2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导

之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程
6 u9 [0 S0 p0 i8 M5 y2 }) v
今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了
7 u0 E4 G' ]' A( h


" e& o6 m2 Y6 @4 L5 c询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

' i% }# I' h) J6 e经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

3 l4 q6 l( U: \8 {& G% X但是！

数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。

再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。
$ Y1 d6 u8 c; [7 u
! C: |! n  `9 a6 m这里统一对大家的问题做一个回答：
  \0 P1 C$ s5 o3 f% _- D* x3 v
- B+ H+ C4 g0 e% p. j2 W, N) H本题适用差分解法吗？
9 g8 u8 f2 z0 ~( p
! p" I/ f' R) E  S4 Y求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。
* [4 ?2 z/ s/ i8 M
/ \6 s" _9 ~, K1 e4 q4 [5 ]差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

1 o7 {1 {4 ~4 d+ j有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。
- B; H  U% B: W, A; h
% d; \. ]: l0 c/ M4 I! |本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设

本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。
* I" f# Q7 a' R" v
( W& W- k- ?6 q! r& q! ]- D既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。
2 s1 k5 g# N( ^- c/ u
当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

+ Q- S/ Q2 f% Q' R; X1 w  u是否适用于多层壁热传导？
/ \- e( ]5 [& s; T8 Q
; O+ f  F* x, q% P* |( s" i: |8 j- M$ @% y7 z评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

& R% I7 v  J0 y  ]/ m其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~
+ O7 C4 H$ T/ ]+ K' k7 U9 t
答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。
+ U1 R* j* T, r1 M$ t% a) i
$ P8 Y1 ~  y5 p0 \思路1：

你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。
+ t2 U; R; z; F$ c( h
* }, ]# n; i, j  d) o9 I- E- |因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。

这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。
6 T" m7 i, ]2 ?  z8 z+ M+ p
, o2 {5 `. ]3 m2 d; n3 ~思路2：

我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。

$ e' G2 r7 |, }0 `  |这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。
- ?, B, z7 ^, [3 l- t" Q' ]; Z
关于边界条件

构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。

6 T4 s7 q6 W& K/ k而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。
, O1 G) a: Y" h5 a, D# g0 S. k
4 ^: x$ P- S( k4 x& X4 d9 W之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

u(x,0)

u(0,t) 和 u(1,t)
4 x8 V" ?! b2 @9 U3 m5 l& Z! L
在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

2 k3 ?( b9 ]! t( e- t. p8 i/ V& B  p首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个

0 ]% L) G/ D; S5 E# y5 |% w但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。
, o/ }  h: ]0 l) ^# A" {! x* I; A
比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt

这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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1 ^# c+ v& F- S" r/ f
$ x+ k8 R3 n* s( l$ E