数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

0 c$ ]: W+ L7 M- h! G4 V% u  L" p数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
+ |1 H9 F) ^( w. B: R 1、建模步骤



模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
8 z& U) J" z# I2 `
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

8 w- F7 C1 o  g1 D# E模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
5 ~% M& h1 B2 I
1 l4 Q; d% G/ |% u2、数学建模问题

8 K  t. Z' u! O* P5 b  q* J' Q: U$ X  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

（1）数据处理问题
. o$ n$ b/ E: J4 V: [/ A4 C: T
) ?& n6 c% A  a•①插值拟合

•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
; i7 N' n" S5 @7 ]1 Q
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
$ e3 |" Q5 y: k* p" c$ i
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
$ A( ^! B$ r8 h  K0 W
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
' O7 h! R! N( E, w
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

, y5 F2 E( a0 N•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

•主要用于数据的截取或者特征选择
) K) C) Y- o# r


（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
  p5 d* @8 v  T( q6 _0 b
•②Superman或kendall等级相关分析

6 g$ P! s  d' Q$ q8 u% ~; @•③Person相关（样本点的个数比较多）
6 s- s8 K. N" g" }7 F
; V0 e! V- V+ p; f% M4 P•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

% H1 q; _. Y: R6 Z7 ?$ F6 {, K" k•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）

$ q0 Z2 }5 N1 l# L

（3） 分类与判别

* p4 E0 I: I6 B0 [4 l•①距离聚类（系统聚类）常用
$ l: g0 {# Q! E# w
•②关联性聚类（常用）
* \6 j( Q, D% h2 Z
7 u8 O$ g' }# T& N, |•③层次聚类

* Q' t$ F1 x; j8 `/ N•④密度聚类
2 L- J# w/ V& }2 {7 f% L; U  k( }
•⑤其他聚类

7 A/ s. T! }4 z! t•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

# {+ y/ X2 M  l% D. w/ f•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

- O% f. ]$ T: j•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）

8 k5 q6 Z" E; B; {) W2 w) E; x$ Y


0 p# y) D9 b, U* R3 s
（4）评价与决策
! Y) \/ l2 g# l; s3 ?# s2 R: c
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

) u  l! y# ^( x- e, v' R- t; R9 i0 z% z•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

- t3 ]5 s& W8 @8 d* ^9 \; o•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
9 u% a  m; f  Y0 S
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

9 T1 B/ X% M# m5 V•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

0 \) i6 c( T5 {& E•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

) h3 y* J+ s3 |2 n" Y0 q•⑨方差分析、协方差分析等

•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
; m( |4 ?, e* g& b3 P+ D+ `

( O1 R2 n( e0 }1 Y0 Q
  r* H2 b$ _- ]2 M# l

（5）预测与预报
) n3 G  _$ V' o8 b4 U6 \: Z

4 w4 ]* U; a' d5 a- h( R
•主要有五种：
5 f+ P4 f& E  d) q) {6 Q! G
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
% _" W7 a/ l8 Y5 Q6 H
•大样本的内部预测-逻辑回归

& p3 }( A. I6 Y" n2 G' N3 q•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
) e9 n, w) D5 \" W( p
  q  H: L  D3 `) q  I. ?•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
3 c" G3 ~3 Y! l0 V$ U. L6 r* i
; P8 a: `% W4 W3 j* g; Z# V# \•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
' s& Y; e+ X/ U1 W# S. J6 j


# n9 a+ U+ G& h7 |•①灰色预测模型（★）
  o' D% ^# j9 N- |9 l2 b. |8 J7 J
•  满足两个条件可用：

•  a数据样本点个数少，6-15个
2 ?$ i3 h1 s$ G5 [5 B7 p/ [
4 t* J; h4 b/ J' A3 [* E" g: K9 [•  b数据呈现指数或曲线的形式
7 l' [% F6 {1 D4 f) ~  I
+ L3 s  E- A- b, D* H•②微分方程预测（备用）

  ~9 k" |  g: y3 r6 A• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。

$ Y7 ]. D+ x) w  m5 e1 i  I6 d0 Q* Y) K

•③回归分析预测（★）
9 N0 V+ v. V7 |+ G+ ~( @' w
) @$ @7 L( Q7 Q% v" t  B$ K•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
, Q. _0 u/ K: o  L( h
•  样本点的个数有要求：

  J0 R1 S8 n& o& f•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

, ^/ p6 R, ~* Z  O5 e•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
# P2 E* x9 Q& ]( i1 s
•  c因变量要符合正态分布
( S6 ~) U% B2 W) S5 S

: w. ?. a% G2 P; {4 l
•④马尔科夫预测（备用）

•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
' {9 `, t8 M, @5 H: v/ u

8 C( f/ Q; K! }* q' @, r4 x2 B
•⑤时间序列预测（★）

# f" v( ^$ O8 ]. s" Q( u•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
0 V+ b, D' I1 N+ _2 N# O( m
4 |6 y( A+ \5 T5 z3 M% i•⑥小波分析预测
9 e  r" O. Z" o' ]  v
•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测


  |  @- S! P* p# h- }
（6）优化与控制

•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

•②非线性规划与智能优化算法

4 }2 w- S; N$ k$ n% A# `) G9 u! _•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

•④动态规划
) {* N; N( q9 H# I
- u6 N' \2 M/ O- b) C•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
2 S5 u. T  l! z, n) @0 r8 |$ j" {
0 B' r2 q8 ~( p/ Y2 h•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）

1 R" G. g: R$ K. N  \•⑧灰色规划（难）
: k! x3 e) g7 ]. C

, C* B% [; O, \- H---------------------
作者：ItsL
& N1 s7 v1 D% }$ U来源：CSDN

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2 ~2 ?) |( _# t* g. A
1 r5 Z+ c) l3 E