数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
7 [( x( r6 H+ `% p2 `9 A3 I
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

+ q( b) \$ \) q基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
5 Q5 z) L( r: `, h粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
$ R1 g! i1 n" F- n粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
' U/ M. D: P% R$ O7 C粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
0 M4 q* w. M, y) A群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


二、模拟退火算法（SA）
& z5 }. B, y& g0 x, f& c( Z2 A# a
# S9 }5 U$ c2 v* ~, Y模拟退火过程：
( L: `5 R" R" @, Z$ f设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
: B* Z; ~; [3 n& H2 H% C降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

$ c2 _3 s* S0 m9 R+ [三、遗传算法

; |& l7 J+ F3 ]' C% [9 I$ h产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

$ j( X; `4 B/ J7 \/ P四、算法步骤
. A1 I' j3 z+ b! ~初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
4 x4 E, R- W* t7 \) T# V选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
% k) S6 U9 I; L( X停止准则
5 ^3 N+ |( X0 R; W7 F
6 N# {  m" ^0 S1 t参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
# Q8 k; T' z! f4 ]9 |
四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
/ ~- J& v. h( I* ?
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
9 \, ~7 I0 n% {1 c3 r2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
7 I- s  o- k& I0 F7 r; w2 G(4)禁忌表
1 Z/ m. P# }7 B6 r$ I$ O4 B禁忌表的作用：防止搜索出现循环
- o/ r  K/ z6 I7 j4 d: E7 x(5)渴望水平函数
/ ]5 X9 J) G8 \, ]A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）


4 X: A5 A5 u1 ^# K- c; S/ A参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
& E9 _( t0 u+ m0 [2 [% P7 m---------------------