数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
1 {0 L5 w5 Z9 J' B' u优化算法

数学建模问题总共分为四类：
0 N2 ^$ \! e' q3 [1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

' \7 |) X- c! |9 f$ [算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
  \' C! q( ]3 k/ EPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

6 o! X- k6 a& m! e7 G基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
2 g! G5 n  ^, g' S+ o粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
0 t/ P, Y9 {/ Z: S# a% W6 s粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
( y- ^4 i- z1 R8 M  m粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
/ o$ F3 S; L: u5 u群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


0 m5 a. f+ X/ F, V& j二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
( f) v( \* A/ r8 r* @) V' Q9 r
: y8 s) k9 D% T* p2 w. [三、遗传算法
7 r) t7 `* K7 x" z
产生一个初始种群
0 ]$ Y7 A& v3 I. z" R根据问题的目标函数构造适值函数
6 v: _' h0 I) x4 ]& r/ v9 [/ {6 Y根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

  n6 k  a2 R# O" P! h6 ]7 {* z) q四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
4 _5 W$ }" M) x7 X) f- M适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
- D$ I8 O& H( U  z% j! q2 W$ m遗传运算，交叉和变异
5 `. r% J6 g" x1 Y) F选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
, l, @# F) Y+ V8 D
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

. L6 B& `( T, E四、神经网络算法

# E  Y' K6 j" a" @( N和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

3 w* C/ y" {' e" U) F五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
5 a: N) p% ]: E- w2 v. O* E
* x. q4 R( `# \4 M. ~2 z3 p又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
, x. g1 x9 ^: _, y, s优点：
' q2 G0 _4 W2 z' i1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
. U$ w4 Q- w2 f& A缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
7 {+ @- W( U) B" o& `5 k0 X7 v2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

7 E+ I2 b; _. Z将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
* I/ r" y/ ?! x" M4 P(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
9 r! H7 T( ?8 L) l(3)移动邻域
* w0 }2 U& M: [+ I8 G/ ?& j9 z# v  M移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
) }2 v& d6 e2 x: O. ~6 e从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
( q& l" W5 \0 r7 Z2 V/ b* A(5)渴望水平函数
. q; f# u, [* v3 y" f  k! CA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

6 Z4 y. n0 I6 k# h: O& a7 [1 `) `  A六、蚁群算法（AS）
3 F' s+ l/ ]2 S


4 v9 R# A, v; Y

* b, |$ u- K; f0 i9 q
( n4 X" b  t, d# r! c, |




6 B1 a; n" X' j0 z5 I