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TA的每日心情 开心 2021-8-11 17:59
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[LV.4]偶尔看看III
网络挑战赛参赛者
网络挑战赛参赛者
自我介绍 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
群组 : 2018美赛大象算法课程
群组 : 2018美赛护航培训课程
群组 : 2019年 数学中国站长建
群组 : 2019年数据分析师课程
群组 : 2018年大象老师国赛优
Matlab数学建模学习报告(一) ) O* k6 K! {+ t- h
一、学习目标。 (1)了解Matlab与数学建模竞赛的关系。
(2)掌握Matlab数学建模的第一个小实例—评估股票价值与风险。
(3)掌握Matlab数学建模的回归算法。
b' r/ m4 ?# @ 二、实例演练。2 |- q4 u8 c7 [6 L
$ J+ [: k4 D) v' H3 @0 @ 1、谈谈你对Matlab与数学建模竞赛的了解。( \0 d) {, w0 ]+ R4 z4 F
% J) ?, M# j* h6 {5 G; C- g
Matlab在数学建模中使用广泛:MATLAB 是公认的最优秀的数学模型求解工具,在数学建模竞赛中超过 95% 的参赛队使用 MATLAB 作为求解工具,在国家奖队伍中,MATLAB 的使用率几乎 100%。虽然比较知名的数模软件不只 MATLAB。" b, F9 ~! J1 s+ C4 q
0 B" e( N; h1 ^: ? 人们喜欢使用Matlab去数学建模的原因:
8 t% F* f6 C' J: t: m/ ^- d
* v1 H2 F. O; Y7 d/ ?7 F+ N% v& X+ |$ U (1)MATLAB 的数学函数全,包含人类社会的绝大多数数学知识。
. H# B! W) c' X1 S) E . ]4 g$ |. {( c4 T
(2)MATLAB 足够灵活,可以按照问题的需要,自主开发程序,解决问题。( q8 L; Q$ t. ^0 n1 O! m7 ^) o2 T
% c5 s$ {5 R7 D9 H- f% ~
(3)MATLAB易上手,本身很简单,不存在壁垒。掌握正确的 MATLAB 使用方法和实用的小技巧,在半小时内就可以很快地变成 MATLAB 高手了。7 q7 e1 a) w& ~7 Z/ P7 F+ w5 ~2 {
9 i4 Y. w! a0 a* A 正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。; g0 B9 h, `8 k3 I2 r8 K6 I/ M
8 x: E+ V! O! f w6 C+ P# s$ g
数学建模竞赛中的 MATLAB 水平要求:0 O0 l. A% m3 h0 s# X6 Y9 _* K* s
* @ s5 r1 W! W( k$ @3 G- q
要想在全国大学生数学建模竞赛中拿到国奖, MATLAB 技能是必备的。 具体的技能水平应达到: [, z* r# q/ u
( K+ _5 |3 ? w
1)了解 MATLAB 的基本用法,包括几个常用的命令,如何获取帮助,脚本结构,程序的分节与注释,矩阵的基本操作,快捷绘图方式;
! |) g0 f7 Q3 W) W8 k8 r
) ?8 P9 H) S- R1 ^8 R 2)熟悉 MATLAB 的程序结构,编程模式,能自由地创建和引用函数(包括匿名函数);
. v6 }: g. T( Y |# P ~ ; {0 N" o& J; B' D' L3 J a
3)熟悉常见模型的求解算法和套路,包括连续模型,规划模型,数据建模类的模型;# E9 H# w1 J1 A5 ] a# V) ~ `
( U/ @4 F/ h- w, Y- p
4)能够用 MALTAB 程序将机理建模的过程模拟出来,就是能够建立和求解没有套路的数学模型。
" a0 M: D8 q! i$ l; e* I4 b1 O
0 t8 R; u d m9 U 要想达到如上要求, 不能按照传统的学习方式一步一步地学习, 而要结合上述提到的学习理念制定科学的训练计划。
5 H5 x, S/ j/ p$ C( E" H, w6 \ , }; e& s" s1 b- \$ I
2、已知股票的交易数据:日期、开盘价、最高价、最低价、收盘价、成交量和换手率,试用某种方法来评价这只股票的价值和风险。如何用MATLAB去求解该问题?(交易数据:点击此处获取数据)
: H. B: X$ Q9 F- E# G7 ? ' Q. e7 U* j {% N% T+ g& k
解题步骤:+ ?; C. {: e# F$ t/ V+ I8 N
. {8 s. F6 O/ z9 y! P
第一阶段:从外部读取数据+ x5 J, z2 W9 ^6 k4 r" d
: r$ [( e# h9 {' h6 C- r0 o
Step1.1:把数据文件sz000004.xls拖曳进‘当前文件夹区’,选中数据文件sz000004.xls,右键,将弹出右键列表,很快可发现有个“导入数据”菜单,如图 1 所示。# u {' d( |, E! u; a
0 B' w+ B$ D! `' s) Q4 Z, e( j& T. E
. v' ]& A6 W- e' t& R5 j# p- x
: ~' D. p& F) z9 C 图1. 启动导入数据引擎示意图! C7 `/ R4 N7 M3 T% F0 {# F: w
2 \* |) [5 ~1 l) n' K
Step1.2:单击“导入数据”这个按钮,则很快发现起到一个导入数据引擎,如图 4 所示。0 L; N! ^4 e, k% ~# t$ ~
1 U! b/ H& Q- D" X* \/ @) g
! g! J8 t2 b' q5 Z1 x
3 z [1 x# g7 x; W; I% J 图2. 导入数据界面
. s# E2 g+ x& b: T' D 6 t7 @$ d% J. q# D) T1 r
Step1.3:观察图 2,在右上角有个“导入所选内容”按钮,则可直接单击之。马上我们就会发现在 MATLAB 的工作区(当前内存中的变量)就会显示这些导入的数据,并以列向量的方式表示,因为默认的数据类型就是“列向量”,当然您可以可以选择其他的数据类型,大家不妨做几个实验,观察一下选择不同的数据类型后会结果会有什么不同。至此,第一步获取数据的工作的完成。
- t: g0 I( `! n* K % K& c; T2 g4 I, d' n
2 a) ?& q% @1 {4 D# B6 c
3 V3 D) ]/ f; K9 K
第二阶段:数据探索和建模- q( N% m6 E ]
6 M0 E; L8 K( q4 [
现在重新回到问题,对于该问题,我们的目标是能够评估股票的价值和风险,但现在我们还不知道该如何去评估,MATLAB 是工具,不能代替我们决策用何种方法来评估,但是可以辅助我们得到合适的方法,这就是数据探索部分的工作。下面我们就来尝试如何在 MATLAB 中进行数据的探索和建模。2 L/ K$ j( P! Q9 s# G# H
5 _- M4 q9 z4 Z k# ^ Step2.1:查看数据的统计信息,了解我们的数据。具体操作方式是双击工具区(直接双击这三个字),此时会得到所有变量的详细统计信息。通过查看这些基本的统计信息,有助于快速在第一层面认识我们所正在研究的数据。当然,只要大体浏览即可,除非这些统计信息对某个问题都有很重要的意义。数据的统计信息是认识数据的基础,但不够直观,更直观也更容易发现数据规律的方式就是数据可视化,也就是以图的形式呈现数据的信息。下面我们将尝试用 MATLAB 对这些数据进行可视化。& X7 h M! P- F3 H" H6 j/ D
( x3 p4 P& H$ ?! O+ u! d
由于变量比较多,所以还有必要对这些变量进行初步的梳理。对于这个问题,我们一般关心收盘价随时间的变化趋势,这样我们就可以初步选定日期(DateNum)和收盘价(Pclose)作为重点研究对象。也就是说下一步,要对这这两个变量进行可视化。; U- f( m; Z" E# I' n& J1 z9 }- E
2 m! n& [: z' q" m 对于一个新手,我们还不知道如何绘图。但不要紧,新版 MATLAB 提供了更强大的绘图功能——“绘图”面板,这里提供了非常丰富的图形原型,如图 3 所示。
5 {( Q2 G8 w& l: O/ W1 i
# ~1 O; v0 ^; M : H; N5 J9 L/ o3 Q1 U
9 F% F% V/ m& [# t
图3 MATLAB绘图面板中的图例
- U+ F: S' m( D1 u2 T0 Q( d , V# E; J& \* l7 J
要注意,需要在工作区选中变量后绘图面板中的这些图标才会激活。接下来就可以选中一个中意的图标进行绘图,一般都直接先选第一个(plot)看一下效果,然后再浏览整个面板,看看有没有更合适的。下面我们进行绘图操作。
0 i% z0 F- ?3 K' i0 k5 v( I2 ]
# k. p0 F6 c$ F+ U9 i Step2.2:选中变量 DataNum 和 Pclose,在绘图面板中单机 plot 图标,马上可以得到这两个变量的可视化结果,如图 4 所示,同时还可以在命令窗口区看到绘制此图的命令:
, j1 c+ z4 M& Q& N3 W
. C0 }! y( y2 v( K$ B >> plot(DateNum,Pclose)
/ U( j7 w. L( X' z0 H" f * ]4 f2 {0 L5 ^' y7 j
$ i6 k( e7 \* \ X) h$ |* J l # r. Y+ K' ?- A% X
图4 通过 plot 图标绘制的原图
! P0 j+ {! g5 j. {
5 X: n. C1 p: I' b 这样我们就知道了,下次再绘制这样的图直接用 plot 命令就可以了。一般情况下,用这种方式绘图的图往往不能满足我们的要求,比如我们希望更改:
, p6 p- M% n( k4 `8 V- A
! c, l$ C+ Z6 x. x; X (1)曲线的颜色、线宽、形状;
5 O# d% X+ x6 K, O! x, l % V2 d! Z" {' ^& O* [7 D
(2)坐标轴的线宽、坐标,增加坐标轴描述;. F t# X! @3 i' _! S7 F z
( f' H5 d- E' s* C" H- [- Z
(3)在同个坐标轴中绘制多条曲线。
$ [4 g& V" M+ Z# [ , Y% p4 s& k a0 r
此时我们就需要了解更多关于命令 plot 的用法,这时就可以通过 MATLAB 强大的帮助系统来帮助我们实现期望的结果。最直接获取帮助的两个命令是 doc 和 help,对于新手来说,推荐使用 doc,因为 doc 直接打开的是帮助系统中的某个命令的用法说明,不仅全,而且有应用实例,这样就可以“照猫画虎”,直接参考实例,从而将实例快速转化成自己需要的代码。
% {2 |' I/ B4 B7 p5 U$ S% J% @ @ T. g: D0 L( v# x/ C# Q( J
接下来我们就要考虑如何评估股票的价值和风险呢?4 d# S+ \5 A/ Q* ^$ @; p
5 _; V6 o+ T s0 l" J5 L! N
对于一只好的股票,我们希望股票的增幅越大越好,体现在数学上,就是曲线的斜率越大越好。
6 Z+ j; ~0 }/ ]" M- ] a4 \
% v& I4 ], [. _* K% f3 t' A* J 对于风险,则可用最大回撤率来描述更合适,什么是最大回撤率?
5 n- f1 U7 A, G( o % i- `8 g' F4 w) s+ }
最大回撤率的公式可以这样表达:8 `# c% N8 Y! z; J" x& b. e
8 n8 [, T$ t5 d# \& F1 u4 z G D为某一天的净值,i为某一天,j为i后的某一天,Di为第i天的产品净值,Dj则是Di后面某一天的净值0 M' `1 J1 J: e
/ S) f# E$ y+ k0 a! Z
drawdown=max(Di-Dj)/Di,drawdown就是最大回撤率。其实就是对每一个净值进行回撤率求值,然后找出最大的。可以使用程序实现。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。: m8 Q, m) ?+ ?. I
/ A/ C3 u9 i! G, C) O) V: n 斜率和最大回撤率不妨一个一个来解决。我们先来看如何计算曲线的斜率。对于这个问题,比较简单,由于从数据的可视化结果来看,数据近似成线性,所以不妨用多项式拟合的方法来拟合该改组数据的方程,这样我们就可以得到斜率。
) k8 ` v" d, y4 L! Z$ k! t. Z
: |5 ]. J) U, o Step2.3:通过polyfit()多项式拟合的命令,并计算股票的价值,具体代码为:$ ?" @8 A4 L' J: G
2 y1 Y6 }+ b" k( _1 `# B) P& q >> p = polyfit(DateNum,Pclose,1); % 多项式拟合
8 A5 n( P* [# H+ w; N4 K
+ g5 Y6 [' j2 Z7 Q >> value = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值
/ m: b$ Z; E3 b; f q w9 y& T/ ^/ Z+ f) r
value =
0 _& G3 _- X5 a2 d, n4 k9 K9 m3 n 0 j' w3 T4 g/ R$ p3 ^: q8 ?" V
0.1212
- r7 w+ A1 j5 Z8 K; e
9 @. P4 B! N( E# Q& @ 代码分析:%后面的内容是注释。polyfit()有三个参数,前两个大家都能明白是什么意思,那第三个参数是什么意思呢?它表示多项式的阶数,也就是最高次数。比如:在本例中,第三个参数为1,说明其为一次项,即一次函数。第三个参数为你要拟合的阶数,一阶直线拟合,二阶抛物线拟合,并非阶次越高越好,看拟合情况而定。polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列。在本例中的P(1)指的是最高项的系数,即斜率。
; J/ ?7 g' J4 N/ w' M5 F) z
?% J" p# N$ Y; f' o9 B Step2.4:用相似的方法,可以很快得到计算最大回撤的代码:
; w+ S, O4 L5 Y3 |3 t+ n7 y ; T8 @- e4 f" {; y1 {: `' s
>> MaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤( g% v4 Z6 c- q0 e) D* d
. X z: t' V3 a5 S; B3 X, r
>> risk = MaxDD % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险
6 O4 Q- F# u7 m( y. S6 M
: w1 h5 W; J0 |% n6 [ risk =' |6 y# P, M" Q! H" C% m/ R
# ]/ I! P" L# E
0.1155
3 X/ u5 f4 b1 K- R1 a0 d * h( R8 A7 S$ T. \/ G8 v
代码分析:最大回撤率当然计算的是每天收盘时的股价。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。" R/ j9 q1 U( o/ F$ m, \. o& c, X
C4 Q' Q8 Z; P3 [: K+ Q. o2 O 到此处,我们已经找到了评估股票价值和风险的方法,并能用 MALTAB 来实现了。但是,我们都是在命令行中实现的,并不能很方便地修改代码。而 MATLAB 最经典的一种用法就是脚本,因为脚本不仅能够完整地呈现整个问题的解决方法,同时更便于维护、完善、执行,优点很多。所以当我们的探索和开发工作比较成熟后,通常都会将这些有用的程序归纳整理起来,形成脚本。现在我们就来看如何快速开发解决该问题的脚本。0 ~, g/ J7 r$ V
8 z3 X1 E8 |4 |; t Step2.5:像 Step1.1 一样,重新选中数据文件,右键并单击“导入数据”菜单,待启动导入数据引擎后,选择“生成脚本”,然后就会得到导入数据的脚本,并保存该脚本。0 F6 j8 o9 s& [* g/ B8 E
7 x8 ?1 o t4 g& R, U: o" k
脚本源代码中有些地方要注意:+ @5 s$ L2 T7 |# D5 t/ x
! Q. h2 ]& }/ \ P( G
%%在matlab代码中的作用是将代码分块,上下两个%%之间的部分作为一块,在运行代码的时候可以分块运行,查看每一块代码的运行情况。常用于调试程序。%%相当于jupyter notebook中的cell。
: M0 n6 N, @) N+ C( k) u
; J1 g% {. H, P! V0 w8 f2 U %后的内容是注释。! n+ J+ k1 V: g9 {. P
; ]9 V- n' c/ t. h! w6 U' ] 每句代码后面的分号作用为不在命令窗口显示执行结果。
$ h* h! z4 T5 Z2 A7 s* X0 t( M
) k5 g5 v' j" L4 Q9 G8 T 脚本源代码:9 p' V, q- S, e" \2 M) ~
& V+ D; G. }5 I1 \ v5 t %% 预测股票的价值与风险
2 V5 ^0 O5 _: X) m5 X# a $ }2 r2 A8 E+ M
%% 导入数据. s$ D' U2 h/ j% E
clc, clear, close all! @5 I2 Y7 i4 M# r. c6 ^) I. O
% clc:清除命令窗口的内容,对工作环境中的全部变量无任何影响
: D! X+ e" a3 U! S % clear:清除工作空间的所有变量 8 }% d) \1 L; ^ g
% close all:关闭所有的Figure窗口! P9 ^% p0 H1 y
2 H$ L1 l! Z$ t) K
% 导入数据. _0 o7 z1 Y: z: h, j l' J
[~, ~, raw] = xlsread('sz000004.xlsx', 'Sheet1', 'A2:H7');
& w1 k6 i7 w! B) [: b' K % [num,txt,raw],~表示省略该部分的返回值/ v5 [. M. _+ k6 J' f
% xlsread('filename','sheet', 'range'),第二个参数指数据在sheet1还是其他sheet部分,range表示单元格范围7 z3 |7 ?0 E% h! n" f
4 S& {# E( D2 s# d; p0 i
% 创建输出变量
. V. Z* v x1 u* J data = reshape([raw{:}],size(raw));
3 @4 b, u, A w % [raw{:}]指raw里的所有数据,size(raw):6 x 8 ,该语句把6x8的cell类型数据转换为6x8 double类型数据; L, ?2 k/ T. k2 ?; ?
3 }8 K l) o/ c$ P) V+ U M+ A! q
% 将导入的数组分配列变量名称
& h$ x$ ~. K- }4 Z Date = data(:, 1); % 第一个参数表示从第一行到最后一行,第二个参数表示第一列% O; a4 T) G& b
DateNum = data(:, 2);
7 w9 ?/ x/ k& [" G, O6 j2 w Popen = data(:, 3);
* W- i* p3 s1 @; `% q3 Q5 s( z* t# Q Phigh = data(:, 4);
5 n- M I: I& V! ?3 ~. V, Z* S. c Plow = data(:, 5);5 I% r+ C+ c( W
Pclose = data(:, 6); 4 r3 B4 u6 n+ C' ~
Volum = data(:, 7); % Volume 表示股票成交量的意思,成交量=成交股数*成交价格 再加权求和' V$ @( o* d, O2 k8 t
Turn = data(:, 8); % turn表示股票周转率,股票周转率越高,意味着该股股性越活泼,也就是投资人所谓的热门股
# v8 j ?% v8 e% F # n: q& }: a0 S+ O
% 清除临时变量data和raw
; ^8 T# n6 r0 y, Y6 Y- I6 h4 G$ l clearvars data raw;) } e" D5 w/ @
5 \- @9 }7 E, E/ p1 q
%% 数据探索
. _! s! @) X: u/ z% ]
. X/ [. h; ~ ^6 ^" D2 R figure % 创建一个新的图像窗口
3 A% m3 V# p/ j: E/ q; |. |- ~ plot(DateNum, Pclose, 'k'); % 'k',曲线是黑色的,打印后不失真
! y- m R( Z6 b% n: f0 p6 t datetick('x','mm-dd'); % 更改日期显示类型。参数x表示x轴,mm-dd表示月份和日。yyyy-mm-dd,如2018-10-273 J; R) ]/ q* m+ m( Z; A& g
xlabel('日期') % x轴& Y, W+ q0 z9 z. f L
ylabel('收盘价') % y轴* S# {/ S3 ?3 p$ O3 C( N4 L
figure( j' D# h* k. j! R) e
bar(Pclose) % 作为对照图形
1 O8 H/ H3 d9 |4 B/ ^2 f# u
q. T# _: D, n% c4 |; l* N- o %% 股票价值的评估
. X, J: d' r4 U' B$ v% [
. x* A) _& c; ^* D; E9 A( P; A$ w p = polyfit(DateNum, Pclose, 1); % 多项式拟合
" {8 p' S( [$ H9 q % polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列8 O: q% s- \" o4 }8 ~ V( e
P1 = polyval(p,DateNum); % 得到多项式模型的结果& N) v* J" i7 D1 q, m2 r
figure
8 |* M( a" Z3 j9 j plot(DateNum,P1,DateNum,Pclose,'*g'); % 模型与原始数据的对照, '*g'表示绿色的*
, q, v' U# m0 H# v9 p value = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值。p(1)最高项的次数
+ _# @; R+ W+ A. e
9 K) D" Z F& l6 G% g( O% C; X %% 股票风险的评估- q" q3 k" |7 I/ B! e" Y
MaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤- x) e2 [2 l5 y, z, c$ ^0 H( U- m
risk = MaxDD % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险) u* w% h3 Z8 p) I! A
3、回归算法演练。2 X1 k* v6 ^1 X! T3 [. M( Y
, h; m& L) g2 W5 T! e( ~
(1)一元线性回归
! _# F. f! L; D7 T& @1 d % G7 z, G+ q$ Y$ P b4 K7 ?
[ 例1 ] 近 10 年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位:亿元)的数据见表1,请建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。
4 J1 ?* f& A: ]( {* V * B3 [# E- K2 @, Q7 f6 M
( D! r4 U9 J* o* { ( u" `+ _ P; `$ }: [) p
该问题是典型的一元回归问题,但先要确定是线性还是非线性,然后就可以利用对应的回归方法建立他们之间的回归模型了,具体实现的 MATLAB 代码如下:8 Y9 l4 z. k: H# G
5 v& d! T. X" S3 x$ H (1)输入数据1 E% o. p% c1 f W3 o% m7 G9 Z
* T8 o6 w8 k; q- V %% 输入数据: Z7 t, U5 M+ N) n
clc, clear, close all
/ I- f3 y0 K" E: M0 @) {/ M! ^, }& E % 职工工资总额) \% Y. A/ W f. f0 C" y! k- C
x = [23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.90,43.2,52.8,63.8,73.4];; @$ A7 d, P0 U
% 商品零售总额( u2 M) q' R* z2 ^ j
y = [41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0];
+ h1 Z* ^ ]8 \' p) l, K (2)采用最小二乘回归
. f3 y1 W" U7 d* e8 i4 ?$ b 6 e& Y4 \* ?/ d# G E% X* L# R
%% 采用最小二乘法回归
- i5 {7 M& ?. u7 h5 ^2 o3 m % 作散点图
. Z2 `# z# B2 v7 T/ r# _! p0 G* | figure: E: f$ o& @! c% d* w
plot(x,y,'r*') % 散点图,散点为红色+ X( i5 M0 f: k( a# K5 c- f: y
xlabel('x(职工工资总额)','fontsize',12)
) ^/ N3 J5 b' H$ l& h ylabel('y(商品零售总额)','fontsize',12)
6 v& @+ k% l( x) _ set(gca, 'linewidth',2) % 坐标轴线宽为2
. C) G& |: S" j6 b Y
5 g, s q- Q: q, q' l % 采用最小二乘法拟合 c* _7 ?$ Y" l2 B& t4 s! l
Lxx = sum((x-mean(x)).^2); %在列表运算中,^与.^不同
9 X8 z `/ A w. N Lxy = sum((x-mean(x)).*(y-mean(y)));6 R' A4 B" s( D, v4 @' p. r
b1 = Lxy/Lxx;
# d1 a m% x7 S9 T+ `6 p, Y4 k b0 = mean(y) - b1 * mean(x);
8 o' D% T$ D2 C0 ] f y1 = b1 * x + b0;6 f& R* y/ m: B
/ E2 E. |; E+ G8 |, Q' J$ ~( \5 C. u
hold on % hold on是当前轴及图像保持而不被刷新,准备接受此后将绘制的图形,多图共存9 Z% G6 [8 x2 y$ c9 _, c
plot(x,y1, 'linewidth',2);
) R9 S- N) M# e" k 运行本节程序,会得到如图5所示的回归图形。在用最小二乘回归之前,先绘制了数据的散点图,这样就可以从图形上判断这些数据是否近似成线性关系。当发现它们的确近似在一条线上后,再用线性回归的方法进行回归,这样也更符合我们分析数据的一般思路。' @+ ]3 u2 Q! }0 e. ~. ~+ w
9 a$ @" U' J1 B4 Z
/ n- K2 h% H; p; d" J
9 {/ z% B8 r2 ]; B& R 图5
5 n3 o8 {9 G6 @4 | Z; C$ ~ - {& }$ L3 x5 b
(3)采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归
- V& q" `' R# h7 ~8 ^
5 {; l' ?% c8 A4 C; `, b! f9 a %% 采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归
& g9 l3 p% m$ j% W8 B; b m2 = LinearModel.fit(x, y)) K% E8 w( m0 F" \+ U1 |
运行结果如下:
* ]7 C% G9 P2 i" f! @2 w
! {3 r8 t/ Q0 R( B/ A& | m2 =
* [0 k0 H9 V$ a4 h! ~! ] Q$ | F2 o3 u4 n' c
Linear regression model:
5 d- u" Y3 U/ ?1 ]7 c3 a. [
8 U$ w5 G, {' u6 \1 } y ~ 1 + x12 {4 c) F4 w8 b) `( e8 B7 \! h
Estimated Coefficients:- G8 ?6 K, ?" x) Z& K
8 X) s, b" B- G8 [- V
Estimate SE tStat pValue 3 Y4 t9 d' y7 q7 @8 e' \( |
: d R. ~: S- V5 c* T
(Intercept) -23.549 5.1028 -4.615 0.0017215& r* ~5 Q' j/ m ~/ h
2 T) ^" v; y2 h( f9 i x1 2.7991 0.11456 24.435 8.4014e-099 B9 s& P- l2 d' E: ]( s G, V l1 a
8 q+ F. t: g/ S7 t R-squared: 0.987, Adjusted R-Squared 0.9855 J- K. ] q1 Q+ v' C8 j% |
, c4 S, v% T5 `# j9 R D
F-statistic vs. constant model: 597, p-value = 8.4e-091 @0 _ d e3 R( J: p# U+ s
6 s: |" J; V. j
如下图,我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。
) ], V# R1 g6 `2 v9 t
0 }& a9 D$ f) o
% }' P9 _3 f2 K% k5 t' I! _ U- Y+ O, o! D6 \" {' g
4)采用 regress 函数进行回归" K f% _& f8 d1 S7 O
- O/ [- _- n e v
%% 采用 regress 函数进行回归. |' w" K/ I l! l% K; @ E
Y = y'
5 {, K9 C% Z" E% R% w% | X = [ones(size(x,2),1),x']
, S' R8 p; n! k9 G2 w0 ] [b,bint,r,rint,s] = regress(Y,X)
- Y; a' I5 u! T2 ~' P 运行结果如下:: `4 o: A' I: h$ U R, O' @( N. r
) x4 G' W' W2 h. {) g
b =$ C. L$ k. ^2 _5 \" A
9 s+ g3 q+ ?# u! s% P0 h7 `: W
-23.54936 Z7 P8 _6 X% P \* j
! A5 Y+ L" |) }' [8 b* ^ 2.7991
5 ], x# _+ h- X$ ?+ H
" {2 l+ d5 D. o4 T 我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。8 u% b. @0 p k t K, }
7 n5 K5 R5 [# r$ U2 F, E: N (2)一元非线性回归6 ^5 q3 J; E7 Z+ l0 @0 {
/ \# w5 E: l( @
[ 例2 ] 为了解百货商店销售额 x 与流通率(这是反映商业活动的一个质量指标,指每元商品流转额所分摊的流通费用)y 之间的关系,收集了九个商店的有关数据(见表2)。请建立它们关系的数学模型。
. v' |1 {& B1 K: y 1 n v, T+ k$ e% c9 A6 `# A \& C6 Q
: l V# l, |2 D; U" R 9 v O9 J7 y& a) W& t2 ~
& M5 [& Q6 f6 e; u8 i4 S* n 1 x: Y# k& c1 `! o
为了得到 x 与 y 之间的关系,先绘制出它们之间的散点图,如图 2 所示的“雪花”点图。由该图可以判断它们之间的关系近似为对数关系或指数关系,为此可以利用这两种函数形式进行非线性拟合,具体实现步骤及每个步骤的结果如下:, z, W- X0 ~9 \2 l: S
; i% f6 u& d) X (1)输入数据$ ~+ i2 d7 L# ]( V! |
9 J3 S* h2 N* X# N1 k5 s- J! n! ?
%% 输入数据
0 N7 R6 _* Z3 J7 M clc, clear all, close all7 b w3 |! [6 E5 T* j+ M+ |
x = [1.5, 4.5, 7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5];
4 t& O. p9 |& W* u- m y = [7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.3,2.2];
y9 ?2 x- W7 d5 G+ \# c) b plot(x, y, '*', 'linewidth', 1) % 这里的linewidth指的是散点大小) s& z/ J8 v, }( F; ?, i2 S
set(gca,'linewidth',2) % 设置坐标轴的线宽为2
7 f9 F( z' u7 V" k/ _: _ xlabel('销售额x/万元','fontsize',12)
5 |. |, N8 i. _* t1 \, @% w ylabel('流通率y/%','fontsize',12)! [% h; ]7 `8 M- N/ W
(2)对数形式非线性回归+ F4 u( \9 I: L* p
! Z& x+ _. l0 v$ a: g/ m7 E %% 对数形式非线性回归# b, w, `$ ~0 f" D) M% O% F
m1 = @(b,x) b(1) + b(2)*log(x);, q1 ]. h/ y5 A5 R/ d0 _
nonlinfit1 = fitnlm(x,y,m1,[0.01;0.01])
# H. ], N* E4 T+ c! p( F& I' s b = nonlinfit1.Coefficients.Estimate;
! j( @- t( u, Y/ f6 a( }6 ~9 @ Y1 = b(1,1) + b(2,1)*log(x); n3 k- Z/ w! O: N* S. }
hold on
" _4 i, q% g5 n, s8 U7 f plot(x, Y1, '--k', 'linewidth',2)) X" z8 s' L" ~- x8 t1 K
运行结果如下:% T1 v- F/ C! _1 I: C
9 ~8 N/ r( q5 K) Z; F B" z nonlinfit1 =/ c! N- V# J% a+ r1 L
' y8 @. |4 ]/ H
Nonlinear regression model:( v+ i4 V$ [$ d1 g) W: |( W2 H7 V
& Q \8 V. ^) T, j+ O+ y& }/ [9 G
y ~ b1 + b2*log(x) [4 ^- A9 R+ W/ Y' F
/ G7 V9 J5 W9 t. N" b! [ Estimated Coefficients:
6 ]% @ s5 c) C' m3 Y' F; G 3 E! i0 d: W! I) z9 g9 R
Estimate SE tStat pValue 7 g* N5 X) q& f. g
^ w5 x( ]' v' U: r% e5 V! j b1 7.3979 0.26667 27.742 2.0303e-08) ~& z" w. h8 k5 u4 A- b
7 [& c2 B1 O9 H; U5 k b2 -1.713 0.10724 -15.974 9.1465e-07
) \- w+ B% j8 C7 n( U" |7 \8 X
1 m& H! j3 ]0 Z, e- \" R. t7 M" M R-Squared: 0.973, Adjusted R-Squared 0.969/ u4 K: J* [" L. I
, v* g3 x% y; m# i- M
F-statistic vs. constant model: 255, p-value = 9.15e-07
# k' f; w9 x7 i" E$ L9 I* ? - l# c& g- X0 ]: |' o
(3)指数形式非线性回归
' V$ O* q' K: ], l9 ]9 C 4 ?8 _3 L& d7 `6 E) z; t
%% 指数形式非线性回归. {1 ~3 i* q' q/ h' d
m2 = 'y ~ b1*x^b2';2 d0 k* P# C, \. \9 l7 H: ^/ N! _* m
nonlinfit2 = fitnlm(x,y,m2, [1;1])
; C7 [) _) P" c3 l b1 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(1,1);9 Q6 k: a! ~1 K
b2 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(2,1)" w& l7 z8 r/ D# v3 D6 ^
Y2 = b1*x.^b2;
, _' d5 t2 m( R4 ^: O hold on;
- Q7 a l! b" h plot(x,Y2,'r','linewidth',2), f! F! T+ A+ b( O& D
legend('原始数据','a+b*lnx','a*x^b') % 图例! ?4 O9 X4 E3 ~* h1 M I$ W
运行结果如下:: }9 T, a- e* ?0 V
- H0 d0 c$ P6 B- G2 N0 L
nonlinfit2 =
0 \) G. }* J$ } * }0 J' @2 {7 j) u4 d F c' m0 s1 y
Nonlinear regression model:
`/ ?9 b0 N" O L& J9 S- K
! L- r( l# y, F( o7 F& f/ I& ` y ~ b1*x^b2- `5 o* S4 d( e3 y4 e' M
8 @, o# W( J* G" u! a
Estimated Coefficients:
4 m' V4 F$ J) _4 U' ]2 H% a ( L' u O2 R% F7 D; S. o
Estimate SE tStat pValue 1 [" J' q. u0 w$ e- [
% O2 D# o3 o, W6 h b1 8.4112 0.19176 43.862 8.3606e-10) a; w* I) u& ~) a3 X( C
. f; E7 Z% k! P6 [: P: E b2 -0.41893 0.012382 -33.834 5.1061e-090 C0 G9 L9 Y* h! C0 x# P
8 ~ s" q$ G9 H9 t) }# R R-Squared: 0.993, Adjusted R-Squared 0.992
0 l* m: r; `8 s O" U
- C0 i+ K( i3 u+ J F-statistic vs. zero model: 3.05e+03, p-value = 5.1e-11
$ M3 I, h( R' r6 \4 _6 k+ t& A $ U$ D4 e1 L( S+ B) f# g& F1 I: U
在该案例中,选择两种函数形式进行非线性回归,从回归结果来看,对数形式的决定系数为 0.973 ,而指数形式的为 0.993 ,优于前者,所以可以认为指数形式的函数形式更符合 y 与 x 之间的关系,这样就可以确定他们之间的函数关系形式了。+ n6 C N$ g- ?4 c
! M3 `) b+ Q7 f' S 2.多元回归: O% }6 J/ h1 b5 y
8 \2 z. e4 E: {& w x5 i
1.多元线性回归0 _- v. z* o7 i) J
0 |, S% K1 U& z, c% R [ 例3 ] 某科学基金会希望估计从事某研究的学者的年薪 Y 与他们的研究成果(论文、著作等)的质量指标 X1、从事研究工作的时间 X2、能成功获得资助的指标 X3 之间的关系,为此按一定的实验设计方法调查了 24 位研究学者,得到如表3 所示的数据( i 为学者序号),试建立 Y 与 X1 , X2 , X3 之间关系的数学模型,并得出有关结论和作统计分析。
0 j$ S) u! ~8 S5 e8 f7 I" {' j
% u* t8 W% S# r- B: j3 p, l
) ?. n6 w1 k$ i8 N) p& j
1 L/ C$ E3 L, G6 @5 h, l. W; N1 N 该问题是典型的多元回归问题,但能否应用多元线性回归,最好先通过数据可视化判断他们之间的变化趋势,如果近似满足线性关系,则可以执行利用多元线性回归方法对该问题进行回归。具体步骤如下:
7 U" ?, P& J3 w- z 3 ?! X6 c7 N# |$ m# d, J d) e
(1)作出因变量 Y 与各自变量的样本散点图7 s+ k, P( E* k6 X. n
5 d2 Z8 ?( p& G6 H 作散点图的目的主要是观察因变量 Y 与各自变量间是否有比较好的线性关系,以便选择恰当的数学模型形式。图3 分别为年薪 Y 与成果质量指标 X1、研究工作时间 X2、获得资助的指标 X3 之间的散点图。从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边,因此,有比较好的线性关系,可以采用线性回归。绘制图3的代码如下:
6 f' ~0 P6 ^& ]' A2 {9 j- E# H % Q- `( \6 T X% I+ o+ v H Y1 {# Q# X
%% 作出因变量Y与各自变量的样本散点图3 O9 `1 V: T4 k4 c% y& ?% B8 h
% x1,x2,x3,Y的数据
+ L- k6 V1 F, h) k, [: Q# { x1=[3.5 5.3 5.1 5.8 4.2 6.0 6.8 5.5 3.1 7.2 4.5 4.9 8.0 6.5 6.5 3.7 6.2 7.0 4.0 4.5 5.9 5.6 4.8 3.9];
- E& v+ \' i# V! n- x ~/ T. [ x2=[9 20 18 33 31 13 25 30 5 47 25 11 23 35 39 21 7 40 35 23 33 27 34 15];4 ]3 B% c E3 f/ ?" }
x3=[6.1 6.4 7.4 6.7 7.5 5.9 6.0 4.0 5.8 8.3 5.0 6.4 7.6 7.0 5.0 4.0 5.5 7.0 6.0 3.5 4.9 4.3 8.0 5.0];7 n& n8 ^/ W, ^( @
Y=[33.2 40.3 38.7 46.8 41.4 37.5 39.0 40.7 30.1 52.9 38.2 31.8 43.3 44.1 42.5 33.6 34.2 48.0 38.0 35.9 40.4 36.8 45.2 35.1];
9 y8 d1 i; J3 r4 h6 r& u: l % 绘图,三幅图横向并排3 M" g& k4 \- N
subplot(1,3,1),plot(x1,Y,'g*'); J% ~" i& D0 C: c4 L2 X/ b) {: V7 P
subplot(1,3,2),plot(x2,Y,'k+')$ |- ?- o5 y! M$ Z* r. K1 Z
subplot(1,3,3),plot(x3,Y,'ro')
+ V9 x' O# s% |0 v8 ` 绘制的图形如下:
: o7 N- E" a+ E$ |9 a0 a. o # {+ a% o* ?3 t/ B
( Q+ U; S, T1 | ' }# A' `5 i3 {. r9 M( I
(2)进行多元线性回归
% N0 o% F; o7 k: U. g5 l- @9 t/ _ 4 b1 ?" u7 P/ |3 ?. X, U
这里可以直接使用 regress 函数执行多元线性回归,注意以下代码模板,以后碰到多元线性问题直接套用代码,具体代码如下:0 ~$ | m: P! R, U% V, ], I; [- s
6 l6 \9 r, O+ c; E
%% 进行多元线性回归# D; z$ Q5 R+ O. q* k3 ]; P: I" @6 r- P$ [
n = 24; m = 3; % 每个变量均有24个数据,共有3个变量- f4 m9 K; u4 [, y; I1 E
X = [ones(n,1),x1',x2',x3'];3 y, z+ z" T! X+ ?5 u. l
[b,bint,r,rint,s]=regress(Y',X,0.05) % 0.05为预定显著水平,判断因变量y与自变量之间是否具有显著的线性相关关系需要用到。4 Z' D( K# n8 m8 T
运行结果如下:2 O, h6 u2 S8 q- J
7 g+ @: Z6 O& _
b =6 E) e4 T9 X8 v
( T6 D) S: l3 N5 O& l/ }
18.0157
0 P# o' A0 F5 r2 O 1.0817
) z Y$ Q2 w8 }1 |1 o 0.3212" Q! B. n* ^% j! H+ ?& A
1.2835
) J% @% N2 g4 P0 {0 N
. [8 ^1 s0 X$ k+ }+ v/ j1 ]
, |6 p+ I; d0 X bint =+ Q, E6 F) F, x8 o9 ]
7 e" C7 V k# s8 g
13.9052 22.1262( m9 G( [) J2 ]: p& ~
0.3900 1.7733
( c! @. Q& o3 t 0.2440 0.3984" H# n: W5 m1 z( Y- s* ^( Y
0.6691 1.8979
1 |2 Q3 o- c) U+ Y- `5 ^
" b+ Q% O' i0 G- h% r$ L- p0 V( Z- o
" g- A1 g. g1 s; n r =
4 b3 |: ~0 Y: k! e& l9 Q5 n$ H ! n$ q! G( F0 q# `: G
0.6781. b9 ~3 Y: p6 X
1.9129
. k( @) z! U/ ~5 c# } -0.11191 |: W; S& J" N& ?$ ^
3.31144 j; ~9 c3 Y- t. Q6 s2 q/ W6 U+ W
-0.7424
+ Z! P( j' E& A 1.2459
1 N5 N& H3 t9 s. V6 r0 \ -2.1022* ]- q# C% q1 r) A1 ~2 \: w
1.9650
# V8 g& j4 i; H' Q -0.3193
- k$ E) ?$ g6 o4 ~. {& i# ~% n( z+ Q 1.3466
# t7 \6 n7 |! v: a+ q$ Z" z* Y% K 0.86919 K. M0 \ T0 |* X2 |& U
-3.2637
! S, P# b/ r+ u7 H% P/ C -0.5115
0 ?. O$ `" _7 x- c; { -1.17336 A+ R# Z* Q6 ]
-1.4910. d+ b! I- O; @3 D* @
-0.2972
& R. J9 G/ v: L+ V, P 0.1702
( n( {: e* P5 A( N% E4 J" ] 0.5799
$ ?: l# @7 a% E5 h2 C2 O: E -3.2856: `% S4 u( l+ X, E
1.1368
9 F, p4 L1 J" }( F, M -0.8864
3 L9 W$ X! @8 f% Y8 ~9 g -1.4646
. M3 I- C6 n o 0.8032
) U* r$ S& T7 R) F" u3 ~! ^( _7 }4 v 1.6301
- `& J" T; R- y, g
) E9 [+ ~6 K; A) v 7 S) l+ \# h2 r6 P7 c0 q
rint =+ q8 ]! ^. K+ i. I- Z
, l, c! G1 M- }1 q$ a -2.7017 4.05803 n2 I5 f; K2 H5 U
-1.6203 5.4461
) [; l' M: D7 F, c -3.6190 3.3951" a7 S6 z K* h1 P
0.0498 6.57294 W ?+ q8 ?9 }. h! Q4 f0 n6 C
-4.0560 2.5712
. @) O' x: B# d+ s/ r0 T, \1 O -2.1800 4.6717
: v- U- _' H, W) O0 J q+ _ -5.4947 1.2902
9 P% ?0 R& W7 l b -1.3231 5.2531
; J3 U9 r) @3 ~4 I! E -3.5894 2.9507
- p) l7 X; ^, p' x, X) F -1.7678 4.46090 S) Y# d- h$ j- Y4 |# L7 ~
-2.7146 4.45292 i7 Z+ W+ o5 J* M0 z# L
-6.4090 -0.1183
9 W. T/ W3 V: e' F# J -3.6088 2.5859
+ z+ S# N B* E -4.7040 2.35754 m& U8 t) m# @7 m
-4.8249 1.8429
" L+ ?% p7 v/ d* L- ~3 n# n/ O$ A -3.7129 3.11851 `9 v( D+ ~8 _: z: ~1 v& m: X
-3.0504 3.3907
) V. a( ~) C9 X: z- h9 n0 t -2.8855 4.0453( U9 T; o; c2 a* s8 s. x
-6.2644 -0.3067
# |: D4 ^/ K0 ]6 m -2.1893 4.4630- U8 a: n' Z' T+ O+ y6 k7 t9 Y
-4.4002 2.6273" p! }9 g* C1 r
-4.8991 1.96997 q2 b: J+ g7 b. @' S4 \
-2.4872 4.0937 q. M1 U. g0 o: r: F9 _' ~
-1.8351 5.0954+ I: G2 _4 w8 Q3 X
4 z5 |# k7 g" L5 L' |- a# g5 _ @& o
; h( F+ M* t' d3 C# W$ r
s =" y+ d( \2 F7 M, }0 P
7 ?7 ?" ~, o9 _, E0 f/ u 0.9106 67.9195 0.0000 3.0719* ?* j/ T- t* F4 M2 m; D
看到如此长的运行结果,我们不要害怕,因为里面很多数据是没用的,我们只需提取有用的数据。
; { y4 S+ J' r8 q2 \
( c8 B' }2 [; X, s3 S- H 在运行结果中,很多数据我们不需理会,我们真正需要用到的数据如下:- h8 y. q# ^' q; j \0 T! t# z
! K) P, Z! M; Q' B. O8 n
b =
6 T' T' Z5 T+ s) j. V5 J 0 L' \% B& y$ Y9 P/ b2 y
18.0157: D! h4 v4 o( X' H2 s8 r
1.0817
( f- @$ ~9 p2 _. P3 E 0.3212+ u* _& d; n2 C) Z6 ?
1.2835$ a, ^9 E8 @; [" ]& `3 i7 {8 S3 r J
, ]$ F8 \) U8 a z8 [( M% ` J
s =
( F8 | ?! }1 _. F
5 C: @& m: r( d7 ~" X, s/ p 0.9106 67.9195 0.0000 3.0719
% ]# ?1 O3 g* e' d: H% M! A 回归系数 b = (β0,β1,β2,β3) = (18.0157, 1.0817, 0.3212, 1.2835),回归系数的置信区间,以及统计变量 stats(它包含四个检验统计量:相关系数的平方R^2,假设检验统计量 F,与 F 对应的概率 p,s^2 的值)。观察表4的数据,会发现它来源于运行结果中的b和s:
4 M7 D; s- d, T1 G) V8 d
8 R; j% \# c5 V : ~8 y4 m4 E' e" a1 Q3 D. {* y k, k t
7 l6 M. f0 f/ `8 A2 V 根据β0,β1,β2,β3,我们初步得出回归方程为:( V- t6 K; P3 R2 g. s6 J5 ]
2 ~* M* V2 N! B( @* V3 a
- K2 S+ K6 d4 t# [- \1 w& ]+ i
9 D& K0 ~. b; ^: |3 E9 M- [ N 如何判断该回归方程是否符合该模型呢?有以下3种方法:
* ~& A) y5 `& L5 b: C6 h8 L9 S
7 O6 Q1 c# m+ l; U% f 1)相关系数 R 的评价:本例 R 的绝对值为 0.9542 ,表明线性相关性较强。
2 Y1 T3 F. r0 Z, A$ L / u% P) b3 p& c) ?# H. x, s
2)F 检验法:当 F > F1-α(m,n-m-1) ,即认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间有显著的线性相关关系;否则认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间线性相关关系不显著。本例 F=67.919 > F1-0.05( 3,20 ) = 3.10。( H8 |9 U( g. a. P' C. o4 L
* @5 w) C N, t3 U5 a: I' t! `" b 3)p 值检验:若 p < α(α 为预定显著水平),则说明因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm之间显著地有线性相关关系。本例输出结果,p<0.0001,显然满足 p<α=0.05。
1 o! B( D8 m* \0 ^5 U
" J# @3 E# e' n" H `2 o! M% v 以上三种统计推断方法推断的结果是一致的,说明因变量 y 与自变量之间显著地有线性相关关系,所得线性回归模型可用。s^2 当然越小越好,这主要在模型改进时作为参考。
$ c) e5 H% f8 F/ O$ ]5 V1 v- k x
- i7 a7 u0 f! @& Z2 }2 j 3. 逐步回归
\9 T1 O) o2 ~! E) T
+ b( ]0 A! \2 g4 [/ b [ 例4 ] (Hald,1960)Hald 数据是关于水泥生产的数据。某种水泥在凝固时放出的热量 Y(单位:卡/克)与水泥中 4 种化学成品所占的百分比有关:& @; T0 L! \+ Y
: O. A. c- Q4 q6 ~: X, k
* P: P w5 `% r 9 j6 K- T" [: o+ v8 j, w
在生产中测得 12 组数据,见表5,试建立 Y 关于这些因子的“最优”回归方程。" C5 D& u8 b! }' I4 L" {
% u7 p# ` w% \! |- [& ~ + g' G& p8 Z' z) }' ~* X7 z# i
2 J: u$ l4 p% {. C$ L: x
对于例 4 中的问题,可以使用多元线性回归、多元多项式回归,但也可以考虑使用逐步回归。从逐步回归的原理来看,逐步回归是以上两种回归方法的结合,可以自动使得方程的因子设置最合理。对于该问题,逐步回归的代码如下:
- W9 t7 X% E6 N* M1 e2 y3 [ 6 [) r# ^3 h; Z- ?# @" }: |
%% 逐步回归
' z4 h" o0 c# ~. t$ {& n X=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12]; %自变量数据
9 S0 Z+ @* p6 y Y=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3]; %因变量数据
" J0 W- _# M3 q' r stepwise(X,Y,[1,2,3,4],0.05,0.10)% in=[1,2,3,4]表示X1、X2、X3、X4均保留在模型中
( b" u C1 x3 z t( h 程序执行后得到下列逐步回归的窗口,如图 4 所示。
$ G2 ?+ X9 a6 V# ~, q * g+ _3 N( r4 L* Q3 r9 H! [
, Z% \- p$ W: p) j% g+ I ; z0 ~2 r6 [1 L ?; j4 p, \$ N$ z
图4
9 g# }1 I' o6 G' L7 T - V' a H9 ?8 l. d$ H0 A2 P
在图 4 中,用蓝色行显示变量 X1、X2、X3、X4 均保留在模型中,窗口的右侧按钮上方提示:将变量X4剔除回归方程(Move X4 out),单击 Next Step 按钮,即进行下一步运算,将第 4 列数据对应的变量 X4 剔除回归方程。单击 Next Step 按钮后,剔除的变量 X3 所对应的行用红色表示,同时又得到提示:将变量 X3 剔除回归方程(Move X3 out),单击 Next Step 按钮,这样一直重复操作,直到 “Next Step” 按钮变灰,表明逐步回归结束,此时得到的模型即为逐步回归最终的结果。最终结果如下:
8 [( ^ m/ ^& J" F" S
; ]/ g8 @5 U, V; z 8 U' L& o1 A; ^1 Z7 \6 N0 z
! V& D' j! X% ]) D+ ~# K 4. 逻辑回归
a: ~9 Y" D% ?' r& @ / o8 X, `" K# k |; S6 a
[ 例5 ] 企业到金融商业机构贷款,金融商业机构需要对企业进行评估。评估结果为 0 , 1 两种形式,0 表示企业两年后破产,将拒绝贷款,而 1 表示企业 2 年后具备还款能力,可以贷款。在表 6 中,已知前 20 家企业的三项评价指标值和评估结果,试建立模型对其他 5 家企业(企业 21-25)进行评估。
) {% P: _. u! d9 ` o# T
; {1 k. O; M% X, c7 C9 y% H
$ ~# p. }: H; t+ h3 k5 x: F ' y3 h1 K5 C, {# [% O
对于该问题,很明显可以用 Logistic 模型来回归,具体求解程序如下:: M2 A9 m, m# `9 I6 j+ y& ?
. \: y& k$ ]& H: m" ` 程序中需要用到的数据文件logistic_ex1.xlsx已上传github:https://github.com/xiexupang/mathematical-modeling/tree/master/%E5%9B%9E%E5%BD%92/%E9%80%BB%E8%BE%91%E5%9B%9E%E5%BD%92/ p& u% W) b. I' w1 p
2 U' A' A% w& {% r % logistic回归' | K$ `# y, p7 z* }1 Y' f
3 c- L4 p1 m0 m0 ]- q! Y. K
%% 导入数据
# c9 b4 W$ s4 m6 P$ x7 C- U) P* D clc,clear,close all# m4 e' x7 g" i3 f" N# h
X0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C21'); % 前20家企业的三项评价指标值,即回归模型的输入- C# R' S% R. X4 I3 v. s
Y0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','D2 21'); % 前20家企业的评估结果,即回归模型的输出
3 o7 H+ @' Q% M$ Y X1 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C26'); % 预测数据输入' b, A4 a4 U, T" a, [
, d+ T3 d* j9 Q# h& ?+ ?
%% 逻辑函数/ e! m( |% e" I: G) C: @
GM = fitglm(X0,Y0,'Distribution','binomial');
: W( k6 D, c) m1 x7 \ Y1 = predict(GM,X1);- s1 g$ F) } x. r
( \" L! _1 k9 y- u* g+ a. m( |, q! o %% 模型的评估9 Y5 ]* c8 m8 C
N0 = 1:size(Y0,1); % N0 = [1,2,3,4,……,20]
3 h3 ]$ Y! |! H% V$ e( v! y+ l2 `; ] N1 = 1:size(Y1,1); % N1 = [1,2,3,4,……,25]
9 y7 s P( G% Y+ v, q) H plot(N0',Y0,'-kd'); % N0'指的是对N0'进行转置,N0'和Y0的形式相同,该行代码绘制的是前20家企业的评估结果
, r& E( d, B9 c % plot()中的参数'-kd'的解析:-代表直线,k代表黑色,d代表菱形符号4 [5 d# V6 j0 Y, T: O1 L6 T! b
hold on;
: {2 ^, |) y8 E: a# ^0 w scatter(N1',Y1,'b'); % N1'指的是对N1'进行转置,N1'和Y1的形式相同7 H, M! Q& \9 `% l3 o2 a- x2 U
xlabel('企业编号');
+ d% `7 L6 j V) W5 L1 K6 S8 h ylabel('输出值');. P2 o% S2 w) k" B" `1 k
得到的回归结果与原始数据的比较如图5所示。
0 t: E; q# F0 l4 ?9 G8 A" G- j. s; a
3 m; X2 J) L! B* `' I" ^$ A
+ D1 j1 d9 ^& y0 } ; }8 H. Q- x6 p$ S
图5
) U; f0 I# H, Z2 t. i * T6 P# u, x u o, E
三、总结与感悟。
7 w2 S! K2 v; v9 d9 _, Y- W
% C0 g" H P9 @ x) u* K 总结:通过这次学习,我了解到Matlab在数学建模竞赛中使用广泛;在评估股票价值与风险的小实例中,我掌握了用Matlab去建模的基本方法和步骤;在回归算法的学习过程中,我掌握了一元线性回归、一元非线性回归、多元线性回归、逐步回归、逻辑回归的算法。
7 L. k, Q: q" H3 w1 O3 k" C6 E 3 A/ X8 r" s2 T4 K7 Q, Q9 W1 x
感悟:正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。- |# p; t8 u. g" x! o( D3 [
- H4 {' {# O4 V5 }7 B$ F3 l
I6 Z( H5 h$ N% w. c; ~
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