我的随机分析学习！

madio

我在朋友的劝说下终于对随机分析产生了一些兴趣，所以也找了一些书读起来，但是由于没有什么基础，确实举步维艰。幸好今天朋友推荐我买了一本我能读懂的书《Introduction to Stochastic Calculus with Applications》，Fima C Klebaner写的，感觉还好浅显易懂，我将今天学的一些东西，和大家说说，希望批评指正！

首先，今天的第一个收获是关于可微和连续的区别，显然可微蕴含着连续，但是连续仅表示当

但可微表示的是后者的收敛速度和前者相同或者更快。以及一个连续但处处不可微的例子：

其次，是了解了两个重要的结论，其一是定义在一个闭区间内的函数最多有可数多个跳跃间断点。

                                                     其二是对于可微函数要么是导函数连续，要么导函数是第二类间断的，就是说导函数的左右极限不存在。

我们在随机分析中不研究第二类间断，事实上导函数第二类间断和不可导函数给我们提供的信息量是一样的！

最后，就是微积分最有价值定理---中值定理：

 

( n) s6 k$ N( G

[此贴子已经被作者于2006-10-2 9:43:56编辑过]

madio

今天又学习了一些，主要有：

1.函数的变分的定义：

 

2.有限变分和有界变分的定义：

 

我们通过下面的例子也可以细致地理解一下变分的含义，我想它对于不连续函数来说可以起到积分的作用。

 

[此贴子已经被作者于2006-10-8 22:49:48编辑过]

madio

国庆回来我们还要继续学习随机分析，上面的定义让我们看到具有有限变分的函数能引起我们更多的兴趣，我们下面来看看到底什么样的函数具有有限变分。

1、首先是一个充分必要条件：

这个定理也告诉我们两个有限变分函数的和、差、积、商仍然是有限变分函数。

2、接着是一个必要条件：

一个有限变分函数最多只能有可数多个间断点，并且这些间断点都是跳跃间断点。

3、下面是一个充分条件：

 
这个条件让我们看到有界可微的条件要比具有有限变分的条件强。这符合我们研究有限
变分函数的目的。

4、最后是一个很有深度的必要条件：

 
这个条件让我们看到有限变分是可微和几乎处处可微之间的一种情况，这是对降低可微条件的一种努力。

[此贴子已经被作者于2006-10-8 23:30:30编辑过]

madio

接下来我们来看看一个函数的连续与不连续部分的分解，这对我们后面对不连续部分的处理非常重要！

 
因为有限变分函数可以分解成两个增函数差的形式，因此上面的分解式对于有限变分函数是成立的，虽然有限变分函数分解成两个增函数的差的分解式并不唯一，但是上面的分解式在不考虑非零常数的前提下是唯一的。

下面我们也按照定义高阶导数的想法来看看二阶变分是个什么样子。

 

[此贴子已经被作者于2006-10-11 19:40:44编辑过]

aqua2001

这个有界变分函数，好像更多的时候翻译成有界变差函数。不过我没看明白，有限变分和有界变分到底有什么明显的区别呢？

madio

感谢楼上的问题，我不知道这里翻译成变分是不是不妥？一般的书里面二者有区别吗？

另外你的问题我解释一下，显然有界变分要比有限变分来的强。

 

madio

虽然二阶变分在随机分析中扮演了一个主要的角色，但它在标准分析中却不多出现，那是因为光滑函数的二阶变分为零。下面就是那个定理：

定理：若g是一个具有有限变分的连续函数，则它的二阶变分为零。

但是不幸得是上面的定理的逆定理并不成立，也就是说存在具有零二阶变分且无限变分的函数。基于同样的证明方法我们还可以得到下面的定理：

 

[此贴子已经被作者于2006-10-17 23:50:10编辑过]

carmen_rain

怎么不继续了呢？

cestmoi

goood,非常好：）

部落游人

非常非常好