数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
8 M: a. V# N, I数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
2 u6 |% u5 z6 a( e( k( D* B
7 T) ?# C% _1 O) h2 i一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
+ _7 J6 J* d% Z0 |7 s
- y/ P1 n8 L1 g7 {- c. N3 D( w基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
) i9 `/ n3 D% v$ h. H粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

# v" q! i; i9 p# r! q
二、模拟退火算法（SA）
2 @: T2 p2 M) G* S: R* K5 ]
模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
# p3 @, P/ a% v8 F  z+ u热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
6 j# A1 h& z& C& ]( G) h6 a  V降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
( D, q; I2 V1 n) j, E( S
1 l8 y" ]. l) E! ]- y. ]3 C# x) C产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
$ q2 w; J  R7 ?根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
! M/ O# v) \2 ]9 o8 K4 ?
四、算法步骤
4 I- F; T( w6 \. p初始种群
) P: Z; a- W3 [: S/ M" l' C编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
5 H' R/ S- z8 r8 f' u7 S6 R适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
) k' T' Q$ F! l; p$ c  m" [遗传运算，交叉和变异
- B: l8 d* a2 \/ d  _选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
  X0 n# W2 d) h- w停止准则
  K  {' a8 D, O/ h7 k0 k3 @
" J& L4 @5 q' o2 ^参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
* q$ s- Q3 q1 l8 Q2、局部开发能力强，收敛速度很快。
1 I- t/ X$ T' C缺点：
+ u( w" f, H% C! B( Q1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
) k( l, {( D: F1 n$ ?- ]2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
( C, a' P. ~) N+ V/ u. P" O' ba、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
& @; D( J# M" U% e. ]1 h  n0 R3 |; P移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
# Q2 @; K4 H8 C! Q从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
3 C6 R: T( F* A- ?(4)禁忌表
/ W6 L, u7 D0 Z5 i% U禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
$ o" p* v8 Q" t! `3 C" J/ iA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

6 ~4 \2 d) P) {% Y5 d! b$ r六、蚁群算法（AS）
  ?  E# [! O! n3 G$ {  o3 E

参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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* u+ e( L7 K* b
% V9 K. I  k1 B; p$ |& k
8 X5 H/ n; _4 f" o8 t9 [- W+ C