数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
, h, G  k- \0 A+ \- V
6 Q% }; ?% P, H0 K1 j# c一、粒子群算法（PSO）
! H4 }. d' T6 M0 `1 N
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
9 l6 W) o2 U' F, D/ l, s$ i0 KPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
* ?" H  M) v# B  p* o" y
5 u; B5 T6 D: j基本PSO算法
8 z8 ~% `( L% K) B( ^* t
D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
' ?, `" p8 \0 G3 _, @( ~粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
/ k; \. D% t$ P8 ?* z% ?

二、模拟退火算法（SA）
8 O4 }+ u( S6 K9 |
模拟退火过程：
# u$ m8 _4 z/ k; K设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
# g! I0 g9 F6 i7 N降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
4 R3 j- w, m8 P1 f
  M0 W; ~9 G) @: {三、遗传算法
5 w; T7 G. ?) d/ N% y" F
产生一个初始种群
/ ^& H" h7 Z/ p$ t0 y8 y3 {根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
: \0 K3 l4 h$ V8 {若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

$ P( J5 q, D/ U* W' U) w四、算法步骤
初始种群
) Y( X) B2 r$ S: g% C3 }" g/ g编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
8 E; L7 K6 I6 N5 Z) r" r适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
$ ^( t% q, U# p- Y3 z# ?0 }选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
# s3 l' Q7 V2 h停止准则

, i7 J5 k, V" r参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
2 o& p3 y* z4 B. `
四、神经网络算法

5 M4 _; S+ l+ p' U8 V和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
& E6 T, |7 y) W" e; b+ N7 S6 c2、局部开发能力强，收敛速度很快。
: i0 M& p/ @7 c$ O' B5 k缺点：
4 a, M) Q; K4 F$ F- C: p& p1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
; o$ W4 I: B0 p$ I
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
5 ^  I6 I' X" v* k7 Qb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
& E8 U7 t- @: X. v! ?  \3 T3 H! ~(2)初始解的获取
: S% b+ G* `! v6 i& b. V) `: y可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
& Y* C" ?- _$ \移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

7 E, r$ V/ s$ r* D3 H六、蚁群算法（AS）


参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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