数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
1、建模步骤
" h4 n- x+ Y5 A8 s. M8 a+ u
2 t% W" |2 [+ I  \1 b- C
6 R  }' m( f( x3 r1 g; P' [6 H
* p/ q0 S/ V8 W+ c  f9 t模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
( c0 {+ X9 U6 x9 m' {
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
. O9 M0 k7 n' l: g; X
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
, U. c) w0 l2 \$ s! m* r
2、数学建模问题
. a; Y: b  r/ z
' K. G/ N6 u; c$ \" h4 V  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
0 ~+ b+ b4 u* j
" v2 n  @, i4 F! T8 C% D( Y; H（1）数据处理问题

•①插值拟合

# p* w4 Z8 L5 i1 u/ L•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

0 B, |+ o1 d3 N2 U' b' N3 E•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

) z* v2 r% x* U% Q' o•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
  i, F) W1 H+ d/ B
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
! ?% F; @3 E7 M0 u! B
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
; H0 ?, K9 T& e+ P+ T9 M
•主要用于数据的截取或者特征选择
2 E7 ^: A+ w9 t2 ]

  ]( N5 u% ^9 |! @& s# w2 b1 J
（2）关联与因果
4 g) k2 C$ w7 ?& T' |9 X5 d  u8 {0 Y+ _
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

•②Superman或kendall等级相关分析

•③Person相关（样本点的个数比较多）
+ e# s% |) \, m
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
: ^. N0 r( ]: F$ R0 b3 u: s
8 i# O# s: }2 x1 L•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）


- N& P  l. i  ?# B9 h! V
% T  A. _) `, [1 q% P" c) q/ h（3） 分类与判别
5 J8 \0 c5 [0 `, ~& H1 s- B1 ^  j- P
8 E2 j' W0 e0 {8 k•①距离聚类（系统聚类）常用
* Y% m2 X; [' i6 m' _; F( x
•②关联性聚类（常用）

/ Y5 C' F% K. B: n" Q•③层次聚类
. Y4 ]4 |2 M3 k/ s  }
•④密度聚类

•⑤其他聚类
. @7 m( B! G" T! l
. Q+ ^  \3 Z! s: Y+ f•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
/ ?) Y3 L1 b* M" _+ X. N
. P0 _; n- L" t•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）




- l# z) C. V( v# }6 N* ~1 Q  `
4 Q( g: ]& B: v! g3 A（4）评价与决策

•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
9 L  M- e+ Y% k9 [) _
2 K: P, N3 c& O3 i•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

# n3 U# D" C  E9 j•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
/ J: @% Z% o9 |9 }
) n  R: q$ F  E. M•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
; Z' J$ o, {. H# B& M2 E6 T
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
: C; I4 X2 K" K) e4 O! a: `5 R/ Y1 q
; ?7 E9 W8 e8 v( Y2 u•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

2 ^+ _. I- R, C$ P0 X; y•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

7 f; ]/ F3 m1 i1 S5 k3 P3 D- p7 Z•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

•⑨方差分析、协方差分析等

•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题





+ W% G& y9 q) z: v% n& g& N（5）预测与预报
8 V- E4 X% N( e0 y


& Z7 n% A- b9 V•主要有五种：

3 k' a. I8 T2 l•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
% ^! ?8 u% k6 I: U
* X3 @# S% R! w( g+ O5 o5 Q4 y•大样本的内部预测-逻辑回归
. J# S9 N0 `' _/ }7 O
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
, S0 m2 s9 t. N! I; g( }# c
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
$ K9 r/ F. l, I# H9 ?3 [3 a$ Z  m7 v

  x# `2 g" M! j
•①灰色预测模型（★）
) v8 K7 r' ~6 r
. D3 j+ [# Z& B# a" n! b) j; Q•  满足两个条件可用：
7 B3 A. ^8 S3 B, k- `
•  a数据样本点个数少，6-15个

3 e' m2 t0 J5 O; _' Q•  b数据呈现指数或曲线的形式
$ J. `7 S+ O  Y6 U7 e
•②微分方程预测（备用）
4 ?2 Q' K2 K7 _, N2 f, E7 k
7 F/ \# h4 G" i, ]• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
+ J) Z" L8 R3 n% L

& o7 Q( n7 M; l4 _3 }4 Q
6 a3 n! u5 U% y  Q; o* }•③回归分析预测（★）
6 t0 C6 p$ Q4 ^* `3 @; J
5 ~- E* v, B" q•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
" [* Z) U; p# ?1 a7 K2 r4 D$ T+ l" h
•  样本点的个数有要求：

•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
, P. n( y' J) h& c0 B7 H, C
4 m$ N: Z$ N7 c. t•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
* r( ?7 i4 i* ]" v
•  c因变量要符合正态分布
8 I1 s$ G% o1 A) F
$ x. P  f* i  v) m8 n( w* S2 U7 ~
1 h, y' l2 ^/ B; c) i) w
•④马尔科夫预测（备用）
/ C. g1 j5 g: z3 z) ~
7 B: C9 S; M6 d3 a( y•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
# f) U- `6 }: t0 `* q2 H


•⑤时间序列预测（★）

•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

•⑥小波分析预测
. f7 Q/ r! U. f+ U# g5 u( [2 J4 r
•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测

' ~& }3 n8 u) J' ^" J

8 L( \( j$ x  R  ?（6）优化与控制
  L0 o7 B6 ]  h, F+ D0 G7 V( }& \
1 f: B. A# U0 K•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
2 {/ p7 `0 a# U3 ]$ ?* A8 x
* p  o& ~" z/ I6 B•②非线性规划与智能优化算法

•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

+ D8 e# Y/ P% {+ n7 t1 ?7 B0 s•④动态规划
" e/ n" G$ K% E% A
: i2 k/ a# k6 v" m+ M% E* o* {•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
2 w; p! _9 z4 W. N* M
  @; j& R7 _& U+ `' G1 V5 I$ C* Y•⑥排队论与计算机仿真

4 V7 {- u( V6 U. E•⑦模糊规划（范围约束）

. C# H. x8 [6 _6 \9 h5 h4 M/ C+ a2 N' b•⑧灰色规划（难）


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作者：ItsL
来源：CSDN
: ~6 Q/ T5 u. J, F- j$ ^% S' n8 E7 @5 A

' z  v+ Z1 ~% e% x