2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导
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之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程
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8 v3 C3 g# P' J今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了
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- {6 ]  D" D- h0 b6 a* h& b3 M3 Q' t询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

但是！

6 M2 P# U1 \. A# w数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。

再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

这里统一对大家的问题做一个回答：

本题适用差分解法吗？
* f7 O' G9 x9 A/ H+ W
求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。
$ }" N# p% \1 p) |( N  s7 i
差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。
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有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。
3 V$ l& s4 t% w" }
本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设

本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。
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0 e& ^6 J( F% Z8 ?% W5 C既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。
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当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

是否适用于多层壁热传导？

7 s. M' J) f" M评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~

答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。

- C/ [2 X* b% _" P思路1：

4 P! E  L' Y5 e+ @' \( R你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。

4 c# U* h1 p2 e/ E- l: J6 R5 E' Z因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。

+ [9 K" i2 F' S这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。

思路2：

# r7 }& W' i0 j  @. k- E6 k( f我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

" [% a: T9 x, f% e$ G这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。

这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。

6 O! F0 A, m. q- k8 s# @关于边界条件
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构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
5 G& Y3 g: d9 P& d' y% x4 X' ?5 x
7 ~6 @5 D6 O2 V! b. ]* \而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。

之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

8 H( f9 X3 B4 `  B2 ju(x,0)

u(0,t) 和 u(1,t)
* k! W8 V) q& K
  w; v7 Y: z4 i; E6 U3 g在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

' ^. Z) ~# L% g! g- j) S7 l5 [首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个

但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。
5 @& k0 [, E# O7 c
" I/ V4 B- c) ]! \# p% V7 A* t比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
$ ~; `! ]  m! o' e' ~* Z6 U' ?
这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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