数学建模————统计问题之仿真（四）

杨利霞

数学建模————统计问题之仿真（四）
  仿真，顾名思义，就是利用计算机模拟研究对象，对于那些用数学公式或者规则描述的系统，计算机可以将其通过数值模拟出来，还能实现可视化。就好比我们看的小说一样，创造一个世界，需要有初始的人或物质，再加上法则（规则），那么这个世界就会逐步成型，仿真也是如此，我们需要给这个模拟世界一个初始的状态（包含应有的数据），然后告诉他运转的规则。


! h" r* _- S3 c$ ^, @! o2 N1 H
       真实的系统往往存在着很多不确定因素 ，比如：要模拟某条道路的交通，我们就得知道路上的行车的情况，除了基本的交通规则之外，我们需要的是车辆的模拟。一般来说，我们都会给车流量一个分布，这样我们就相当于有了一个车辆生成器，然后通过行车规则，就可以完整的模拟出整条道路的交通。
8 y9 }: Q& L8 P" q5 @       不过，大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标，然后仿真不同时间的情况，就可以实现交通状况的数值模拟。当然，有时候为了论文（观赏）效果，还可以将整条道路分成很多个小块，当车经过时就让小块发亮，这样就可以看到整个交通的运行情况，这种方法我们叫做元胞自动机。


: S; v& i, f( a# W+ p2 q: ^! T        既然是模拟系统，那么就需要一个系统的推进方式，我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动，然后推进下去，而事件步长法即每发生一件事情就推进一次，当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。

       上面介绍的仿真方法都讲究推进，也就是说是动态的 ，除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟，下面给大家展示一道百度校招笔试题：
: C7 ?  R% V1 T" N3 }4 i) x       在平面上有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一根相交的概率，用高等数学(微积分、概率的方法)求解，基于布丰投针的结论，任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java)，写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用)，求解圆周率。
% Q2 j  e. E  }8 d3 z2 B注：前面的高等数学部分可以求解，已证明这个概率=2l / πd，另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ，l是针的长度，φ是针与平行线的夹角。

       现在我们知道了规则，那就是x≤l/2sinφ，为了模拟各种情况，我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟，然后计算符合规则的概率，最后依次计算圆周率。
3 }9 o) }8 X  v% k, k+ l


9 g, t4 J* [7 e4 P' L. P" S
clc;clear;close all;
d = 2;%设定平行线之间的距离
! c/ R) U) m1 @5 Ul = 1;%设定针的长度
  T9 }) B' Y: F: qn = 1000;%设定投针个数
: ]8 h$ r# K1 `' o6 J# R% lbeta = 0 : 0.002 : pi;
plot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线
axis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2
6 ?5 w2 v  W9 ?* Z& g( w: }title('蒲丰投针实验')
9 a3 T5 N; P: p# r; d6 z' \hold on
beta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度（0~180度）
/ f+ R. g" z7 c/ Ox = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心
m = 0;
$ D: _9 I2 h7 `1 n/ u! w/ @for i = 1 : n
    if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))
        m = m + 1;%符合条件就增计数
! v2 R: R3 ?% x* [7 ~# ^        plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
! g5 {* d: B8 \8 @! _1 K4 q7 m        pause(0.00001)
    else
        plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
       pause(0.00001)
    end
9 x) h2 v! |$ Q; u% Y: `, I- O- mend
' m1 ]' C# K  q) w# r* ?p = m/n;%计算概率
pai = 2*l / (d*p);%计算圆周率
( q# h- o" H# f$ h6 Adisp(['圆周率为：',num2str(pai)])

: h4 [; A0 o* h, E) U' {1 ]! t5 b8 K4 ]9 [
; T& {! ?! I6 f6 L
结果如下：
- j) n7 K7 ?6 g& t  e' ]
2 [# [- P% D3 A9 A- N0 V" s" G
8 E0 y9 \/ q$ b' A: E( v, f4 @: I