数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

1、建模步骤
3 H0 g) u+ y. @6 j. H3 D2 ?
6 u. q/ `* O& ~. J! ]
/ G9 I/ m! E# X& f
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
' ]" A) k2 F( m2 K/ @& k; C7 U
+ g) P$ d8 r" @; a5 @3 Y. F模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题

  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

2 K2 W! }6 F# \% U（1）数据处理问题

•①插值拟合
1 \, j: ?4 a5 y7 Z3 [9 T3 P
) D/ ]) m: t3 g- g0 ], l, M•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
9 Q$ d& G) t+ W2 M. E# m. I
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

% T- M+ g; R* b" L- q•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

! D+ N5 \" N6 n2 l& G" n$ G% H! {& |•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
7 @7 n0 X' z) P
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
9 N" U6 ?: x( _3 f8 p9 `$ q
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

4 x6 p' l. M" M•主要用于数据的截取或者特征选择
1 {( s+ D8 m9 p% i3 p* ^

$ C+ }9 p+ f' G. I2 j% n
' J/ x; S+ J7 F4 A, \（2）关联与因果

+ t% I4 J( I' f8 C5 U5 e% A+ l) \•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

•②Superman或kendall等级相关分析
  X  o: I5 l6 \. G! y9 k
•③Person相关（样本点的个数比较多）

•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
: a" U( a4 Y8 ^1 d; \
/ Z! m" E: \6 ?( ^) R. R" ]! i•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）

. O0 b7 [( @% V; k2 g+ L% m* }

（3） 分类与判别
. o# J- O8 ^: H8 i$ f+ P
/ f8 r" T4 U3 K; I7 d8 ]•①距离聚类（系统聚类）常用

•②关联性聚类（常用）
, E6 K+ D  y, g& z: b% m7 o8 S
# G+ J) B: H/ p# ]3 T( |' C•③层次聚类
5 b* I, {. t" G) L
•④密度聚类
; x) H9 Y3 a( W  G; |
( C& v8 z) \' Q/ r4 o' Z' x•⑤其他聚类
# M- t5 B. s* B* E7 `4 g
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
# o. V+ C( m, o5 Y5 \

# {* Y, o8 R4 E& b


; z. n2 x' ]# i1 \（4）评价与决策
( y* _( Y, z4 E# x: p
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
& c2 P* c- e9 g% {% G
) c3 h5 F! _% A; H4 S  l: [•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
) T- ]  W) p- w% q4 _3 I" \
•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

" I0 ^% h$ `! h5 |•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
. c* F; y7 X# S
" X- U; l- A1 j2 K+ x•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

) e! O# I& k/ I$ |+ l•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

0 _# w* t. ?& F+ Z1 h4 G•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
4 I. U9 L; q( I) i( M8 B
•⑨方差分析、协方差分析等
5 G7 p6 j2 O) Z& }6 K
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
+ w' y2 A, h& P, I/ @
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
9 [3 L, o; O" {6 l& `
% p; |# q8 r) O+ z, p! f

- v) n; S& [) e2 f& e6 @/ o8 J

& A8 J4 T. P4 I/ l* `% Y- p. j（5）预测与预报
2 u- g+ l- u+ q2 ~1 ?9 ?' F

& ^" M9 F6 T" ]" H7 v
8 J" J. Q% Y- _, m' W" L•主要有五种：

•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
$ u3 S/ O- x; q+ M2 k0 A
' s+ {& q0 l% ^* y! U" S3 S9 D2 w•大样本的内部预测-逻辑回归

6 o9 I! |0 S; F•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
) h  F1 O$ T; T. j, ]
8 n" H6 |3 f8 l+ D3 W0 Q/ R•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
0 C  Z# C1 t2 s, L8 U8 f. l
/ F  i( s) e9 p& C2 _0 }•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
2 _; @/ H5 x: u7 U
* C" d+ m" P" @% L+ h3 v

•①灰色预测模型（★）
1 R6 i/ t1 J* q  C
3 \0 O6 a/ ~5 k* h' _•  满足两个条件可用：

•  a数据样本点个数少，6-15个
) H  o2 L, `' @" \5 w7 V# Q% ]
! e4 v3 b& w' K•  b数据呈现指数或曲线的形式
2 K$ x4 R: p# l* X1 I6 k
•②微分方程预测（备用）
' x, u1 n; \% X" `: \. B
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。

7 ^! V7 L& K- M( \, b) }3 o  a6 t5 c

•③回归分析预测（★）
1 o8 G" t* _0 j9 K
•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

2 u7 P6 Z( O3 \) ?•  样本点的个数有要求：
6 Z$ ]+ L- E6 P7 `; l
•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
, N, I' G1 J  m; W6 `( }* S
•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
8 x& J5 k9 X! Z" R2 i/ W! P2 a
& I0 |7 ?, M6 Q/ o* k  }•  c因变量要符合正态分布
2 J) R9 k* j# e% n

% ]7 F# H" d) D  o
; ]/ ?7 d) w8 \' V% ^•④马尔科夫预测（备用）
$ @+ \8 \  Z' F+ p
•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
. b- b& x- i+ d


. @! m9 w6 W4 S6 p; j: u( c6 E•⑤时间序列预测（★）

- R8 W( V4 e3 \, [, f' g•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

  |  R7 ]3 l0 a$ Z•⑥小波分析预测
$ s1 y4 l5 j7 J3 t- H! |2 n/ w
& c" O2 Z! U+ c# I& C: |6 E•⑦神经网络预测

6 X, o; a' ^1 r: _9 o$ B0 _  `•⑧混沌序列预测
9 X& Y# A5 i3 l' r2 Z9 W

# F* d; D$ `9 r) s
（6）优化与控制

+ b7 ]0 j1 U1 P•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

+ r! U% f- t$ a. b  T•②非线性规划与智能优化算法

•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
: g# ^/ P4 ]8 w: n' H& ?  b8 \
•④动态规划
5 X7 ~' }* P; `% }
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
* m4 g6 ?' J; x3 g4 u$ D" `
•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）
3 b& Q8 H$ q  [& R
•⑧灰色规划（难）

" Y) `7 e' j+ [; Z" {) _1 u

; W- I! F" R) ~