数模竞赛-人口问题

杨利霞

数模竞赛-人口问题

/ D/ s$ x% u' k3 f5 ~! k8 \学校最近的数学建模比赛，刚好组内同学也有想参加的，就一起报名了
: q( T' r5 X0 m, T" @. J  ]3 T; g' r
人口问题

在全面两孩政策正式实施之前，卫计委牵头进行了全面两孩政策影响生育的预测研究。
根据最后完成的《实施全面两孩政策人口变动测算总报告》，
1 X/ O0 Y1 g( I1 K$ Q8 ~9 o2016年放开全面两孩，2017到2021年5年间增加两孩出生数将为1719.5万人，平均每年增加340万左右。
其中，2017年出生人口总量将达到2109.9万人，2018年达到峰值，为2188.6万人。
9 H7 G0 Z* w- H; {; t- ]& E国家统计局2018年01月18日公布数据显示，去年全国出生人口数量和人口出生率双双下降。
) w4 }" I2 |; Q% h" ]2017年全年共出生人口1723万人，比预测数据“少了387万人”,低于2016年的1786万人。
+ k  w9 X" f. _5 P: C) _" G) z- H$ W人口出生率也同样出现了明显下降，去年全国人口出生率为12.43‰，2016年这一数据为12.95‰。
由于与之前预测相差甚远，这个数据甚至令不少人口学界人士感到意外。

建立数学模型分析下列问题：

（1） 在现有政策下预测未来人口的变化趋势。
) x: K/ n6 Y7 G（2） 如何才可达到《实施全面两孩政策人口变动测算总报告》的预测效果。
8 N/ b) |, X" n6 u0 _% _（3） 分析人口变化的主要因素，建立人口增长与这些因素间的关系。
（4） 依据你的研究给政府相关部门写一份800字左右的报告。

5 N. J& Q# f6 G6 u! Y8 u拿到手感觉还不算难吧，网上应该有很多这样的分析，但是网上大部分都是时间有点久的，这个是考虑全面开放二胎后得人口变化，主要还是用近年的数据，这样得分会高一些。
3 H- A5 y, V! v0 I( O( Q! {
7 o  p, \7 g" x. s! f: [4 W$ n人口预测模型
: \4 W7 I/ J) S1 e  L
: \( _. X, S9 Z6 [! b4 e( V! _  J: T先说我查到的几个模型吧，指数模型，灰度预测模型（这个网上被吐槽得很水），logistic模型，Leslie矩阵，大概就这几个了，然后论文里面用得是灰度预测和logistic模型，Leslie矩阵我很想加进去，因为它用当前人口年龄结构来预测未来的人口，感觉很切合题目。但是没找到合适的，就不了了之了。
" T7 J, A5 P4 l6 g+ u, m; A
% t' r) P- l+ j* J' k6 m0 g灰度预测

先说公式推导
6 p7 ?3 a3 ?+ k' K/ vmathType的公式好像无法在makedown上面显示，我就截图吧
; i  M/ r2 G, m

2 o* z( c: D4 N* s

上面就是公式的推导，下面是matlab的代码
+ B' k; m% D1 Y) p; {+ D9 j" A
clc,clear;  
syms a b;  
c=[a b]';  
%2012-2017
A=[ 135404   136072   136782   137462   138271   139008];
3 ?' r4 c* K& Y, d8 [! g/ z. l3 c% @B=cumsum(A);  %原始数据累加  
n=length(A);  
for i=1n-1)  
8 O0 V, f7 |7 w# f# D9 y    C(i)=(B(i)+B(i+1))/2; %生成累加矩阵  
end  
. p: s, G5 v8 M# Q%计算待定参数的值  
" ]9 H4 A3 n* |" S3 vD=A;D(1)=[];  
  H; g+ q- Q2 s  ~5 z  Q6 RD=D';  
E=[-C;ones(1,n-1)];  
c=inv(E*E')*E*D;  
$ s% N8 P' U2 J& o4 b3 oc=c';  
a=c(1);b=c(2);  
! m- z+ g2 `. z%预测后续数据  
F=[];F(1)=A(1);  
% _* v) J* M2 ~for i=2n+5)  %只推测后5个数据，可以从此修改  
0 ]4 ^- M& t, i: b; C    F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a;  
end  
0 l  S7 N, H: T* U* U! o, d) G$ YG=[];G(1)=A(1);  
3 W" x: x# ]4 m2 F) {$ _8 u0 Efor i=2n+5)  %只推测后5个数据，可以从此修改  
) i8 P5 o# W4 ]$ w    G(i)=F(i)-F(i-1);  %得到预测出来的数据  
end  
8 |0 B. o9 F' w. Y2 j( ^- gt1=2012:2017;  
8 F& V, I& r, {9 c3 t7 B, lt2=2012:2022;  %多10组数据  
0 ?6 D( W+ G7 B7 {. y5 S5 DG
  O; J* F% y6 P0 `h=plot(t1,A,'o',t2,G,'-'); %原始数据与预测数据的比较  
  v+ \7 C* m6 q. |set(h,'LineWidth',1.5);

' m( q: v* H' f3 @/ E5 p6 \: L/ O这是Excel里面的人口数据
7 A( i5 ^& X+ A' }9 H' T, l
最后得出的结论，感觉还是挺靠谱的。
3 ^. f- x& w4 i* A$ f1 e
: A8 [' J: W9 A* Q, }) a) |& k) Y
0 r; }. q0 n2 O, [& ^8 d" ~1 Hlogistic模型
* w! G: a5 d' v" L( W0 c
前面说了灰度预测只适合用于样本量少的短期预测，logistic更适合中长期预测。

6 W2 E/ H1 k4 [$ k% T  I: j* s
clear  
clc  
% 读入人口数据（1971－2000年）  1997 - 2017
' h, i8 ]( f1 H- ^' L0 w, f2 O# ?Y=[123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129 132802 133450 134091 134735 135404 136072 136782 137462 138271 139008];
% 读入时间变量数据（t＝年份－1970）  
T=1997:2017;
! O6 U0 n5 I6 Y% z% 线性化处理  
) S) b( I" }8 dfor t = 1:21,   
   x(t)=exp(-t);  
   y(t)=1/Y(t);  
end  
& Z( S7 s# t, ~) Q5 d4 J/ d% 计算，并输出回归系数B,即计算回归方程 y'=a+bx' 中的a和b的值  
c=zeros(21,1)+1;  
X=[c,x'];%相当于30个方程组，求解a和b 的值.  
- A0 C! P! e) [, PB=inv(X'*X)*X'*y'  
/ w7 H4 u( T# V+ xfor i=1:21,  
; o; e; }- A/ V7 [6 |8 p6 M4 ?% 计算回归拟合值      
    z(i)=B(1,1)+B(2,1)*x(i);  
% 计算离差  
8 l2 j2 [0 [" ]0 ]5 l, B    s(i)=y(i)-sum(y)/21;  
% 计算误差      
3 X& j7 n' z7 a5 y/ W    w(i)=z(i)-y(i);  
end  
$ ~- |) S+ q5 t, f9 `* p% 计算离差平方和S  
( {3 A8 s3 t8 A. L) @S=s*s';  
  x* n2 v3 J9 k4 E5 K* Y% 回归误差平方和Q  
' p: q' n4 C; ?2 X( Q$ Q4 o& CQ=w*w';  
  A; r/ D" ], ]8 O$ n/ c9 w7 m# Q% 计算回归平方和U  
; ~6 Z0 O( n: W) JU=S-Q;  
" j, Z' o8 R& u$ _7 c4 r% 计算，并输出F检验值  
F=28*U/Q  
0 a: ]" ]+ g  a- M- B% 计算非线性回归模型的拟合值
for j=1:21,  
    p(j)=1/(B(1,1)+B(2,1)*exp(-j));  
end  
2 t9 w2 Z( l) l5 {9 ]( m0 g* ^% 输出非线性回归模型的拟合曲线（Logisic曲线）  
) L; q) T1 ^! k7 B* ?5 T, z) G3 Pplot(T,Y,'r*')
hold on
+ b$ b. H3 p; g3 X: O4 Gplot(T,p);
- l+ q1 h# g) y% G1 C5 G
最后拟合出来的效果，无敌爆炸烂好吧，我也不知道为什么，等自己以后会了再来改吧
0 O/ t, k% h$ i. m