2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导
' H+ p1 N4 B. B, i
之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程
) r4 d  [3 f. l2 b; s& x# t% N
3 A8 Y) Z; r( A今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了
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3 s5 l3 ]* d1 ^3 a
询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了
$ u$ l9 r4 p9 ~5 n% r$ L
经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。
  y7 G, B4 d- E
但是！

/ f/ Z$ O, o( _6 r! z' K5 ~数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。

& L8 }- T8 \9 t: e. _* j- J6 v( Y再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

这里统一对大家的问题做一个回答：

本题适用差分解法吗？
) G' e# f+ @5 p7 M* z/ I
求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。
; f* o) P/ X6 a
9 e( F* q2 x2 x; u5 w9 [5 A, U1 N- S差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。
* f& ?4 E& I- O1 F
! L5 M  }: ^  H6 G/ @. }1 t' |有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。

) P( T1 u4 a& q本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设

本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。
( i2 S: h( i: \
( I! r$ f/ n4 d# s, K, j8 @' R: B既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。
% v. t. G; ]8 K- o
当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

是否适用于多层壁热传导？
9 l; f5 Y  [& c0 v
评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？
- h' b0 i$ L, V6 ?& ]  P. f
9 @% x3 P! L2 w% v1 J# j其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~
+ _0 S' h0 y- A* I6 l
$ y' i7 K9 t) p7 C  e! v' z答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。

" {7 o& Y! h% M! l, n! W8 p" A思路1：
. Y! D6 ]4 B1 g/ ]: Z
2 J! ]5 v- L! Z+ h8 X  C你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。
% Y/ \" ?( @" m6 x2 |$ `# e
因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。
' \. N" A$ y7 {* n
这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。
( _' e& ^6 U! _% d  S. W7 @
$ K! P0 i4 k' C8 u% [+ n思路2：

/ s8 G- p" z. b' k+ Q) l, r我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。
. |6 X0 Z( x9 d! ^" u% O
这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。
0 g% i" L2 s- y, Q8 s
这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。
# N" j3 ]) Y% d+ W
( p& G1 E3 E. B  u! h  V关于边界条件
- G4 s1 {# M8 T+ U) M
构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。

. a& d% O6 Z- `3 {5 q; h$ D而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。

之前文章中给出的算例包含的边界条件是：
8 O* Q. `& ^6 `% x& T% c
u(x,0)
* d% u1 y% g  A$ W. l2 n8 f
3 {- Z1 z' {3 p5 z$ Pu(0,t) 和 u(1,t)
9 x8 g" x9 s7 p; n
在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有
8 S1 x/ ^1 K1 R5 h9 h
, l& ~* a1 c5 n7 q+ ~首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个

但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

+ u" R3 l8 f% N/ [5 e比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
+ ?3 \6 p. x% ^' ?0 X$ ?
这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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7 c/ A3 Q9 A) l* N. n& I
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