数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
优化算法
+ U" x6 ~- l7 s, R* e2 |$ B9 }
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

+ I, E: F. ^3 |( h) [+ B6 E一、粒子群算法（PSO）
8 ^/ s$ d1 h% A0 {
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
+ q( `1 k1 l9 r2 L
基本PSO算法

  ?- I# Z1 y9 CD维空间中，有m个粒子；
7 i% l! x% m. N: |粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
1 H2 x2 _# K. e) x3 {( {粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
* t/ l5 w# i. c粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
" V* q4 p( A8 ~$ A0 R3 I& f4 ~% j群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


二、模拟退火算法（SA）
+ O' R0 U! [. b) ]& T' Q
4 U1 |% D9 A; m: s! f7 U- [- ^模拟退火过程：
6 Q- W& p9 H  Q. P. K$ |! }% R设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
" x2 D5 Z! i+ |7 }/ X
6 S" L+ X( I5 L三、遗传算法
2 I; L: b$ k( q  t* \
5 p7 _+ K( I$ F" M2 l  I产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
, f3 x2 E" j' @9 ^8 S  k8 x- s根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

/ H, c$ P, a: }& D& i/ T1 p& b8 h四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
4 n0 c# t9 g& N适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
7 H7 u* a! r: j# n遗传运算，交叉和变异
3 P$ f0 `# A; Q( c3 u选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
  j' u% c' t. v) \, o( g# @
9 f9 F# _& U5 Y% ?参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法
$ R4 A9 |  q+ u
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
6 o" x! o* n% J1 r2 i& T4 f
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
3 e' O# Q  W3 C" O" T4 n
  E, t3 [& e2 R' X0 @1 L又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
$ I* l8 Q) I  c7 h, O( c* m2、局部开发能力强，收敛速度很快。
5 r2 {- d2 g7 D1 l6 Q7 g2 [9 @缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
8 W  m2 q" a. D0 A  z2 I
0 I* |3 _7 _( k. [* k1 B$ h! X! D将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
4 x8 Z! W5 S# ia、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
' y1 g  p5 j/ H! I. H0 L. }( I0 P(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
, H/ b  L  h4 n9 z1 {& ](4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
7 }/ A2 E8 _, s# @A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）


; f% y9 S3 P  M! ]  U7 `7 l  o

- [; M, Q& _0 S2 ^2 M0 T* \

- ?. O$ M  i- w5 N: k



! n/ o- O* J, o( w; A: o# y- h
7 b: a1 D- E5 o( d3 \; v