数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

数学建模十大经典算法漫谈
数学建模十大算法漫谈
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% H0 s% {, N" H2 w+ }" p作者:July  二零一一年一月二十九日
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本文参考：
2 |1 q  F. C2 {$ _" J* O; g' gI、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
* R. Z  {1 \7 t; t: z1 e) D8 RII、 本BLOG内 经典算法研究系列
+ b$ F7 B0 Q$ E8 g3 [1 A, \7 zIII、维基百科
) K$ I1 `- z; i# B3 ?* S1 S! P
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5 t( ?0 X' x" n- o9 j% P博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
# L0 Y4 ~: O+ D这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
3 R) ~! e6 Y5 m$ R2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
$ K7 R2 h0 {( C$ g: k毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
) X2 ~, r, L1 a: W. l且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
  m; l  Y1 U) |* w; |; x3 A若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
谢谢。
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一、蒙特卡罗算法
: b; D. I' N- q' U9 o! w( s1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。

9 ?9 A" K' I8 u. P$ K: a5 g
! D* v" X( v, d# K此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
* R, ^( \2 a2 Q7 |9 g
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蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
' \7 d8 E3 V$ L# Y% B4 {6 P
% Y, ~) r: ^4 p的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
, S6 e, L8 q1 P
* O2 w9 W0 q, m/ g/ h8 Y" e+ y! I法。
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由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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* Z# C; D# ~( _+ O9 ]  H8 e蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

; Z+ `6 A% n+ M: r，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

' u( Y; [. R9 ?1 {5 Q/ t/ S9 ]为问题的解。



3 W5 M2 O: Z% u" i有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

2 U; E8 |2 p" ^- D2 M度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
8 `8 O2 m" d3 ^" I# Z+ Z) K
; r- F, q$ H; \2 @后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
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，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

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蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
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拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

; F1 e2 U9 B  k. p$ {( P# Y5 R" N$ X近似解。
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蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
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; m& ~$ p* a7 X3 A蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
. u( O8 e7 ^2 z% I等等。

. _  I4 \) r! V' O, A此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
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  ^" o1 {0 l' Q- E二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
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数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数

/ B) w# ]+ ~9 [2 S! G学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

% U5 {  [0 y$ L: i1 ]吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
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) |- B3 Q" A1 D3 l此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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* g# t7 L" h" p% t0 Z$ T* ?三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
0 D7 [/ f( O* M' U! Y+ O数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
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、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
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完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

; F! R. S4 ]4 \1 |6 `需要熟悉这两个软件。


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7 C# E" i: D/ n6 _$ }四、图论算法
# B" ~- l9 L, ?4 p1 q这类问题算法有很多，
/ o2 r. ^8 z. [包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。



# t. Q; n1 _" \关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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1 x3 r; n* q& N2 i+ }# k经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
3 {! y& |! |$ c1 Fhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

" ]. ^0 v8 `! S9 U( N更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。

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五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。

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: f8 Z  M  V/ U- D这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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7 M2 T, U$ z1 m' y6 y) j  j6 N六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
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在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
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. m, V  {5 \( i% t# E2 w- E以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
' K) Z! l0 J. H& w1 u: W% z; i
  d3 |- a  P: l. }说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

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4 X1 d: E8 k- R6 e4 V7 Z: n. T另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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  r) w4 A+ y0 k- Z4 [经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx


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- S) u3 S/ V. g) S7 \5 c, D+ U其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
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七、网格算法和穷举法
! a3 |! |+ @" G& b, j网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
9 U$ m3 P: Z* ~; a比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
: a8 o$ R0 G0 ^& Q1 L) u7 `4 G
4 d+ Y6 {# ?; [; M* L+ @8 w+ }9 Z9 j那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
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  z8 T% [8 X$ M- o& H; m; Z
: G1 ^* q8 R2 [& J5 r在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
8 \) H8 ?2 v/ a/ O% H* Q6 Z* W% d
快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  

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; q7 v! e3 S5 ?! F$ s6 U八、一些连续离散化方法
/ Q4 ~( s9 n7 ?. m& \( F, s- i大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界

中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。


: g2 P5 Y- X( @1 g) y/ u! t这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
& j) J% i' P; ]& O5 ^事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

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九、数值分析算法
6 ^" l" M# y3 ]8 D" V' l4 [- k数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

算法。
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  L0 s! C: [) S- _+ @3 Z如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
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7 O/ U9 R$ n' g" p6 Z) o& y函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
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这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
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# S: H. D, j- T* _+ y8 Q十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
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计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
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因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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作者：画面太乱了
来源：CSDN

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