数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
* ~; D' ^$ k8 A' d/ ]6 i# P数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
; v3 I1 v' t( B) s" Z
一、粒子群算法（PSO）
* |# G. a9 C- s$ r, E) ^
, U/ j2 g$ R9 @5 g- u算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
6 G: n4 r0 t0 D
基本PSO算法
( K1 N' Y! l5 U3 I0 s" U
$ l( M5 T' l/ {9 u* R5 z1 z. nD维空间中，有m个粒子；
) d; b# P, d' R  Q粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
) ^0 _8 v9 G# c" _, b% \3 d' M粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

0 Z: P7 e5 G4 T# X3 r. V
二、模拟退火算法（SA）

2 n/ ?. T; a" o% H模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
+ P8 {5 [8 E) b; {热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
  t7 M7 e% s) v5 q' z2 m3 h9 M5 U降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
) Z8 ~5 z6 K$ y( E6 O, A
三、遗传算法

产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
# N2 J2 }3 B8 |, {若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

四、算法步骤
5 L4 S5 _5 }5 r: U, u" w+ a初始种群
) H" X; Z- D' o( P% s+ n8 H2 a编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
$ j/ M% D+ E. @0 E; B! S停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
$ G+ C& W! _" D3 L% A. _* T# g; g
四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
1 v5 _. g: E; G. W! `8 t( l* `
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
$ `) a* a! H3 _5 P. g2 r优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
- F, k1 A/ c7 L' G9 z1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
( [$ O; D  s- D+ y- b0 b/ l
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
0 j! c* G6 d2 R" |5 y. d: Ga、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
6 U0 @8 r% b* [' D( f从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
5 }  I2 w- s& N9 X+ P; T4 ~- W(4)禁忌表
8 w  ~$ V! V* Q! t2 l& L2 H& }0 [禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
2 u* ~4 R1 Y$ M1 HA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
4 @& j0 N4 `2 k! R
- t/ P, t" B7 y+ T2 c六、蚁群算法（AS）

& N5 g# k" t% N- Y/ e* p
+ ~' ?$ j1 V  }  D3 m+ a参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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