2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导

之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程
+ E0 {! H2 I3 M8 `/ }" S/ w$ x
今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了

+ `0 Y1 l6 z! y" F9 r+ E5 _, k

' N8 j  P9 D2 K; l. i询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。
* N1 N; P& A0 B' K  L1 y
, f  d  `0 J9 c$ V: r/ ]- p. g但是！

  l3 h8 q# e5 Q- H6 _$ i" q% k* J数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。

再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。
, O2 j# b4 m3 h$ H6 h* A' Y
8 C& x$ N- p1 `4 {) E; |! O这里统一对大家的问题做一个回答：
& w" k* x+ K7 r& i$ Q0 |5 f
. E* n# N4 u# d7 I% T0 a本题适用差分解法吗？

求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。

7 _/ F+ `, M$ V, o( b7 K* f差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

' Z( i5 [# u4 J# L/ [有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。
+ Z7 ~/ {' H! Z' O- u( k+ e
; j( S' j7 {* \1 N本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设
' E5 K8 R- R/ p2 |; @& q0 F
本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。
' @, X% H% d( \+ o; L( Q
. S' \: m" M' I$ ]既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。
1 }4 `+ g. G0 {+ n
2 j' c, t& }" G  i$ E当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

是否适用于多层壁热传导？

& y2 R0 ?( {' ^3 m, T. e评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~
" v% U  R2 l* D3 R0 k
答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。
. e4 ?& c9 g# [5 S
5 P& P0 l  l8 ?9 Z思路1：

9 D8 r( u7 F0 b, s1 ?: o' w你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。
2 D" a  X1 x% @3 k3 y0 r
因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。

这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。
3 |9 U# T+ g9 v# O3 r& g: q
4 g8 l% j4 A& p. g, X思路2：
1 `6 F1 c" j4 Q
  H; F# X* F6 n/ u( D' i, Q7 C/ P& e我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

; [4 r/ s  o+ A5 [/ v这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。
2 @: u/ G/ d2 \/ x6 T4 V
这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。

关于边界条件
; y" n9 b( j! r6 l' L- Y$ o
8 t9 A- ]! v7 R+ s9 h构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
  `: @6 ^8 m. L; b1 T
而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。
# o, U2 L' G2 H9 G
之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

2 [# R$ x+ E. N$ \% ju(x,0)

u(0,t) 和 u(1,t)
- S0 x: Q) K  ~: _) u  H
: E/ |$ e7 q. i6 |, \1 g# R1 x在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有
( R* H' o- ]! l9 y- ?
. ~" d$ f  R8 r9 C% {首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个

" X3 ~2 o) x: T, i但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
5 N9 C5 U% k8 v
9 b- j: @0 t$ V: ?/ U  \3 _* K这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
---------------------


4 w. l. v, O0 ?