数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
+ F4 u& [. v  [3 [
! M- g0 w. F4 p 1、建模步骤



模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

9 M5 @& T: j; m, F模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
/ K' S2 p+ x+ a
4 E# e# @: f1 \5 ^. ^. v% H* ]模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题

; E' U8 f3 Q2 Q$ y: f: x  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

) k9 Z4 l& k; V: I9 G（1）数据处理问题

•①插值拟合

•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

: C/ h7 _6 ?$ o•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
4 e3 ?$ {- I$ P
% M: J  v  o0 B•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

8 U+ d' }: C: |/ g•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
4 i* ~3 q- V5 X
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
) G! ~% [- N1 m; L9 P
•主要用于数据的截取或者特征选择
/ I0 K: }# [; Y! l# I

! ^' N" B; C8 C1 i+ }- @
" `. ]" ]; F- S" k（2）关联与因果
$ b5 L" q4 h# ]; i* L4 [
: Z7 A5 I8 D/ t' O•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

•②Superman或kendall等级相关分析
! m& ^' x( Y% z/ j
•③Person相关（样本点的个数比较多）

•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
! k6 k& `) ]7 j
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
& K. M; t& z7 u6 a+ Z0 W
- N. K6 ?5 |2 Q4 A; ^) s% s

（3） 分类与判别

3 ]9 `) A. _2 w# U+ X•①距离聚类（系统聚类）常用

5 |  P3 t' p5 Q. P•②关联性聚类（常用）
, U% e  ^) M3 K# G5 T
- ^9 P4 |- m# l/ r•③层次聚类

•④密度聚类

•⑤其他聚类

•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
( n( H( Z. ]' B/ [% x# p" m
$ [% g) o% p- e& Z' }2 a•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

( X( E7 k- `  H. W& \! ]# b3 K•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
/ c2 s2 z0 s3 L2 A8 r
! C% Q: E. H. H, i+ {

7 y2 _3 ?) ?; Y+ j  _* Y" N+ n

" b% p) `; P; d- [# l" K$ k3 c（4）评价与决策
. ~) c; p/ i+ ~9 G& @+ @
2 `% O# m/ E( o/ J0 q' ^( O8 W•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

, v7 T+ ~, p% w1 J* t3 U•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
5 ~2 a' K7 I+ T- x; _/ y! G
3 c- n, X: s6 B3 K. S' ]8 A•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

) b% X, ~- i5 A$ @  ]3 @/ z•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
/ X( h; R7 m! g- k% P
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
/ ^% P4 o! o  C5 G# Y/ {) N& W
8 H$ l7 s6 u! T! f+ d: D•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
4 @2 c* U% t; \" i# h) Z! I
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
* S6 O& c0 x) I4 h
•⑨方差分析、协方差分析等
6 e/ |$ [* ]# j# x6 {
: t+ s4 t, f5 X•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

/ t3 V, O( w& x  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
& Y; Q6 J2 i" K/ s! w9 L1 Q

$ [  h, Q5 b# E0 F  J5 Y9 m- O2 ?

, o8 m" F* v  Z0 L% d/ J
: @( U( W+ ~& j" V（5）预测与预报
8 a8 S+ D$ H2 _3 s1 V* p8 X


•主要有五种：
9 \( ~/ {8 ^8 Y) {& D& v* p: T
9 Z8 ^: t( c# Y' P•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归
) }6 Q5 h& ?4 k7 J& N8 C
9 T3 c3 G0 Z; _! B. T! u4 U, k•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
5 h2 P9 G3 e. }! i1 [
: ~# l6 R" ?  _" q6 v•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络



5 {# @; t# b9 g. d+ Z9 {- t# j/ o•①灰色预测模型（★）
6 P, O* x* E) n3 P# t1 o; e
" |; x7 d# ?$ N, v•  满足两个条件可用：

7 F! O6 J( ~- R" P. Y) f. O•  a数据样本点个数少，6-15个

, I4 [: u) X* i  K6 g0 H•  b数据呈现指数或曲线的形式

% b' s+ |' Z& {! g/ v2 ?' w•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
7 @5 M1 T$ k4 W! Y
4 \$ Z* z% n' ~* ~# V! i/ ~3 d
$ N# Z, Z' |/ ~( S
& ]( U( w5 s  l7 k: A•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

& X' F( }+ v  D' T2 W•  样本点的个数有要求：

•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
0 f5 {  B( t. v, [
•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布

: ~4 @( _5 H; v

•④马尔科夫预测（备用）
6 A1 p" x$ x) A5 \2 p
  n9 r) Y: _1 B•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率



1 y0 s5 @! X" l5 T8 _) G1 L0 W•⑤时间序列预测（★）
5 i) R& a8 O$ o5 w' O: s
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

$ R. a  @0 k( ^. J! f9 h•⑥小波分析预测

2 r' |! T1 i/ F8 D2 T4 F6 [9 g•⑦神经网络预测
+ u) }* \+ k6 S, l. s6 a" P# t
  t4 k0 L0 ?8 h4 |3 h7 v•⑧混沌序列预测

2 D( z5 d( g3 A4 f! G% J

（6）优化与控制
1 n6 T6 a9 o, B4 \6 G
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

•②非线性规划与智能优化算法

$ \) ?& X  x  u) m" @•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

3 t7 Y0 z% P. A% e" y•④动态规划

4 |8 x2 e& {7 V# p% @6 I  q# Z  N•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
. V* O! d! D, ?6 y
•⑥排队论与计算机仿真
& D: v: t8 q7 X! }, `0 J. T1 R
1 D" `0 ?1 Y+ K$ z+ U& Y' S5 @8 I•⑦模糊规划（范围约束）
9 B4 m! h& w# n9 T, J9 R- ?2 ?. g
6 G2 v2 X6 D& z" y•⑧灰色规划（难）




3 o' ~2 G7 W8 R% e5 j: Q