数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
+ }/ `7 e3 Q) [1 q! {
  X- l( S8 u% m( _算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
, R+ ~- e( I; |3 u. V% ~3 gPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法
" u; I: @! }/ w3 [# [# g  v" Y5 t
2 h: s; a( n7 q* d, [D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
$ Y# O% R. E, D9 [: d0 h  b8 O粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
/ M/ y; a7 F$ O; ]& Q群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

0 j+ g0 ^* \3 x' P
二、模拟退火算法（SA）
7 |5 |4 n0 }) q- T
模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
+ x/ l$ F6 q. T2 B
三、遗传算法

产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
9 D" \7 J0 m  J) v+ x. o根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
  P: A! E& |" F
' A; u8 `" F0 t' M) Y0 c5 L四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
+ M4 Y" t$ F* f3 T0 M$ U6 Z选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
" ?" V/ H0 k4 M2 \8 V3 h; ]停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法
- _3 ]  j/ }# H  v" e
" {" s8 G  l; K0 I8 O/ e' h- g( T和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

: E- [3 v! G# h. Q- f6 S7 K又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
# N! s4 O1 n& B4 L5 h; `8 a8 K% ^, W1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
4 D& v1 U2 X7 j1 l  P# u% U* k2、局部开发能力强，收敛速度很快。
+ @" G' l9 h9 G* G( W' O缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
  L* W: M8 v& B% }  A" k5 A& D7 a2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
/ \/ S8 X: A# S0 S& v# S可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
4 I5 g% D3 X: P( Z, d0 n) n移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
+ U6 L, Z' ?' F2 G1 I(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
( ^* m  l. v' ~& C$ R9 x(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）
5 M( C# M/ {: Z0 Z2 }( n/ m

参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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. L* B$ h7 Z) T/ K4 L1 A  \作者：_朝闻道_
; o" O4 b$ E- G' I2 U+ J来源：CSDN




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