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[建模教程] Matlab数学建模学习报告(一)

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

    网络挑战赛参赛者

    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

    群组2018美赛护航培训课程

    群组2019年 数学中国站长建

    群组2019年数据分析师课程

    群组2018年大象老师国赛优

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    1#
    发表于 2019-4-10 15:18 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    Matlab数学建模学习报告(一)
    9 i$ g  Z: a! |& K, P# l* c( S% I一、学习目标。

    (1)了解Matlab与数学建模竞赛的关系。

    (2)掌握Matlab数学建模的第一个小实例—评估股票价值与风险。

    (3)掌握Matlab数学建模的回归算法。


    7 F3 s9 H* X7 ^- R9 g: y二、实例演练。' k7 O9 a. z$ U: _+ K
    8 K9 r" A" @. V9 d0 c7 c
       1、谈谈你对Matlab与数学建模竞赛的了解。
    ' B4 A! L1 F) `: G3 \2 ]
    , b$ Z  u) Q# D1 B2 @        Matlab在数学建模中使用广泛:MATLAB 是公认的最优秀的数学模型求解工具,在数学建模竞赛中超过 95% 的参赛队使用 MATLAB 作为求解工具,在国家奖队伍中,MATLAB 的使用率几乎 100%。虽然比较知名的数模软件不只 MATLAB。+ J+ v9 o- _* v8 b* p3 |0 j
    ! V( Y+ ~4 m- o" e$ t# M- b: V1 L5 j
            人们喜欢使用Matlab去数学建模的原因:( b6 y7 {& Y& t5 S

      g" q* D' p3 N1 k8 W(1)MATLAB 的数学函数全,包含人类社会的绝大多数数学知识。. c2 W! t9 X, B8 X2 a6 k/ J

    7 o, P! b2 ?" i  Z+ n- e(2)MATLAB 足够灵活,可以按照问题的需要,自主开发程序,解决问题。/ J9 p8 d( p5 Y% R
    9 S+ r; w3 ^: P# L- f; V. J
    (3)MATLAB易上手,本身很简单,不存在壁垒。掌握正确的 MATLAB 使用方法和实用的小技巧,在半小时内就可以很快地变成 MATLAB 高手了。
    9 H; q2 C; V9 J* {' v- d- q5 e! i) \
            正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。
    , b% T; V/ A: r9 S+ [. j- }
    ! H) L3 e+ `  T* @4 [. @9 M         数学建模竞赛中的 MATLAB 水平要求:
    7 l3 E, D4 Q* r( \1 G$ e3 J4 `. d& w) B- E- T: x; i
    要想在全国大学生数学建模竞赛中拿到国奖, MATLAB 技能是必备的。 具体的技能水平应达到:
    ; g* X" X8 x! G
    1 B0 n( i9 u$ ~+ Q1)了解 MATLAB 的基本用法,包括几个常用的命令,如何获取帮助,脚本结构,程序的分节与注释,矩阵的基本操作,快捷绘图方式;
    ; i0 z. N# K, G/ B( u' H9 {$ \) n, p; S/ f! U$ A4 r
    2)熟悉 MATLAB 的程序结构,编程模式,能自由地创建和引用函数(包括匿名函数);. s% |% ?4 k0 ^( i2 k/ R

    3 Z. ?+ U/ L5 {- T3)熟悉常见模型的求解算法和套路,包括连续模型,规划模型,数据建模类的模型;
    & v( D1 f" p3 h  S5 W" n7 a' y0 }
    4)能够用 MALTAB 程序将机理建模的过程模拟出来,就是能够建立和求解没有套路的数学模型。 ; R  q% _; b+ D% Y  d2 G% C8 [$ ~( G

    + z# g7 w& ~( {/ B4 i要想达到如上要求, 不能按照传统的学习方式一步一步地学习, 而要结合上述提到的学习理念制定科学的训练计划。
    2 X8 {! T. h) j! S# z1 N0 c; \7 X6 W5 F4 r0 w
      2、已知股票的交易数据:日期、开盘价、最高价、最低价、收盘价、成交量和换手率,试用某种方法来评价这只股票的价值和风险。如何用MATLAB去求解该问题?(交易数据:点击此处获取数据)" N- u" F$ ?  S" |0 o; ?
    $ I7 ^+ M5 z  O
    解题步骤:7 a" q8 R) X$ n4 X/ K0 g: X4 O

    " N, T1 Z; G' w2 i) u. O第一阶段:从外部读取数据
    . j& q) x! p/ |$ Z4 x+ q
    / W& D  R* I6 I+ oStep1.1:把数据文件sz000004.xls拖曳进‘当前文件夹区’,选中数据文件sz000004.xls,右键,将弹出右键列表,很快可发现有个“导入数据”菜单,如图 1 所示。
    ! }: p; i6 \5 ]7 T+ V
    2 T% f" m8 |' t/ {8 n7 g3 g% o4 O
    6 S; G5 W; S6 ?' T+ @* @/ e$ Z- c" r
                                                                      图1. 启动导入数据引擎示意图/ A: E& h( R# Z1 X
    / x) A. m' @, R2 Q7 L* d$ a6 _
    Step1.2:单击“导入数据”这个按钮,则很快发现起到一个导入数据引擎,如图 4 所示。  }+ s" T7 H+ q7 e" }
    3 y- O1 A, q% x8 F) }" b' d2 e
    2 L/ @1 h8 p9 b
    8 q' d% q2 B4 ^9 h# f* W
                                                                        图2. 导入数据界面0 _, D. E, x1 |' B9 `
    $ _7 z+ W% u( [2 ^
    Step1.3:观察图 2,在右上角有个“导入所选内容”按钮,则可直接单击之。马上我们就会发现在 MATLAB 的工作区(当前内存中的变量)就会显示这些导入的数据,并以列向量的方式表示,因为默认的数据类型就是“列向量”,当然您可以可以选择其他的数据类型,大家不妨做几个实验,观察一下选择不同的数据类型后会结果会有什么不同。至此,第一步获取数据的工作的完成。& {2 |2 v3 v2 \" z$ ?6 h+ u/ M3 S
    ( {+ D0 I; w; @9 B% u& z

    - G0 o# R; \5 f( |& C+ ^: a% }+ N5 l$ J( S" }3 Z* h0 s( G
    第二阶段:数据探索和建模+ q5 v& t+ v2 j) b: `) C$ Y4 l
    & F- W; j% B* U/ C
    现在重新回到问题,对于该问题,我们的目标是能够评估股票的价值和风险,但现在我们还不知道该如何去评估,MATLAB 是工具,不能代替我们决策用何种方法来评估,但是可以辅助我们得到合适的方法,这就是数据探索部分的工作。下面我们就来尝试如何在 MATLAB 中进行数据的探索和建模。
    3 v# V* V0 O$ c+ i, A- t5 k" Z, E3 s
    Step2.1:查看数据的统计信息,了解我们的数据。具体操作方式是双击工具区(直接双击这三个字),此时会得到所有变量的详细统计信息。通过查看这些基本的统计信息,有助于快速在第一层面认识我们所正在研究的数据。当然,只要大体浏览即可,除非这些统计信息对某个问题都有很重要的意义。数据的统计信息是认识数据的基础,但不够直观,更直观也更容易发现数据规律的方式就是数据可视化,也就是以图的形式呈现数据的信息。下面我们将尝试用 MATLAB 对这些数据进行可视化。5 ?6 Z& u" s% b8 u

    ' \/ u) V2 X: k由于变量比较多,所以还有必要对这些变量进行初步的梳理。对于这个问题,我们一般关心收盘价随时间的变化趋势,这样我们就可以初步选定日期(DateNum)和收盘价(Pclose)作为重点研究对象。也就是说下一步,要对这这两个变量进行可视化。
    . U8 ~" O- L) }/ I- m7 K8 ?6 a9 B
    4 X) L, ~0 V3 y& Z0 t& u对于一个新手,我们还不知道如何绘图。但不要紧,新版 MATLAB 提供了更强大的绘图功能——“绘图”面板,这里提供了非常丰富的图形原型,如图 3 所示。" `# E( k  G1 ]5 y
      F4 ]% e$ b* D1 ^* C2 O& @

    $ I9 |; c7 O8 U/ ~/ V/ ~! z/ U! @& S2 m8 T$ T; k4 W4 F
                                                                                     图3 MATLAB绘图面板中的图例
    + V0 `/ X# N4 s# f+ }
    ' k: M' r( X7 w1 D$ w) D# o要注意,需要在工作区选中变量后绘图面板中的这些图标才会激活。接下来就可以选中一个中意的图标进行绘图,一般都直接先选第一个(plot)看一下效果,然后再浏览整个面板,看看有没有更合适的。下面我们进行绘图操作。* [, p+ q" I% K2 W7 @$ m
    ' f9 ?( N  A0 A
    Step2.2:选中变量 DataNum 和 Pclose,在绘图面板中单机 plot 图标,马上可以得到这两个变量的可视化结果,如图 4 所示,同时还可以在命令窗口区看到绘制此图的命令:
    1 e+ t" C% o. f, Z& ?( k1 m* H$ k- P% _" w
    >> plot(DateNum,Pclose)
      x4 T) K3 u. q' h& ~
    % T8 ]' `. _; @4 e: s* `
      |5 H6 H1 d$ S- n: _. |( }! s, T- s' }8 C
                                                                                           图4 通过 plot 图标绘制的原图7 g; b& O6 |1 h+ `
    / g$ S: @5 n8 t, J  j4 f
    这样我们就知道了,下次再绘制这样的图直接用 plot 命令就可以了。一般情况下,用这种方式绘图的图往往不能满足我们的要求,比如我们希望更改:$ o- c& }" R. B7 X; Q4 ~

    * `6 p! y' I9 T! A(1)曲线的颜色、线宽、形状;
    5 J0 W& s6 o4 z( h+ l+ y* w  u1 S( X
    (2)坐标轴的线宽、坐标,增加坐标轴描述;
    " p9 J! F- L( L# z: v/ J  |0 ^3 O% W0 B0 E7 h+ s
    (3)在同个坐标轴中绘制多条曲线。8 e8 B: X! r* G* i. Y1 M
    - ^+ _7 v* N! I2 t  W0 q0 I
    此时我们就需要了解更多关于命令 plot 的用法,这时就可以通过 MATLAB 强大的帮助系统来帮助我们实现期望的结果。最直接获取帮助的两个命令是 doc 和 help,对于新手来说,推荐使用 doc,因为 doc 直接打开的是帮助系统中的某个命令的用法说明,不仅全,而且有应用实例,这样就可以“照猫画虎”,直接参考实例,从而将实例快速转化成自己需要的代码。
    - t0 X; Z  c2 I) ^, Z$ S# l" k  r* U& ?
    * f0 I0 {- X0 J4 h接下来我们就要考虑如何评估股票的价值和风险呢?$ Q2 r+ V2 z, r

    ' J, R& A8 i; _9 M/ u         对于一只好的股票,我们希望股票的增幅越大越好,体现在数学上,就是曲线的斜率越大越好。
    " v% u% J: e0 G' P$ o9 g
    5 a" D/ Z# @5 A2 \         对于风险,则可用最大回撤率来描述更合适,什么是最大回撤率?
    5 l3 `$ J: N2 `; R$ h- l0 d6 m% `' b' T
             最大回撤率的公式可以这样表达:
    ) _; K5 P/ {. e2 [) z7 X7 o; q4 r6 B$ c4 L/ u, Y5 w
    D为某一天的净值,i为某一天,j为i后的某一天,Di为第i天的产品净值,Dj则是Di后面某一天的净值
    ; P1 a! O+ E6 C: ?
    - T" C7 ^: e. H; ]' w$ jdrawdown=max(Di-Dj)/Di,drawdown就是最大回撤率。其实就是对每一个净值进行回撤率求值,然后找出最大的。可以使用程序实现。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。
    ( j/ B% i) M3 B9 w- v
    0 c3 S. s& s3 o0 ]& I1 w           斜率和最大回撤率不妨一个一个来解决。我们先来看如何计算曲线的斜率。对于这个问题,比较简单,由于从数据的可视化结果来看,数据近似成线性,所以不妨用多项式拟合的方法来拟合该改组数据的方程,这样我们就可以得到斜率。
    ; g- {5 _1 m7 u: r/ t9 o7 H  F* @+ [0 m
    Step2.3:通过polyfit()多项式拟合的命令,并计算股票的价值,具体代码为:9 x  v5 Q+ S3 r; u
    3 E! M. A  \  ]
    >> p = polyfit(DateNum,Pclose,1); % 多项式拟合, R/ q9 o. l/ O# i2 t+ p
    # A1 u! i+ G( ?/ q6 N& z
    >> value = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值/ H& D/ z7 y1 s5 u! X
    . Z# G- @& l5 n5 e
    value =. {; h: m3 @% z8 C& X( w
    . v# D& m( u: {5 L  w' V
        0.12122 X0 y& V7 c* j) J& }; G: z, ]
    / }( \# [  o% M! G$ R4 {
    代码分析:%后面的内容是注释。polyfit()有三个参数,前两个大家都能明白是什么意思,那第三个参数是什么意思呢?它表示多项式的阶数,也就是最高次数。比如:在本例中,第三个参数为1,说明其为一次项,即一次函数。第三个参数为你要拟合的阶数,一阶直线拟合,二阶抛物线拟合,并非阶次越高越好,看拟合情况而定。polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列。在本例中的P(1)指的是最高项的系数,即斜率。
    9 w4 a' R) _( B7 X- O9 W3 q- U& y. @1 c, {4 Y+ t
    Step2.4:用相似的方法,可以很快得到计算最大回撤的代码:
    % N. D1 \; c. v# v
      v2 P, \' z; w' S5 b" d>> MaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤; q! J! i4 j0 U; x  E2 \
    : Z% H8 F! a5 P7 f/ N4 r8 R% J
    >> risk = MaxDD  % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险
    ; e% J% Y8 ^! h0 D: E' S0 k( C4 s  L4 G' G* z
    risk =
    + ~" @2 u( z+ B
    ' k; X/ P7 L7 {    0.1155
    . j/ i; q6 H, i4 x; O5 d2 K2 m8 z- l8 p! S2 c/ A
    代码分析:最大回撤率当然计算的是每天收盘时的股价。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。1 y1 i% f/ E/ `7 l: m4 H

    * k; m$ \" A* r! n# a到此处,我们已经找到了评估股票价值和风险的方法,并能用 MALTAB 来实现了。但是,我们都是在命令行中实现的,并不能很方便地修改代码。而 MATLAB 最经典的一种用法就是脚本,因为脚本不仅能够完整地呈现整个问题的解决方法,同时更便于维护、完善、执行,优点很多。所以当我们的探索和开发工作比较成熟后,通常都会将这些有用的程序归纳整理起来,形成脚本。现在我们就来看如何快速开发解决该问题的脚本。! R. p4 d3 I9 s8 C$ U

    ) k: O: Q( z0 p% c; a# NStep2.5:像 Step1.1 一样,重新选中数据文件,右键并单击“导入数据”菜单,待启动导入数据引擎后,选择“生成脚本”,然后就会得到导入数据的脚本,并保存该脚本。
    8 u, i) u" z* `( w/ n3 z
    9 s4 I) w; j4 h3 j( h9 U3 ^: ~' }- ^脚本源代码中有些地方要注意:7 o3 A* x! G" J* v2 d
    * W4 `! p' W/ y+ @
           %%在matlab代码中的作用是将代码分块,上下两个%%之间的部分作为一块,在运行代码的时候可以分块运行,查看每一块代码的运行情况。常用于调试程序。%%相当于jupyter notebook中的cell。: h* J' p: b9 k. j. F8 Y
    . X' W& B0 q3 v! }* S/ K- a; p
           %后的内容是注释。
      C  H  z& C6 B2 S, x7 k7 S7 \$ A$ q* l; }' q- o3 d
            每句代码后面的分号作用为不在命令窗口显示执行结果。, t; L( O% E- V  m) H
    % ^: z0 Q; p" N( X. r- y
    脚本源代码:' U9 {* e% T( e  C5 j4 U2 F1 c
    + r# V1 t8 S+ M. m9 x
    %% 预测股票的价值与风险2 t/ b$ n; s$ G: f/ ]$ _+ ~
    ( r7 X* z, k) h5 ]! |& X8 u* u
    %% 导入数据
    , e1 `7 \4 R  B5 b, w( Eclc, clear, close all( R% f( t" y7 N% \
    % clc:清除命令窗口的内容,对工作环境中的全部变量无任何影响 - h% V8 k9 o  y* c$ D- j! S1 ^
    % clear:清除工作空间的所有变量
    ; z2 y9 E0 a& Z: W4 G0 m2 ?$ Q% close all:关闭所有的Figure窗口8 e2 T6 q9 o. r. }2 n. G+ ~3 u5 l

    2 }( |- v- h2 }; k  [% 导入数据
    " c  p4 P9 t+ o[~, ~, raw] = xlsread('sz000004.xlsx', 'Sheet1', 'A2:H7');7 x6 O. y4 C' M- {
    % [num,txt,raw],~表示省略该部分的返回值
    , Z* r  J* J/ w) i, o2 H% xlsread('filename','sheet', 'range'),第二个参数指数据在sheet1还是其他sheet部分,range表示单元格范围
    6 M  W. E+ p% }3 l! g4 }
    & R0 m, \3 }0 }& B9 z, K3 X! I% 创建输出变量1 D% w& q* b- Q1 c
    data = reshape([raw{:}],size(raw));
    8 z! n; Y6 @4 y( G- M) M& _" L% [raw{:}]指raw里的所有数据,size(raw):6 x 8 ,该语句把6x8的cell类型数据转换为6x8 double类型数据
    : v6 V# J+ K7 M* U: Z
    6 n; C* {9 R  J1 |% 将导入的数组分配列变量名称
    * C7 a1 [* q0 h  q* s! sDate = data(:, 1); % 第一个参数表示从第一行到最后一行,第二个参数表示第一列! F4 U+ p8 z  ^% k
    DateNum = data(:, 2);
    ( Q( V! T- t& Q: APopen = data(:, 3);1 Z% U- E, g  \2 @& w9 m: `7 [
    Phigh = data(:, 4);
    6 Y4 y. H& C" G% fPlow = data(:, 5);
    5 Q2 }2 \( u- c4 x* h: l6 Z: m2 NPclose = data(:, 6);  1 O# h) h5 s' N- B1 s% T
    Volum = data(:, 7); % Volume 表示股票成交量的意思,成交量=成交股数*成交价格 再加权求和; _9 M, e6 U% C) U  Z
    Turn = data(:, 8); % turn表示股票周转率,股票周转率越高,意味着该股股性越活泼,也就是投资人所谓的热门股  L1 n& ?' a8 ?' |8 q

    / u1 o; v6 t8 y+ i2 T1 R, t% 清除临时变量data和raw0 C4 z9 J3 D! |) n: v$ N
    clearvars data raw;& D, A  H7 I  D% C' |1 K! J6 i
    ) C$ O/ p  W3 `1 o
    %% 数据探索: w: W- X4 h, l9 L

    ' b2 X1 o% C& x0 X5 ~2 d* ffigure % 创建一个新的图像窗口
    8 p8 g% J% Y( e' t7 |plot(DateNum, Pclose, 'k'); % 'k',曲线是黑色的,打印后不失真0 u) x; J3 Q6 i6 r
    datetick('x','mm-dd'); % 更改日期显示类型。参数x表示x轴,mm-dd表示月份和日。yyyy-mm-dd,如2018-10-27( c' J0 }3 q5 u& \- C) _
    xlabel('日期') % x轴7 D) v$ k, Z  d7 Z. p" S3 f
    ylabel('收盘价') % y轴- X3 n% C; @" A: n- X: l
    figure7 h2 g+ z+ v! n( x1 J+ d+ j) u7 n
    bar(Pclose) % 作为对照图形/ k+ i  x* q. @' \
    6 Y  u: w: a/ x- k3 W1 v7 I5 x
    %% 股票价值的评估5 u  y, ]2 J1 l
    + j/ O7 z) j1 J. K, u" [$ F5 ?2 J
    p = polyfit(DateNum, Pclose, 1); % 多项式拟合
    $ ~  J$ b1 y# V- ^% polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列/ B8 ?4 j+ L, z5 u, y
    P1 = polyval(p,DateNum); % 得到多项式模型的结果
    / @! Q* f& B! g8 [1 s( s- |: j- p, m0 }figure. m4 @. s3 P% h3 t+ I
    plot(DateNum,P1,DateNum,Pclose,'*g'); % 模型与原始数据的对照, '*g'表示绿色的*
    6 t" S% O* a4 z# K. Qvalue = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值。p(1)最高项的次数! u) A3 j# G: H9 X
    ' `# M* l6 G% M* X& n
    %% 股票风险的评估
      P+ e4 O, v8 RMaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤
    $ Y' ~8 _: u$ n! z/ ?8 Arisk = MaxDD  % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险" z0 h1 T0 l6 H5 j% V2 H1 G
      3、回归算法演练。/ E% h' f" `/ A8 i0 H

    / f( q, W9 N& Q, I5 z9 K6 n# {(1)一元线性回归
    ! i1 i3 I: h; l( C
    ( x0 J0 u3 E' m" Y1 r/ b[ 例1 ] 近 10 年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位:亿元)的数据见表1,请建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。! u4 r9 p. r# ^. V) c
    8 p4 S2 u2 X( R: {! q
    : \8 J- u4 W0 J' G/ M

    - e' u0 A$ M7 Y# [* V7 @$ K4 F该问题是典型的一元回归问题,但先要确定是线性还是非线性,然后就可以利用对应的回归方法建立他们之间的回归模型了,具体实现的 MATLAB 代码如下:  U2 B' X/ e: m

    % P/ \: O2 j5 T2 a) [! M( n(1)输入数据
    ' \, Y1 U4 C  u6 f0 G3 x: w5 o% E" P  e( X( q  R  c* R( v# q* Q
    %% 输入数据- S3 d  o9 [% `
    clc, clear, close all" x2 ~0 G) w0 x, _: @
    % 职工工资总额7 f5 d6 A6 W- m/ W
    x = [23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.90,43.2,52.8,63.8,73.4];
    ' ]$ i; r2 j' H; `. a% 商品零售总额
    " n9 f* x0 J) F/ B" Dy = [41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0];* \! a8 p8 v2 o4 R& Y9 O; L# U
    (2)采用最小二乘回归4 i: k5 A% n# u/ X- T. a4 |2 E
    ! v( O  Q% g7 w- P. B$ k
    %% 采用最小二乘法回归
    * V2 [5 }6 L: V3 G! s* c% 作散点图8 ^8 f6 h& K( A* D" j. S) ?! ~
    figure  m. o* Y; @0 l) {- u' q  X4 B
    plot(x,y,'r*') % 散点图,散点为红色% b8 c. J% R8 ]/ z) l
    xlabel('x(职工工资总额)','fontsize',12)
    3 U* L. D1 R+ B7 }  l2 Iylabel('y(商品零售总额)','fontsize',12)
    ) n2 c. N0 o6 I. v" I" }set(gca, 'linewidth',2) % 坐标轴线宽为2
    7 A, ?% v. [& O2 k# `. K3 K' L* h/ x
    9 K6 A+ z( |! w% 采用最小二乘法拟合
    , z2 x  B- `  f: h1 VLxx = sum((x-mean(x)).^2); %在列表运算中,^与.^不同, v! F+ k( ]! c
    Lxy = sum((x-mean(x)).*(y-mean(y)));5 A0 r* Z! P' G
    b1 = Lxy/Lxx;
    ) L) B5 h# m+ i  f6 l: pb0 = mean(y) - b1 * mean(x);/ Z, }+ t# p. Z
    y1 = b1 * x + b0;
    5 p3 V; J- d" |1 |  C1 B5 L
    8 B$ o) e, H' Y1 T, ahold on % hold on是当前轴及图像保持而不被刷新,准备接受此后将绘制的图形,多图共存
    ! S6 \5 n0 ?1 U4 @5 Yplot(x,y1, 'linewidth',2);  P4 d( B  O5 e' n7 Y+ P" J
    运行本节程序,会得到如图5所示的回归图形。在用最小二乘回归之前,先绘制了数据的散点图,这样就可以从图形上判断这些数据是否近似成线性关系。当发现它们的确近似在一条线上后,再用线性回归的方法进行回归,这样也更符合我们分析数据的一般思路。
      f7 u# ?; ^. _! T+ N- \5 _2 v/ i8 ?# |/ y

    ' N% B* u+ ]* {- A$ I7 z( q: o; F
    8 \: r( D4 y, Z. q6 V8 n2 d                                                                                                    图5
    7 v& L  l( s# ]0 S& f; H
    1 i) p. g" F5 s. r" G(3)采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归
    ! ~+ \# `. k9 L/ R
    7 t/ q& d- [% X3 X- H' ~2 p: {%% 采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归% m- L- v' N1 P+ l4 S0 h& t$ M& J
    m2 = LinearModel.fit(x, y); Z5 e( a/ f7 F$ K1 ?9 j& L
    运行结果如下:
    % D, W% M3 v2 \( d1 `: ~# X8 A! G6 R& {' Y+ _4 ]$ e
    m2 =- q# T2 n9 N/ ~1 L2 d4 L

    6 c+ N" Q  _/ pLinear regression model:
    ) K1 S1 X9 k6 M+ S8 A; E; k' L  N( V8 s0 s
        y ~ 1 + x1+ R6 A) @- Y) D0 c+ |
    Estimated Coefficients:
    ; a8 H" h3 o' @( \1 {# {6 n3 q, E
    ' I9 I! n* a. D               Estimate      SE       tStat       pValue
    0 X4 |6 t$ b: }9 q  Q9 O0 i
    4 w( {) s* H3 h# \# k    (Intercept)    -23.549      5.1028    -4.615     0.0017215! L4 T; `" j. i1 S# Q
    / f, C) Z5 _' L4 U: g
        x1           2.7991     0.11456    24.435    8.4014e-09
    8 W" i0 s! l0 ?  r' w  ]6 C8 @  u& z0 ?
    R-squared: 0.987,  Adjusted R-Squared 0.985* ~" O: w6 P/ P2 k4 j( ~
    . L- }. D: \/ }
    F-statistic vs. constant model: 597, p-value = 8.4e-09: s( l5 V5 g8 {3 H& E, Z
    " x# N# w" b& g7 O- x1 ^  H5 s
    如下图,我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。
    # w: t3 B3 B4 T" d# l6 m: c) w
    : ~- Q. Q; p9 H
    + `+ S5 @; y- I: k# d& ]
    / P" Z2 y8 o( y4)采用 regress 函数进行回归( E& p: @9 \, P3 [* U% C6 G

    ( B. T  D3 w% w1 L4 ~%% 采用 regress 函数进行回归
    ! }0 Y+ W) n! |- w6 N0 h) P. `Y = y', q/ ]6 t2 z5 _* I8 D1 U. v* d
    X = [ones(size(x,2),1),x'], X3 K" U" P: j1 X4 ]3 N, r4 T
    [b,bint,r,rint,s] = regress(Y,X)1 R" E- h; f! G0 N4 |
    运行结果如下:' g( |/ Z- _" M# T8 }$ d" N
    2 }$ C" f9 g3 c7 p
    b =) g, J2 E* d* J) N( A! E" W
    . i. w  e$ F4 m
      -23.5493" S8 s) g! C% @" l5 f8 |
    / {( E4 K: A- d( ^. h5 C
        2.7991
    1 G' {( |7 l, v# t. }* H3 H& h) e+ U; H/ G# z0 t( C! ^! R
    我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。
    $ r! P( ]( {. |5 M4 s+ Y& V6 W* l8 r$ y' m' e+ K" t$ X
    (2)一元非线性回归
    : e& ]9 W5 q/ m" X" |' |8 C3 C, ]3 ~. Q" ?
    [ 例2 ] 为了解百货商店销售额 x 与流通率(这是反映商业活动的一个质量指标,指每元商品流转额所分摊的流通费用)y 之间的关系,收集了九个商店的有关数据(见表2)。请建立它们关系的数学模型。
    6 }) V- Q1 u$ F2 c& \" H# f$ L  _* E6 L

    ; `/ y9 D. |' L: b
    * p5 z& e' C% }! f1 |; s3 J
    ; b2 `( W7 t9 I
    . D- b+ X0 \8 P% X        为了得到 x 与 y 之间的关系,先绘制出它们之间的散点图,如图 2 所示的“雪花”点图。由该图可以判断它们之间的关系近似为对数关系或指数关系,为此可以利用这两种函数形式进行非线性拟合,具体实现步骤及每个步骤的结果如下:
    % K$ a  K5 ^! ]5 {! ?: V4 q% c! u
    / }! W, H) \  V, T(1)输入数据
    & R5 P3 X" {8 O7 @4 n  H/ V0 y  J" l" \. ~4 b8 u
    %% 输入数据
    9 v! i0 L9 f2 Wclc, clear all, close all
    / ?1 a( {' I8 px = [1.5, 4.5, 7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5];: e4 B  p) l. Y0 b( I
    y = [7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.3,2.2];; h# j# N. M* R! z
    plot(x, y, '*', 'linewidth', 1) % 这里的linewidth指的是散点大小# `) m9 y+ n& V
    set(gca,'linewidth',2) % 设置坐标轴的线宽为25 q1 b8 `" a0 i# k/ ?
    xlabel('销售额x/万元','fontsize',12)- u6 y# D9 d7 n& ?
    ylabel('流通率y/%','fontsize',12)
    7 I) a' ~+ E. [5 A(2)对数形式非线性回归
    ! @: X. o- o8 Z- f# A& N
    ; H) W  _. R7 H- E" Q%% 对数形式非线性回归( |$ B2 U% e% R+ b
    m1 = @(b,x) b(1) + b(2)*log(x);; `( U! n  l% s  B5 V4 G' f$ h9 ~
    nonlinfit1 = fitnlm(x,y,m1,[0.01;0.01])
    4 c: }5 h8 @( Z) v6 i! }+ {b = nonlinfit1.Coefficients.Estimate;2 h8 Q6 o0 v' i4 }/ d) w
    Y1 = b(1,1) + b(2,1)*log(x);
    - r! Z$ J4 O: a  \0 ]hold on / U; r* U# G9 H* p! N
    plot(x, Y1, '--k', 'linewidth',2)! s( u$ ]% K- d" I
    运行结果如下:
    9 V% x. M7 m. }7 m9 Y
    ( w; C4 f2 m$ ^' }0 Dnonlinfit1 =
    9 x+ o4 e8 h4 ^+ \, \+ q" R0 d1 S
    Nonlinear regression model:( J( z. C  u; G
    . y1 A  z, j" a- m+ l! H  S& e
        y ~ b1 + b2*log(x)
    8 q% v& _8 d, C" I7 P: g' Z" o8 }' _$ I# ~. ?8 G5 }8 C
    Estimated Coefficients:. s1 `( s' j6 h4 j
    + ^$ q! f% P$ X* \( p: a
              Estimate      SE        tStat       pValue . e% ^2 m- n( V% v! D# ?2 M4 `
    + P. Q4 c# O6 q: v+ ]' A
        b1    7.3979      0.26667     27.742    2.0303e-08
    & b0 n2 E/ I; J8 F& ^+ K) R) q! A9 S- d9 y5 |3 o8 s' L4 y
        b2    -1.713      0.10724    -15.974    9.1465e-07
    9 |3 x' V" a3 F
    ! s/ Z' R$ O! P4 U: M) iR-Squared: 0.973,  Adjusted R-Squared 0.969
    % |* Z  u2 O+ F% n; ?& j0 X
    8 s- l& `+ x& {1 ~: B( aF-statistic vs. constant model: 255, p-value = 9.15e-07# E4 v; g% Q* B) ^) n

    " `, e1 w4 a# u5 w) w7 @(3)指数形式非线性回归
    ! g- F& [# R( ~) |! {# k
    8 f) S1 H, U4 Y& Q%% 指数形式非线性回归% O  Q' K' J& [) q4 y9 q0 B, y" T
    m2 = 'y ~ b1*x^b2';! b9 G1 M: K% X$ R
    nonlinfit2 = fitnlm(x,y,m2, [1;1])
    % @: N0 ?: D( y" rb1 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(1,1);
    7 d1 t+ T" `- d- {' I, @, Fb2 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(2,1)+ t& ~( ?0 E7 R* W; ]* |4 p8 I7 _
    Y2 = b1*x.^b2;0 l% x& m' d) e3 s; _1 ^  W
    hold on;
      Z9 ^$ c& T) [/ B! k' Dplot(x,Y2,'r','linewidth',2)
    # y3 l7 a0 E' c+ X7 z+ Q9 L; i: R: Clegend('原始数据','a+b*lnx','a*x^b') % 图例5 m# z5 ]- M/ K' Q
    运行结果如下:
    ; k4 X# s! I  L8 r. L( _- d! b
    " a* k* k# T: b5 Y4 ?5 Z/ Bnonlinfit2 =1 Q+ [% H" I. Y7 F4 s1 H* I

    5 @/ s! L( \  a" gNonlinear regression model:
    ! Q$ q' g( e( U  V3 e0 U* \/ u# S
        y ~ b1*x^b2
    ( J' h5 V# V: d" d. G- y6 V3 z1 U6 Q. C2 F
    Estimated Coefficients:
    6 G' f! C5 {( ?2 F9 c: I" M) p( W6 [: k, a
              Estimate       SE        tStat       pValue 7 S" s& n6 A; B# G$ \% Z$ j

    : ]2 p4 P4 j: d# N    b1      8.4112     0.19176     43.862    8.3606e-10: `# c5 q$ o- ~9 j$ E0 R0 {- v

    7 Q, K# Y, u7 ^    b2    -0.41893    0.012382    -33.834    5.1061e-098 `  q- y3 \( c1 J

    7 W! \  P8 z/ Z! S; iR-Squared: 0.993,  Adjusted R-Squared 0.992
    8 M2 _/ k( K0 \5 e% W7 q
    5 k( ^7 r: `# F0 n6 [F-statistic vs. zero model: 3.05e+03, p-value = 5.1e-11
    / m: n' z# p+ ^; A1 }
    1 Y8 R; L4 r5 i在该案例中,选择两种函数形式进行非线性回归,从回归结果来看,对数形式的决定系数为 0.973 ,而指数形式的为 0.993 ,优于前者,所以可以认为指数形式的函数形式更符合 y 与 x 之间的关系,这样就可以确定他们之间的函数关系形式了。' B( F9 @+ s8 q: ^& ]3 H2 y4 x
    , x" x8 v0 P1 u; W: G  m
    2.多元回归$ b6 v" s) @( u6 |. }

    6 K0 K0 w$ b: @* d1.多元线性回归- `4 ?# u, d2 Y) c- A% r

    3 V$ \1 ~0 P! T* x6 P2 Y[ 例3 ] 某科学基金会希望估计从事某研究的学者的年薪 Y 与他们的研究成果(论文、著作等)的质量指标 X1、从事研究工作的时间 X2、能成功获得资助的指标 X3 之间的关系,为此按一定的实验设计方法调查了 24 位研究学者,得到如表3 所示的数据( i 为学者序号),试建立 Y 与 X1 , X2 , X3 之间关系的数学模型,并得出有关结论和作统计分析。
    0 l: k  D1 Y+ O0 n2 `# S6 c) ~9 H$ E( }3 C9 \

    1 U9 c0 a! L6 P8 H3 H1 x/ }- ?1 f8 e' q* f# F
    该问题是典型的多元回归问题,但能否应用多元线性回归,最好先通过数据可视化判断他们之间的变化趋势,如果近似满足线性关系,则可以执行利用多元线性回归方法对该问题进行回归。具体步骤如下:: g7 }5 G, _; j' c5 J! ]
    ' k% z8 |; a8 |( ?$ X
    (1)作出因变量 Y 与各自变量的样本散点图
    ; T& h& J, i% Z* R2 q6 l- l1 A# j- a+ c
      c  A, {9 z3 R: \+ [作散点图的目的主要是观察因变量 Y 与各自变量间是否有比较好的线性关系,以便选择恰当的数学模型形式。图3 分别为年薪 Y 与成果质量指标 X1、研究工作时间 X2、获得资助的指标 X3 之间的散点图。从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边,因此,有比较好的线性关系,可以采用线性回归。绘制图3的代码如下:
    ; t% r# q* T3 ?/ `% h. F+ D4 }* v. Z# L0 Y
    %% 作出因变量Y与各自变量的样本散点图
    " g  u) T/ K+ l$ D4 F2 ?% x1,x2,x3,Y的数据, c* v+ X1 o; q" L
    x1=[3.5 5.3 5.1 5.8 4.2 6.0 6.8 5.5 3.1 7.2 4.5 4.9 8.0 6.5 6.5 3.7 6.2 7.0 4.0 4.5 5.9 5.6 4.8 3.9];1 ^9 \4 P! h9 c4 C+ y
    x2=[9 20 18 33 31 13 25 30 5 47 25 11 23 35 39 21 7 40 35 23 33 27 34 15];
    " ?% w7 N( J# Y6 H) Z- Ux3=[6.1 6.4 7.4 6.7 7.5 5.9 6.0 4.0 5.8 8.3 5.0 6.4 7.6 7.0 5.0 4.0 5.5 7.0 6.0 3.5 4.9 4.3 8.0 5.0];
    - @3 R' E( H/ y. f& bY=[33.2 40.3 38.7 46.8 41.4 37.5 39.0 40.7 30.1 52.9 38.2 31.8 43.3 44.1 42.5 33.6 34.2 48.0 38.0 35.9 40.4 36.8 45.2 35.1];3 ]# [6 x% p5 E+ c1 b, l3 }" L; W
    % 绘图,三幅图横向并排2 d0 W. M, M% A
    subplot(1,3,1),plot(x1,Y,'g*')  l! d/ D8 z$ N
    subplot(1,3,2),plot(x2,Y,'k+')
    ' t4 R! ^% }/ R% Q% g: X5 `, Gsubplot(1,3,3),plot(x3,Y,'ro')
    % i: _- _: x' {8 V% ]  v绘制的图形如下:
    ) m) b/ n, H: h# ?$ _4 S. e. I
    " @" f  ^; {7 C" C& V/ U0 L
    0 R, O6 z" O. Y1 }' [: j8 {
    ' _- {4 |( ^3 R(2)进行多元线性回归1 W: O! R7 k# l+ s3 I$ t1 E& N
    ; _; r/ e4 X/ L! M
    这里可以直接使用 regress 函数执行多元线性回归,注意以下代码模板,以后碰到多元线性问题直接套用代码,具体代码如下:2 H0 D" \8 _' V0 V6 ]4 u4 U% ]" h
    0 s% E' }2 O! N; P
    %% 进行多元线性回归# I8 c) R* Q% Y' R1 q0 s& E- B
    n = 24; m = 3; % 每个变量均有24个数据,共有3个变量
    " Z  M- j( U. f9 \' f$ T# n2 }% jX = [ones(n,1),x1',x2',x3'];
    / J: \$ o0 t6 Q[b,bint,r,rint,s]=regress(Y',X,0.05) % 0.05为预定显著水平,判断因变量y与自变量之间是否具有显著的线性相关关系需要用到。* c* S4 x) o+ W% b& ?0 ~
    运行结果如下:$ C% M$ g5 B% z/ p& A

    9 H2 N' _) ]4 E! a( ib =
    3 T) r. A7 X9 c! t5 E& D6 s+ A+ O7 h9 R* f  d& \2 h% N" _
       18.0157
    ; u/ S( b7 H. l6 k. r    1.08172 u: `% C, {2 Y+ H2 J: H$ Y
        0.3212
    : Q7 j( P; n2 U6 m- ?# c' C    1.28355 A- ~4 I& Y2 B; Q8 Y

    3 k% ]' ^* s5 F1 x! h$ C1 ?6 L' k2 q
    bint =
    - ~3 z% T% s# R- F( ^% ~% [9 K; c( \& `- j) B6 i- x
       13.9052   22.12622 q4 `) V7 P5 T6 _
        0.3900    1.7733
    % r' \3 @9 `4 E1 ~  I& V- L    0.2440    0.3984; `. S/ a1 p7 o* Y6 h( \8 |
        0.6691    1.8979
    . i7 T8 K. ^& l2 Q5 K/ ]+ T: \
    4 F4 a) u$ i& q. L! Z  d) j/ s' i! g" B2 i
    r =
    : X4 V" V: Y4 r# ~3 [/ ^% i6 \7 e* A# E9 r+ a  d
        0.6781
    , _$ R4 }1 R1 x    1.9129
    / W6 w: W6 x) G* i   -0.1119
    : U  [6 D9 h3 E9 s    3.3114
    3 E( }4 {$ v5 f: k: K. _7 S   -0.7424- O2 j& f2 Q5 _* e9 b4 L
        1.2459$ z* f* d) |9 l. x- p
       -2.1022* r6 z: A( t+ e5 B1 g: L
        1.9650+ X  l% G. o1 N: e7 o
       -0.3193+ N3 U$ K! S# L+ A
        1.3466
    ( M. H; \  f) M. r1 e    0.86919 Z6 L$ h5 v, Z/ y' ~
       -3.2637
    4 t$ a( z# u6 I   -0.51154 f% [# A& V4 _0 g7 [: w& }/ g# Q
       -1.1733
    , g" g# R8 x; ?) n$ o" q' B   -1.4910) x: n) W: O3 ^( R& c4 I- H
       -0.2972' `' R% w1 s: ~* k/ N
        0.1702& t7 ~! B  p2 I
        0.5799# o; J5 w  s1 n' M8 x
       -3.2856
    : A* E) f$ r/ l% m    1.1368. A$ X% u4 ^7 W2 ^- e0 ?
       -0.8864
    / a& ^& I* [% `2 B3 N. _   -1.4646$ U1 z- |& Q/ i4 ~4 r# p
        0.8032
    2 i/ |5 ]$ m  a* Z5 ~/ [( r    1.63014 i8 p( c; g+ p" a5 d3 F) C

    & t3 n% D0 Z; f# {! o; X* l3 c( z
    / n' Z) d5 s; brint =8 w- T7 `3 B# V
    1 y8 Q3 j3 ^# z& s( l1 P0 M
       -2.7017    4.0580# K, l6 p+ H+ F, w/ y; i% y% m+ O
       -1.6203    5.4461, _# W# F+ C* P, U- o* o
       -3.6190    3.3951
    % `, i) S% k$ B    0.0498    6.5729
    ; B! L6 z0 C  [1 X. O& R$ T   -4.0560    2.5712
    - {5 _8 k; R/ k+ n1 q" S* s   -2.1800    4.6717% o- ^( T2 [3 @" s) L: y
       -5.4947    1.2902
    9 Q+ q% q# ~# n5 R# N$ w6 z* Y   -1.3231    5.2531
    ) `2 {+ [4 H+ l: P) i6 m9 q   -3.5894    2.9507
    5 C9 F$ x6 b  i0 g   -1.7678    4.4609/ B/ Y, ?5 }* O. v2 y. C4 B+ Y2 o
       -2.7146    4.4529/ O* B0 \% |! L5 Y% r: u! w0 O4 i
       -6.4090   -0.1183% y) n5 p& q; M& e8 A* e7 B
       -3.6088    2.5859
    9 o4 K- r" y# F0 w5 c; j& k- [   -4.7040    2.3575& \: w* V4 I  p0 B$ Z7 O: @
       -4.8249    1.8429
    7 y0 J, i  S" }6 n   -3.7129    3.1185
    + O$ ~* K! O5 G: I- `   -3.0504    3.3907% ?9 R0 e$ `4 u# }6 _; N: a" N9 _5 |
       -2.8855    4.0453
    1 I) K" Y- A9 t2 |   -6.2644   -0.30674 d+ N. S' _0 L
       -2.1893    4.4630( }* e  [7 `( J7 |0 Y
       -4.4002    2.6273
    9 H4 n7 ?* `8 P# Q& |   -4.8991    1.9699' X6 i+ e+ C" Y  T
       -2.4872    4.0937
    / j- _0 m2 R, a% I2 S. o   -1.8351    5.09549 r6 o8 t/ l. w* W7 G) @

    & D) B- ~' V7 G( Q5 O2 m" s* g/ d  y) h
    s =6 s8 q3 q9 J5 S3 V) a- H

    7 X0 l, J9 i; t( M* t( f7 B    0.9106   67.9195    0.0000    3.0719
    ! c4 h- Q9 J0 m- j看到如此长的运行结果,我们不要害怕,因为里面很多数据是没用的,我们只需提取有用的数据。" h* r- [  ]$ m, j
    2 ?) Q9 V/ X/ a( n2 [7 O* O% U2 [5 j
    在运行结果中,很多数据我们不需理会,我们真正需要用到的数据如下:9 `4 ]; ?; w/ a9 V

    9 k4 b& o5 [. A& w7 ]b =# T: E1 ^; S0 H+ e

    ! V4 f! `/ [$ B1 V1 ~! R   18.0157
    2 H7 y5 K% v2 Y8 P4 g    1.0817! I7 a3 x" I3 c
        0.3212! x/ R" ?8 W+ @
        1.2835$ q3 t, y6 U: L6 j7 o2 a7 v
    ; [3 @* J* Z9 G4 M1 l3 Y! z1 c
    s =
    * k% s6 K/ A$ j6 A* F
    # K+ z( T& m+ c- k$ E    0.9106   67.9195    0.0000    3.0719. E: n2 M/ _8 o, U( h/ o
    回归系数 b = (β0,β1,β2,β3) = (18.0157, 1.0817, 0.3212, 1.2835),回归系数的置信区间,以及统计变量 stats(它包含四个检验统计量:相关系数的平方R^2,假设检验统计量 F,与 F 对应的概率 p,s^2 的值)。观察表4的数据,会发现它来源于运行结果中的b和s:
    8 N5 \% Q9 _: [$ P5 o
    0 N; x2 M0 q5 \8 T  B0 {- q" z$ s6 _. G! a7 \/ c! b
    3 g% V2 K$ g7 F6 O* ~
    根据β0,β1,β2,β3,我们初步得出回归方程为:) X7 u3 m2 Z3 }5 \

    / l7 z0 A3 y; ^$ P2 x4 w5 s0 I% c4 L+ E- J! m/ K8 F
    ; V& V1 R% ~' E, I) b! a( l$ z
    如何判断该回归方程是否符合该模型呢?有以下3种方法:
    ; v+ n! o9 S4 x0 v1 _7 V8 @  m0 O, ^# E, k
    1)相关系数 R 的评价:本例 R 的绝对值为 0.9542 ,表明线性相关性较强。6 C8 b0 G, Q0 n9 l' x& W9 A
    2 {, Z! B+ P6 ]( Q" v1 d  \" P
    2)F 检验法:当 F > F1-α(m,n-m-1) ,即认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间有显著的线性相关关系;否则认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间线性相关关系不显著。本例 F=67.919 > F1-0.05( 3,20 ) = 3.10。
    . ^6 [. g& P3 ]! g7 B5 i
    5 h- _' E  ~4 m2 k3)p 值检验:若 p < α(α 为预定显著水平),则说明因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm之间显著地有线性相关关系。本例输出结果,p<0.0001,显然满足 p<α=0.05。1 v  e/ T$ T! T' q9 f1 R% g9 z

    2 {5 }" E3 O7 V以上三种统计推断方法推断的结果是一致的,说明因变量 y 与自变量之间显著地有线性相关关系,所得线性回归模型可用。s^2 当然越小越好,这主要在模型改进时作为参考。
    : i- z  g+ |( I
    ! Y5 J$ M$ p- F# y4 K3. 逐步回归; i. c7 W' o9 [5 q
    6 J; }* ?2 q3 E4 E2 G
    [ 例4 ] (Hald,1960)Hald 数据是关于水泥生产的数据。某种水泥在凝固时放出的热量 Y(单位:卡/克)与水泥中 4 种化学成品所占的百分比有关:& s% ?$ F/ v5 B9 ], ?- {1 m

    6 e5 u% W+ ?, s/ w' A" V) e+ L- \" R, f# O$ a- e- g3 i$ s

    2 `+ W& R1 r4 @- u* z) y. i  A在生产中测得 12 组数据,见表5,试建立 Y 关于这些因子的“最优”回归方程。
    ) T8 |& m" B) s5 V% ^2 q- R; x! h& L7 E! k

    . G3 u' C  w3 \
    4 ?$ r9 l9 A2 a' x% K1 P6 A# q对于例 4 中的问题,可以使用多元线性回归、多元多项式回归,但也可以考虑使用逐步回归。从逐步回归的原理来看,逐步回归是以上两种回归方法的结合,可以自动使得方程的因子设置最合理。对于该问题,逐步回归的代码如下:
    1 r9 y' ?: X+ ?- b. p$ `% _& I2 C" S& D# m
    %% 逐步回归" e0 D2 \7 M" b6 R
    X=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12];   %自变量数据
    2 c0 M0 {  R9 SY=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3];  %因变量数据  ?4 I4 R1 Q( i( P+ v6 ~+ S, M0 i
    stepwise(X,Y,[1,2,3,4],0.05,0.10)% in=[1,2,3,4]表示X1、X2、X3、X4均保留在模型中
    % [+ f4 f/ @! e) I8 g程序执行后得到下列逐步回归的窗口,如图 4 所示。1 D8 q( ^  ~6 Q& f0 ^6 `( S

    0 E" D- F8 k2 D; t. x9 i$ q8 ~; o+ H) j

    / W/ d( G: O# g, i0 t                                                                                                             图4
    ; N, d, q7 T4 \' P/ ~. d# M, B# }  x3 S$ g3 N5 Y
    在图 4 中,用蓝色行显示变量 X1、X2、X3、X4 均保留在模型中,窗口的右侧按钮上方提示:将变量X4剔除回归方程(Move X4 out),单击 Next Step 按钮,即进行下一步运算,将第 4 列数据对应的变量 X4 剔除回归方程。单击 Next Step 按钮后,剔除的变量 X3 所对应的行用红色表示,同时又得到提示:将变量 X3 剔除回归方程(Move X3 out),单击 Next Step 按钮,这样一直重复操作,直到 “Next Step” 按钮变灰,表明逐步回归结束,此时得到的模型即为逐步回归最终的结果。最终结果如下:
    ' s4 Q8 |2 {0 k! T1 \; @, d1 s! k6 K0 j5 U' s& ^) j3 _' S0 R
    6 ]2 y% K/ K2 p

    $ b9 {) ]# ]( g4. 逻辑回归
    6 C; s6 X; `0 `7 t; T7 }7 q4 r
    ( s6 \4 d  o) r$ k[ 例5 ] 企业到金融商业机构贷款,金融商业机构需要对企业进行评估。评估结果为 0 , 1 两种形式,0 表示企业两年后破产,将拒绝贷款,而 1 表示企业 2 年后具备还款能力,可以贷款。在表 6 中,已知前 20 家企业的三项评价指标值和评估结果,试建立模型对其他 5 家企业(企业 21-25)进行评估。$ N7 o/ E1 {- v; g5 F* o
    ! g$ V0 P4 o  q  n4 X; q

    " Y. l7 P! X8 j" B
    ' }5 n) S! N6 J# s1 I/ G  Z  X- p对于该问题,很明显可以用 Logistic 模型来回归,具体求解程序如下:
    6 [; a+ z' Z6 v, U9 K
    - I& F( r4 d6 O7 ?) c程序中需要用到的数据文件logistic_ex1.xlsx已上传github:https://github.com/xiexupang/mathematical-modeling/tree/master/%E5%9B%9E%E5%BD%92/%E9%80%BB%E8%BE%91%E5%9B%9E%E5%BD%92
    * O2 c" c2 J8 E5 H1 I2 l# x
    ; K% c* ~# D3 ]% logistic回归
    $ q; n. t. p0 @) h( `+ [
    ) c9 r; b( ], e! m: J%% 导入数据
    ! M" ^1 @: H/ \5 D% q, T" r; K  qclc,clear,close all
    ( T7 e* Q" b6 W! j! NX0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C21'); % 前20家企业的三项评价指标值,即回归模型的输入
    ! ?7 S/ T" d0 T1 \Y0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','D221'); % 前20家企业的评估结果,即回归模型的输出% I  V; D2 n5 r$ B6 _* |  ^
    X1 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C26'); % 预测数据输入8 P6 s) p. C6 Y5 j4 [6 _
    ( {2 ^5 g; A2 v( I* s
    %% 逻辑函数
    6 ~5 c5 O7 g6 e" `9 S8 \7 O8 GGM = fitglm(X0,Y0,'Distribution','binomial');/ o4 |/ w4 J+ A. H5 L2 G0 Z; R2 o' [
    Y1 = predict(GM,X1);
    . O$ ]4 z+ |0 Q& p6 c6 X5 }$ ?' W/ \! v0 K, J1 `2 x
    %% 模型的评估) |7 n8 |# N7 \; G7 C0 f" v
    N0 = 1:size(Y0,1); % N0 = [1,2,3,4,……,20]
    5 e+ ?! |( v+ j- u: c- W  N/ uN1 = 1:size(Y1,1); % N1 = [1,2,3,4,……,25]4 X( U: t/ K' a: f# o$ X9 r
    plot(N0',Y0,'-kd'); % N0'指的是对N0'进行转置,N0'和Y0的形式相同,该行代码绘制的是前20家企业的评估结果
    $ }* C0 D& y1 D2 n- d; h4 ~# ]$ O% plot()中的参数'-kd'的解析:-代表直线,k代表黑色,d代表菱形符号; D  U! d' f: W. U! V
    hold on;
    ) O, a% l( b# R/ ~* @scatter(N1',Y1,'b'); % N1'指的是对N1'进行转置,N1'和Y1的形式相同( n+ n3 Q3 e. D0 a" h3 J, Y
    xlabel('企业编号');) a  u' M  ]# i) C" [
    ylabel('输出值');
    * A6 {( b' @7 v/ D得到的回归结果与原始数据的比较如图5所示。
    5 [6 i+ k' _' U5 q0 J/ p* r$ k
    / f6 R7 G$ B- t4 r
    ( n  ~& o& V' _0 B& c( Z1 B! B
    0 c; U3 P* ?8 }* Y: c                                                                   图5
    ; `! l, M0 E8 I% `/ h3 l, U7 t/ f0 o: }- b8 {
    三、总结与感悟。 * _4 E  I3 E0 k8 _1 {6 n, ~& o
    9 X9 t; \( V2 {: ?: S0 G2 z1 d
            总结:通过这次学习,我了解到Matlab在数学建模竞赛中使用广泛;在评估股票价值与风险的小实例中,我掌握了用Matlab去建模的基本方法和步骤;在回归算法的学习过程中,我掌握了一元线性回归、一元非线性回归、多元线性回归、逐步回归、逻辑回归的算法。' i' n" ]$ o9 R9 Z3 f+ N! Y
    + U. P  ^) Y+ J3 C& N& K' F- Q# w
            感悟:正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。6 E' Z, J2 K, Z, Y

    : h- ]7 a8 d& A8 c$ ^* W# I, j$ W% [! K4 t' ^. ?' V' X
    zan
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