数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
- _+ o# F4 A; Z  j* g+ S7 ?$ C6 a1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
) h: V& _% b1 N6 B* aPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
1 x1 o' f! F5 J8 {7 V/ p( g
基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
# {- P# d2 S4 U& C* X2 e7 a" O& x4 _粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
" q6 E$ q$ X8 E' H7 `( ^( d3 o
! `. W9 i& ^8 b/ \; s. p% U
二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
7 K: [7 M$ v( W$ S4 j4 ]设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
  e/ |, f& R2 y1 i( t+ h热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法

产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
2 J( U& j4 e! C0 s% `根据适应值的好坏不断选择和繁殖
+ P0 G! d9 V, C1 y% P' h若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

! M+ P' }, {0 {; x  }四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
4 P- E$ g5 x/ I适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
, d, G! L; a+ T: O7 k遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
  T3 t5 X% Z4 Q停止准则

) L- d4 X$ n1 Q3 \3 V) o& |参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法
& L+ N; c. G' ]( Y4 H
* q7 {, |2 q3 [! \& W# {( V和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

1 I) Z9 H; D! ?9 r  C3 A! T6 W6 @& M五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
/ {7 A, C4 [% \5 q- _3 k缺点：
8 |* n3 o  b; R: i1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
. ?2 C; W$ Q7 T0 A4 M2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
/ {& o* f! K6 @$ Q. }/ }a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
. e# e) H4 w! P+ `b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
: [5 i3 v8 a6 V7 p6 ]" p( c(2)初始解的获取
9 C" N; g1 G; o可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
' I! d' |$ G5 W" V& @3 c$ w8 V' C. Z(4)禁忌表
" r( H6 _0 T- k- G$ u. K禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
- }1 d) L; ]' ]- b3 Y6 ~/ q, `; ]A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

+ @7 j: I0 `* x2 o" h% r% n3 j六、蚁群算法（AS）


+ S. z% _& p; H. B; J9 Q参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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# ^! V8 r; k" h& ^作者：_朝闻道_
) l9 v" ]2 B, S0 e5 Q$ t% M+ V6 ?/ s' D来源：CSDN
' y  o" G7 f: `6 z% z  Q! i4 |; H

* C7 _/ v' ~% ?2 Z/ l9 [
7 }5 o* ?0 w. A/ ]5 Z0 h
) ?3 ~" a$ C$ Q. h