数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
$ s1 f) K. D# G8 o3 @. {5 ~" s/ J3 ^% ~优化算法

数学建模问题总共分为四类：
, c7 I( Q" L8 n4 b3 `: y# v# r1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
1 \1 w0 K! a: F( e, U+ z$ G, o
一、粒子群算法（PSO）
& v! y' k& t7 K! a6 r& A8 ?
/ I4 ~, E- T- ^* s- a7 x% r算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
6 a" `* N/ E7 F" v' XPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
" [' H* `# T) }$ U6 U
6 H( R$ k2 n% t  K& F1 d4 S, l基本PSO算法
) [# O; U9 {+ _" L: o; ~9 R5 V8 l
5 ], T/ M# y  PD维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
8 m9 ^# n6 ]2 w9 g: s7 w粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
) q1 d1 E8 B$ T/ S' Y$ Q7 U! `粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
1 U$ N/ X: }: B; g; r0 }群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

  q! y2 f. }* E1 q0 B% h
* u  k' M1 Y  @  }) G  x- M二、模拟退火算法（SA）
7 }% R# B  I/ T7 D5 M# u
模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

0 b. K& [4 R/ y) N三、遗传算法

$ W2 v1 J# v: L2 j* o1 c3 L产生一个初始种群
) V8 r4 K) r* s根据问题的目标函数构造适值函数
8 K+ n- `, A1 T) h( ^根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
+ S5 C7 s3 v" b; Q2 r停止准则
6 U7 X3 ?4 Z5 M) L' i: s2 K2 ~
6 A5 C) g8 }0 |  v9 o参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

" ]* Y2 s/ B1 G2 z, P2 ~; Q四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

6 I3 s. o/ I' j" k/ g五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

/ E6 G! N$ h; K: v' j" f又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
( r5 R; b6 X( E1 h; w$ @1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
, J6 {6 J. D3 S缺点：
; r( z0 o5 q' ?/ ^4 S+ s1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
& [; o/ X/ \# [1 I5 t
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
& c/ t5 E7 _/ q, R$ N2 ka、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
! m% |& c' Y/ c+ k3 u- S2 Ab、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
) l4 A" S5 w" Q; h" B- n可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
8 {3 t* q- t/ u% D(3)移动邻域
. B9 U! V0 h2 k+ I! ~移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
$ B" }, U) l9 Q: h3 c5 @从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
  J! e% U& H0 r  a' Y, I3 {6 J% F(4)禁忌表
! h& g/ C$ j3 R9 T禁忌表的作用：防止搜索出现循环
' R5 c- A$ K4 ]$ `! ~. l(5)渴望水平函数
6 y5 a7 E) ?% T2 X6 AA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
7 z8 i& Y7 g" e& B/ |% I9 G
六、蚁群算法（AS）

- U/ {' a: d4 t2 v
/ f0 H. k# y+ W

; `, ^4 y3 o3 D& n" w/ ]


4 i; k5 w9 ?0 B
6 ]3 [) E6 f1 r" [% e


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