [' B7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
0 o& B! A5 V  ^6 |7 ]& C. v/ o1、距离聚类（系统聚类）（一般）
0 H4 X( s( @  S0 x! d" N2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
! Y( K7 f! u/ X/ L) ^5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
. v+ N$ [% K/ r0 V* q6 S$ U7 |7、费舍尔判别（较好）
/ l, }" _% X, D9 r3 J( g6 G* ~8、模糊识别
' l  w$ l- K6 C) `" E! P25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
' u- x3 C, V  o1 e3 B  b2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
, S+ g3 |: T3 F3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
* L- x. i4 |+ A" D+ S; m7 d! t2 Z（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
, B) |* b2 v. P0 r( \7 k' R一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
! j+ {, |& \6 ]: R0 [6、标准化回归分析
6 T) F4 O* q3 i) ]5 Q若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
' E3 ^- N$ p# i8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
8 e& _. O1 P1 t$ \& Z5 v9、优势分析
+ x; ^  F$ x8 S4 M7 m7 ]6 p26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
/ Z: z, g( j4 a; S3 F; T量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
$ X" b) u' H* H; c


7 O. T! ?) A- C" d, V7 w$ i