数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
/ O- T; l! {. f6 D# G# o
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
' j& Y0 V, y) N- K" j
. m" x. o& ^7 h( f' N( P. s7 Q基本PSO算法
( q: y3 `+ }1 w" `7 {, V0 j
D维空间中，有m个粒子；
5 z$ ~+ s( e9 U) Q  K+ O) O粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
& A1 Y  t4 h$ o: Z; V  n粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

' z9 g6 P% {% C# _
二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
  h' P  f; k$ y0 T- E3 X! @降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
( j. B( M  K4 U# Z8 C4 Z
产生一个初始种群
) l5 N! h& Q- p( h9 ]% {$ z根据问题的目标函数构造适值函数
( T0 B0 m9 X0 g! t根据适应值的好坏不断选择和繁殖
' ^# ]& A9 y+ M4 \7 \若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

: F2 A8 V" b- z6 E1 X四、算法步骤
, s9 X5 U8 x; w& P+ X. [1 X初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
( d1 ], P% ?( o$ T* g# _+ A% k8 A0 C" d遗传运算，交叉和变异
; m2 N" \2 N0 c3 y; A+ O, b选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
+ o; ~; N5 Q' a' z停止准则
, c4 a$ }3 {$ k  ^1 o5 I6 [) \4 I
  t: M/ a" k+ ?9 ^" p; B2 J参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法

) [3 J9 D/ l4 d  E1 A和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
1 ?+ [- F3 E1 s" J8 T. ?
# O" s5 q1 i) r: o2 ?  C五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
  @" `3 M/ T' l& ]
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
9 Q7 a3 u# K& [% D& c2 t0 ?: Y5 L! ^优点：
1 C% v8 x. l9 Y8 p1 m. H+ _' v1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
* y3 K5 B( u% [9 D* r& o+ K) c2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
( v  ]% T8 T: H8 `(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
' e) V7 b1 a+ P8 z移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
  ~! c- B& v/ e  o5 [' D从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
! H% _4 d0 [: h! G% y2 w禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
" K. |4 u: G' x% |/ Z. WA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
( d2 z+ g3 w$ b- T( J  ]% ^$ x  P
* Q1 |5 O$ m+ j) t六、蚁群算法（AS）
3 r5 h5 I/ Z% `1 R4 z

+ M: O: q2 T* K9 h  A- ^参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
" P: l/ I% {: R; Q" C# L  B( d---------------------

% ^& x- N- o( K# u
+ X0 {6 r, T1 V3 S# z: S: W% M$ R1 G' ~

& B4 X+ ?5 e6 D: Y