数学建模————统计问题之仿真（四）

杨利霞

数学建模————统计问题之仿真（四）
& _/ z; ^) b) e7 U0 v  仿真，顾名思义，就是利用计算机模拟研究对象，对于那些用数学公式或者规则描述的系统，计算机可以将其通过数值模拟出来，还能实现可视化。就好比我们看的小说一样，创造一个世界，需要有初始的人或物质，再加上法则（规则），那么这个世界就会逐步成型，仿真也是如此，我们需要给这个模拟世界一个初始的状态（包含应有的数据），然后告诉他运转的规则。



% b1 ~! G  Y* r7 \       真实的系统往往存在着很多不确定因素 ，比如：要模拟某条道路的交通，我们就得知道路上的行车的情况，除了基本的交通规则之外，我们需要的是车辆的模拟。一般来说，我们都会给车流量一个分布，这样我们就相当于有了一个车辆生成器，然后通过行车规则，就可以完整的模拟出整条道路的交通。
" ]5 _( |2 m4 V! \9 G5 V       不过，大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标，然后仿真不同时间的情况，就可以实现交通状况的数值模拟。当然，有时候为了论文（观赏）效果，还可以将整条道路分成很多个小块，当车经过时就让小块发亮，这样就可以看到整个交通的运行情况，这种方法我们叫做元胞自动机。

$ Y1 C2 p( ^0 k$ z" G2 f
        既然是模拟系统，那么就需要一个系统的推进方式，我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动，然后推进下去，而事件步长法即每发生一件事情就推进一次，当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。
  s2 V* j& b& p% Y9 M6 {
       上面介绍的仿真方法都讲究推进，也就是说是动态的 ，除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟，下面给大家展示一道百度校招笔试题：
# {/ G: i6 w5 ?. [7 C; F: C" ~+ @) m       在平面上有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一根相交的概率，用高等数学(微积分、概率的方法)求解，基于布丰投针的结论，任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java)，写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用)，求解圆周率。
* u: ?4 v. N9 c& C注：前面的高等数学部分可以求解，已证明这个概率=2l / πd，另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ，l是针的长度，φ是针与平行线的夹角。
$ N# A. ^0 Z( S, Y
       现在我们知道了规则，那就是x≤l/2sinφ，为了模拟各种情况，我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟，然后计算符合规则的概率，最后依次计算圆周率。
# H& l# b. k, ]5 J+ P" `; V
$ g6 l, ^3 E1 X+ n0 p* R) N+ H
( r3 Q2 d% K; R+ M  |/ l. ~- b

) W- k1 W: I; k# U) M1 F4 tclc;clear;close all;
d = 2;%设定平行线之间的距离
l = 1;%设定针的长度
! M, T( c* M% O& G( }9 En = 1000;%设定投针个数
& V! V, f+ K$ C3 [9 O$ E1 sbeta = 0 : 0.002 : pi;
plot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线
axis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2
title('蒲丰投针实验')
hold on
- s6 L- Q3 o, h; qbeta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度（0~180度）
x = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心
m = 0;
for i = 1 : n
& I+ j5 F1 N' ]4 y    if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))
4 C# w4 G7 K4 U1 C7 z# \  I        m = m + 1;%符合条件就增计数
        plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
: _( @" ^% k8 i5 k& U        pause(0.00001)
    else
; p6 p8 w' @, t; U, G        plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
$ e5 d6 M/ M( w  B! }; ^7 T       pause(0.00001)
    end
end
p = m/n;%计算概率
8 l$ ^+ Q  a) a7 c& Qpai = 2*l / (d*p);%计算圆周率
# ?4 K* W* M$ I' h1 N" [disp(['圆周率为：',num2str(pai)])
) g. G1 Q; D7 Q9 ]  u

5 Q8 y# {/ f, H" I2 d6 a
结果如下：

1 h* t, Q3 Z0 R0 n: d


8 K# P" O4 d* b3 p
* D) g. G0 m  H2 H0 V

% o2 [% G$ X# B5 @: y: _7 J: b( O