2-8、蒙特卡洛模拟 含附件

杨利霞

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2-8、蒙特卡洛模拟

8 L6 k& n/ g/ U2 g, s一、背景

  蒙特卡罗模拟方法 (Monte Carlo simulation) 诞生于上个世纪40年代美国的”曼哈顿计划”，名字来源于赌城蒙特卡罗。蒙特卡罗算法从某种意义上而言，就是一种赌博算法。
  它是一种基于随机试验和统计计算的数值方法，也称计算机随机模拟方法或统计模拟方法。蒙特卡罗方法的数学基础是概率论中的大数定律和中心极限定理。
& C- C# X) f- V3 {( E
; d, ]) Z) E$ C& F+ N2 U二、算法引入

2 o7 f5 B5 l2 k, m, ^  最早接触到这类算法应该是在高中或者初中阶段，而且是一道送分题。即在一个正方形中有一个内接圆。现在在这个正方形内抛洒豆子。已知正方形面积为S，落在正方形内的豆子总数为 MM，其中落在内接圆内的豆子总数为 NN。请估算内接圆的面积。
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  根据概率论中的大数定律可知，当随机事件发生的次数足够多的时候（趋向于正无穷），其发生频率就可作为此事件发生的概率。对于本题，当抛洒的豆子足够多的时候，落在圆中的豆子比值即可视为圆与正方形面积的比值。那么计算结果 S×N/MS×N/M 即为圆形面积。
  这种算法需要承担一定的风险，但是比起这种算法带给我们的收益，风险其实不足为惧，同时我们也可以运用合理恰当的方式来最小化这种风险。
* L8 h8 O0 p4 |* T/ R5 A' ~- K  在建模和仿真中，应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，产生所需要的各种概率分布的随机变量；用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到问题的数值解，即仿真结果。
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6 ^' p8 o' Y$ I. M. x* R6 `+ B解题步骤如下：
  1、根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致。
- `; x6 }) J: Y& i  2、根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。
, a) D# N% A; w  3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。
; a% ?; u( o5 G, r/ g  4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。
  5、统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。

+ O# J+ C2 n9 ^  f( ]* v8 P4 X三、算法应用

: Z" u% E/ e9 W" t  蒙特卡罗算法的应用领域很多，这个算法在金融学、经济学、工程学等领域得到了广泛应用。适用于 Monte−CarloMonte−Carlo 算法的问题，比较常见的有两类。一类是问题的解等价于某事件的概率，如算法引入中提到的求解圆的面积问题。另一类是判定问题，即判定某个命题是否为真，例如主元素存在性判定和素数的测试问题。
' y5 O; N; M. y6 |/ H2 r& V  对于第一类算法所涉及到的问题，最多的就是定积分的求解。通常情况下我们有公式来求解各种图形的面积，当然也可以求解定积分。但是当我们遇到不规则图形以及极为复杂难以求解的定积分时，由于定积分的直观意义就是函数曲线与 xx 轴围成的图形中，y>0y>0 的面积减去 y<0y<0 的面积。同样是对于不规则面积的求解，最终我们都可以回到蒙特卡罗算法中来求解面积。
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  对于蒙特卡罗算法，其优缺点也是比较明显的:
  j: @- N  T7 A. Q2 r) f7 n! G优点：
7 O3 w5 g: A9 c+ V! }  1、能够比较逼真的描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程
  2、受几何条件限制小
4 e1 ]3 @& S2 {0 G  3、收敛速度与问题的维数无关
  4、误差容易确定
  5、程序结构简单，易于实现
" D3 W, j. s: X7 c1 b缺点：
  1、收敛速度慢
  2、误差具有概率性
2 ^1 C9 p" w8 E, K3 G  3、进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的

9 @$ Z! L" p* f* X- B7 L四、算法实例
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例1:


  在不知道求解圆面积的公式的情况下，试用蒙特卡罗法求出圆面积。
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7 _( u" P/ G8 H* O% @解答：
3 f9 l" R+ ]& o- v  由上文介绍可知，可在matlab中生成大量在 [0;2][0;2] 上服从均匀分布的随机数，从而模拟上文中的抛撒豆子。通过计算落在圆中的点与总点数，就可算出圆与正方形面积之比。

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