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数学建模之回归分析

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

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    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    发表于 2020-3-13 15:12 |只看该作者 |倒序浏览
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    ; a" E7 g" J8 {1 X! x; G
    2 N/ D2 ~  R- O* ]. n1 O  m3 {% z
    数学建模之回归分析

    * L0 p5 Z+ Q! e: f$ B3 E% N8 s7 z* B* j7 a* {
    应用场景. \- b; U$ g* B  S+ Q8 x
    1. 建立回归模型
    8 W6 Y3 Q% ]: P: f1.1 筛选变量
    % K' ]5 b4 M# G' y1.1.1 确定样本空间, S! l5 N2 H/ y3 g  l( z9 h8 J
    1.1.2 对数据进行标准化处理" M: d8 N5 p  c
    1.1.3 变量筛选
    4 z( ]' U0 a& w+ O7 b/ x1.1.4 调整复判定系数
    / P' n$ Q- P/ X6 v: [3 N9 h8 w1.2 最小二乘估计( ^9 a' R! C2 b1 X
    2. 回归模型假设检验
    5 k. P& h% g' R3. 回归参数假设检验和区间估计: ~2 v$ \4 F) I% ~7 U
    4. 拟合效果分析
    ! I1 l2 X1 D' f3 R) t  n2 v* t4.1 残差的样本方差(MSE)0 z# d3 y8 q8 f+ O7 f
    4.2 判定系数(拟合优度)
    0 y8 ]& d3 ]- ~, b5. 利用回归模型进行预测$ b7 n" z" F  E/ d
    其他
    3 f4 `! m* j4 e" C2 O, o. |. r* J偏相关系数(净相关系数)/ Z5 G- C. U/ V1 a5 i( q9 Q4 z" a! \' y
    复共线性和有偏估计方法, W0 O9 T) ?9 {# h8 O5 O
    小结
    ) P& G' ^/ }* G! g$ ~( u应用场景! f3 E: W+ Z( Q4 q  Q7 K' a! n6 I+ _
    ! z, D- F* c0 C$ n+ r* m4 x  J, i
    简单地说,回归分析是对拟合问题做的一种统计分析。) L0 a- f. y( E& r7 [; |/ R
    P.S. 曲线拟合问题的特点是,根据得到的若干有关变量的一组数据,寻找因变量与(一个或几个)自变量之间一个函数,使这个函数对那组数据拟合得最好。通常。函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直接观察决定,要做的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。
    2 U* i6 p/ n* q9 y7 G& k, ~+ G4 T  A! P( T, O# f6 I1 ]: B
    具体地说,回归分析在一组数据的基础上研究以下问题:
    2 f6 w, m! K1 j9 F 12.png 4 }2 H' s, @. K# t* S5 I
    1. 建立回归模型
    5 ~$ ?' x5 x: y$ \4 \  y9 s/ d7 r3 g7 c' K# v& v' k( l
    1.1 筛选变量
    1 \2 S+ h9 b- j. [
    4 T8 x% ?; \  w6 j  O1.1.1 确定样本空间
    - K+ F* ]8 F% C6 Q, }6 y 11.png " v3 h  E! D! A. y& u, v( b
    / Z/ S5 f, z5 ~
    所构成的数据表可以写成一个n×m n \times mn×m维的矩阵。( }! f  L) ]5 ~& V8 d
    7 l- Y. \; `4 X3 F" Y
    1.1.2 对数据进行标准化处理0 R2 ~8 \: i. u6 A; D9 X0 V
    4 h4 s& s5 G7 g+ q. a  \  b
    (1)数据的中心化处理
    & Z9 z3 B3 E+ C" p+ O1 c实际上就是平移变化,
    + T0 R% F3 K, `. l3 e$ N7 u" Q) a; {. K: Y) s' ^0 }
    10.png
    / {% C7 Y+ V, L' ^  M+ A这种处理,可以是样本的均值为0 00,同时它既不改变样本点的相互位置,也不改变变量间的相关性,但变换后,有许多技术上的便利。# ~$ y) c, j2 G6 r6 {0 g# J
    (2)数据的无量纲化处理) u& p! ~1 l& S
    在实际问题中,不同变量的测量单位往往是不同的。. k7 ]; l3 L' e" M- E/ A
    为了消除变量的量纲效应,使每个变量都具有同等的表现力,数据分析中常用的消量纲的方法,是对不同的变量进行所谓的压缩处理——使每个变量的方差为13 u" j( o$ v" n# w0 |0 P3 T0 ^2 p
    即,
    : m" n% X' t! d8 e) d
    ; i; e$ }, y* ?3 M8 v2 m 9.png
    ) A4 Y& D# L. @7 H当然,也有其他消量纲的方法,此处不一一列举。; ^6 \* c/ _7 m4 B: X, r
    (3)数据的标准化处理——对数据同时进行“中心化-压缩”处理
    3 W- m1 h- l  L+ |即,
    . t0 m) q0 d: C$ p
    2 E( K; _. d" u 8.png
    5 G  Y5 v! {( C! R" |3 ]! j$ K/ K1.1.3 变量筛选" E( Y9 A6 q% S4 Y4 f+ u* m

    . F$ v4 u- O; l# C7 u——选择哪些变量作为因变量的解释变量:
    # s+ p: \3 v8 U+ N0 l& f1 k4 a7 K
    1 ~7 K0 j! h% v- ~) ]& [' S3 m一方面,希望尽可能不遗漏重要的解释变量
    . C, N9 `  ]  w; E, C7 ~一方面,遵循参数节省原则(自变量数目过大时,模型计算复杂,且往往会扩大估计方差,降低模型精度),使自变量的个数尽可能少* W5 d: R% ?% d  ]; |! l
    (1)穷举法
    - \+ a$ R" y0 T( u列举出所有可能的潜在变量,再根据自变量的不同组合,选取合适的模型。
    ) }5 N$ P% x+ [8 {2 |$ l+ ^假设有m mm个潜在变量,则需要拟合与比较的方程个数为2m 2_m2
    8 H! Q* X; ]2 X3 S: x  b  Om$ b) R" y& `/ n; C5 w, |
    ​       
    0 R8 a& G8 Z7 ~1 ?+ H ——当m mm较大时不现实
    & B! Y- t& W! l9 S  z; W+ s2 U  }* |6 A  I& p9 g9 N& k
    (2)向前选择变量法
    1 |: W" z. A! U0 R  W5 M+ b 6.png
    # S' d# g6 G4 N
    2 c8 J8 E# v8 ~- o
    . ?8 G  a4 @- N7 |8 h. J
    ) Y+ g; d  R$ ^ 7.png
    2 r9 ^5 Q: g/ k9 _& h
    4 N9 o; F, _. y3 w* w9 w# c$ M2 a(3)向后删除变量法
    9 ~, P9 q/ U& m% r. G6 y9 @; c 4.png
    ( B$ W- @% p; d* I; A  x# \; Y(4)逐步回归法——最常用5 v$ O* |9 o- I( d/ `
    5.png
    9 E0 ]; i$ ?! J( k' j* l4 p
    8 l3 R5 ~3 T: y3 ^. ^. {2 G1.1.4 调整复判定系数& O1 h* U( h+ P, ]
    3.png
    : ?' N7 v$ O- Z1.2 最小二乘估计5 m8 n4 A( Z1 j

    " O) j- m' P$ o9 L- q一元线性回归、多元线性回归——略。8 w! Y. V3 P) N/ t8 K" K2 l
    5 W8 h* R) t8 e9 ~& q4 }
    2. 回归模型假设检验
    $ w) }- k$ b! ]8 D4 ^6 ?9 o: y% ?, Z- z* F2 T  j, W$ N1 F( P% b
    ——检查自变量与因变量之间能否用一个线性关系模型表示(F FF检验)
    ! F" g. `0 v' X+ ^  X( n$ `" _/ v. {. S% a9 Q6 p3 v) b
    具体检验方法见书,此处不再赘述。( H; @  ^  |1 P! S8 n

    - r/ _' ^2 v$ g, k3. 回归参数假设检验和区间估计5 u# E5 O' m3 L9 u
    $ d( f5 x' R& u$ }6 V) x
    ——检查每一个自变量对因变量的影响是否显著(t tt 检验)) a: G% x# C) _, {1 G, o9 P

    5 o6 {2 w8 _; R+ I5 ?2 l具体检验方法见书,此处不再赘述。
    3 m% S5 E$ G# e5 Z5 \: F. Q$ e  X1 ^. A1 C1 ^
    4. 拟合效果分析; ?% D1 d! h1 ~2 _: q! s0 ?

    5 A1 R( b- C9 \7 b* i4.1 残差的样本方差(MSE): ^3 j* K  X, d3 h  a
    2.png
    ; f6 \6 y1 N2 `" z( a2 W" p! i$ O7 v7 D
    4.2 判定系数(拟合优度); f; [) O/ h. \

    0 z! G) ]% e, x; B) f 360截图165011039490135.png 9 d( j/ @* [, f
    6 r7 u6 y. X/ l& N! }" P4 A
    5. 利用回归模型进行预测
    / U" h+ k5 Y$ V  T4 F4 I9 S- G9 k5 x+ p9 h/ q
    + z) s5 s, q6 O

    ( g4 }9 ?6 S8 O其他
    % m; l  N" @! u; U# l7 ^+ ]0 g. o3 n0 \% B5 R1 X5 g
    偏相关系数(净相关系数)5 M" C7 }- X" ?- }  H# @
    9 u+ M- f- z1 M4 [! t: f0 x
    在研究两个变量之间的线性相关程度时,可考察这两个变量的简单相关系数。但在研究多个变量之间的线性相关程度时,单纯使用两两变量的简单相关系数往往具有虚假性。因为它只考虑了两个变量之间的相互作用,忽略了其他变量对这两个变量的影响。4 D9 b8 z' ~6 g& X7 {
    ; \1 p' X: ^6 n1 m
    复共线性和有偏估计方法
    1 r; V9 H5 f8 c- |
    / Q" E3 j% g; \8 z2 V* o9 n0 o在一些大型线性回归问题中,最小二乘估计不总令人满意,比如系数正负号与实际意义不符,这可能是因为回归自变量之间存在着近似线性关系——复共线性(Multicollinearity)
    , e2 V, u$ A% F0 J% c1 X
    " R9 b7 Z# `) x解决方法——牺牲无偏性,改用合适的有偏估计方法,以改善估计的稳定性* h  N. V7 A0 t
    例如,岭估计——可以显著改善矩阵列复共线性时最小二乘估计量的均方误差,增强估计的稳定性。* @4 @# u6 h2 ^7 U& {3 o! H' ]
    (P.S. 均方误差Mean Squared Errors:一个好的估计应该具有较小的均方误差)/ ?" g2 S& S  u" a/ C, y  T
    3 d! J% [1 D; \
    再如,主成分估计——可以去掉一些复共线性. Q( {) ~# ?$ f- }. R3 R- N
    % A8 @. ?: Q. e5 N; T7 S
    小结1 j' |: a. ]/ a# Q' E$ m

    " y/ O" U( ~# k3 T! e采用回归模型进行建模的可取步骤如下:( ~  F7 o/ k* n( |0 ^
    ' U' `" o; F( b0 I! Z
    建立回归模型, H( T3 {' s. L. b: G
    确立样本空间,对数据进行标准化处理,采用逐步回归法筛选自变量
    2 i* |3 k( }& \) p原文链接:https://blog.csdn.net/xxiangyusb/article/details/99762451
    $ N5 ?( j3 t* J/ O7 [" ?. K$ N- O* W( b. l5 R9 R
    & j- N. P: J$ p7 F5 T
    zan
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