数学建模————统计问题之仿真（四）

杨利霞

数学建模————统计问题之仿真（四）
  仿真，顾名思义，就是利用计算机模拟研究对象，对于那些用数学公式或者规则描述的系统，计算机可以将其通过数值模拟出来，还能实现可视化。就好比我们看的小说一样，创造一个世界，需要有初始的人或物质，再加上法则（规则），那么这个世界就会逐步成型，仿真也是如此，我们需要给这个模拟世界一个初始的状态（包含应有的数据），然后告诉他运转的规则。


) \% N9 l! L; e% f6 v+ L5 h9 L
: M% ^3 E1 F$ k5 J( d# b9 K' G2 t       真实的系统往往存在着很多不确定因素 ，比如：要模拟某条道路的交通，我们就得知道路上的行车的情况，除了基本的交通规则之外，我们需要的是车辆的模拟。一般来说，我们都会给车流量一个分布，这样我们就相当于有了一个车辆生成器，然后通过行车规则，就可以完整的模拟出整条道路的交通。
+ t, Y/ K8 @1 Y1 h5 M+ r8 q5 F       不过，大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标，然后仿真不同时间的情况，就可以实现交通状况的数值模拟。当然，有时候为了论文（观赏）效果，还可以将整条道路分成很多个小块，当车经过时就让小块发亮，这样就可以看到整个交通的运行情况，这种方法我们叫做元胞自动机。
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' Y* y; _1 U' Q2 z5 F9 P' ~        既然是模拟系统，那么就需要一个系统的推进方式，我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动，然后推进下去，而事件步长法即每发生一件事情就推进一次，当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。
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$ f0 t5 B. f& n5 @3 a4 j9 [  ?+ K       上面介绍的仿真方法都讲究推进，也就是说是动态的 ，除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟，下面给大家展示一道百度校招笔试题：
       在平面上有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一根相交的概率，用高等数学(微积分、概率的方法)求解，基于布丰投针的结论，任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java)，写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用)，求解圆周率。
注：前面的高等数学部分可以求解，已证明这个概率=2l / πd，另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ，l是针的长度，φ是针与平行线的夹角。
. _3 N, }- ]9 W+ x( b
       现在我们知道了规则，那就是x≤l/2sinφ，为了模拟各种情况，我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟，然后计算符合规则的概率，最后依次计算圆周率。
+ ^1 l. N  h  y
- T  L4 N* I+ ^% L2 d( b( a

6 R8 Q4 f7 G0 I6 z' ~
' R7 I# v; l# |clc;clear;close all;
3 N# s8 B3 S+ x( e, F2 _! }d = 2;%设定平行线之间的距离
" X/ K, ?: }8 P$ zl = 1;%设定针的长度
n = 1000;%设定投针个数
beta = 0 : 0.002 : pi;
plot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线
- j+ f, Q9 D* v/ J) D" y) oaxis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2
title('蒲丰投针实验')
hold on
' r8 O: L$ [( \5 p, `beta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度（0~180度）
x = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心
m = 0;
for i = 1 : n
    if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))
/ f! {5 k& \# Y: c4 i        m = m + 1;%符合条件就增计数
; }: Z! z# g' ]. q8 g        plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
) y/ s# r  u) z$ |0 I& ]% Y        pause(0.00001)
    else
3 d" t) x  m' ]3 a; n; M        plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
) v1 R: ^8 k$ d# B" i/ E8 ]0 S       pause(0.00001)
$ \9 X! d0 _9 R+ e6 ^    end
end
) o6 i6 R6 D- V0 J/ e+ `p = m/n;%计算概率
pai = 2*l / (d*p);%计算圆周率
disp(['圆周率为：',num2str(pai)])



( j, i/ E) A2 p/ o7 ^+ V结果如下：
3 z) O! S" u: }# u
$ J6 N' E3 Q: E8 W6 W& K3 m
  K: T2 ?3 C" y0 ]" m- a

2 O7 c* \2 r( d% {  k1 k
& N* R/ k" b# x7 M# O1 f; `