数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
优化算法
6 {; p: t4 Q' V8 |; l. {( X% y# W
数学建模问题总共分为四类：
" d& R/ n% z% E! n1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
& w3 \5 u" i+ o/ F
2 w! Y) V+ U7 s6 ^一、粒子群算法（PSO）

2 ?" n; D. V9 W9 p算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
3 w9 t9 ^0 I% P6 NPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
+ h; U$ M4 i* [' t2 a7 M
基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
" C! o. r7 t0 w5 s! W$ |! h粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
$ |6 H5 v; {) y2 h8 @9 r粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

% F8 c  `* t6 y( W; O; R
2 D: D6 {* j  H6 n0 U二、模拟退火算法（SA）

% y& \  C) U' g" ]% R模拟退火过程：
" _! L0 @% j% r. @/ ~3 k设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
6 _9 h" l6 h# q7 S7 `% ?/ t热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
6 V/ s# [; d( o降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
2 d3 O( |0 l+ h' `: I; f* K7 n$ k
8 I* N. c4 O1 p# @) s三、遗传算法
7 d. Z" A3 d, I3 N4 @
产生一个初始种群
4 n. k* V, u* a( @2 h7 w6 _7 K根据问题的目标函数构造适值函数
8 a9 q: F& H6 z: D根据适应值的好坏不断选择和繁殖
+ r: a; v! j- u若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
( }+ {  d4 s+ ^# n4 C0 ]
四、算法步骤
初始种群
1 `7 m) d, Q. u/ a, O" L0 i编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
; Z; m+ G% @% ~0 L. q适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
& |) h" c+ C9 l4 x  ~0 ]遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
$ F4 p* F! e: x. w5 n. G( Q6 F9 B停止准则
, _0 P$ |2 L; l: R# @
- D( e' m3 Q* t, q  o  i+ @; w1 H# U参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
5 m0 X( c+ l1 V' N' Y9 R
& g$ {, m! E6 O5 Q" P/ P4 Z四、神经网络算法
7 l; s  Q( O6 S1 b" ?6 o) ]
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

7 e) k5 _( Y( J! S五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
% S, ^3 A' M. y: o3 ~优点：
% o' U7 s1 j* g% M1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
. C# x6 ]6 c' R0 o2、局部开发能力强，收敛速度很快。
! E4 r6 g6 K& R4 l7 w缺点：
" Y6 H( ?" t+ h% r5 e; B/ S, }1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
% t& O: R7 f! h% V7 ?1 Q2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
- @7 P1 t6 j/ r% L7 Ca、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
9 L$ ^' F0 u: e, I9 \b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
* }& b$ u8 x" I3 z) J7 a可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
0 K) S. N. v1 F) K" \(3)移动邻域
  j1 t( j/ f( R( j7 {3 c9 v; F移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
& Q: J. z% |" F/ H: y$ A从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
. K3 k2 o% p, }$ j( D, p: t3 Z4 o禁忌表的作用：防止搜索出现循环
2 Y4 Z5 i% v( [0 P7 i8 r, [: l& h(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）




) H* u1 k2 k  z1 |) @( N* @
" X. ?/ K) _+ t. [5 x& d  B5 A


) }6 D. T& m- t( P4 ?, @


$ N5 j# q9 X+ g- A0 y