数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
4 Y7 z* A0 i1 W/ M; E  C2 `1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
2 S, O8 S3 q& S2 i( Z( i" y
3 h% X! q" J' r$ ^5 q一、粒子群算法（PSO）

) ~$ r9 ]& A. q1 I+ i# Q1 G. f算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
4 y1 ^: B1 w# [1 T& K% L7 V+ KPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

3 X8 V" P6 Y- M. n# A* `1 c4 I基本PSO算法

9 X) V, B; n% F7 u. ?0 mD维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
6 [' V8 v# T& `1 S/ w& H/ `6 \粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
% v# B/ `5 U4 l, ]3 l) I% R4 m粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
: a/ x  P4 b7 r! F. `
, Y1 r% k" ]! `  ~& s
二、模拟退火算法（SA）

0 e, r+ i% Y7 \$ Y' ?# P8 \. Z1 J- C模拟退火过程：
2 |" t7 ?# L% H9 `0 y3 y设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
+ V1 x8 c' v, W5 E& K0 h+ R热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
) L. ^6 ]2 @- c. s1 r* X
/ {% s! y% y8 z9 ~+ _2 V1 T0 }- r产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
9 S0 t; s3 _. A2 @7 i# P若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
) _5 P; D$ F; U/ [/ Y' A
四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
: q/ q; G/ H8 L6 h  {遗传运算，交叉和变异
7 z, _/ t" x! C; P5 O  O选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
) @9 B8 l4 O' y停止准则
7 E7 u) c& r3 l: @( O3 U8 K6 {6 I
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法

5 ]; Z5 ]8 M: Y! b和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
' j+ n: j/ l" ~) k* w4 O9 T9 E
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
* f1 F1 A) c/ t8 N2、局部开发能力强，收敛速度很快。
! V5 O+ z. X# ~$ h& k缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
: f- J5 s$ V. p& Y' z0 `: y. b7 E( d' _2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
% m8 Q& m) h; z! ^a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
7 I% \) H- i5 a# m/ Z8 \4 V/ x0 N9 vb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
! |8 o1 ^" G7 d(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
2 x4 y' O1 b1 K, w移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
* P/ r1 o/ `) I# E! F2 ^1 F(4)禁忌表
! q3 ?" |0 ?( f& E% ]禁忌表的作用：防止搜索出现循环
% H: T4 _6 ], }9 l. g* [# J  w(5)渴望水平函数
) c# L0 C; o1 ]+ W7 q% e# Y, ^! lA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

* e, ^' e* W% v) S0 K1 H3 {4 j8 f六、蚁群算法（AS）

4 {* a7 z1 p; h* Z! C+ P& L4 o
" o5 o9 R/ @6 C) _7 k+ {参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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作者：_朝闻道_
+ D4 N0 r8 ?/ D% R来源：CSDN
, N& [+ ^# d2 {4 o7 E
" A! [2 p$ G0 f