数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

2 b- U* V" G" S7 b# {数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
1、建模步骤
5 J) @, ?8 r5 z! N
5 Q0 G0 t0 a. w0 D/ }* o
9 J7 s2 A7 L) c' \
8 f- ]# h' {5 P- n6 E模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
  ?5 q/ p7 V; [
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

+ |- I3 d& J6 {模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题
! R* w/ N7 |, i
  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

（1）数据处理问题

$ O) g8 m; r# a•①插值拟合

% u# d7 u- v( I7 q& S! y•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
3 o7 j( N9 `4 f, ^/ c3 k
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

% b" t9 G% C9 m/ |" @+ |5 ~•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

' i2 D; K  v  R2 H4 o' J•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
# |* X& n1 T9 [. u% H6 F
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
- E4 C3 N2 `+ g" E' t) U- n% Y
& ^5 z, l; e: N0 D6 ~•主要用于数据的截取或者特征选择



（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

( N- k, ?  C/ D; h( J•②Superman或kendall等级相关分析
5 h% B; z$ `9 {* i9 d; i& Z8 X
•③Person相关（样本点的个数比较多）
. E. v' }9 T3 q8 d4 C( R$ g
% @* S+ r' M* \% ~•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
7 M& ]2 Q1 g4 ~1 F8 S$ d% J/ M
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
; _+ Z4 {7 n% {  w+ t, p- U& D0 K+ o
0 B8 [7 y) d; r

（3） 分类与判别

- j; ^+ p1 X% n•①距离聚类（系统聚类）常用

•②关联性聚类（常用）
5 O( o+ m: _. `5 y2 M
•③层次聚类

3 ]: k4 ?: f, I% W/ C% b•④密度聚类
& E! M5 H% K5 @
7 w( E. B0 t& T$ t1 p, y9 G•⑤其他聚类
/ e* F4 r- c; {( T. T
5 ]! f' e2 ^& ^2 r! Z7 A% J•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
  I0 E( F( g' r% J) c% L
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
) A& E7 t! U& X3 Q


. k; B# ^5 M0 j1 z
- M4 W" b  ^1 D  v. G
+ ?0 z! k$ E- {7 C5 j8 {( G（4）评价与决策
- F5 W! G: w1 W, f. q* p6 s. [+ c
7 T. B3 j0 K0 V: O, g: z•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

6 L: @3 _9 e/ x6 W1 b* \& y•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
: }3 M. w/ }4 Z, c; y# U
•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

6 _! q( {3 i. d, o; u6 ^9 a# L6 I•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
# l( T$ E8 H/ p) o% B. t8 r" k
# r! M+ v9 X& K& d+ G: H4 [  Y•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

/ k2 f! Z. v- Y- [8 W. q  t•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
' Q7 {' ~) C+ z& Y
5 a4 u' n3 I. I•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
" H' ~5 f' m5 W1 Z/ R; M$ ^1 ?
6 g  z- d+ P" D- V8 ~5 ]) F/ s•⑨方差分析、协方差分析等

% [+ u4 z5 a0 F/ H* V•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
9 K; I, N+ p8 P4 d, ^' g& ]( n


5 S5 {- L$ F5 v; C+ l

（5）预测与预报

: t( ?8 W. c! {
, C, Z" {- \1 Q% o7 ]& L1 S- M
8 ]" {$ M* \* v; Z8 q/ F8 e•主要有五种：
4 U( m9 O8 g2 ~' X+ F4 V) G
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
! j1 l' _8 x3 J
+ m" y( Z" c  |5 b" G•大样本的内部预测-逻辑回归

•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

) ^3 G4 p6 S! ?7 j; u7 l& n•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

" \. T  N5 s+ N•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
- M( u- _% Y6 O( |/ f4 s
+ w' p" A/ K) l( d4 z7 N1 K, V+ ?
: J  a( `, u7 `4 i7 ]. _5 r; d* q
•①灰色预测模型（★）
& y6 m3 J6 j( W4 U  ]$ j
$ h% g3 j0 y, G; z•  满足两个条件可用：

•  a数据样本点个数少，6-15个
8 [9 O( i9 f1 W% J1 J" [
& T$ S4 }8 j  L* W! y1 G•  b数据呈现指数或曲线的形式
5 a9 k' o+ q$ y% L( O( a
& n, y; i% @0 Y5 w•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。



' ?$ t# m+ z8 u4 A, E: ^•③回归分析预测（★）

. F! H& w) U7 C6 G' X* A# R8 D9 e•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

+ k" |) h1 q' @" Y. ^/ x•  样本点的个数有要求：
9 i( D; {% i# \7 G
•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
; f% c9 Y. q. X( P" V$ w) Z
( _- E' x- e, z# ~/ G1 ]; t•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

/ ^) |2 e# F' Z1 f4 ~; `•  c因变量要符合正态分布


4 b, n/ K! `9 n
•④马尔科夫预测（备用）
" Q+ s( @1 s) w; H' j
•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率

+ r" `' K, B$ c' o+ _

8 B1 p9 r) J8 O+ \: ]7 C" f•⑤时间序列预测（★）
. V8 G% z) J$ t- t6 i# Q; ?$ E$ |
: k+ p; s1 Q% m6 b- m" }•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

& z- D, ~' J3 C+ k2 G% N•⑥小波分析预测
# V+ c1 f+ B: C8 o0 ~4 ?  x0 e
•⑦神经网络预测
) y- B! y4 m' E* P/ L9 ]# }
; G! N: @3 T; f  w6 ^! ^& p•⑧混沌序列预测



2 B* q" m$ [' p（6）优化与控制

•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
/ f6 m/ d4 f, b6 E+ ?
•②非线性规划与智能优化算法
! Z0 K7 U6 ]; n: O) H8 n
+ ^. y% s3 S! C4 a8 P7 A; U/ `•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

) A2 F( _" F6 z, ]/ B% l! _•④动态规划

•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
" [+ v1 m' u4 l# l* S' I! c
•⑥排队论与计算机仿真

- b$ A& J- O* a1 m) i! n! E5 |•⑦模糊规划（范围约束）

•⑧灰色规划（难）


7 q- x$ l4 L9 m5 a' ^5 m: w6 O---------------------
作者：ItsL
, |) w' I7 {7 j+ h2 ]3 v% ]来源：CSDN


/ s" U& t* z8 Y( q/ z; g! B# R
0 V: H6 B3 C6 f# z6 k$ B6 I, N