数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

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数学建模十大算法漫谈
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作者:July  二零一一年一月二十九日

本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
8 e+ y/ z( n; d' `" s$ V# U7 O% PII、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科
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博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
$ ]" c/ ]% O: s/ l- b: ~. N这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
0 p( \$ D: K' a# q0 Z2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
" D: F0 B- _( G0 T% T8 G同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
$ U; u& t: _6 [; N1 ~9 F+ L毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
5 Q1 ~- q9 |: H4 }8 D若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
7 E2 m3 V8 A6 w% c' E# U谢谢。
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+ w( c4 t9 P+ c4 z* w一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。

& T7 @4 N) J) E. r' c8 u
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
- w! I& D. _2 C+ k2 [& Zhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
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8 p5 f; W# f+ k
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

: w6 g; V6 r* X& m5 \! v9 c的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

6 I( }1 z2 ^& @/ ~! h法。


  {: [$ ?7 M* Y6 R% O4 V" h4 a. l4 T: Y
& G& {/ s- j- r) E  D4 F; t  j. K由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
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实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

# C! ]8 r: w) `0 G9 c蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

2 W& I4 n3 z5 ^% y，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
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为问题的解。
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有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

& t, z" y2 T7 t2 m度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
$ k$ _3 A" {8 q0 y# @
% s8 a& Q) U; g) {& i4 F后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

，结果就越精确。
+ l7 a/ Q  ^6 q, |, n在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
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# h; o! t& j: y" K3 b蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
& X9 @* ?$ v& ~4 Q& f
6 x  P: ]6 H4 q$ K$ {6 N2 o拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

: l4 W0 T" B" ?+ K6 o  w4 f2 e近似解。


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蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
' ]4 A2 p+ y0 ]
& y3 w3 y3 Y4 @1 s) B3 {/ p& @- s蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
5 F. w& C$ p! k# c* iI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
" T9 l- b- w1 m+ }II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
& G6 X! ?( g2 [) d等等。

+ G6 T' a8 `" V$ Y- g* X此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。

+ ]2 t5 Y- X/ x8 g3 V$ x4 D' g


, m; n4 X5 Q/ U4 F9 X二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
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+ O- C9 Y* C2 U. ^4 Q( \: y数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
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学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
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此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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0 v6 y  Z- X  L# ?2 u  W三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
5 `- U. E& g9 k" C2 z+ k数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
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、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
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完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

需要熟悉这两个软件。

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  k& U9 u. R- w6 Q+ g8 h; r四、图论算法
这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
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1 M8 E$ o6 l& i; U- Y# @
1 }9 I/ D" X. B8 U' a$ j- ^% O关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
' V/ Y/ \  t; l同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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4 r' v0 m* E6 W: C. p: |经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
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/ |4 H! R) V' _. g6 i( S: ]# B5 d更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。

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1 `% H# ^3 y) t) y  Z' o
五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
1 n, A# A1 y; A. ~5 I8 j' F' C+ S3 O此外 98 年 B 题体现了分治算法。
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/ j" X% i, b; R- n: J这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。


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  y6 v- c6 r. r6 f六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
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$ l  z+ F* M. D* J; |( D5 T以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，

; }; A0 D7 D4 t0 ~4 M! x说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
, y# ]& X+ h/ @) i6 S) M5 g03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
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: t  E1 J9 k2 H/ R3 q2 r
$ q% B, Z* h+ \$ H/ K( V另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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; v5 F% H9 I& S, J" V8 K& G7 o经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
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0 ~- q* _4 z1 D+ z其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
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3 Q" n+ B/ t, z- C' {七、网格算法和穷举法
, k- b& x+ u3 c网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
6 s" U) H( j. d( [6 P  M9 s比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
) w5 I( j8 D4 _# i
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。


在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
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快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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1 M; p0 ]$ q5 T, O穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
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八、一些连续离散化方法
+ i( U7 r- C9 A$ Q% G1 J+ X大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
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2 H7 G* l$ G  v中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
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2 A9 b; W: V% U- J. _
# y/ p# R5 p% w0 w这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
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) |+ a( J& X  M9 {8 f" n+ j九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
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6 a9 B; R% B8 i' f/ P# c3 H算法。

7 d2 H, T) j2 l" n& d$ y+ R如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

5 W& C# G5 i; l# e7 ]函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
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$ O; B/ r( H6 w( J' g这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
: s/ Y- r: N* R" m7 k- z: x& }因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
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十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
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计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
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7 l+ r/ \9 ^! v! P; y5 {. i因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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& I  ?  u' J$ K( p3 j7 U9 }作者：画面太乱了
% O& N' |6 H. J% W来源：CSDN

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