数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

1、建模步骤

. O7 n: W. u" f3 ^
( y( Y0 e5 g/ ^4 b: X
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

  V, f6 m  E( z3 W: `  ]模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

! m5 S, l/ w: d2 c/ T, D  u( h模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题

5 d( M" R. V' H/ j  g- Z& V  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
* b4 W' z9 h+ T3 |, b
（1）数据处理问题
: k5 f( T; S) u
1 Z% O" z9 d2 ]0 J$ Y  U8 z: G( D8 `•①插值拟合

/ t3 m1 p1 ?3 D$ y•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
  h4 G9 ?" ^+ [! }: k, u+ X. ]
. b  t1 B  V( }•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
5 i5 m: Q) y" K, D' t; D+ p
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
& c* D, x2 U. }2 C9 T
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
8 e7 B  C) w8 h; M- {3 d
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

•主要用于数据的截取或者特征选择
* @7 L! q, \) n! U) }% n% K

5 @3 Q- y3 P  f# a1 M& w) O# s
（2）关联与因果
- i+ S+ `  G' h: m# l
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
, `: Z3 e( M+ ]
•②Superman或kendall等级相关分析
0 d! W# A8 H2 B, L* o% I- i, m
•③Person相关（样本点的个数比较多）

4 w. @1 o" \3 Z7 E) W) m% B$ f•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

& a! L* f( q# C4 X! _% H( s•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）

! i3 X8 j! ~: p5 T$ [
; a. o8 \  r4 _
（3） 分类与判别
6 d  F; I; c  k6 }( d3 u, G1 m
•①距离聚类（系统聚类）常用

•②关联性聚类（常用）
0 a* l/ L9 g; U# E
•③层次聚类

7 ^: D' F3 X# b, ]/ V•④密度聚类
! f5 i& b- ]3 v7 o
" G5 O% {1 b" L5 `•⑤其他聚类

1 L/ K( X, v9 A2 ^•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
8 Y; k! }. y9 E2 T& q
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
  X! B" w  W  r! v8 n
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
8 g; R# V8 W# ]3 t" c
0 ^- e  k/ |  J

7 Q& d4 Q4 h- U4 p( n9 H

0 b! U5 F9 v- d（4）评价与决策
8 t: Q# S; a9 o9 T" R
0 t: h- B5 H1 d3 M•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

' f- F* F$ k- j! I•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

4 U5 a% {3 w) V3 ^) E•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
# L* P6 h2 b" E9 u' m
  |7 c* t. _* I. D) D•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
# Y7 b. u( M7 S6 b# L5 o4 N
+ n3 I. `5 [4 z  J& y& M( W, A•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

3 M  M- X, P/ ~" z" s•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
- }. ?: M" ?/ N" X4 J
•⑨方差分析、协方差分析等

•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

. h1 n3 `6 A' _. @. m8 ]6 A  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
/ K! n7 J8 x: m/ k2 G. w6 v

  T7 ?# D6 s% \5 v/ w6 v. @

$ j+ [) V. y. E2 f# R6 W$ g) I
（5）预测与预报
6 p5 Y( x6 |! j- w


" x4 x0 R# c" ]" h; _; t" I3 J) Y•主要有五种：
; M0 s9 P* _6 D' J
+ w  @7 s: T( A•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
! ?1 N) Y* ]2 ?9 m4 m+ f
4 G, u6 T# N+ X& u•大样本的内部预测-逻辑回归
3 H! R8 C; w% Q
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
( [+ _( q3 W( |
$ g- o, O% j, N# `9 L•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

* `% |4 R- y% M3 z•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络

# K$ V1 j2 `6 O9 }" {
& |! S" n9 v1 _( M% I
3 I7 B% }) _# E% p8 [- r•①灰色预测模型（★）

•  满足两个条件可用：

•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式
  v$ w, J( V( W- T) Z: h% R
•②微分方程预测（备用）

# G% k/ _7 g9 z/ ?• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
' Q6 r4 A) ]5 l: B% s


; D  O1 m+ O( R! T6 W•③回归分析预测（★）

/ u/ y, y/ J/ I  G•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
2 r# ^: ~1 I  B, X
* g7 Q- C/ d  P! y•  样本点的个数有要求：

* c2 l0 n. O/ Q9 d: Z8 P•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
9 @7 J9 j$ X8 K# {8 ?) R
& E/ M: a7 L( [4 w7 w" c( C•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布
- y- b( K3 V0 {8 I8 n
9 F1 z. C: C2 j2 h
! k, j" H- U# ^! a: N
•④马尔科夫预测（备用）
! l% Z7 m; Q- J1 _! \+ l; T
, h+ z8 |. {" T# y# N* I, h$ ~•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率

2 G5 M8 Y) T0 o3 t6 `$ ~. Q2 [

. q  W& A- F  v9 X* A•⑤时间序列预测（★）
- p/ u: J- v4 U- c7 Y# O% C  I# b% {
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

' M4 ~8 p; u% i5 j5 ~•⑥小波分析预测

; g, F) m% |' J! k3 V1 V/ a•⑦神经网络预测

; E# z0 r0 T* E! ~% e•⑧混沌序列预测


4 f1 q6 `8 T8 m, [" e6 h, k& R/ c# s' Z
（6）优化与控制
0 f; g& b, g5 S' I4 L8 Q0 D
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
5 w% E. n4 r! V0 r: r9 z8 ^
•②非线性规划与智能优化算法
% j  U. b  ?- f, ?, V1 `% m
& j/ ~$ p2 ]' v2 T$ o7 k•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
) b. y7 o6 Q" q3 N. y9 L
•④动态规划
( u% t0 ]( c! x' T6 K- \, c! J
9 Y* h! x8 o2 U5 J5 k; }•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

; I5 \( A6 a: P7 z0 |•⑥排队论与计算机仿真
1 `  k" H/ h! r5 R0 d  Y# I
0 i5 H9 b8 c( w% s, f•⑦模糊规划（范围约束）
4 r5 z( T  z. j( B- W9 ?
•⑧灰色规划（难）

$ n5 n# d9 ^# A) i" D
4 {% B9 p& ?# X7 f
& |. k5 r- s) t