数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

$ q, K, S6 a- T' B' R一、粒子群算法（PSO）

! W# G. K- Y6 e7 `* j算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
2 t' `3 s: H2 o  X1 dPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

6 C; }( S0 a* \基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
' a; M, B; n' u粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
" F% e  V  o: q+ Z0 G1 ]粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
7 ?2 y: L% l2 W" f7 W; d4 o! R

二、模拟退火算法（SA）
! I5 ~% q4 O; [& u/ h% }. o7 |7 t
模拟退火过程：
2 F. }3 z! s- Y- E8 z4 b设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
5 ?) x0 X5 [  b0 A0 ^* j- _热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
4 K. X9 G& D; b! o! e; m+ Z降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法

0 T/ B; m1 z5 m, K& o产生一个初始种群
9 T# P3 N0 _' z根据问题的目标函数构造适值函数
; ^. T7 G9 C0 I1 G. S' w根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
' w0 m8 ^# U5 C8 J& B7 U* Q
四、算法步骤
4 z2 c5 \! R8 b; m& J3 v初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
6 i& a* R4 i% h* x+ a适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
  A% ^  Z6 \' I# N$ s, f6 v
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

# C. T4 B/ w  H4 o! v四、神经网络算法
/ }1 V) W! S# c: K+ X# H& m
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
- o  G$ j/ E2 K: S+ ?0 H( E
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
/ w6 A( [5 x& K6 r# u, Y优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
* z# N) [1 B: A5 u2 p2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
" f( G, x! u) u0 s' [7 a; S  r1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

7 R5 s: J( y. r+ ~7 Y: T4 q* B5 Z将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
& J9 z2 Z) G; w3 {5 t4 }8 M(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
' U/ o4 D  c/ r, I: ^4 E( V3 `: K6 u移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
+ V9 L- u  c* L8 f, x5 q(4)禁忌表
9 {* S3 K% Z( z( ~- U& n5 L# X禁忌表的作用：防止搜索出现循环
  I6 E5 n) X! L9 N4 g0 Q, H5 N3 V(5)渴望水平函数
$ j, G. I4 A7 Y  iA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
6 V0 P9 y+ `3 v( [7 _
$ d* P) b: Y' r六、蚁群算法（AS）
3 L$ Q  f) o; U

, a1 e, s; u: }+ e, f1 w参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
' g& F* t0 d. q: [) S* ?# `; }---------------------
# f" O8 I! K3 A- M' k


8 Z. V9 }: I# ?+ D( l; p