数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
+ T. \% i. A0 W: {- E数学建模问题总共分为四类：
: t6 ^; J. w# E6 H1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

% V* b& r- e7 O0 S" N算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
2 v( v* F' e- m" i8 T3 u5 C0 O
基本PSO算法
+ L: q. a! Q( E* ?% D4 y
( l. r6 I4 `4 d% K% l4 AD维空间中，有m个粒子；
: e! z# a( D, b. u7 b. w粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
$ ?' E5 a. o1 S# M4 f( G+ Y2 l粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
9 p7 F: M5 h) t2 d粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
. s: Y* \% @" O: K" }% Q* u: }群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

- \& n: h3 y9 P
二、模拟退火算法（SA）
7 O1 F0 ^- J; o( H, }
* o$ x, Z( b+ p" k  |! z) V模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

' P& P, e3 o- I( S5 x8 D三、遗传算法
  o. W# s6 j3 g
2 H1 z3 b8 {7 {+ G8 i9 Q' G$ A  b" O产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
% x2 e# t6 X% r3 ^6 h2 v  P
四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
( v# e/ p' D" l% V适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
3 m4 v, v5 ]' V) J  H# K0 j选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
+ l+ c" B* |0 G5 L
, J- k; \6 x' Y2 ]" R参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

/ x- I, Z. c2 ^5 a3 E8 F: ~; i1 g四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
: g' @) x6 c* n5 a) j" a  ]$ d5 ?5 d
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
! S0 X1 S& a, G5 \4 n+ l
) B% E) N4 m9 M& C' T4 ]又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
/ q& s* [' M5 E& E) e缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
4 u. t) T$ `% X9 a" Z9 }2 h: y' D2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
" r/ v( Z! ]8 b. f% d& T2 j/ V
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
" h; z) W" H5 B可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
, ~# x  N" H/ n6 z(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
/ x3 R+ G7 @# n; |3 g9 s(4)禁忌表
1 l/ Z9 y4 a4 [3 w- l6 G8 [: |2 v禁忌表的作用：防止搜索出现循环
1 J  {8 C) t& k(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
! A* {7 o+ R: k* w8 G
% a. L- i8 U# y" S六、蚁群算法（AS）


% `9 ?% `; x& w9 K: L# Q( B" S参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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作者：_朝闻道_
5 x6 {4 Q- }2 J8 U来源：CSDN
: D# r2 b3 X6 f/ n8 J

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* x  ]  S: a) w8 h