数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

1、建模步骤


$ y/ C$ c, B# ^
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

/ {7 J' z/ G4 p! U8 x# B模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

5 z- s2 d1 U: ~) R) B模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

) c* g. r( G& n% l, h$ _7 f& p% a2、数学建模问题

  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
; a% e0 y+ ]+ I
9 h- w+ _+ h4 d; \; @0 p" j（1）数据处理问题
3 [! \& W7 X5 r, k& {
  I: y1 _3 J7 i: K•①插值拟合

. c0 }( J$ o" I" s9 c•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

  A/ R3 \  _5 B•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
0 Q% z# ]& P1 M# `: q  h* U' I4 ]' H
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

& r8 R* G' A/ m# b( p. k•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

; L! x' M2 y+ G. T& U5 a  N•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
* I0 _" V1 f8 U9 x: _' M3 G: h
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
/ M: ?. o1 Q, A, s7 ~+ D% k  m9 R/ J) n
# P0 i# u  J3 d+ ^$ |6 ]9 P•主要用于数据的截取或者特征选择


: w0 U: E" T2 Q0 {* C1 p+ {8 H
( g7 J6 g' g7 C4 k) |3 o- W（2）关联与因果

8 e2 v' f7 R, l* w4 \•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

, C5 A4 f0 m) w7 S8 u) n) L: P•②Superman或kendall等级相关分析
( m* i  v3 T3 Y
•③Person相关（样本点的个数比较多）

3 m/ P- g. w) K% N$ g" X' n•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）



（3） 分类与判别

•①距离聚类（系统聚类）常用
9 ~) N8 g% j3 }6 j/ ?
•②关联性聚类（常用）
5 v+ p- o5 |' ^# ~9 Z. B
* B/ Q  O* j: j+ Z1 w•③层次聚类

! C9 y  C2 U: W& }•④密度聚类

3 n% S6 f2 C" ?, A" ]/ e0 I•⑤其他聚类
$ P& h2 M! [! ]
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
+ o1 B% U6 |: P
/ f/ [6 i6 j3 d. K6 |: J•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）

3 R2 X+ e0 w8 l! G

% v; _2 O$ G5 F! |" ^! @
2 q) q8 g; K0 z; J; z& ^! A5 a
（4）评价与决策
! r, V+ ^  t8 Z+ P+ M. P4 A, a
& A" K3 \$ h& T/ ^•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

% I9 }3 X+ r" y# |•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

! I9 S4 M9 U. D; L9 w+ U•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
$ a( M( `; T8 G+ A0 i1 l+ P5 F
9 M  J& q. Y9 U' r% s- Z7 h•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
" v' [" Y, p; `) A3 r; W
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
" |8 V2 H. H; y- Z# Q
•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

•⑨方差分析、协方差分析等
0 U3 |2 D7 c: B2 u) C& C
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

0 W, b* W6 r( `  E) d& f  N" _9 d  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题





% o; W, L) J( c5 V) [（5）预测与预报



$ e* k' Q) ^4 m•主要有五种：
$ l! O. C5 O0 c6 R
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

1 S- X8 c% J2 o6 V6 }# x•大样本的内部预测-逻辑回归
- O; w5 D# p3 a1 [2 ?! c
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
# J0 b. X" O2 m  p9 p, e" a6 Y+ s5 j
; c; x3 k) d9 z•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
# g4 U# M  V7 w+ ]+ l. h
, ^9 u! d# b. T7 F- S/ O# z•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络

/ N8 _+ H. z9 R; Y0 d  i) L5 f' a

4 K1 [" q8 u" U/ N( b9 o) j$ `•①灰色预测模型（★）
9 G5 o6 e* H1 {7 b% r
•  满足两个条件可用：
% m# ^& t% U# T1 ?
•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式
0 S6 M7 x+ f# s+ w% b" j; Y
•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
; U) A8 x" O2 Z  z4 o% i9 L- G
" B) S4 Y9 d6 c8 h, u  n

" K% H0 M& y% n! N, L' b1 h•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

•  样本点的个数有要求：

•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

% J* U% n- u9 A; ~5 V' N3 D•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
6 p% G1 r+ X9 @: I, G" e" p. j
( k$ ?$ k! ~7 S# x- T& {  t8 ]. o3 M•  c因变量要符合正态分布
; n8 d4 K0 a& I  ^/ z7 N2 H$ {
, p2 p- ^2 E2 J0 r! f. V' K3 f  i9 H
' `7 C: U8 x6 m/ E! y1 @2 T
/ _5 `/ ?5 G2 {/ p' z5 x4 O+ M•④马尔科夫预测（备用）

•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
8 \$ W# _  G3 x
. i2 _" M2 Q# x: \
( I9 c! w& P" D  r6 A1 x
•⑤时间序列预测（★）

•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

+ x: ~4 U% j* C•⑥小波分析预测

' J5 u+ x- [" e8 J  i1 |( l•⑦神经网络预测

/ W+ b2 x7 \# u. {' t. H•⑧混沌序列预测
0 [* d( _% y8 i& G5 {- A# N( W+ y; f
' s5 J& u9 u7 M, q, ~
# i& t3 ?  P3 J# g2 U
（6）优化与控制
( }/ V- o% D4 _: m0 n
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
1 l. X+ J' Y; H6 r/ R) t
•②非线性规划与智能优化算法

•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
6 B/ X7 Z/ D' g  j3 T1 j
•④动态规划
2 W* K' z  l2 k' z' E) x: e1 E3 q
* w% W" c, q% G. @* n1 u0 q3 J•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

•⑥排队论与计算机仿真

5 r# e9 Y: }( R4 {* j•⑦模糊规划（范围约束）
$ W0 R: c5 w) e( |
•⑧灰色规划（难）
+ P/ G6 w  l0 j
+ h7 m' X6 \  Y$ |% r1 @) R

) ?" q$ U8 y: w