数学建模————统计问题之仿真（四）

杨利霞

数学建模————统计问题之仿真（四）
$ i/ }8 r( j, g+ N! H  仿真，顾名思义，就是利用计算机模拟研究对象，对于那些用数学公式或者规则描述的系统，计算机可以将其通过数值模拟出来，还能实现可视化。就好比我们看的小说一样，创造一个世界，需要有初始的人或物质，再加上法则（规则），那么这个世界就会逐步成型，仿真也是如此，我们需要给这个模拟世界一个初始的状态（包含应有的数据），然后告诉他运转的规则。
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, \% w' P% u9 z4 n) r8 N: T( \

       真实的系统往往存在着很多不确定因素 ，比如：要模拟某条道路的交通，我们就得知道路上的行车的情况，除了基本的交通规则之外，我们需要的是车辆的模拟。一般来说，我们都会给车流量一个分布，这样我们就相当于有了一个车辆生成器，然后通过行车规则，就可以完整的模拟出整条道路的交通。
       不过，大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标，然后仿真不同时间的情况，就可以实现交通状况的数值模拟。当然，有时候为了论文（观赏）效果，还可以将整条道路分成很多个小块，当车经过时就让小块发亮，这样就可以看到整个交通的运行情况，这种方法我们叫做元胞自动机。
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" X. k6 _; C. I- I: Z
        既然是模拟系统，那么就需要一个系统的推进方式，我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动，然后推进下去，而事件步长法即每发生一件事情就推进一次，当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。
! H. D5 n( r6 v2 k' E
       上面介绍的仿真方法都讲究推进，也就是说是动态的 ，除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟，下面给大家展示一道百度校招笔试题：
) U2 z2 h& v+ Z+ x* L& R" \6 ^/ q       在平面上有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一根相交的概率，用高等数学(微积分、概率的方法)求解，基于布丰投针的结论，任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java)，写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用)，求解圆周率。
- T# e+ J+ L) y7 b6 }7 e: A' M注：前面的高等数学部分可以求解，已证明这个概率=2l / πd，另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ，l是针的长度，φ是针与平行线的夹角。

       现在我们知道了规则，那就是x≤l/2sinφ，为了模拟各种情况，我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟，然后计算符合规则的概率，最后依次计算圆周率。

' _3 X" N) x, {( C$ H: Q


clc;clear;close all;
4 ]( _6 ]. ~! H( q8 s/ Wd = 2;%设定平行线之间的距离
; W! q% ?  E+ n2 g1 pl = 1;%设定针的长度
8 p3 I* b* t" i, g, Y. Zn = 1000;%设定投针个数
/ J# p) X4 |$ T0 |7 ]: K9 vbeta = 0 : 0.002 : pi;
plot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线
axis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2
- D8 A( o; w( ~2 Qtitle('蒲丰投针实验')
1 M( p: |8 q$ n# Ghold on
! E. r6 |; r1 }* Y8 D. `5 n9 ?beta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度（0~180度）
. o) o" V% `7 z: ?! P( yx = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心
m = 0;
6 u: c7 Z- |! J3 l/ ]7 ~0 y# `7 Mfor i = 1 : n
, |9 c; |& Q+ [  e; n4 H    if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))
        m = m + 1;%符合条件就增计数
        plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
8 p$ O% h1 O( G2 I% l        pause(0.00001)
    else
        plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
4 n, G" e$ L: j5 y       pause(0.00001)
: k3 M& z. O, E. r  G9 S; ~    end
end
p = m/n;%计算概率
- ]2 ~6 Y9 J9 y8 m- vpai = 2*l / (d*p);%计算圆周率
/ D2 i9 \& X8 ]4 A- h. Cdisp(['圆周率为：',num2str(pai)])


7 h, O$ e; ?" m; ]
结果如下：
- s8 x! Y# P) `
! G6 _/ M9 A0 \, ]( a
0 F7 L5 H, k8 V2 V$ M7 y- O
6 o" ?! a. f: M( t" J/ P
% P6 s8 c4 s8 m
' u. }" @; t; a% ?" T% r