数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

数学建模十大经典算法漫谈
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作者:July  二零一一年一月二十九日
$ C# [9 z+ W) X) ]( {/ ?* B
& w7 S* _; q; c( x8 K& U6 \/ {本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科

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/ t2 P2 c% ?8 u- N/ M) Q
博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
1 a& h. D1 S! b# \* d( F2 K这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
, q% m% `# k1 w% c) D3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
) B& k, Q: c3 s0 c; e0 \谢谢。

4 _. n4 ]- G4 r) C& F  k  {



# A5 r( R' ]/ G9 r1 D8 W( w  G一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。
. O$ n: o4 P" Y: v' ^! z5 X

+ Q: |9 U  Z1 k( V% g  T此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
) n/ {" k) B  w- M8 G( \  N$ D3 Khttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx

8 j# o* t7 O, p7 u: F, \

' r/ P" p! v( U! {5 p: Z4 }5 |蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
2 b+ b6 e. \; j: P- {; }; @: h
的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

法。



由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
% z# z2 W% {( o2 r2 ]) M, y
4 ]+ M9 V3 x, a! e( |蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
$ s; x8 a4 T  E4 M3 c2 t0 z当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

& Q4 Y) S6 p# A: m" l, Q1 I* H，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

6 r8 Q6 c2 @7 W为问题的解。
1 I+ s3 `! J; I, [/ m4 T* _( w
. {8 s5 g8 S$ \& Q/ A

有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
+ d4 J* X5 G* G假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

3 z# {+ F  ]  S度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
2 v2 _# p3 w6 W
后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

% b* N! \( i1 f3 U3 a: _6 @8 h，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

7 v9 y4 m. |9 W: k; y, X+ U
- H$ l' x  \! {+ c+ b. ^6 b蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
4 o% ^& g! A; X, _* O+ t5 N
拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

近似解。


& d: n# Z9 C! ~
- r4 u* a9 D: P$ L蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而

蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
( v" v$ a: h0 ~! M5 C/ @II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。
! z+ x- b: P! L& }7 N* w
此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。

. G1 M. z/ R! w& h/ F2 v8 {


二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
+ l3 v* {7 W3 w
# X! ?) p; I1 N; ]7 A& F数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
. l! T7 `: k  Z
学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
1 e% k1 \1 u; b5 @' z/ @% |
吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

1 }/ [8 y5 {; M0 `( B& |3 x8 j2 g; `
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& |8 ~3 M6 k. }4 ^此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
1 a( ?# V3 ^2 r0 j9 g
4 b3 y+ B) F# y. A3 k" m# I1 e


三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
1 ~5 Z' m! \$ p" p  x  l2 N0 ]* c数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
, t& ?) Q, S- ~$ Y' ?& [
, W: q3 v4 g7 J' i、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

! C: a! L( i4 ], p/ `6 r' X5 i% U需要熟悉这两个软件。



" f4 z3 ^, x( [# [2 i
; {# ^3 A* Z/ F1 ]四、图论算法
5 D) o: Q. b, ~8 V+ S: G这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。

5 {  }. h5 {9 `7 D

关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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% [. V0 W2 v$ y+ U. ]经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
+ v$ F! e7 g3 D4 W+ e& l
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
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2 P. \, I  O+ [4 g$ S1 C, a
五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
9 ~$ t- m- Q& [: \7 |/ b在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
$ z0 A5 W- |% k9 q# K( [此外 98 年 B 题体现了分治算法。
5 v$ a( d1 H' p# D
: k, e# P" @; Q: e) [" I" `
+ i) l' n" r. q. t0 J6 v这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
7 {. g2 L" \+ @$ C+ e7 y# w& Z推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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. ]- b+ E; S8 Q1 [5 _8 ^六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
( O; X8 i0 |( k. K, E5 O. t
" R$ {5 q, y  O" Y' S3 C以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
) l6 ~' @& U. t
. M: y, Q  G; z1 N( p说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
7 l7 s% L. c% D' c' h* @5 k03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。


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  H7 I9 Q% c  m3 P7 x; v- A/ {另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
; Y7 p; ]" m" V0 x( [+ @----------
经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
& V& G1 W% C" Y" ?http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
; K; j3 m" k5 x: R2 j+ V6 M
5 P7 R, m, w+ z6 g: P

, I7 y! M0 B! S其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。

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3 Y7 V' v. X6 p3 F9 u" O七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
+ k6 C7 a* [- C9 X3 g4 u比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。


. V, |3 n  V4 v) f; [在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

: `& d4 h+ N0 l" m快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。

3 ~# D5 a" T+ G+ x4 u1 g+ Q穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
5 }2 p* h" ~5 @9 v0 v2 ^$ ?8 f
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. e# M  l; p: D5 c$ ~& f八、一些连续离散化方法
/ h: s) S3 E$ N4 I大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界

1 r3 A8 ^" [- r( {  \! r2 R中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
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这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

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九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
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6 \( Y1 }6 C2 T$ ]/ \- m算法。
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如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
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$ o3 X& D! @2 u* \( D函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
; ^" i" u6 S; k# O! h因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。


7 h& ~( u/ Q, m3 L( ~. X( ~5 V4 }

十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
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计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，

2 G, I2 Y) U: K因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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作者：画面太乱了
% J5 E3 F. p$ ~8 N来源：CSDN

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