数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划

$ N  q- e; ]2 m6 [) S# }. K+ c线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
/ {4 ^) B% F; A* o/ U3 h: e8 J1 简介

/ Q6 r: z: M& K& Y( F1.1求解目标规划的思路

( R& ]' C' Q4 Y2 m（1）加权系数法
2 @! \* ^; H5 W/ n2 x$ Z- [为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
6 m+ k" Q3 V' L. X5 v- V# {( d（2）优先等级法
1 s# l5 t9 b& }3 m9 p* k将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
（3）有效解法
- T; |. }5 K/ [7 A, f寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。

2 K" e! H9 w& c1 o1.2建立目标规划的条件

（1）正、负偏差变量。
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
（3）优先因子（优先等级）与权系数。

( U1 ^# J& F7 S3 l9 x' v4 J: e1.3 目标规划的目标函数
/ i- ]2 F, o) ~+ |9 U$ n/ l6 T+ _
目标规划的目标函数基本三种形式为
7 F% ^  a) @& b: ^1 m. O（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时

（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
9 [# g* G$ m' l1 `4 I( y, I7 ?3 G
（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
: w% k& k& B7 W" I

9 v& z" q$ f# f' J/ M1.4 目标规划的模型应用
) n9 a  l, F  y7 O, c
（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
1 k$ Y$ r' |4 J$ Q& N2 `) y3 i（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。
2 R# U9 M4 r* p' T8 A  n. I
2 目标规划的一般数学模型
+ H( P! T2 ^9 J9 A+ ]
2 m9 ?( y5 q6 L* G6 u设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
4 Q- B/ `0 z2 W4 C
) ^& K3 A6 m1 y$ k# y" f
可用序贯算法求解目标规划。

2 f5 D! i0 d% i3 数据包网络分析（DEA）
& W% l2 x/ u7 s1 W8 {4 e' \
3.1适用范围
" g" h4 P" [) N) g9 W$ z
0 |  I: I$ |' N+ fDEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。
6 C4 G0 r% y: E6 T; s+ p
3.2 数据包络分析的C2R模型
/ V+ N% S0 h9 K/ G4 H7 q$ U
3 \1 h! a: B2 ^9 p设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
定义决策单元j的效率评价指数为
评价决策单元效率j00的数学模型为
8 Y8 J& m7 s. }

9 o* h. Y* M7 y) T8 r9 N" L3 p对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。


( |# A3 k( z. V0 Z* j

% e3 F7 C) y- K0 X" Y. T
) m# I, E. G9 b" G' |# o( C