数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
9 q  u  ~' V' M
一、粒子群算法（PSO）
7 h; i' l- r, h
* }4 I0 r$ L* H算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
% s! I+ f+ z  hPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
. T$ p+ H$ \- @6 r
4 ]' r% v! w* g6 P: A) g基本PSO算法

/ g: w& p" Z/ ~( ^0 u+ uD维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
' C% D9 \/ Z4 {" H% ~粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
/ _6 M7 h- @; \粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

, U- @! @# ], n/ W! E三、遗传算法

产生一个初始种群
1 B2 B# M& t( c根据问题的目标函数构造适值函数
, `' m5 K8 }. I7 ?  F根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
" ?& _% ]2 \9 B4 ?0 L2 |! u, Z
- s5 P6 ]+ N4 i# r5 ]四、算法步骤
初始种群
; ]: h) X: W& _0 x8 Z编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
: m4 |$ w1 t- D遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
! |) ]6 l" I5 `' E) D5 I停止准则
3 a. h% G1 Y- X- O5 w" T) H
! X3 ]/ Q1 V$ \0 x3 D+ a3 x参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

' b! d: D$ @( R% Z* C* ~四、神经网络算法
' r8 R- m9 q# e. q. [
4 R9 j& R, @3 F" }: k3 _- h& @2 h和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
" k) u, Z: b9 W! r) ]- F
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

9 ?4 @: T* Z/ g又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
" d; Q2 c& @0 F& N. W( C) T* r0 C缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
1 O% w' K% o& b! }
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
) [) Y( t# m  I. T. {, Ga、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
5 B( J+ }/ g$ P2 O- ]' |- c5 J0 j$ S4 |可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
" G, B+ c7 P( I% O0 k; {, V: i; p(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

0 x2 M1 g* o* a六、蚁群算法（AS）
, |. T6 y+ w- Q/ K2 {& o/ D4 e

参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
2 |1 M& Q6 M# M+ a# K9 |---------------------
! b" ~" x. I: n: Z. H. n! f1 v& u作者：_朝闻道_
来源：CSDN

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4 g0 M1 }3 d' {  P! ^5 w" E
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