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[建模教程] 数学建模————统计问题之仿真(四)

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

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    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    1#
    发表于 2019-4-10 10:59 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    数学建模————统计问题之仿真(四)* ?& N# S& K; B1 P+ O# e
      仿真,顾名思义,就是利用计算机模拟研究对象,对于那些用数学公式或者规则描述的系统,计算机可以将其通过数值模拟出来,还能实现可视化。就好比我们看的小说一样,创造一个世界,需要有初始的人或物质,再加上法则(规则),那么这个世界就会逐步成型,仿真也是如此,我们需要给这个模拟世界一个初始的状态(包含应有的数据),然后告诉他运转的规则。! c' D, p; A: d
    ! Q9 |+ E' M* F; S2 Z7 p

    ) \% N9 l! L; e% f6 v+ L5 h9 L
    : M% ^3 E1 F$ k5 J( d# b9 K' G2 t       真实的系统往往存在着很多不确定因素 ,比如:要模拟某条道路的交通,我们就得知道路上的行车的情况,除了基本的交通规则之外,我们需要的是车辆的模拟。一般来说,我们都会给车流量一个分布,这样我们就相当于有了一个车辆生成器,然后通过行车规则,就可以完整的模拟出整条道路的交通。
    + t, Y/ K8 @1 Y1 h5 M+ r8 q5 F       不过,大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标,然后仿真不同时间的情况,就可以实现交通状况的数值模拟。当然,有时候为了论文(观赏)效果,还可以将整条道路分成很多个小块,当车经过时就让小块发亮,这样就可以看到整个交通的运行情况,这种方法我们叫做元胞自动机。
    " y3 }0 R! U8 s9 s& Y, l: L' m0 g% X7 ?1 {/ ?

    ' Y* y; _1 U' Q2 z5 F9 P' ~        既然是模拟系统,那么就需要一个系统的推进方式,我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动,然后推进下去,而事件步长法即每发生一件事情就推进一次,当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。
    0 W5 Z) ~9 v+ Y2 @6 c
    $ f0 t5 B. f& n5 @3 a4 j9 [  ?+ K       上面介绍的仿真方法都讲究推进,也就是说是动态的 ,除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟,下面给大家展示一道百度校招笔试题:4 J4 E* @: v2 ]6 ~$ ^/ E* X
           在平面上有一组间距为d的平行线,将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上,求此针与平行线中任意一根相交的概率,用高等数学(微积分、概率的方法)求解,基于布丰投针的结论,任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java),写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用),求解圆周率。# E) l2 k9 q' `& _
    注:前面的高等数学部分可以求解,已证明这个概率=2l / πd,另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ,l是针的长度,φ是针与平行线的夹角。
    . _3 N, }- ]9 W+ x( b, Q% ~7 P' C! e& B+ k# i: O3 ?2 H
           现在我们知道了规则,那就是x≤l/2sinφ,为了模拟各种情况,我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟,然后计算符合规则的概率,最后依次计算圆周率。
    + ^1 l. N  h  y
    - T  L4 N* I+ ^% L2 d( b( a1 A2 p- S* C$ j

    6 R8 Q4 f7 G0 I6 z' ~
    ' R7 I# v; l# |clc;clear;close all;
    3 N# s8 B3 S+ x( e, F2 _! }d = 2;%设定平行线之间的距离
    " X/ K, ?: }8 P$ zl = 1;%设定针的长度0 D- ^& {( g9 }' f% q2 m/ p3 p
    n = 1000;%设定投针个数$ v! Q% M& T0 H+ g6 q! [
    beta = 0 : 0.002 : pi;6 b/ t7 J% ?) `, b# z
    plot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线
    - j+ f, Q9 D* v/ J) D" y) oaxis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2+ A0 g5 @8 r: h; |5 M& T# T
    title('蒲丰投针实验')4 N, T7 n/ F- q9 c4 y7 ~
    hold on
    ' r8 O: L$ [( \5 p, `beta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度(0~180度)8 q1 {2 K" b6 w2 A
    x = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心2 z, G4 }* e  p4 Z7 `
    m = 0;; x  L/ a) p2 ^& `; h. O8 s
    for i = 1 : n" J9 J8 F4 v3 w9 z/ O/ w
        if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))
    / f! {5 k& \# Y: c4 i        m = m + 1;%符合条件就增计数
    ; }: Z! z# g' ]. q8 g        plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
    ) y/ s# r  u) z$ |0 I& ]% Y        pause(0.00001): d7 b% @7 l8 e/ s$ q) ^# j" x
        else
    3 d" t) x  m' ]3 a; n; M        plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
    ) v1 R: ^8 k$ d# B" i/ E8 ]0 S       pause(0.00001)
    $ \9 X! d0 _9 R+ e6 ^    end, T0 ~( e4 m% h
    end
    ) o6 i6 R6 D- V0 J/ e+ `p = m/n;%计算概率3 y/ d8 O* u6 t; I1 p
    pai = 2*l / (d*p);%计算圆周率& k$ b* N' z0 V1 X! }, ^+ c0 j, h
    disp(['圆周率为:',num2str(pai)])  s3 |9 O8 m3 `% g. }5 ]& S
    + ]# m0 T! J7 C4 Q. a. b3 h. M( B) T
    6 u/ q( n$ P! c5 e' U9 K

    ( j, i/ E) A2 p/ o7 ^+ V结果如下:
    3 z) O! S" u: }# u
    $ J6 N' E3 Q: E8 W6 W& K3 m
      K: T2 ?3 C" y0 ]" m- a8 c; R# h; F$ V2 E

    2 O7 c* \2 r( d% {  k1 k
    & N* R/ k" b# x7 M# O1 f; `/ c3 P/ r. y$ x2 y  S
    / E6 Q: s5 }5 i; r0 N  S6 S6 c

    2018全国数学建模总结.docx

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