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[建模教程] 数学建模————统计问题之仿真(四)

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

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    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    发表于 2019-4-10 10:59 |只看该作者 |倒序浏览
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    数学建模————统计问题之仿真(四)
    $ i/ }8 r( j, g+ N! H  仿真,顾名思义,就是利用计算机模拟研究对象,对于那些用数学公式或者规则描述的系统,计算机可以将其通过数值模拟出来,还能实现可视化。就好比我们看的小说一样,创造一个世界,需要有初始的人或物质,再加上法则(规则),那么这个世界就会逐步成型,仿真也是如此,我们需要给这个模拟世界一个初始的状态(包含应有的数据),然后告诉他运转的规则。
    5 G7 M! }; v. y8 R6 i6 U. \
    , \% w' P% u9 z4 n) r8 N: T( \; E! x8 ]4 g& _" s8 }0 r
    " }; J# s: ]4 u& [' O% N
           真实的系统往往存在着很多不确定因素 ,比如:要模拟某条道路的交通,我们就得知道路上的行车的情况,除了基本的交通规则之外,我们需要的是车辆的模拟。一般来说,我们都会给车流量一个分布,这样我们就相当于有了一个车辆生成器,然后通过行车规则,就可以完整的模拟出整条道路的交通。' g# b( g. f. s" g5 O9 ]. `' d
           不过,大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标,然后仿真不同时间的情况,就可以实现交通状况的数值模拟。当然,有时候为了论文(观赏)效果,还可以将整条道路分成很多个小块,当车经过时就让小块发亮,这样就可以看到整个交通的运行情况,这种方法我们叫做元胞自动机。
    + o4 W2 \, n9 r0 ?% Y
    " X. k6 _; C. I- I: Z! w6 ^$ R% ]9 Y, J! g& `, Y
            既然是模拟系统,那么就需要一个系统的推进方式,我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动,然后推进下去,而事件步长法即每发生一件事情就推进一次,当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。
    ! H. D5 n( r6 v2 k' E. p7 z+ i  o+ q" s' U! l$ j% F% F
           上面介绍的仿真方法都讲究推进,也就是说是动态的 ,除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟,下面给大家展示一道百度校招笔试题:
    ) U2 z2 h& v+ Z+ x* L& R" \6 ^/ q       在平面上有一组间距为d的平行线,将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上,求此针与平行线中任意一根相交的概率,用高等数学(微积分、概率的方法)求解,基于布丰投针的结论,任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java),写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用),求解圆周率。
    - T# e+ J+ L) y7 b6 }7 e: A' M注:前面的高等数学部分可以求解,已证明这个概率=2l / πd,另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ,l是针的长度,φ是针与平行线的夹角。0 d+ k& r  {  u7 I/ a& H
    ' D1 G) i$ s* m, ~0 Q' V
           现在我们知道了规则,那就是x≤l/2sinφ,为了模拟各种情况,我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟,然后计算符合规则的概率,最后依次计算圆周率。4 v3 v/ e* M/ t! ^

    ' _3 X" N) x, {( C$ H: Q5 N" h  G) g1 D3 B3 a: A1 Z
    0 t+ ]8 H, I9 D1 R. Q, o1 F* K
    - \% a1 f2 o* j& V5 N
    clc;clear;close all;
    4 ]( _6 ]. ~! H( q8 s/ Wd = 2;%设定平行线之间的距离
    ; W! q% ?  E+ n2 g1 pl = 1;%设定针的长度
    8 p3 I* b* t" i, g, Y. Zn = 1000;%设定投针个数
    / J# p) X4 |$ T0 |7 ]: K9 vbeta = 0 : 0.002 : pi;$ r* P- T" Y- }. x* ^  K: R
    plot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线3 Y6 y( c: d# J9 s4 H
    axis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2
    - D8 A( o; w( ~2 Qtitle('蒲丰投针实验')
    1 M( p: |8 q$ n# Ghold on
    ! E. r6 |; r1 }* Y8 D. `5 n9 ?beta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度(0~180度)
    . o) o" V% `7 z: ?! P( yx = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心, O* g  @: s  I% r! k
    m = 0;
    6 u: c7 Z- |! J3 l/ ]7 ~0 y# `7 Mfor i = 1 : n
    , |9 c; |& Q+ [  e; n4 H    if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))  w% o& t* s" U3 L: d+ Z( \
            m = m + 1;%符合条件就增计数5 i- d( s' ~2 h, d- ^
            plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
    8 p$ O% h1 O( G2 I% l        pause(0.00001)$ [# ?% ]5 Z) l
        else& ?% m6 k) h2 y: k. |  K
            plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
    4 n, G" e$ L: j5 y       pause(0.00001)
    : k3 M& z. O, E. r  G9 S; ~    end0 Z2 ^$ Y( `$ X  `
    end9 Z- y, D8 N0 `( x7 [6 @1 j8 Q
    p = m/n;%计算概率
    - ]2 ~6 Y9 J9 y8 m- vpai = 2*l / (d*p);%计算圆周率
    / D2 i9 \& X8 ]4 A- h. Cdisp(['圆周率为:',num2str(pai)])/ [& r- @1 ]- W" M1 u2 x
    / k7 M9 c  j! H6 y

    7 h, O$ e; ?" m; ]. C: E! v6 o  j# G0 X( @
    结果如下:
    - s8 x! Y# P) `
    ! G6 _/ M9 A0 \, ]( a
    0 F7 L5 H, k8 V2 V$ M7 y- O
    6 o" ?! a. f: M( t" J/ P
    % P6 s8 c4 s8 m
    ' u. }" @; t; a% ?" T% r! Q  F  @+ l8 U) z
    * P! D6 H; x% a5 T" @

    2018全国数学建模总结.docx

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